Premiers éléments de géométrie
I. Premier instrument : la règle graduée
a) Deux points
Avec la règle graduée, je peux :
1) Tracer des segments. Exemple [AB] → 2) Tracer des droites. Exemple (AB) → 3) Mesurer des longueurs. Exemple AB = …. cm → 4) Tracer des demi-droites. Exemple [AB) → Définitions
_ On appelle droite (AB) tous les points alignés avec A et B.
_ On appelle demi-droite d’origine A et on note [AB) l’ensemble des points en rouge.
_ On appelle segment d’extrémités A et B et on note [AB] les points alignés avec A et B placés entre A et B. Sur la figure en vert.
_ On appelle milieu le point du segment [AB] qui est à égale distance des points A et B.(M sur la figure)
_ On a alors l’égalité AM = MB qui est traduite par les signes / sur la figure.
Remarque: Soit M tel que AM = MB. M est-il le milieu de [AB] ? Quelle figure forme ABM ?
b) Deux droites
Deux droites distinctes, non confondues, possèdent au maximum un point d’intersection.
Deux cas se présentent:
1) Elles ont un point d’intersection, on dit alors qu’elles sont sécantes.
2) Elles n’ont pas de point d’intersection, alors elles sont parallèles.
II. Second instrument: le compas
a. Le report de longueurs
Avec le compas je peux reporter des longueurs (comme pour les rosaces)
Je peux également multiplier des longueurs en traçant une droite puis en reportant plusieurs fois la même longueur, comme pour trouver la longueur de trois verstes.
b. Cercle
Définition : Un cercle est constitué de tous les points situés à une même distance d’un point appelé centre du centre, le centre du cercle n’étant pas un point du cercle.
O est le centre du cercle. Il est à égale distance (ou équidistant) de tous les points du cercle.
[OA] et [OB] sont des rayons du cercle. Ils ont la même longueur. Un rayon d’un cercle est un segment qui a pour extrémités le centre du cercle et un point de ce cercle.
[AB] est une corde du cercle. C’est un segment qui a pour extrémités deux points du cercle.
[AC] est un diamètre de ce cercle. C’est une corde passant par le centre du cercle.
C B)
est un arc de cercle. C’est une courbe définie le long du cercle.
On a donc AC = 2 OA = 2 OB
Rappel : Périmètre d’un cercle : p=2π r=π d c. Disque
Définition : Les points à l’intérieur du cercle forment le disque de centre O et de rayon OA
d. Tracer des cercles
Avec le compas, je peux tracer un cercle.
Définitions:
Un cercle est l’ensemble des points qui se trouvent à égale distance d’un même point, appelé centre du cercle. On note le plus souvent O le centre et
C
le cercle.Une corde est un segment reliant deux points placés sur un cercle.
Un diamètre est une corde qui passe par le centre du cercle.
Un rayon est un segment ayant pour extrémités un point du cercle et son centre.
Remarque: Le centre du cercle est le milieu de n’importe quel diamètre!
III. Avec une équerre
Avec une équerre je peux:
a) Savoir si deux droites sont perpendiculaires b) Tracer deux droites perpendiculaires
En effet, si deux droites (d et 1) (d2) sont parallèles, toutes les droites (d3) perpendiculaires à )
(d sont perpendiculaires à1 (d2). Réciproquement, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Notations:
{
( ) ( )) ( ) (
) //(
) (
3 2 3
1 2
1 d d
d d
d
d ⇒ ⊥
⊥
{
( )//( )) ( ) (
) ( ) (
3 2 3
1 2
1 d d
d d
d
d ⇒
⊥
⊥
c) Tracer deux droites parallèles
Faire la manipulation et la contrôler un à un Avec une équerre je peux:
1) Savoir si deux droites sont perpendiculaires 2) Tracer deux droites perpendiculaires 3) Tracer deux droites parallèles
En effet, si deux droites (d et 1) (d2) sont perpendiculaires, toutes les droites (d3) perpendiculaires à (d sont parallèles à1)
( )
d . 2Notations:
Remarque : Peut-on noter un deuxième angle droit sur la figure ?
{
( )//( )) ( ) (
) ( ) (
3 2 3
1 2
1 d d
d d
d
d ⇒
⊥
⊥
Apprendre le cours !!
Premiers éléments de géométrie
Leçon 5
Faire réciter le cours
IV. Triangles
i. Définition
Définition : Un triangle est une figure géométrique fermée à trois cotés Il existe trois triangles particuliers :
• Le triangle rectangle
Il a deux côtés perpendiculaires, dans ce cas il s’agit de (AB) et de (BC). On dit que le triangle est rectangle en B.
• Le triangle isocèle
Il a deux côtés égaux en longueur, dans ce cas il s’agit de [AB] et de [AC]. On dit que le triangle est isocèle en A.
• Le triangle équilatéral
Il a trois côtés égaux en longueur.
ATTENTION !!!
UN triangle peut être isocèle et rectangle à la fois !
ii. Tracé d’un triangle avec trois longueurs
Lorsqu’on connaît les longueurs de ses trois côtés, on trace un triangle en trois étapes : 1. On trace un côté à la règle
2. On reporte une seconde longueur à l’aide du compas ; on trace l’arc de cercle partant du sommet du segment initial.
3. On reporte la dernière longueur à l’aide du compas ; on trace l’arc de cercle partant du second sommet du segment initial. Le point d’intersection est le dernier sommet du triangle.
Premiers éléments de géométrie
Leçon 6
Faire réciter le cours Correction des exercices
V. Médiatrice
i. Définition
Définition : La médiatrice d’un segment est la droite qui passe par le milieu du segment et qui est perpendiculaire à ce segment.
Propriété :
La médiatrice d’un segment est constituée de tous les points situés à égale distance (équidistants) des extrémités de ce segment.
ii. Tracé d’une médiatrice
• A la règle et à l’équerre
o On mesure le segment dont on veut tracer la médiatrice, on trouve le milieu de ce segment.
o Avec l’équerre on trace la perpendiculaire passant par le milieu du segment.
• A la règle et au compas
o Avec un écartement supérieur à la moitié de la longueur du segment, on trace deux arcs de cercles de chaque côté du segment issu d’une extrémité d’une extrémité, puis on recommence avec l’autre extrémité.
o Avec les deux points d’intersections obtenus, on trace une droite qui est la médiatrice du segment.
Sur la figure : Prendre un point de la médiatrice et mesurer la distance de ce point aux extrémités du segment. Qu’en conclure ??
