L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e
Page 1I- Les ensembles:
Il existe plusieurs ensembles de nombres.
Ensemble des nombres entiers naturels.
Contient tous les nombres entiers positifs.
Ensemble des nombres entiers relatifs.
Contient tous les nombres entiers positifs et négatifs.
On en déduit que l’ensemble est contenu dans l’ensemble . ( ) . : Se lit est inclus dans .
D : Ensemble des nombres décimaux.
Ensemble de tous les nombres que l’on peut mettre sous la forme suivante :
Où est un nombre entier relatif et un entier naturel Remarque :
Donc tout entier relatif peut être écrit sous la forme suivante :
Autrement dit tout nombre relatif est aussi nombre décimal.
Par conséquent, L’ensemble des nombres entier relatif est contenu (ou inclus) dans l’ensemble des nombre décimaux.
Ensemble des nombres rationnels.
Ensemble de tous les nombres que l’on peut mettre sous la forme
Où est un entier relatif. , et un entier relatif non nul.
Ensemble des entiers relatifs non nuls.
Remarque :
Tout nombre décimal est un nombre rationnel.
Ensemble des nombres réels.
Un nombre irrationnel, est un nombre que l’on ne peut pas mettre sous la forme
.
Exemples :
Le nombre
L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e
Page 2Le nombre
Est l’ensemble des nombres rationnels et irrationnels.
Résumé :
II- Vocabulaire.
Diviseurs et multiples :
On dit que 30 est un multiple de 5 et de 6.
On dit que 5 est un diviseur de 30, de même 6 est un diviseur de 30.
Si .
: est un multiple de
Sont des diviseurs de
Ensemble des diviseurs d’un nombre :
Les diviseurs de 30 sont 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 et 30.
On note : L’ensemble des diviseurs de 30.
On note : L’ensemble des multiples de 5.
1 est un diviseur de tous les nombres.
0 est un multiple de tous les nombres.
Nombre premier :
Définition :
Un nombre est dit premier s’il a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même.
L’ensemble des nombres premiers est infini.
Les nombre premiers sont utilisés en cryptographie.
Propriété :
Tout nombre entier est décomposable en produit de facteurs premiers.
L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e
Page 3Remarque : Soit L’ensemble des diviseurs de 225.
De même 420 admet diviseurs
Ces deux nombres ont plusieurs diviseurs en communs.
Parmi ces diviseurs communs : 15 est le plus grand
15 est le plus grand diviseur commun des nombres 225 et 420.
On note : Le plus grand diviseur commun de 225 et 420.
Nombres premiers entre eux :
Définition :
Deux entiers sont premiers entre eux, si leur PGCD est égal à 1
III- Algorithmes d’Euclide et de différences.
Le nombre de diviseurs est égal à
L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e
Page 41- Algorithme d’Euclide.
Exemple :
Calcul du PGCD de deux nombres.
PGCD (420 ; 225)=15
Dividende Diviseur Reste
420 225 195
225 195 30
195 30 15
30 15 0
Euclide
Philosophe et mathématicien Grec. Naissance vers 325 av J.C. Décès vers 365 av J.C.
L e s m a t h é m a t i q u e s a u c o l l è g e
Page 52- Algorithme des soustractions successives.
Exemple :
0 15 15
15 15 30
15 30 45
45 30 75
75 30 105
105 30 135
135 30 165
165 30 195
30 195 225
195 225 420
