Th´ eorie et pratique de la concurrence – Master 1 Informatique TD 5 : Bisimulation et Logique de Hennesy-Milner
Exercice 1 : Bisimulation entre processus CCS
Dans chacun des cas suivants, d´eterminez si les processus CCS P et Q sont bisimilaires en justifiant votre r´eponse.
1.
P ::= a.P1 + b.P2
P1 ::= c.P P2 ::= c.P
Q ::= a.Q1 + b.Q2
Q1 ::= c.Q2
Q2 ::= c.Q3
Q3 ::= a.Q1 + b.Q2
2.
P ::= a.P1
P1 ::= b.P + c.P Q ::= a.Q1
Q1 ::= b.Q2 + c.Q Q2 ::= a.Q3
Q3 ::= b.Q1 + c.Q2
3.
P ::= a.(b.0 + c.0) Q ::= a.b.0 + a.c.0)
Exercice 2 : Bisimulation entre syst`eme de transitions 1. Montrez que pour les syst`emes de transitions dessin´es sur la figure 1, set bisimilaire `a
t.
s
s1 s2
s3 s4
a
a b
a a
a
a
t
t1
t2
t3 t4
a
a b a
a a
a
Figure1 –
2. Est-ce-que ce r´esultat reste vrai si on supprime les ´etatst3 ett4 (ainsi que les transitions connect´ees `a ces ´etats) ? Dans le cas d’une r´eponse n´egastive, donnez une formule de HML (Hennesy-Milner Logic) permettant de distinguer sett.
Exercice 3 : Logique de Hennesy-Milner
On consid`ere le syst`eme de transitions donn´e par la figure 1.
1. Quelles sont les propositions suivantes qui sont v´erifi´ees : (a) s|=haitrue
(b) s|=hbitrue (c) s|= [a]false (d) s|= [b]false
(e) s|= [a]hbitrue (f) s|=haihbitrue (g) s|= [a]hai[a][b]false (h) s|=hai(haitrue∧ hbitrue)
(i) s|= [a](haitrue∨ hbitrue) (j) s|=hai([b][a]false∧ hbitrue)
(k) s|=hai([a](haitrue∧[b]false)∧ hbifalse)
2. Pour chacune des formules suivants, d´eterminez parmis, S1, s2, s3 ets4, quels sont ceux qui v´erifient la formule :
(a) [a][b]false
(b) hai(haitrue∧ hbitrue) (c) [a][a][b]false
(d) [a](haitrue∨ hbitrue)
3. Construisez un syst`eme de transitions dont l’´etat initial s v´erifiera les trois formules suivantes :
– hai(hbihcitrue∧ hcitrue)
– haihbi([a]false∧[b]false∧[c]false) – [a]hbi([c]false∧ haitrue)
