Examen du 18 février 2021

UE7 Arithmétique et géométrie Université de Nice

Examen du 18 février 2021

1 heure 30

La correction tiendra grandement compte de la clarté et de la concision de la rédaction.

L’utilisation de calculatrice, de téléphone portable et autre gadget est interdite.

Exercice 1. — Les questions de cet exercice sont indépendantes entre elles.

1) Énoncer sans démonstration le critère d’Eisenstein.

Le polynôme P :=X²Y⁷+X⁵−1 est-il irréductible dansZ[X, Y] ? 2) Soit P ∈C[X, Y] un polynôme non constant.

Montrer que {(x, y)∈C², P(x, y) = 0} est infini.

Donner un exemple de P tel que {(x, y)∈R², P(x, y) = 0} est fini.

3) Théorème de Gergonne : soient ABC un triangle non aplati, et A⁰ , B⁰ , C⁰ trois points appartenant respectivement aux droites (BC), (CA) et (AB). On suppose que les droites (AA⁰), (BB⁰) et (CC⁰) sont concourantes en un point M.

Montrer que les mesures algébriques vérifient : A⁰M

A⁰A +B⁰M

B⁰B + C⁰M C⁰C = 1

[Indication:Soient (α, β, γ) les coordonnées barycentriques nor- malisées deM dans le repère (A, B, C). Montrer queβ+γ6= 0.

Identifier le barycentre Bar[(B, β),(C, γ)].]

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Exercice 2. — 1) Soient K ⊂ L une extension de corps, et x, y ∈ L des éléments algé- briques. Montrer que l’on a [K(x, y) :K(x)]6[K(y) :K].

[Indication:Montrer qu’uneK-base deK(y) engendreK(x, y) commeK(x)-espace vectoriel.] Pour tout entier k >1, on note ζ_k :=e^2iπk ∈C.

Dans toute la suite, on fixe deux entiers n et m premiers entre eux. Le but de cet exercice est de montrer qu’on a Q[ζ_n]∩Q[ζ_m] =Q. Pour cela, on poseK:=Q[ζ_n]∩Q[ζ_m].

2) Montrer qu’on a K(ζ_m) =Q(ζ_m),K(ζ_n) = Q(ζ_n) et K(ζ_mn) =Q(ζ_mn).

3) Montrer que l’on a K(ζ_m, ζn) = K(ζ_mn).

4) Montrer que [Q(ζ_mn) :Q(ζ_m)] =ϕ(n).

5) En utilisant 1), en déduire que [Q(ζ_n) :K]>ϕ(n) et conclure.

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Exercice 3. — Soient n > 1, p ∈ P un nombre premier, q := pⁿ et F_q un corps fini à q éléments. On note F_p le sous corps premier deF_q (il est donc isomorphe àZ/pZ).

1) Montrer que ϕ:F_q →F_q, x7→x^p est un automorphisme de corps et qu’il est d’ordre n.

2) Pour tout a∈F_q, on note K_a:=F_p[a] et on noted_a le degré de l’extension [K_a:F_p].

Montrer que d_a est égal à l’ordre de ϕ|K_a (la restriction de ϕà K_a).

En déduire que d_a= Inf{d>1, a^pd =a}.

3) On suppose désormais a6= 0. Soit N_a l’ordre de a dans le groupeF^×_q.

Montrer queN_a est premier avec p, puis qued_a est l’ordre dep dans le groupe (Z/N_aZ)^×.