Corrigé de juin 2014

Universit´e P. et M. Curie Licence de Math´ematiques

LM257

Lundi 16 juin 2014

S´ eries et Int´ egrales

Corrig´ e de l’examen de deuxi` eme session

I

1) La fonction f : t 7! 1 cos t

t^↵+1 est continue et positive sur ]0,+1[. Au voisinage de 0, on a cos t = 1 ( t)²

2 +o(t²), donc f(t)⇠

2

2 ·t^{1 ↵}. Il r´esulte donc de la r`egle de Riemann que l’int´egrale converge au voisinage de 0 si 1 ↵ > 1, c’est-`a-dire si↵ <2.

Au voisinage de +1, on a 0 61 cos t62, donc f(t) =O( 1

t^↵+1) et il r´esulte de la r`egle de Riemann que l’int´egrale converge au voisinage de +1si ↵+ 1>1, c’est-`a-dire si↵ >0.

Inversement, si↵60 on a, pourt>1, f(t)>f0(t) = 1

t(1 cos t) et Z A

1

f(t)dt>Z A 1

f₀(t) =Z A 1

dt t

Z A 1

cos t t dt=h

ln(t)iA 1

Z A 1

cos t t dt

= ln(A)

sin t t

A 1

Z A 1

sin t t² dt

Puisque sin A

A ! 0 quand A ! +1 et que l’int´egrale Z ₁

1

sin t

t² dt converge absolument car sin t

t² = O(1

t²), on voit que Z A 1

f0(t)dt ln(A) poss`ede une limite finie quand A tend vers l’infini, ce qui montre que lim

A!+1

Z A 1

f0(t)dt= +1, donc que l’int´egrale diverge. On conclut que l’int´egrale J↵( ) converge si et seulement si ↵2]0,2[.

2) Par le changement de variable x = t.| |, on obtient dt = 1

| | ·dx et, puisque la fonction cosinus est paire,

Z A

"

1 cos( t)

t^↵+1 dt=| |^↵ Z _{| |A}

| |"

1 cosx x^↵+1 dx

Donc si l’int´egrale J_↵( ) est convergente, la limite de l’expression ci-dessus existe quand"tend vers 0 et Avers +1, c’est-`a-dire

J↵( ) = lim

"!0,A!+1

Z A

"

1 cos( t)

t^↵+1 dt= lim

"!0,A!+1| |^↵ Z _| A|

| |"

1 cosx

x^↵+1 dx=| |^↵.J↵(1) Si l’int´egraleJ↵(1) converge, on a↵ >0 : l’´egalit´e pr´ec´edente est donc encore valable si = 0.

3) On a

ae^itu+be^itv+ce^{itw 2}= (ae^itu+be^itv+ce^itw).(ae ^itu+be ^itv+ce ^itw)

=a²+b²+c²+ab(e^{it(u v)}+ e^{it(v u)}) +bc(e^{it(w v)}+ e^{it(v w)}) +ac(e^{it(u w)}+ e^{it(w u)})

=a²+b²+c²+ 2abcost(u v)

+ 2bccost(v w) + 2accost(u w)

= (a²+b²+c²+ 2ab+ 2bc+ 2ac) 2ab(1 cost(u v)) 2bc(1 cost(v w)) 2ac(1 cost(v w))

= (a+b+c)² 2ab(1 cost(u v)) 2bc(1 cost(v w)) 2ac(1 cost(v w))

= 2⇣

ab(1 cost(u v)) +bc(1 cost(v w)) +ac(1 cost(v w))⌘

4) Puisque la fonction g : t 7! ae^itu+be^itv+ce^{itw 2}

t^↵+1 est positive et que " < A, on a Z A

"

g(t)dt>0, donc Z A

"

ab(1 cost(u v)) +bc(1 cost(v w)) +ac(1 cost(v w)) dt t^↵+1 60 et en passant `a la limite quand "tend vers 0 etAvers +1,

ab.J↵(u v) +bc.J↵(v w) +ac.J↵(u w)60 c’est-`a-dire, puisqueJ_↵( ) =| |^↵.J_↵(1) et que J_↵(1)>0,

ab.|u v|^↵+bc.|v w|^↵+ac.|u w|^↵60

II 1) On a par d´efinition :

B1= B₀ 2! = 1

2 B₂= B1

2!

B0

3! = 1 4

1 6 = 1

12 B₃ = B2

2!

B1

3!

B0

4! = 1 24 + 1

12 1 24 = 0 B₄= B3

2!

B2

3!

B1

4!

B0

5! = 1 72 + 1

48 1

120 = 10 + 15 6

720 = 1

720

2) Puisque |B0| = 1, on a bien l’hypoth`ese H(1). Supposons donc que |Bk| 6 1 pour tout k < n, donc que|Bn p|61 pour 16p6n. Alors

|B_n|= Xn

p=1

1

(p+ 1)!B_{n p} 6 Xn

p=1

1

(p+ 1)!|B_{n p}|6 Xn

p=1

1 (p+ 1)! =

Xn

p=2

1 p!

2

et puisqueX¹

p=0

1

p! = e, on a |B_n|6X¹

p=2

1

p! = e 261, ce qui montreH(n+ 1).

3) Puisque |Bn| 6 1 pour tout entier n, on a P₁

n=0|Bnxⁿ| 6 P₁

n=0|x|ⁿ < +1 si |x| < 1.

Il en r´esulte que la s´erie enti`ere S converge absolument en tout x tel que |x| < 1. Le rayon de convergence RdeS est donc au moins ´egal `a 1.

4) On a Pn

p=0(u_px^p).(v_{n p}x^{n p}) =xⁿ.Pn

p=0u_p.v_{n p} =w_nxⁿ. Alors si |x|<min(R₁, R₂), les s´eries de terme g´en´eralu_nxⁿ etv_nxⁿ convergent toutes deux absolument ; il en est donc de mˆeme de la s´erie de terme g´en´eral w_nxⁿ et on a

W(x) =X¹

n=0

wnxⁿ = X¹

n=0

unxⁿ . X1 n=0

vnxⁿ =U(x).V(x) 5) Puisque, pour xr´eel on a P₁

n=0

xⁿ

n! = e^x, on a P₁

n=1

xⁿ

n! = X¹

n=0

xⁿ

n! 1 = e^x 1. Alors, si x6= 0, X¹

n=0

xⁿ

(n+ 1)! =X¹

n=1

x^{n 1} n! = 1

x · X1 n=1

xⁿ n! = 1

x X1 n=0

xⁿ

n! 1 = e^x 1 x . Il r´esulte de ce qui pr´ec`ede que S(x).e^x 1

x est le produit des s´eries enti`eres P₁

n=0Bnxⁿ et P₁

n=0

xⁿ

(n+ 1)!, c’est-`a-dire la somme de la s´erie enti`ere P

ncnxⁿ, o`u c0 = B₀

1! = 1 et, pour n>1, cn =Pn

p=0

1

(p+ 1)!Bn p= B_n 1! +

Xn

p=1

1

(p+ 1)!Bn p=Bn Bn = 0.

Donc S(x).e^x 1 x =X¹

n=0

c_nxⁿ = 1, c’est-`a-direS(x) = x

e^x 1 si x2] 1,1[ etx6= 0.

6) Pour 0<|x|<1, on a S(x) S( x) = x

e^x 1

x

e ^x 1 =x⇣ 1

e^x 1 + e^x 1 e^x

⌘=x·1 e^x e^x 1 = x Et puisqueS( x) =X¹

n=0

( 1)ⁿBnxⁿ, on a

S(x) S( x) =X¹

n=0

xⁿ Bn ( 1)ⁿBn =X¹

n=0

0.x²ⁿ+X¹

n=0

2.B_2n+1.x²ⁿ⁺¹= 2.X¹

n=0

B2n+1.x²ⁿ⁺¹

et on conclut que X¹

n=0

B2n+1.x²ⁿ⁺¹ = x

2. Et puisque la s´erie enti`ere T(x) = 1

2(S(x) S( x)) converge pour tout x dans ] 1,1[, on a B2n+1 = 1

(2n+ 1)!T⁽²ⁿ⁺¹⁾(0) pour tout n. Comme T^(k)(x) = 0 pourk>2, on a en particulierT⁽²ⁿ⁺¹⁾(0) = 0, doncB_2n+1= 0 pour tout n>1.

7) Puisque la s´erie enti`ere U(x) = X¹

n=0

xⁿ

(n+ 1)! a un rayon de convergence infini et que sa somme est e^x 1

x , elle converge absolument en x = 2i⇡ et sa somme y vaut e^2i⇡ 1

2i⇡ = 0. Si la s´erie S convergeait absolument en x = 2i⇡, on aurait S(2i⇡).U(2i⇡) = 0. Mais il r´esulte de la question 5) que S(x).U(x) = X¹

n=0

cnxⁿ = 1 d`es que S et U convergent absolument en x.

On devrait donc avoir 0 = e^2i⇡ 1

2i⇡ ·S(2i⇡) = 1, et cette contradiction montre que S ne peut converger absolument en 2i⇡, donc que R6|2i⇡|= 2⇡.

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