[ Baccalauréat ES Antilles-Guyane septembre 1997 \
Exercice 1 5 points
Soitf la fonction définie surRpar :
f(x)=1−e2x etf′sa fonction dérivée.
1. DansR, par le calcul, résoudre les équations ou inéquations suivantes : a. f(x)?0 ;
b. f(x)= −2;
c. f(x)= −1.
2. étudier les limites def en−∞et en+∞.
En déduire l’équation d’une asymptote horizontale s’il y a lieu.
3. étudier les variations def surR.
4. Calculer Z−1
−3 f(x) dx.
Exercice 2 4 points
Enseignement obligatoire
Le tableau ci-dessous donne l’évolution du nombre de touristes (en dizaines de milliers) d’un dépar- tement français entre 1991 et 1996.
Année 1991 1992 1993 1994 1995 1996
Rang de l’annéexi 1 2 3 4 5 6
Nombre de touristesyi 7,3 5,9 5,2 5,1 5,3 6,1
Le nuage de points associé à cette série statistique¡ xi;yi
¢est donné sur le graphique suivant :
0 1 2 3 4 5 6 7
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
−1 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6
0 1
1 y
x
b b b b b b
1. Le coefficient de corrélation linéaire entrexetyest environ égal à−0,5.
Est-ce en accord avec le graphique ? (justifier votre réponse).
Baccalauréat ES A. P. M. E. P.
2. Afin d’effectuer un ajustement à l’aide d’une parabole on effectue le changement de variable ti=(xi−4)2.
Présenter dans un tableau la nouvelle série¡ ti ;yi
¢et calculer son coefficient de corrélation linéairerà 10−3près.
Qu’en déduisez-vous ?
3. Donner l’équation de la droite de régression dey ent. On donnera les résultats à 10−2près par excès.
4. Si la tendance ne change pas, effectuer une prévision pour 1998.
5. À l’aide de l’équation 3, trouver un ajustement de la formey=ax2+bx+c.
Exercice 2 4 points
Enseignement de spécialité
À partir de l’année 1990, Pierre verse au le 1erjanvier de chaque année 9 000 F sur un compte ré- munéré à un taux annuel de 6 % À intérêts composés. Ainsi, chaque 1erjanvier, on ajoute 9 000 F au capital déjà acquis.
On noteunle capital disponible à partir du 1erjanvier de l’année 1990 +n, ainsiu0=9000.
1. Montrer queu1=18540 et queun+1=1,06un+9000.
2. Soit la suite auxiliaire (vn) telle quevn=un+150000.
a. Calculerv0etv1.
b. Montrer quevn+1=1,06vn; en déduire la nature de la suite (vn).
c. Donner l’expression devnpuis deunen fonction den.
3. À partir de quelle année Pierre disposera-t-il de plus de 200 000 F ? (On pourra utiliser la fonc- tion logarithme népérien).
Problème 12 points
On donne à la page suivante dans un repère orthonormé³ O,−→
ı,→−
´les courbes représentatives (Cf),(Cf′),(Cg) pourx>0 de trois fonctionsf,f′etg.
Partie A : étude de f
La fonctionf est définie Sur ]0 ;+∞[ par
f(x)= ex+2 (x+2)2. 1. étudier la limite def en +∞. (On pourra poserX=x+2).
2. f′étant la fonction dérivée def, montrer quef′(x)= xex+2 (x+2)3. 3. Donner le tableau de variation def.
4. Montrer que l’aire de la portion de plan comprise entre la courbe (Cf′) l’axe des abscisses et les droites d’équationx=2 etx=4 est égale à e4
144
¡4e2−9¢
en unités d’aire.
Partie B Coût marginal et bénéfice
Une entreprise constate que pour une quantitéxd’un article A (en milliers d’articles) le coût totalCT
(en milliers de francs) peut être évalué parCT(x)=f(x) pourxappartenant à [1; 5].
Le coût marginalCmest alors défini pour toutxappartenant à [1; 5] parCm(x)=f′(x).
On notef′′la fonction dérivée def′sur l’intervalle [1; 5].
On admettra que,f′′(x)= x2+2 (x+2)4ex+2
Antilles-Guyane 2 septembre 1997
Baccalauréat ES A. P. M. E. P.
1. étudier le signe def′′et en déduire le tableau de variations def′.
2. a. Justifier que l’équationf′(x)=4 admet une solution uniqueαdans l’intervalle [1; 5].
b. Donner une valeur approchée deαà 10−2près par défaut.
3. Résoudre graphiquement l’inéquationf′(x)>4 sur l’intervalle [1; 5] puis donner sous forme d’un tableau le signe de 4−f′(x).
4. Le prix de vente d’un article est 4 francs. SoitB(x) le bénéfice correspondant Àxmilliers d’ar- ticles vendus. On a doncB(x)=4x−f(x).
a. établir le tableau de variation deB.
b. En déduire une valeur approchée par défaut à 10−2près dexpour lequel le bénéfice est maximum.
Partie C Coût moyen
Sixest le nombre de milliers d’articles, on noteg, la fonction définie sur [1; 5] parg(x)=f(x) x . Cela représente donc le coût moyen d’un article. Les courbes (Cg) et (Cf′) sont sécantes en un point I.
1. Vérifier queIa pour abscisse 2. Graphiquement, que représente l’ordonnée deIpour la fonc- tiong?
2. SoitJle point de la courbe de (Cf) de même abscisse queI. Déterminer l’équation de la tan- gente (∆) enJà (Cf) et vérifier que (∆) passe par l’origine du repère.
0 5
0 5
(Cf′)
(Cg) (Cf)
−
→ı
−
→
Antilles-Guyane 3 septembre 1997
