Programme d'aide à l'étiquetage de l'arbre en classification ascendante hiérarchique

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L ES CAHIERS DE L ’ ANALYSE DES DONNÉES

Y. L. C ^HEUNG C H . F ÉGHALI

Programme d’aide à l’étiquetage de l’arbre en classification ascendante hiérarchique

Les cahiers de l’analyse des données, tome 10, n

^o

3 (1985), p. 339-348

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Les Cahiers de l'Analyse des Données Vol. X -1985 n°3pp. 339-348

PROGRAMME D'AIDE A L'ETIQUETAGE DE L'ARBRE EN CLASSIFICATION ASCENDANTE HIÉRARCHIQUE

[AIDE CAH INFSUP]

par Y.L. Cheung * Ch. Féghali **

Au cours de l'année 1984 l'usage s'est introduit d'étiqueter les arbres de CAH beaucoup plus explicitement qu'on ne le faisait aupara- vant, (cf. ZH0UILLE1 in CAD Vol IX n° 3 ; lACIER] in CAD Vol IX n° 4 ; IBLE1 in CAD Vol IX n° 1 ; et A. et L. Alawieh, thèses 1984). Le prin- cipe de cet étiquetage, ainsi que la disposition des tableaux d'aides à l'interprétation conçus pour le faciliter sont, exposés en détail dans lINTERPRET CAH] § 3 {in CAD Vol 10 n° 3 ) . Dans le présent arti- cle on donne pour le calcul de ces tableaux des algorithmes ALGOL et un programme en BASIC. Selon l'usage les commentaires insérés dans le programme sont réduits à quelques lignes de titre ; au contraire les commentaires des algorithmes constituent un exposé mathématique com- plet.

I Splclilcatlon cffc la partition KQ.tznuiZ : Comme on l'a expliqué en détail dans LINTERPRET CAHl au § 1.2, la publication des résultats d'une CAh est fondée sur le choix d'une partition extraite de celle- ci. Et cette partition se trouve définie â partir de quelques classes qu'on désire retenir pour elles-mêmes ; d'où le choix d'une sous-hié- rarchie dont les éléments terminaux sont les classes de la partition retenue. Il suffira de rappeler que retenir une classe C , implique qu'on retienne son père, ou noeud N tel que C e [A[N], BEN]} ; et son frère : c'est-à-dire l'autre fils de son père ; i.e. si C = ALPerCC]], Fre[C] = BEPerEC]] ; et sinon FreEC] = AEPerEC]] . Nous donnerons donc le calcul des fonctions Per et Fre, avant celui de la partition rete- nue

ï. I Calcul de.* fonction* : Père et frère entier I1,I2,K

entier tableau A,BEI1+1:12] ;Per ,F,reE 1:12-1] ;

Commentaire : on part d'une hiérarchie donnée sous la forme usuelle par aîné et benjamin> le nombre des individus est ici noté II ; et on a posé : 12=2*11-1 ;

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pour K:=I1+1 pas 1 jusqu'à 12 fai^re début Per[ALK]]:=Per[B[K]]:=K ;

FreEAEK]]:=BEK];Fre[BEK]]:=AEK] fin

Commentaire : le calcul s'effectue en un seul parcours de la suite des noeuds.

( * ) Docteur d'université (**) Chercheur-Informaticien

Les cahiers de l'analyse des données - 0339-3097/85/03 339 10/$ 3.00/ <§> Gauthier-Villars

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340 Y.L. CHEUNG ., Ch. FEGHALI

7. 2 Indicatrice, dz la 6ouà-kizKaKchiz fictznuz : entier C,Cc,Ccc,Cf;

entier tableau NclE1:Ccc]fRetE1:12];

étiquette Etiq,Fin;

Commentaire : le tableau Ncl contient les numéros des classes qu'on désire retenir pour elles-mêmes ; le tableau Ret sera l'indicatrice de la sous-hiérarchie retenue avec RetEC]=l pour une classe termina- le ; RetEC]=2 pour un noeud ; et RetEC]= 0 pour les classes qui ne figurent pas dans la sous-hiérarchie.

pour C:=l pas 1 jusqu'à 12 faire RetEC]:=0;

pour C:=l pas 1 jusqu'à Ccc faire début Cc=NclEC];

si RetECc]>l aller à Fin sinon RetECc]:=l;

Etiq

si Cc=l2 aller à Fin;

Cf:=Fre[Cc];

si RetECf]>l aller à Fin ; Ret[Cf]:=l;

Cc:=PerECc]; RetECc]:=2 ; Aller à Etiq;

Commentaire : chaque élément Ce de la liste Ncl doit être marqué 1 dans Ret ; tous ses ancêtres (PerECc], PerEPerECc]],... jusqu'au som- met de l'arbre, numéroté 12) doivent être marqués 2 ; les fils de ces ancêtres (frères de classes déjà marquées) doivent être marqués 1 . Mais parfois au cours de ce processus, on rencontre un noeud déjà mar- qué : en ce cas on peut passer à l'élément suivant de la liste Ncl : c'est pourquoi l'instruction "aller à Fin" se rencontre dans l'al- gorithme .

2 Coiie-àpondance. zntfiz le. numérotage, de. la 6ou4-kZzA.ax.ch.ie. Ke.te.nue., zt celui dz la kizKatichiz d'oiiginz : Puisqu'on s'intéresse à une sous-hiérarchie, il est commode d'en numéroter les classes terminales et les noeuds suivant les conventions usuelles de la CAH, de telle sor- te qu'onn'ait point sans cesse à balayer le tableau Ret.

entier Ql,Q2,Qc,Qn,I;

Q1:=0;

pour I:=l pas 1 jusqu'à 12 faire si RetLl]=l alors Q1:=Q1+1;

Q2:=2*Q1-1

Commentaire : on dénombre les classes de la partition retenue (i.e.

les cl. terminales de la sous-hiérarchie) ; et on note Ql et Q2 pour la sous-hiérarchie, ce qu'on a noté II et 12 pour la hiérarchie d'origine .

entier tableau AntEl:Q2]

Commentaire : AntEQ] initiale d'antérieure, donnera le numéro de la cl. Q de la sous-hiérarchie, considérée comme une cl. de la hiérar- chie d'origine. Et dans le tableau Ret, où il n'est plus utile de con- server l'indicatrice de la sous-hiérarchie, on notera le numéro Retrc]

de la classe C de la hiérarchie, considérée comme classe de la sous- hierarchie ; RetEC] étant comme précédemment égal à 0 si C n'appar- tient pas à la sous-hiérarchie.

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LAIDE CAH INFSUP1 34l

Qc:=Q;Qn:=Ql ; étiquette Zzz ;

pour I:=l pas 1 jusqu'à 12 faire début si RetEU= 0 aller à Zzz;

si RetElî=l alors début

Qc:=Qc+l;RetLl]:=Qc;Ant[Qc]:=I fin;

si Ret[I =2 alors début

Qn:=Qn+l;RetEl]:=Qn;Ant[Qn]:= I fin;

Zzz;fin;

Commentaire : Qc, indice courant des classes terminales de la sous- hiérarchie varie de 0 à Ql ; et Qn,indice courant des noeuds de la s .- h., varie de Ql+1 à Q2.

Remarque : dans la pratique, pour réserver la place en irémoire, on peut supposer que Q2 ne dépasse pas 50 ; en tout cas on a Q2 <12.

3 Reckzncko dz6 maxima zt minima : On traitera seulement le cas des maxima ; celui des minima étant analogue.

3. 1 Rv?kç.A.che poun un not.ud dz la 6ouh-kizn.an.chiz du maximum d1 unz jonction dzjiniz pour Iz6 cla66Z6 dz la 6ou6-hizn.an.ckiz : On sait (cf. LINTERPRET CAHl § 3.3.2) que pour étiqueter la sous-hiêrarchie , on doit considérer comme fonctions les COR et les composantes du pro- fil. Sans entrer dans le détail on supposera ici qu'il s'agit d'une fonction Fonc définie sur les classes terminales de la sous-hiérar- chie ; et cette fonction sera étendue aux noeuds par calcul de maxi- mum.

pour Q:=Q1+1 pas 1 jusqu'à Q2 faire début Aa:=RetEAEAntEQ]]]; Bb:=RetEBEAntEQ]]T ; FoncEQ]:=sup(FoncLAa],FoncEBb]) ; fin ;

Commentaire : Aa et Bb sont les numéros, dans la sous-hiérarchie, des deux fils du neeuds Q : ces numéros sont calculés par les fonctions A et B de la hiérarchie d'origine.

3. 2 Rzckznckz 6un unz cla66z dz la 6ou6-kizn.anckiz, du maximum d* unz jonction dejiniz 6un lz6 individu6 ou zlzmznt6 terminaux dz la hiznanchiz d1oriainz : Ainsi qu'on l'a dit (cf. LINTERPRET CAH

§ 3.3.3) on recherche à la fois le maximum et l'individu réalisant ce maximum ; d'autre part il ne s'agit pas d'une seule fonction, mais d'un ensemble de fonctions indicé par l'ensemble des variables (numé- rotées de 1 à Jl). Afin de na pas encombrer la mémoire, on prendra ces fonctions 1'une après 1'autre ; on en cherchera le maximum sur toutes les classes de la hiérarchie ; mais on conservera seulement les valeurs afférentes aux classes de la sous-hiérarchie retenue :

réel tableau FoncE1 : Il,1 :Jl],MxE1:12],MaxEl:Q1,1 :Jl];

entier tableau IxE1:12] ,ImxEl:Ql,1 :Jl];

entier Aa,Bb,C;

Commentaire : Fonc est le tableau indicé par I et J des fonctions données sur l'ensemble des individus ; Mx et Ix sont des tableaux de travail où l'on rangera, pour la fonction n° J en cours de traitement et pour chaque classe C de la hiérarchie (d'origine) le maximum MxEC]

et l'individu Ix[C] réalisant ce maximum ; enfin Max et Imx contien- dront les résultats conservés relatifs aux classes de la sous-hiérar- chie.

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342 y-L' CHEVNG, Ch. FEGHALI

pour J:=l pas 1 jusqu'à Jl faire début pour I:=l pas 1 jusqu'à II faire début

MxEI]:=FoncEI,J];IxEl]:=I fin;

pour 1:=11+1 pas 1 jusqu'à 12 faire début Aa:=AEI];Bb:=BEl];

si MxEAa]>KxEBb] alors C=Aa sinon C=Bb;

MxEl]:=MxEC];IxEl]:=IxEC] fin pour Q:=l pas 1 jusqu'à Ql faire début

C^AntEl];

MaxEQ,J]:=MxEC];ImxEQ,J]:=IxEC];fin;fin.

Commentaire : dans la première boucle pour I, on tabule, trivialement, le maximum afférent aux classes réduites à un seul individu. Dans la deuxième boucle pour I, on détermine pour chaque noeud I un maximum par comparaison des résultats déjà obtenus pour son aîné Aa et son ben- jamin Bb. Dans la troisième boucle pour Q, on recopie les résultats utiles afférents aux classes de la sous-hiérarchie.

4 Exzmplz d* utili6ation du pnogn.ammz 1NSUP

Le lecteur trouvera dans LINTERPRET CAHl CAD Vol X n° 3) et dans [H0NG-K0NG1 (ibid) des exemples d'utilisation du programme INFSUP pour étiqueter une classification portant sur des données intéressantes.

On se borne à publier ici un exemple de sortie pour une classifica- tion sur un ensemble de 10 éléments, avec pour l'interprétation un tableau à 4 colonnes seulement. Nous donnons ci-dessous l'arbre de la CAH. On voit qu'en demandant de retenir une seule classe (la classe 14) on aboutit à une partition ayant 4 noeuds et 5 colonnes terminales.

Hl (B) * • - - » # - —

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H

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PHA9U) * 6412) *

(6)

LAIDE CAH INFSUP1 _{3 4 3}

Nos du FICHIER de travail :

Aides INFSUP a l'interprétation de l a CAH sur l e FICHIER ESSAI

MIV=KIN1HUN de l a variaele pour l'ensemble des individus de cette CLW5E MVsWixiHUN de l a variable peur l'erseable des individus de cette CLASSE I « I = S I S L E de l ' T O V I D B qui realise ce HINIWJ*

ihJ[=SlSL£ de l'INDIVIDU qci réalise ce «ôïitiL'M LISTE DES CLASSES K^teEES

Nu*erc de l a lerS CLASSE i w i & 1*

Les taux des variables et U s ccttributicns sont exprimes en a i l l i e * e s ADJI723 NUH12SIA) ADVC2683 AR7t**33

Tablsè'j pour U s CLASSES reterues

CLAS!AUï!8<U!CARD IHI HIV ADJ HXV IHX !IHI HIV MM ' MV IHX ! I H I HIV ADV HXV IHX MHI HIV ART HXV IHX 64

D6 13 14 15

!64

!D6 86 ÎPHA9 68

!H3 77

!Z9 78

105 185 185 84 86 D6 182 28 87 113

!64 324 324 324 84

!D6 361 361 361 06

«18 389 399 414 PHA9 !ZB

•TH8 268 388 348 H3 8fc 115 Hl !H1 236 298 323 27

!64 355 355 355 64 !64 216 216 216 84

!D6 256 256 256 D6 !D6 297 297 297 D6 217 237 265 PHA9 !PHA9 253 276 292 28

!H3 279 293 389 213 !213 274 325 365 TH8 '27 223 249 292 29 Î29 324 366 «88 H l

Tatleau pour U s NCEUDS retenus

«ÏV=HÏMîrtL'*1 de U v a r i a b l e pour U s DESCENDANTS retenus de ce NOEUD KXVsKAXIflJH de l a v a r i a b l e pour l e s DESCENDANTS retenus de ce NOEUD NIC=liIKiftifl du COSINUS CARRE pour l e s DESCENDANTS retenus de ce NOEUD M C ^ A U ^ ' i su CGSÏN1ÎS CARRE pour l e s DESCENDANTS retenus de « NOEUD

'.9 1S

LM-5 - i c Jîîv PDJ MV tf>C ;HIC HiV N'JH HW SXC *WIC HIV fiBV SïV «XC !HIC «IV m nxv «xc

l2 '2

82

92 ÏB5 125 '? 298 326 3W 687 !11 E5 88 \2l ' « 1*8 2£l : « h& !îl P' EB 125 ' « 298 31? 39? 627 111 8: P3 125 '94 298 29«» 3?8 ? ï l ' i l

237 sa? 355 497 .3²Ï 6 295 364 6?"

2T7 265 293 *97 »3 276 323 364 693 237 267 293 3*5 '45 2?6 329 366 633 249 275 293 214 l514 325 342 ^66 é6"

5 Li6tagz du pnognammz INfSUP zn langagz BASIC

Le programme p u b l i é i c i e s t d i r e c t e m e n t u t i l i s a b l e sur l ' o r d i n a - teur HP. I l pourra aisément ê t r e adapté à d ' a u t r e s m i c r o o r d i n a t e u r s . Le l i s t a g e a é t é d i s p o s é de manière à ne jamais couper d ' i n s t r u c t i o n composée e t de r e s p e c t e r dans l a mesure du p o s s i b l e l ' i n t é g r i t é des p a r t i e s du programme ayant un t i t r e p r o p r e .

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3 4 4 Y.L. CHEUNGy Ch. FEGHALI

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LAIDE CAH INFSUPl 345

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346 Y.L. CNEVNG, Ch. FEGHALI

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1738 1748 1758 1768 1778 1788 1798 isee 1818 18'8 1338 13*3 1S5?

IScS 1878 1833 1898 1988 1918 1928 193B 1948 1958 1968 1978 1988 1998 2888 2818 2828 2838 2849 2859' 2868 2878 2831 2 2 « 2188 2118 2128 2138 2148 2158 2168 2178 2181 2198

» » LECTURE Ml TABLEAU ***

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ASS16N 8C3 TD U$

FOR I=î TQ II CONTROL €Br,*;8 CONTROL «C3,5;l,l

TRANSFER 8C3 TQ 6Br;REC0RDS l.EOR (COUNT Lgtpnî.CQNT ! <

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ELSE K I U . J ^ R U ) END IF

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FOR J=l TO Jl 2250 ALLOCATE INTEGER HxfQ2vJHlHn(D2.Jl) P(I)=Ptn+MtI,J) 2268 ALLOCATE REAL Asn(92,Jll,AixlQ2lJlî

P J ( J Î = P J ( J Ï H . U 1(J Ï 2278 FOR C=! TO II

N^-T J 228B Pai(C*=t

St=S:*PiIf 2298 NEXT C

^ H 1 23?8 FOS C=ÏÎM TO 12

F5S î=1 ™ 12 2313 PcilCl=?5i!A(C-II))*P:uBlC-llM ÏF 1-=11 M ' J 2322 NEXT C

IF P'iiss T-E'i 2332 '

P'j" ï-\ TQ Jl 23*8 SMl,,1.=8 2 3 ¾

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FOR J=l TO Jl 23BB KMI,J>=KIU,J)/PU> 2398

NEIT J 2488 P(I>=PU)/St 2418 END IF 2428 ELSE 2438

L1=AU-I1) 2441 L2=BU-I11

PU)=PU.»+PIL2!

FOR J=i TO Jl

Kk(I,J)=(P(L!)ti:kai13)+Pa2)tKktL2lJ)ï/P(I)

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FOR J=l TO Jl

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IF (J HOD 12)=8 THEN PRINT NEXT J

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Pj(J)=Pj(J)/St IF Pj(J)=B THEN

Nt(0)=8 ELSE

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END IF Nt.t=Nt.t+Nt(JÎ NEXT J

(10)

IATDE CAH INFSUP1 3 4 7

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Programme d'aide à l'étiquetage de l'arbre en classification ascendante hiérarchique

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