Les fractions
I) Quotient de deux nombres entiers : a) Définition :
Soient a et b deux entiers avec b différent de 0.
La fraction désigne le quotient de a par b : = a ÷ b.
Exemples :
, et sont des fractions, et 12
3 représente l’opération 12 ÷ 3.
, , 5
2,9 et ,
, ne sont pas des fractions car ce sont des quotients avec des nombres décimaux.
Vocabulaire :
Dans la fraction , le nombre a est appelé le numérateur et le nombre b est appelé le dénominateur.
Exemple :
Dans la fraction , 3 est le numérateur et 5 est le dénominateur.
b) Propriété :
Soient a et b deux entiers avec b différent de 0.
La fraction est le nombre qui multiplié par b donne a :
× b = a
Autrement dit, si on multiplie une fraction par son dénominateur, on obtient son numérateur.
Exemple :
La fraction est le nombre qui multiplié par 3 donne 5 car × 3 = 5.
La fraction est le nombre qui multiplié par 2 donne 7 car × 2 = 7.
II) Quotients égaux:
a) Propriété :
La fraction représente l’opération 10 ÷ 5 dont le résultat est 2.
La fraction représente l’opération 20 ÷ 10 dont le résultat est 2.
On en déduit que les fractions et 20
10 sont égales et on écrit :
Propriété :
Une fraction ne change pas si on multiplie ou si on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
b) Application à la simplification d’une fraction :
Simplifier la fraction . Méthode :
Pour simplifier une fraction, il faut diviser son numérateur et son dénominateur par un même entier, tant que cela est possible ( c’est-à- dire tant que les quotients obtenus sont des nombres entiers ).
Ainsi :
La fraction obtenue est telle que son numérateur 7 et son dénominateur 5 ne sont pas divisibles par un même entier : on dit alors que la fraction est une fraction irréductible.
Il est donc important de connaître les critères de divisibilité pour simplifier une fraction !!
III) Comparaison de fractions :
a) Cas de comparaisons immédiates : Propriété n°1 :
Lorsque deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.
Exemples :
< , >
Propriété n°2 :
Lorsque deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.
Exemples :
< , >
b) Comparaison de fractions avec l’unité : Propriété n°3 :
1) Lorsque le numérateur d’une fraction est inférieur à son dénominateur, alors la fraction est inférieure à 1.
2) Lorsque le numérateur d’une fraction est supérieur à son dénominateur, alors la fraction est supérieure à 1.
3) Lorsque le numérateur d’une fraction est égal à son dénominateur, alors la fraction est égale à 1.
Exemple n°1 :
< 1 car son numérateur 12 est inférieur à son dénominateur 13.
> 1 car son numérateur 14 est supérieur à son dénominateur 11.
= 1 car son numérateur 7 est égal à son dénominateur 7.
Exemple n°2 :
Comparer les fractions et . On sait que :
• < 1 car le numérateur 45 est inférieur au dénominateur 47.
• > 1 car le numérateur 63 est supérieur au dénominateur 61.
On en déduit l’encadrement suivant :
< 1 < c’est-à-dire on conclut que < .
c) Cas général : Méthode :
Pour comparer dans le cas général deux fractions, on les écrit avec le même dénominateur et on applique la propriété n°1.
Exemple :
Comparer les fractions et .
Comme on ne peut pas les comparer en utilisant les propriétés n°1, n°2 ou n°3, on va appliquer la méthode du cas général, c’est-à-dire on va écrire ces deux fractions avec le même dénominateur. Pour cela, nous allons déterminer la valeur du dénominateur commun en écrivant la liste des premiers multiples des dénominateurs des deux fractions.
Multiples de 6 : 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , 42 , 48 , ….
Multiples de 14 : 14 , 28 , 42 , 56 , 70 , ….
42 est le premier multiple commun à ces deux listes : on l’appelle le dénominateur commun des deux fractions.
Il suffit à présent d’écrire les deux fractions précédentes avec 42 comme dénominateur.
On obtient :
× 7 × 3
= et =
× 7 × 3
On peut à présent conclure, en appliquant la propriété n°1, que : >
C’est-à-dire :
>
Remarque :
On applique cette méthode pour classer dans l’ordre croissant plusieurs fractions : on détermine leur dénominateur commun, puis on les écrit avec ce dénominateur commun et on classe leurs numérateurs dans l’ordre croissant.
