MECA 2855

1

MECA 2855

Propagation de la chaleur par conduction et convection

Plan du chapitre

•

Loi de Fourier

•

Equation de la chaleur

•

Conditions aux limites

•

Paroi plane simple et composée

•

Notion de résistance thermique

•

Paroi cylindrique simple et composée

•

Conduction avec source de chaleur électrique

•

Eq. de l’enthalpie pour l’écoulement d’un fluide chauffé

•

Analyse dimensionnelle

3

Loi de FOURIER

q = − ∇ k T

4

milieu k (Wm^-1K^-1)

métaux purs alliages métaux liquides

liquides non métalliques solides non métalliques isolants

gaz

40 ... 450 20 ... 200 10 ... 100 0,2 ... 2 0,02 ... 20 0,02 ... 0,4 0,002 ... 0,2

Coefficient de conductibilité

thermique

5

Equation de la chaleur

•

Equation de l’énergie interne:

•

pour un solide (v=0)

•

ou

: _r

Du p v v q q

ρ Dt = − ∇ ⋅ + ∇ − ∇ ⋅ +τ ρ

. _r

u q q

ρ

∂ = −∇ +

t ρ

∂

2 r

c T k T q

ρ ∂ − ∇ =t ρ

∂

Conditions aux limites

•

Interface solide-solide (contact parfait):

•

et q_i =q_i,1=q_i,2 ou ₁ ¹ ₂ ²

i i

dT dT

k k

dx dx

− = −

,1 ,2

i i i

T =T =T

7

Conditions aux limites (suite)

•

Interface solide-fluide: loi de NEWTON:

•

Coefficient de convection : h

i f

q Q h T T

= S = −

2 1

Wm K

^{− −}

8

Coefficient de convection

Type de transfert h (W m^-2 K^-1) Convection naturelle

gaz liquides eau bouillante Convection forcée gaz

fluides visqueux eau

Condensation de vapeurs

3 - 25 100 - 700 1000 - 25000

10 - 100 60 - 600 600 - 10000 1000 - 100000

9

Paroi plane simple

•

Equation de la chaleur:

•

^Solution:

•

Coefficient de transmission global: U:

2

2 0

d T dx =

,1 1 1 2 2 ,2 ,1 ,2 ,1 ,2

1 2 1 2

1 1 1 1 1

f f f f f f

T T T T T T T T T T

q e e

h k h h k h U

− − − − −

= = = = =

+ +

1 2

1 1 e 1

U = h + + k h

Paroi plane composée

,1 1 1 2 1 1 ,2

1

1 1 2

,1 ,2 ,1 ,2

1 2

1 1

1 1 1

f n n n f

n n

f f f f

i

i i

T T T T T T T T

q e e

h k k h

T T T T

e

h k h U

+ +

− − − −

= = = = =

− −

= =

+

∑

+

…

1 2

1 1 _i 1

i i

e U = h +

∑

k +h

11

Notion de résistance thermique

1 2 3

1 2

1 1 e 1

R R R

U S =h S +k S +h S = + +

• tout flux de chaleur induit une différence de température (sauf cas particulier des changements de phase) ;

• toute différence de température entre deux points d’un milieu donne naissance à un flux de chaleur entre ces deux points.

12

Paroi cylindrique simple

•

Equation de la chaleur:

•

Solution:

•

Coefficient de transmission global:

2 2

1 0

d T dT dr +r dr =

, , , , , , , ,

1 1 1 1 1 1

2 2

f i p i p i p e p e f e f i f e

e e

i i i e e i i i e e

T T T T T T T T

Q r r

Ln Ln

h S π k r h S h S π k r h S

− − − −

= = = =

+ +

1 1 1

1 1 1

i e i

i i i e e

e e e

e i i i e

r r S

U h kLnr h S

S r r

U h S kLnr h

= + +

= + +

, ,

, ,

( )

( )

i i f i f e

e e f i f e

Q U S T T Q U S T T

= −

= −

13

Notion de rayon critique

Paroi cylindrique composée

•

Rendement d’une enveloppe calorifuge

1

1

1 1 1 1

1 1 1 1

j i

i

i i j j j e e

e j e

e i i j j j e

r r

r Ln

U h k r h r

r r

r Ln

U h r k r h

+

+

= + +

= + +

∑

∑

/ / /

1

i i i

i i

Q Q U U U

Q U U

η= ⁻ = ⁻ = −

15

Conduction avec source de chaleur électrique

•

Câble: puissance dissipée par effet Joule:

•

Eq. de la chaleur:

•

^Solution:

2

[W.m ]-3

.

e r

q R I ρ = A

2 2

(d T 1dT) _r

k q

dr +r dr = −ρ

2

2 2 2

( ) [1 ( ) ]

4 4

r r

p

q q R r

T T R r

k k R

ρ ρ

− = − = −

16

Conduction avec source de chaleur électrique

•

Densité de flux à la paroi

•

Flux:

•

Calcul de la température de surface du câble:

( ) ;

r 2

r R

dT R

q R k q

dr ρ

=

= − =

2 2

2 ^r 2 ^{r e}

Q= π ρR q R =πR ρq =R I

2 _r

2 (

_{p f}

)

R q R h T T

π ρ = π −

2

2 2

r e

p f f

R q R I

T T T

h R h

ρ

= + = + π

17

Conduction avec source de chaleur électrique

•

Nombre de Biot:

•

Expression de la température max.

•

Si

•

Si

1 hD Dk Bi k

h

= =

2

max max

( ) ( ) (1 4 )

4

e

f p p f

T T T T T T R I

k Bi

− = − + − = π +

max max

1, 4 1, d'où _p et _{f p f}

Bi T T T T T T

<< Bi >> ≅ − ≅ −

max max

1, 4 1, d'où _{p f} et _{f p}

Bi T T T T T T

>> Bi << ≅ − ≅ −

Eq. de l’enthalpie pour l’écoulement d’un fluide chauffé

•

Eq. de l’enthalpie

•

devient:

•

Loi de Fourier + fl. incompress.:

( ) :

_r

u hv v p v q q

t

ρ ρ τ ρ

∂ + ∇ ⋅ = ⋅∇ + ∇ − ∇ ⋅ +

∂

( )

^z _{zz r}

d dq dp dw

hw w q

dz ρ + dz = dz + τ dz + ρ

d T2 dT

k ρwc ρq

− + =

19

Analyse dimensionnelle

•

Nombre de NUSSELT:

hL

Nu

≡

k

Wilhelm Nusselt 1882 - 1957

20

Analyse dimensionnelle

•

Nombre de PRANDTL: Pr

µc

^p

k

ν

≡ =

α

Ludwig Prandtl 1875-1953

21

Analyse dimensionnelle

•

Nombre de GRASHOF: ^{3 3}

2 2

gL T L g

Gr µ

β ρ ρ

ν

∆ ∆

= =

Franz Grashof 1826-1893

Convection naturelle, forcée ou mixte ?

2

Gr '

Re '

forces d Archimède forces d inertie

=

si Gr/Re² ≥ 16, la convection naturelle est nettement dominante, si Gr/Re² ≤ 0,1, la convection forcée est prédominante,

si 0,1≤ Gr/Re²≤16, la convection est mixte, le nombre de N^USSELT doit être calculé pour les deux cas, et l’on choisira la plus grande des deux valeurs.

23

Conv. forcée dans des tubes

•

Ec. laminaires, Sieder & Tate (1936)

•

Ec. turbulents, Dittus & Boelter (1930)

n = 0,3 si le fluide est refroidi et 0,4 s’il est chauffé

1/ 3 0,14

Nu_Ln 1,86 (Re Pr ) ( ^f )

p

D µ

L µ

=

Nu

_Ln

= 0,023 Re

0,8

Pr

ⁿ

Re 10 ; 0,7 Pr 160 ; /> 4 < < L D>60

24

Objets immergés: cylindre isolé

•

Gaz: Jakob (1957)

•

Liquides: Knudsen & Katz (1958)

Nu

_D

= C Re

ⁿ_D

Nu

_D

= 1.1 C Re Pr

ⁿ_D 1/ 3

Re C n

1 – 4 4 – 40 40 – 4000 4000 – 40000 40000 - 250000

0,891 0,821 0,615 0,174 0,0239

0,330 0,385 0,466 0,618 0,805