[ Corrigé du baccalauréat ES Amérique du Nord 31 mai 2006 \

[ Corrigé du baccalauréat ES Amérique du Nord 31 mai 2006 \

EXERCICE1 5 points

Commun à tous les candidats

Q1 : on sait que la limite est égale à zéro.

Q2 : µ1

2e^x2

¶′

=1

2×2xe^x2=xe^x2. Q3 :xlnx)^′=lnx+x×1

x=lnx+1.

Q4 : e^{−2 ln 5}= ¹

e^{2 ln 5}= ¹

e^{ln 52} = ¹

e^{ln 25}= ¹

25.

Q5 : En posant e^x=X, l’équation devientX=16

X ⇐⇒ X²=16 qui a pour solutionX=4e^x ⇐⇒ x= ln 4 etX= −4=e^xmais cette équation n’a pas de solution. Donc une solution.

Q6 :xln(0, 2)−5>0 ⇐⇒ xln(0, 2)>5⇐⇒ x6_{ln 0,2}⁵ (car ln 0, 2<0).

L’ensemble des solutions est donci

−∞; _{ln 0,2}⁵ i .

Q7 :P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=0, 4+0, 3−0, 2=0, 5.

Q8 : On aP(A)=P(A∩B)+P

³ A∩B

´

⇐⇒ P

³ A∩B

´

=P(A)−P(A∩B)=0, 4−0, 2=0, 2.

Q9 :P³ A∩B´

=1−P(A∩B)=1−0, 2=0, 8.

Q10 :PA(B=P(A∩B) P(A) =0, 2

0, 4=1 2.

EXERCICE2 5 points

Pour les candidats ne suivant pas l’enseignement de spécialité Tous les résultats de cet exercice seront arrondis à10⁻²près.

On peut faire un arbre :

0,7 C

0,8 B

0,2 B

0,3 C

0,6 B

0,4 B 1. p³

C∩B´

=0, 18 (énoncé) etp³ C´

=0, 3 (énoncé) 2. On ap_C(B)=

p³ C∩B´ p³

C´ =0, 18 0, 3 =18

30= 6 10=0, 6.

3. a. D’après la loi des probabilités totales : p(B)=p(B∩C)+p³

B∩C´

=0, 7×0, 8+0, 18=0, 56+0, 18=0, 74.

b. La recette prévisible avec 1 000 touristes dont 74 % prennent une boisson à 2(est : 1000×2×0, 74=1480(.

4. a. Les valeurs possibles sont : – visite seule à pied :d=4 ; – visite à pied et boisson :d=6 ; – visite en car seule :d=7 ; – visite en car et boisson :d=9.

Corrigé du baccalauréat ES A. P. M. E. P.

b. On trouve les probabilités associées à la variable aléatoired facilement en remontant de bas en haut l’arbre dressé au début de l’exercice :

d 4 6 7 9

p 0, 3×0, 4=0, 12 0, 3×0, 6=0, 18 0, 7×0, 2=0, 14 0, 7×0, 8=0, 56 c. On E(d)=0, 12×4+0, 18×6+0, 14×7+0, 56×9=0, 48+1, 08+0, 98+5, 04=7, 58(.

Pour un grand nombre de touristes la dépense moyenne sera de 7,58(par touriste.

EXERCICE2 5 points

Pour les candidats suivant l’enseignement de spécialité 1. P1=¡

0, 15 0, 85¢ . 2. a.

G T

0, 65 0, 67

0, 35

0, 33

b. En respectant l’ordre alphabétique des sommets la matrice de transition associée à ce graphe estM=

µ0, 65 0, 35 0, 33 0, 67

¶ . 3. On aP3=P1×M²=¡

0, 15 0, 85¢

×

µ0, 65 0, 35 0, 33 0, 67

¶2

=¡

0, 15 0, 85¢

×

µ0, 538 0, 462 0,4356 0,5644

¶2

=

¡0,45096 0,54904¢ .

Cela signifie que le 3^ejour environ 45,1 % des membre du personnel seront favorables à la grève.

4. a. Les termes de la matrice de transition n’étant pas nuls on sait que quel que soit l’état initial l’étaitPnconverge vers un état stableP=¡

x y¢

, avecx+y=1 qui vérifie :P=P×Msoit :

¡x y¢

=¡ x y¢

×

µ0, 65 0, 35 0, 33 0, 67

¶

⇒

½ x = 0, 65x+0, 33y y = 0, 35x+0, 67y ⇐⇒

½ 0, 35x−0, 33y = 0

−0, 35x+0, 33y = 0 Ainsi on a :x=0, 65x+0, 33y.

b. On a donc le système :

½ 0, 35x−0, 33y = 0

x+y = 1 ⇐⇒

½ 0, 35x−0, 33y = 0

y = 1−x ⇐⇒

½ 0, 35x−0, 33(1−x) = 0

y = 1−x ⇐⇒

½ 0, 68x−0, 33 = 0

y = 1−x ⇐⇒

½ 0, 68x = 0, 33

y = 1−x ⇐⇒

½ x = ³³

68

y = 1−³³

68

⇐⇒

½ x = ³³

68

y = ³⁵

68

. On ax=³³

68≈0, 485 ety=35

68≈0, 515.

c. Le résultat précédent montre que sur le long terme environ 48,5 % des membres du per- sonnel continueront à souhaiter la grève.

EXERCICE3 5 points

Commun à tous les candidats A. Ajustement affine

Amérique du Nord 2 31 mai 2006

Corrigé du baccalauréat ES A. P. M. E. P.

1.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0 1 2 3 4 5

b b b b b b

2. Le pourcentage de dépréciation du prix de revente après les trois premières années d’utilisa- tion est égal à3000−1536

3000 ×100=1464

3000×100=48, 8%.

3. La calculatrice donney= −399x+2843.

B. Ajustement non affine

On posez=ln(y) et on admet qu’une équation de la droite de régression dezenxest donnée par : z= −0, 22x+8, 01.

1. On az=lny= −0, 22x+8, 01⇐⇒ y=e^{−0,22x+8,01}=e^−0,22x×e^8,01. Or e^8,01≈3010,9 soit à l’unité près 3 011.

Finalementy=3011e^−0,22x.

On a également e^−0,22x=e^−0,22x≈0, 8^x. Donc on peut écrirey=3011×0, 80^x.

2. Le prix de revente devient inférieur ou égal à 500 euros si 30110, 80^x 6₅₀₀^⇐⇒_{0, 80}^x6 ⁵⁰⁰

3011 ⇐⇒ xln 0, 86_{ln3 011}^{500 ⇐⇒}_x>^ln

500 3 011

ln 0, 8 (car ln 0, 8<0).

La calculatrice donne ln_{3 011}⁵⁰⁰ ln 0, 8 ≈8, 05.

Il faudra donc attendre 9 ans pour que le prix de revente soit inférieur à 500(. C Comparaison des ajustements

Au bout de 6 ans le prix de revente :

– avec l’ajustement affine est égal à−399×6+2843=449(. – avec l’ajustement exponentiel 0, 80⁶×3011≈789 (().

C’est donc l’ajustement affine qui est le plus pertinent.

EXERCICE4 5 points

Amérique du Nord 3 31 mai 2006

Corrigé du baccalauréat ES A. P. M. E. P.

Commun à tous les candidats A. Étude d’une fonctionf

1. On af(x)=ln[r(x)]=ln£

(900x)e^{−0,1(x−2)}¤

=ln 900+lnx−0, 1(x−2).

2. La fonctionf est dérivable sur ]0 ; 12] et sur cet intervalle f^′(x)=1

x−0, 1=1 x− 1

10=10−x 10x .

3. Commex>0, le signe def^′(x) est celui de 10−x, donc : – six<10, f^′(x)>0, donc la fonction est croissante sur [0 ; 10[ ; – six>10, f^′(x)<0, donc la fonction est décroissante sur ]10 ; 12]

–f^′(10)=0, f(10) est le maximum def sur [0 ; 12].

4. Comme f(x)=ln[r(x)], alorsf^′(x)=r^′(x) r(x)

Comme la fonctionrest positive sur [0 ; 12], le signe def^′(x) est le même que celui der^′(x).

5. On a donc les variations suivantes der:

– six<10, r^′(x)>0, donc la fonction est croissante sur [0 ; 10[ ; – six>10, r^′(x)<0, donc la fonction est décroissante sur ]10 ; 12]

–r^′(10)=0, r(10) est le maximum def sur [0 ; 12].

6. D’après le résultat précédent la fonctionratteint un maximum pourx0=10 et ce maximum estr(x0)=r(10)=900×10e^{−0,1(10−2)}=9000e^−0,8≈4043,96.

B. Calcul de la valeur moyenne 1. Sur [0 ; 12],Rest dérivable et :

R^′(x)= −9000e^{−0,1(x−2)}−9000(x+10)×(−0, 1)e^{−0,1(x−2)}= −9000e^{−0,1(x−2)}+900(x+10)e^{−0,1(x−2)}= 900e^{−0,1(x−2)}(−10+x+10)=900xe^{−0,1(x−2)}=r(x).

2. rm= 1 12

Z12 0

r(x) dx= 1

12[R(x)]¹²₀ = 1

12[R(12)−R(0)]= 1

12

£−9000(12+10)e^{−0,1(12−2)}+9000(0+10)e^{−0,1(0−2)}¤

=

1 12

£−9000×22e^−0,1×(10)+9000×10e^−0,1(−2)¤

=1500¡

5e^0,2−11e⁻¹¹¢ . On arm≈3090,51.

Amérique du Nord 4 31 mai 2006