4.3 ESTIMATION D’UNE PROPORTION

cours 24

4.3 ESTIMATION D’UNE

PROPORTION

µ 2

"

¯

x t ^↵

2

r s²

n , x¯ + t ^↵

2

r s² n

# µ 2

"

¯

x z ^↵

2

r s²

n , x¯ + z ^↵

2

r s² n

# µ 2

"

¯

x z ^↵₂

r 2

n , x¯ + z ^↵₂

r 2

n

# Avec remise

X ⇠ N(µ, ²) n 30 connue oui

non

non oui

oui

oui non

oui

non oui

oui non

non

µ 2

"

¯

x z ^↵₂

s s² n

✓ N n N 1

◆

, x¯ + z ^↵₂

s s² n

✓ N n N 1

◆#

µ 2

"

¯

x t ^↵

2

s s² n

✓ N n N 1

◆

, x¯ + t ^↵

2

s s² n

✓ N n N 1

◆#

µ 2

"

¯

x z ^↵₂

s 2

n

✓ N n N 1

◆

, x¯ + z ^↵₂

s 2

n

✓ N n N 1

◆#

sans remise

Aujourd’hui, nous allons voir

Aujourd’hui, nous allons voir

✓

Aujourd’hui, nous allons voir

✓

✓

Aujourd’hui, nous allons voir

✓

✓

✓

Aujourd’hui, nous allons voir

✓

✓

✓

✓

Pour calculer une moyenne d’une variable statistique, il était sous-entendu qu’elle était quantitative.

Pour calculer une moyenne d’une variable statistique, il était sous-entendu qu’elle était quantitative.

On peut difficilement faire une moyenne d’une variable statistique qualitative.

Pour calculer une moyenne d’une variable statistique, il était sous-entendu qu’elle était quantitative.

On peut difficilement faire une moyenne d’une variable statistique qualitative.

On peut dans le cas d’une variable statistique ordinale attribuer un nombre à chacune des modalités et ensuite faire une moyenne.

Pour calculer une moyenne d’une variable statistique, il était sous-entendu qu’elle était quantitative.

On peut difficilement faire une moyenne d’une variable statistique qualitative.

On peut dans le cas d’une variable statistique ordinale attribuer un nombre à chacune des modalités et ensuite faire une moyenne.

Regardons que faire avec des variables statistiques qualitatives nominales.

Si X est une variable statistique qualitative nominale ayant comme modalité

Si X est une variable statistique qualitative nominale ayant comme modalité

{truc, much, machin chouette}

Si X est une variable statistique qualitative nominale ayant comme modalité

{truc, much, machin chouette}

On peut considérer la proportion de chacune de ces modalités dans la population.

Si X est une variable statistique qualitative nominale ayant comme modalité

{truc, much, machin chouette}

On peut considérer la proportion de chacune de ces modalités dans la population.

⇡_truc = nombre d’individus ayant truc population totale

Si X est une variable statistique qualitative nominale ayant comme modalité

{truc, much, machin chouette}

On peut considérer la proportion de chacune de ces modalités dans la population.

⇡_truc = nombre d’individus ayant truc population totale

p_truc = nombre d’individus ayant truc dans l’´echantillon taille de l’´echantillon

Considérons une population de taille .N

Considérons une population de taille .N

Une proportion de cette population, possède une certaine caractéristique

⇡

Considérons une population de taille .N

Une proportion de cette population, possède une certaine caractéristique

⇡

Si on pige au hasard avec remise individus, la variable aléatoire n

Considérons une population de taille .N

Une proportion de cette population, possède une certaine caractéristique

⇡

Si on pige au hasard avec remise individus, la variable aléatoire n X : le nombre d’individus ayant la caractéristique

Considérons une population de taille .N

Une proportion de cette population, possède une certaine caractéristique

⇡

Si on pige au hasard avec remise individus, la variable aléatoire n X : le nombre d’individus ayant la caractéristique

Alors

Considérons une population de taille .N

Une proportion de cette population, possède une certaine caractéristique

⇡

Si on pige au hasard avec remise individus, la variable aléatoire n X : le nombre d’individus ayant la caractéristique

Alors

X ⇠ B(n, ⇡)

Considérons une population de taille .N

Une proportion de cette population, possède une certaine caractéristique

⇡

Si on pige au hasard avec remise individus, la variable aléatoire n X : le nombre d’individus ayant la caractéristique

Alors

X ⇠ B(n, ⇡) E(X) = n⇡

Considérons une population de taille .N

Une proportion de cette population, possède une certaine caractéristique

⇡

Si on pige au hasard avec remise individus, la variable aléatoire n X : le nombre d’individus ayant la caractéristique

Alors

X ⇠ B(n, ⇡)

E(X) = n⇡ Var(X) = n⇡(1 ⇡)

X ⇠ B(n, ⇡)

E(X) = n⇡ Var(X) = n⇡(1 ⇡)

X ⇠ B(n, ⇡)

E(X) = n⇡ Var(X) = n⇡(1 ⇡)

si ^{n 30}

X ⇠ B(n, ⇡)

E(X) = n⇡ Var(X) = n⇡(1 ⇡)

si ^{n 30 n⇡ 5}

X ⇠ B(n, ⇡)

E(X) = n⇡ Var(X) = n⇡(1 ⇡)

si ^{n 30 n⇡ 5 n(1 ⇡) 5}

X ⇠ B(n, ⇡)

E(X) = n⇡ Var(X) = n⇡(1 ⇡)

si ^{n 30 n⇡ 5 n(1 ⇡) 5}

alors on peut faire l’approximation

X ⇠ B(n, ⇡)

E(X) = n⇡ Var(X) = n⇡(1 ⇡)

si ^{n 30 n⇡ 5 n(1 ⇡) 5}

alors on peut faire l’approximation

<latexit sha1_base64="Wl3CXvIWWoDUfsG1KbdyZFvdb18=">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</latexit>

X ⇠ N (n⇡, p

n⇡(1 ⇡))

X ⇠ B(n, ⇡)

E(X) = n⇡ Var(X) = n⇡(1 ⇡)

si ^{n 30 n⇡ 5 n(1 ⇡) 5}

alors on peut faire l’approximation et donc

<latexit sha1_base64="Wl3CXvIWWoDUfsG1KbdyZFvdb18=">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</latexit>

X ⇠ N (n⇡, p

n⇡(1 ⇡))

X ⇠ B(n, ⇡)

E(X) = n⇡ Var(X) = n⇡(1 ⇡)

si ^{n 30 n⇡ 5 n(1 ⇡) 5}

alors on peut faire l’approximation X n⇡

pn⇡(1 ⇡) ⇠ N (0, 1) et donc

<latexit sha1_base64="Wl3CXvIWWoDUfsG1KbdyZFvdb18=">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</latexit>

X ⇠ N (n⇡, p

n⇡(1 ⇡))

X ⇠ B(n, ⇡)

E(X) = n⇡ Var(X) = n⇡(1 ⇡)

si ^{n 30 n⇡ 5 n(1 ⇡) 5}

alors on peut faire l’approximation X n⇡

pn⇡(1 ⇡) ⇠ N (0, 1) et donc

Considérons maintenant la variable aléatoire

<latexit sha1_base64="Wl3CXvIWWoDUfsG1KbdyZFvdb18=">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</latexit>

X ⇠ N (n⇡, p

n⇡(1 ⇡))

X ⇠ B(n, ⇡)

E(X) = n⇡ Var(X) = n⇡(1 ⇡)

si ^{n 30 n⇡ 5 n(1 ⇡) 5}

alors on peut faire l’approximation X n⇡

pn⇡(1 ⇡) ⇠ N (0, 1) et donc

Considérons maintenant la variable aléatoire

P¯ : la proportion du nombre de succès de notre échantillon

<latexit sha1_base64="Wl3CXvIWWoDUfsG1KbdyZFvdb18=">AAADGXicjVJNaxRBEH2ZRBPj16pHL0MWYQO6zAQxHoNePEkEN1nIhjAz6cQm82V3T2BZcvc/+B9y1as38erJf6A3f4Kvy05Qg2gP0/P6Vb2aqurK21JblyRf5qL5hUuXF5euLF+9dv3Gzd6t21u26UyhRkVTNmacZ1aVulYjp12pxq1RWZWXajs/eurt28fKWN3UL920VbtVdljrA11kjtRebyUexxOrq/j5oJ60+v7EvjZu5uEgfcB99WR1r9dPhoms+CJIA+gjrM2m9x0T7KNBgQ4VFGo44hIZLJ8dpEjQktvFjJwh0mJXOMEytR29FD0yskfcD3naCWzNs49pRV3wLyVfQ2WMe9Q09DPE/m+x2DuJ7Nm/xZ5JTJ/blN88xKrIOrwi+y/dmef/6nwtDgd4LDVo1tQK46srQpROuuIzj3+pyjFCS87jfdoNcSHKsz7HorFSu+9tJvav4ulZfy6Cb4dvIUuFY4k6Pc9+JneoaW+ll1Mix11uiSOR/jkAF8HW2jB9NExfPOxvPAnDsYS7WMGAE7CODTzDJkbM5g1O8Q7vo7fRh+hj9OmnazQXNHfw24o+/wBXS6e1</latexit>

X ⇠ N (n⇡, p

n⇡(1 ⇡))

X n⇡

pn⇡(1 ⇡) ⇠ N (0, 1) P¯ : la proportion du nombre de succès de notre échantillon

<latexit sha1_base64="Wl3CXvIWWoDUfsG1KbdyZFvdb18=">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</latexit>

X ⇠ N (n⇡, p

n⇡(1 ⇡))

X n⇡

pn⇡(1 ⇡) ⇠ N (0, 1) P¯ : la proportion du nombre de succès de notre échantillon

P¯ = X n

<latexit sha1_base64="Wl3CXvIWWoDUfsG1KbdyZFvdb18=">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</latexit>

X ⇠ N (n⇡, p

n⇡(1 ⇡))

X n⇡

pn⇡(1 ⇡) ⇠ N (0, 1) P¯ : la proportion du nombre de succès de notre échantillon

P¯ = X n E( ¯P )

<latexit sha1_base64="Wl3CXvIWWoDUfsG1KbdyZFvdb18=">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</latexit>

X ⇠ N (n⇡, p

n⇡(1 ⇡))

X n⇡

pn⇡(1 ⇡) ⇠ N (0, 1) P¯ : la proportion du nombre de succès de notre échantillon

P¯ = X n E( ¯P ) = E

✓ X n

◆

<latexit sha1_base64="Wl3CXvIWWoDUfsG1KbdyZFvdb18=">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</latexit>

X ⇠ N (n⇡, p

n⇡(1 ⇡))

X n⇡

pn⇡(1 ⇡) ⇠ N (0, 1) P¯ : la proportion du nombre de succès de notre échantillon

P¯ = X n E( ¯P ) = E

✓ X n

◆

= 1

n E (X)

<latexit sha1_base64="Wl3CXvIWWoDUfsG1KbdyZFvdb18=">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</latexit>

X ⇠ N (n⇡, p

n⇡(1 ⇡))

X n⇡

pn⇡(1 ⇡) ⇠ N (0, 1) P¯ : la proportion du nombre de succès de notre échantillon

P¯ = X n E( ¯P ) = E

✓ X n

◆

= 1

n E (X) = 1

n n⇡

<latexit sha1_base64="Wl3CXvIWWoDUfsG1KbdyZFvdb18=">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</latexit>

X ⇠ N (n⇡, p

n⇡(1 ⇡))

X n⇡

pn⇡(1 ⇡) ⇠ N (0, 1) P¯ : la proportion du nombre de succès de notre échantillon

P¯ = X n E( ¯P ) = E

✓ X n

◆

= 1

n E (X) = 1

n n⇡ = ⇡

<latexit sha1_base64="Wl3CXvIWWoDUfsG1KbdyZFvdb18=">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</latexit>

X ⇠ N (n⇡, p

n⇡(1 ⇡))

X n⇡

pn⇡(1 ⇡) ⇠ N (0, 1) P¯ : la proportion du nombre de succès de notre échantillon

P¯ = X n E( ¯P ) = E

✓ X n

◆

= 1

n E (X) = 1

n n⇡ = ⇡ Var ¯P

<latexit sha1_base64="Wl3CXvIWWoDUfsG1KbdyZFvdb18=">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</latexit>

X ⇠ N (n⇡, p

n⇡(1 ⇡))

X n⇡

pn⇡(1 ⇡) ⇠ N (0, 1) P¯ : la proportion du nombre de succès de notre échantillon

P¯ = X n E( ¯P ) = E

✓ X n

◆

= 1

n E (X) = 1

n n⇡ = ⇡ Var ¯P = Var

✓ X n

◆

<latexit sha1_base64="Wl3CXvIWWoDUfsG1KbdyZFvdb18=">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</latexit>

X ⇠ N (n⇡, p

n⇡(1 ⇡))

X n⇡

pn⇡(1 ⇡) ⇠ N (0, 1) P¯ : la proportion du nombre de succès de notre échantillon

P¯ = X n E( ¯P ) = E

✓ X n

◆

= 1

n E (X) = 1

n n⇡ = ⇡ Var ¯P = Var

✓ X n

◆

= 1

n² Var (X)

<latexit sha1_base64="Wl3CXvIWWoDUfsG1KbdyZFvdb18=">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</latexit>

X ⇠ N (n⇡, p

n⇡(1 ⇡))

X n⇡

pn⇡(1 ⇡) ⇠ N (0, 1) P¯ : la proportion du nombre de succès de notre échantillon

P¯ = X n E( ¯P ) = E

✓ X n

◆

= 1

n E (X) = 1

n n⇡ = ⇡ Var ¯P = Var

✓ X n

◆

= 1

n² Var (X) = 1

n² n⇡(1 ⇡)

<latexit sha1_base64="Wl3CXvIWWoDUfsG1KbdyZFvdb18=">AAADGXicjVJNaxRBEH2ZRBPj16pHL0MWYQO6zAQxHoNePEkEN1nIhjAz6cQm82V3T2BZcvc/+B9y1as38erJf6A3f4Kvy05Qg2gP0/P6Vb2aqurK21JblyRf5qL5hUuXF5euLF+9dv3Gzd6t21u26UyhRkVTNmacZ1aVulYjp12pxq1RWZWXajs/eurt28fKWN3UL920VbtVdljrA11kjtRebyUexxOrq/j5oJ60+v7EvjZu5uEgfcB99WR1r9dPhoms+CJIA+gjrM2m9x0T7KNBgQ4VFGo44hIZLJ8dpEjQktvFjJwh0mJXOMEytR29FD0yskfcD3naCWzNs49pRV3wLyVfQ2WMe9Q09DPE/m+x2DuJ7Nm/xZ5JTJ/blN88xKrIOrwi+y/dmef/6nwtDgd4LDVo1tQK46srQpROuuIzj3+pyjFCS87jfdoNcSHKsz7HorFSu+9tJvav4ulZfy6Cb4dvIUuFY4k6Pc9+JneoaW+ll1Mix11uiSOR/jkAF8HW2jB9NExfPOxvPAnDsYS7WMGAE7CODTzDJkbM5g1O8Q7vo7fRh+hj9OmnazQXNHfw24o+/wBXS6e1</latexit>

X ⇠ N (n⇡, p

n⇡(1 ⇡))

X n⇡

pn⇡(1 ⇡) ⇠ N (0, 1) P¯ : la proportion du nombre de succès de notre échantillon

P¯ = X n E( ¯P ) = E

✓ X n

◆

= 1

n E (X) = 1

n n⇡ = ⇡ Var ¯P = Var

✓ X n

◆

= 1

n² Var (X) = 1

n² n⇡(1 ⇡) = ⇡(1 ⇡) n

<latexit sha1_base64="Wl3CXvIWWoDUfsG1KbdyZFvdb18=">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</latexit>

X ⇠ N (n⇡, p

n⇡(1 ⇡))

X n⇡

pn⇡(1 ⇡) ⇠ N (0, 1) P¯ : la proportion du nombre de succès de notre échantillon

P¯ = X n E( ¯P ) = E

✓ X n

◆

= 1

n E (X) = 1

n n⇡ = ⇡ Var ¯P = Var

✓ X n

◆

= 1

n² Var (X) = 1

n² n⇡(1 ⇡) = ⇡(1 ⇡) n

P¯ ⇡ q ⇡(1 ⇡)

n

⇠ N (0, 1)

<latexit sha1_base64="Wl3CXvIWWoDUfsG1KbdyZFvdb18=">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</latexit>

X ⇠ N (n⇡, p

n⇡(1 ⇡))

P¯ ⇡ q ⇡(1 ⇡)

n

⇠ N (0, 1)

P¯ ⇡ q ⇡(1 ⇡)

n

⇠ N (0, 1)

et si l’échantillon est fait sans remise, la variance est multipliée par le facteur

P¯ ⇡ q ⇡(1 ⇡)

n

⇠ N (0, 1)

et si l’échantillon est fait sans remise, la variance est multipliée par le facteur

N n N 1

P¯ ⇡ q ⇡(1 ⇡)

n

⇠ N (0, 1)

et si l’échantillon est fait sans remise, la variance est multipliée par le facteur

N n N 1 P¯ ⇡

P¯ ⇠ N (0, 1)

P¯ ⇡ q ⇡(1 ⇡)

n

⇠ N (0, 1)

et si l’échantillon est fait sans remise, la variance est multipliée par le facteur

N n N 1 P¯ ⇡

P¯ ⇠ N (0, 1)

P¯ =

r ⇡(1 ⇡) n

avec remise

P¯ ⇡ q ⇡(1 ⇡)

n

⇠ N (0, 1)

et si l’échantillon est fait sans remise, la variance est multipliée par le facteur

N n N 1 P¯ ⇡

P¯ ⇠ N (0, 1)

P¯ =

s ⇡(1 ⇡) n

✓ N n N 1

◆ sans remise

P¯ =

r ⇡(1 ⇡) n

avec remise

Remarque

Puisque nous faisons une approximation d’une loi binomiale avec une loi normale, il ne faut pas oublier de faire la

correction de continuité.

Faites les exercices suivants

#4.6, 4.7, 4.8, 4.9

Puisque _{E( ¯P )} = ⇡

On peut donc conclure que est un estimateur sans biais deP¯ ⇡ Puisque _{E( ¯P )} = ⇡

On peut donc conclure que est un estimateur sans biais deP¯ ⇡ Puisque _{E( ¯P )} = ⇡

P¯ ⇡ q ⇡(1 ⇡)

n

⇠ N (0, 1)

On peut donc conclure que est un estimateur sans biais deP¯ ⇡ Puisque _{E( ¯P )} = ⇡

P¯ ⇡ q ⇡(1 ⇡)

n

⇠ N (0, 1) Z =

On peut donc conclure que est un estimateur sans biais deP¯ ⇡ Puisque _{E( ¯P )} = ⇡

P¯ ⇡ q ⇡(1 ⇡)

n

⇠ N (0, 1) Z =

1 ↵ = P ( z ^↵₂  Z  z ^↵₂ )

On peut donc conclure que est un estimateur sans biais deP¯ ⇡ Puisque _{E( ¯P )} = ⇡

P¯ ⇡ q ⇡(1 ⇡)

n

⇠ N (0, 1) Z =

1 ↵ = P ( z ^↵₂  Z  z ^↵₂ )

= P

0

@ z ^↵

2  P¯ ⇡

q ⇡(1 ⇡) n

 z ^↵

2

1 A

On peut donc conclure que est un estimateur sans biais deP¯ ⇡ Puisque _{E( ¯P )} = ⇡

P¯ ⇡ q ⇡(1 ⇡)

n

⇠ N (0, 1) Z =

1 ↵ = P ( z ^↵₂  Z  z ^↵₂ )

= P

0

@ z ^↵

2  P¯ ⇡

q ⇡(1 ⇡) n

 z ^↵

2

1 A

= P z ^↵₂

r ⇡(1 ⇡)

n  P¯ ⇡  z ^↵₂

r ⇡(1 ⇡) n

!

On peut donc conclure que est un estimateur sans biais deP¯ ⇡ Puisque _{E( ¯P )} = ⇡

P¯ ⇡ q ⇡(1 ⇡)

n

⇠ N (0, 1) Z =

1 ↵ = P ( z ^↵₂  Z  z ^↵₂ )

= P

0

@ z ^↵

2  P¯ ⇡

q ⇡(1 ⇡) n

 z ^↵

2

1 A

= P z ^↵₂

r ⇡(1 ⇡)

n  P¯ ⇡  z ^↵₂

r ⇡(1 ⇡) n

!

1 ↵ = P ( z ^↵₂  Z  z ^↵₂ )

= P z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡)

n  P¯ ⇡  z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡) n

!

1 ↵ = P ( z ^↵₂  Z  z ^↵₂ )

= P z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡)

n  P¯ ⇡  z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡) n

!

= P ⇡ z ^↵₂

r ⇡(1 ⇡)

n  P¯  ⇡ + z ^↵₂

r ⇡(1 ⇡) n

!

1 ↵ = P ( z ^↵₂  Z  z ^↵₂ )

= P z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡)

n  P¯ ⇡  z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡) n

!

= P ⇡ z ^↵₂

r ⇡(1 ⇡)

n  P¯  ⇡ + z ^↵₂

r ⇡(1 ⇡) n

!

1 ↵ = P ( z ^↵₂  Z  z ^↵₂ )

= P z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡)

n  P¯ ⇡  z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡) n

!

= P ⇡ z ^↵₂

r ⇡(1 ⇡)

n  P¯  ⇡ + z ^↵₂

r ⇡(1 ⇡) n

!

⇡ 2

"

¯

p z ^↵₂

r ⇡(1 ⇡)

n , p¯ + z ^↵₂

r ⇡(1 ⇡) n

#

1 ↵ = P ( z ^↵₂  Z  z ^↵₂ )

= P z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡)

n  P¯ ⇡  z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡) n

!

= P ⇡ z ^↵₂

r ⇡(1 ⇡)

n  P¯  ⇡ + z ^↵₂

r ⇡(1 ⇡) n

!

Mais là on a un petit problème, car on cherche à estimer _⇡

⇡ 2

"

¯

p z ^↵₂

r ⇡(1 ⇡)

n , p¯ + z ^↵₂

r ⇡(1 ⇡) n

#

1 ↵ = P ( z ^↵₂  Z  z ^↵₂ )

= P z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡)

n  P¯ ⇡  z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡) n

!

= P ⇡ z ^↵₂

r ⇡(1 ⇡)

n  P¯  ⇡ + z ^↵₂

r ⇡(1 ⇡) n

!

Mais là on a un petit problème, car on cherche à estimer _⇡ mais on en a de besoin

⇡ 2

"

¯

p z ^↵₂

r ⇡(1 ⇡)

n , p¯ + z ^↵₂

r ⇡(1 ⇡) n

#

⇡ 2

"

¯

p z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡)

n , p¯ + z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡) n

#

on n’a donc pas le choix d’estimer l’écart type aussi

⇡ 2

"

¯

p z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡)

n , p¯ + z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡) n

#

on n’a donc pas le choix d’estimer l’écart type aussi

P¯ =

r ⇡(1 ⇡) n

⇡ 2

"

¯

p z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡)

n , p¯ + z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡) n

#

on n’a donc pas le choix d’estimer l’écart type aussi

P¯ =

r ⇡(1 ⇡)

n sP¯ =

r p(1¯ p)¯ n 1

⇡ 2

"

¯

p z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡)

n , p¯ + z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡) n

#

on n’a donc pas le choix d’estimer l’écart type aussi

P¯ =

r ⇡(1 ⇡) n

P¯ =

s ⇡(1 ⇡) n

✓ N n N 1

◆

sP¯ =

r p(1¯ p)¯ n 1

⇡ 2

"

¯

p z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡)

n , p¯ + z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡) n

#

on n’a donc pas le choix d’estimer l’écart type aussi

P¯ =

r ⇡(1 ⇡) n

P¯ =

s ⇡(1 ⇡) n

✓ N n N 1

◆

sP¯ =

s p(1¯ p)¯ n 1

✓ N n N 1

◆ sP¯ =

r p(1¯ p)¯ n 1

⇡ 2

"

¯

p z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡)

n , p¯ + z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡) n

#

sP¯ =

s p(1¯ p)¯ n 1

✓ N n N 1

◆ sP¯ =

r p(1¯ p)¯ n 1

⇡ 2

"

¯

p z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡)

n , p¯ + z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡) n

#

sP¯ =

s p(1¯ p)¯ n 1

✓ N n N 1

◆ sP¯ =

r p(1¯ p)¯ n 1

⇡ 2

"

¯

p z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡)

n , p¯ + z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡) n

#

on va donc plutôt utiliser

sP¯ =

s p(1¯ p)¯ n 1

✓ N n N 1

◆ sP¯ =

r p(1¯ p)¯ n 1

⇡ 2

"

¯

p z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡)

n , p¯ + z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡) n

#

on va donc plutôt utiliser

⇡ 2 ⇥

¯

p z ^↵₂ sP¯ , p¯ + z ^↵₂ sP¯

⇤

sP¯ =

s p(1¯ p)¯ n 1

✓ N n N 1

◆ sP¯ =

r p(1¯ p)¯ n 1

⇡ 2

"

¯

p z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡)

n , p¯ + z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡) n

#

on va donc plutôt utiliser

⇡ 2 ⇥

¯

p z ^↵₂ sP¯ , p¯ + z ^↵₂ sP¯

⇤

Avec remise

sP¯ =

s p(1¯ p)¯ n 1

✓ N n N 1

◆ sP¯ =

r p(1¯ p)¯ n 1

⇡ 2

"

¯

p z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡)

n , p¯ + z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡) n

#

on va donc plutôt utiliser

⇡ 2 ⇥

¯

p z ^↵₂ sP¯ , p¯ + z ^↵₂ sP¯

⇤

Sans remise Avec remise

sP¯ =

s p(1¯ p)¯ n 1

✓ N n N 1

◆ sP¯ =

r p(1¯ p)¯ n 1

⇡ 2

"

¯

p z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡)

n , p¯ + z ^↵

2

r ⇡(1 ⇡) n

#

on va donc plutôt utiliser

⇡ 2 ⇥

¯

p z ^↵₂ sP¯ , p¯ + z ^↵₂ sP¯

⇤

Faites les exercices suivants

#4.20 à 4,23

Lorsqu’on estime une moyenne ou une proportion, quelle est la taille d’échantillon avons-nous de besoin.

Lorsqu’on estime une moyenne ou une proportion, quelle est la taille d’échantillon avons-nous de besoin.

Naturellement, si possible, il faut au moins qu’on ait un échantillon de taille 30.

Lorsqu’on estime une moyenne ou une proportion, quelle est la taille d’échantillon avons-nous de besoin.

Naturellement, si possible, il faut au moins qu’on ait un échantillon de taille 30.

Mais jusqu’où faut-il aller?

Lorsqu’on estime une moyenne ou une proportion, quelle est la taille d’échantillon avons-nous de besoin.

Naturellement, si possible, il faut au moins qu’on ait un échantillon de taille 30.

Mais jusqu’où faut-il aller?

50?

Lorsqu’on estime une moyenne ou une proportion, quelle est la taille d’échantillon avons-nous de besoin.

Naturellement, si possible, il faut au moins qu’on ait un échantillon de taille 30.

Mais jusqu’où faut-il aller?

100?

50?

Lorsqu’on estime une moyenne ou une proportion, quelle est la taille d’échantillon avons-nous de besoin.

Naturellement, si possible, il faut au moins qu’on ait un échantillon de taille 30.

Mais jusqu’où faut-il aller?

100?

50? 250?

Lorsqu’on estime une moyenne ou une proportion, quelle est la taille d’échantillon avons-nous de besoin.

Naturellement, si possible, il faut au moins qu’on ait un échantillon de taille 30.

Mais jusqu’où faut-il aller?

100?

50? 250? 1000?

Lorsqu’on estime une moyenne ou une proportion, quelle est la taille d’échantillon avons-nous de besoin.

Naturellement, si possible, il faut au moins qu’on ait un échantillon de taille 30.

Mais jusqu’où faut-il aller?

100?

50? 250? 1000?

Et bien ça dépend de la marge d’erreur et du niveau de confiance avec lequel on est à l’aise.

Pour une moyenne la marge d’erreur est

Pour une moyenne la marge d’erreur est

c ^↵₂

r b² n

Pour une moyenne la marge d’erreur est

c ^↵₂

r b² EEM = n

Pour une moyenne la marge d’erreur est

c ^↵₂

r b² n

c = z, t b = , s

en fonction du contexte.

EEM = avec

Pour une moyenne la marge d’erreur est

c ^↵₂

r b² n

c = z, t b = , s

en fonction du contexte.

EEM = avec

EEM ² = c^2↵

2

b² n

Pour une moyenne la marge d’erreur est

c ^↵₂

r b² n

c = z, t b = , s

en fonction du contexte.

EEM = avec

EEM ² = c^2↵

2

b²

n n =

✓ c ^↵₂ b EEM

◆²

Pour une moyenne la marge d’erreur est

c ^↵₂

r b² n

c = z, t b = , s

en fonction du contexte.

EEM = avec

EEM ² = c^2↵

2

b²

n n =

✓ c ^↵₂ b EEM

◆²

Si on connait , il n’y a pas de problème

Pour une moyenne la marge d’erreur est

c ^↵₂

r b² n

c = z, t b = , s

en fonction du contexte.

EEM = avec

EEM ² = c^2↵

2

b²

n n =

✓ c ^↵₂ b EEM

◆²

Si on connait , il n’y a pas de problème

Mais si on n’a pas la taille de l’échantillon comment on trouve ?^s

Pour une moyenne la marge d’erreur est

c ^↵₂

r b² n

c = z, t b = , s

en fonction du contexte.

EEM = avec

EEM ² = c^2↵

2

b²

n n =

✓ c ^↵₂ b EEM

◆²

Si on connait , il n’y a pas de problème

Mais si on n’a pas la taille de l’échantillon comment on trouve ?^s Dans la pratique, on commence par prendre un échantillon de taille

30, on calcul le avec cet échantillon pour ensuite déterminer la bonne taille de l’échantillon à prendre. ^s

Pour une proportion la marge d’erreur est

Pour une proportion la marge d’erreur est EEM = z ^↵₂

r p(1¯ p)¯ n 1

Pour une proportion la marge d’erreur est EEM = z ^↵₂

r p(1¯ p)¯

n 1 EEM ² = z^2↵

2

¯

p(1 p)¯ n 1

Pour une proportion la marge d’erreur est EEM = z ^↵₂

r p(1¯ p)¯

n 1 EEM ² = z^2↵

2

¯

p(1 p)¯ n 1

n 1 = z^2↵

2

¯

p(1 p)¯ EEM ²

Pour une proportion la marge d’erreur est EEM = z ^↵₂

r p(1¯ p)¯

n 1 EEM ² = z^2↵

2

¯

p(1 p)¯ n 1

n 1 = z^2↵

2

¯

p(1 p)¯ EEM ²

Pour une proportion la marge d’erreur est EEM = z ^↵₂

r p(1¯ p)¯

n 1 EEM ² = z^2↵

2

¯

p(1 p)¯ n 1

n 1 = z^2↵

2

¯

p(1 p)¯ EEM ²

Pour une proportion la marge d’erreur est EEM = z ^↵₂

r p(1¯ p)¯

n 1 EEM ² = z^2↵

2

¯

p(1 p)¯ n 1

n 1 = z^2↵

2

¯

p(1 p)¯

EEM ² n = z^2↵

2 p(1¯ p)¯

EEM ² + 1

Pour une proportion la marge d’erreur est EEM = z ^↵₂

r p(1¯ p)¯

n 1 EEM ² = z^2↵

2

¯

p(1 p)¯ n 1

n 1 = z^2↵

2

¯

p(1 p)¯

EEM ² n = z^2↵

2 p(1¯ p)¯

EEM ² + 1

Encore une fois, on a le problème qu’on ne connait pas .^p¯

Pour une proportion la marge d’erreur est EEM = z ^↵₂

r p(1¯ p)¯

n 1 EEM ² = z^2↵

2

¯

p(1 p)¯ n 1

n 1 = z^2↵

2

¯

p(1 p)¯

EEM ² n = z^2↵

2 p(1¯ p)¯

EEM ² + 1

Encore une fois, on a le problème qu’on ne connait pas .^p¯ On peut soit commencer avec un échantillon de 30.

Pour une proportion la marge d’erreur est EEM = z ^↵₂

r p(1¯ p)¯

n 1 EEM ² = z^2↵

2

¯

p(1 p)¯ n 1

n 1 = z^2↵

2

¯

p(1 p)¯

EEM ² n = z^2↵

2 p(1¯ p)¯

EEM ² + 1

Encore une fois, on a le problème qu’on ne connait pas .^p¯ On peut soit commencer avec un échantillon de 30.

Ou bien prendre le pire des scénarios; ^{p¯ = 1} 2

Pour une proportion la marge d’erreur est

n = z^2↵

2 p(1¯ p)¯

EEM ² + 1

Ou bien prendre le pire des scénario; ^{p¯ = 1} 2

Pour une proportion la marge d’erreur est

n = z^2↵

2 p(1¯ p)¯

EEM ² + 1

Ou bien prendre le pire des scénario; ^{p¯ = 1} 2 et dans ce cas

Pour une proportion la marge d’erreur est

n = z^2↵

2 p(1¯ p)¯

EEM ² + 1

Ou bien prendre le pire des scénario; ^{p¯ = 1} 2

n = z^2↵

2

4EEM² + 1 et dans ce cas

Faites les exercices suivants

#4.18, 4.19, 4,24

Devoir: