Transfert de spin et dynamique de l'aimantation

HAL Id: tel-00192958

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00192958v2

Submitted on 1 Dec 2007

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

Transfert de spin et dynamique de l’aimantation

Benoit Montigny

To cite this version:

Benoit Montigny. Transfert de spin et dynamique de l’aimantation. Matière Condensée [cond-mat].

Université Paris Sud - Paris XI, 2007. Français. �tel-00192958v2�

Transfert de spin et dynamique de l'aimantation BenoitMontigny 1 er dé embre 2007

Transfert de spin

et dynamique de l'aimantation

BenoitMontigny

sousladire tiondeJa quesMiltat

Remer iements 1

Introdu tion 3

1 Théories de lamagnéto-résistan e 5

1.1 Théorie delamagnéto-résistan egéante . . . 7

1.1.1 Introdu tion . . . 7

1.1.2 Condu tiondépendantdu spin . . . 8

1.1.3 Modèleàdeux ourants . . . 12

1.1.4 Modèlesdediusion. . . 14

1.1.5 Con lusion . . . 16

1.2 Théorie delamagnéto-résistan etunnel . . . 16

1.2.1 Théorie lassiquedutransporttunnel. . . 17

1.2.2 Modèled'éle tronslibres ( d-itinérants). . . 19

1.2.3 Modèledesliaisonsfortes . . . 21

1.2.4 Cal ulsabinitio . . . 23

1.3 Con lusion . . . 26

2 Transportnon olinéaire ettransfertdespin 27 2.1 Des riptiondu phénomène . . . 28

2.1.1 Lesystèmeétudié . . . 28

2.1.2 Idéephysique . . . 29

2.2 Transfertde spindans lesjon tionsmétalliques . . . 31

2.2.1 Unmodèlede ir uit . . . 31

2.2.2 Modèlede Slon zewski . . . 33

2.2.3 Mé anismed'absorptiondu ourantdespin . . . 42

2.2.4 Résolutionnumérique . . . 44

2.2.5 Con lusion . . . 45

2.3 Transfertde spindans lesjon tionstunnel . . . 46

2.3.1 Modèlethéorique . . . 46 2.3.2 Expérien esré entes . . . 48 2.4 Con lusion . . . 48 3 Méthodes numériques 49 3.1 Basesthéoriques . . . 50 3.1.1 Des riptionquantique . . . 50 3.1.2 Intera tions . . . 52 3.1.3 Equationdu mouvement . . . 53 3.2 Modèlemi ro-magnétique. . . 54 3.2.1 Champee tif. . . 55

3.2.2 Ensembled'équationsadimensionnées . . . 60

4 Modèle duma rospin 69

4.1 Introdu tion . . . 70

4.1.1 Expérien es . . . 70

4.1.2 Questions . . . 74

4.2 Systèmesous hampaxial . . . 75

4.2.1 Expressionsanalytiques . . . 75

4.2.2 Analysespe traledesétats pré essionnels . . . 84

4.3 Systèmesous hamptransverse . . . 96

4.3.1 Géométriedudispositif . . . 96

4.3.2 Systèmemodèlesous hamptransverse:états pré essionnels . . . 97

4.4 Valve despinperpendi ulaire/perpendi ulaire . . . 106

5 Mi romagnétisme: systèmesous hampaxial 111 5.1 Ma rospinvs mi romagnétisme . . . 112

5.1.1 Motivations . . . 112

5.1.2 Casd'étude . . . 113

5.1.3 Coupledu transfertdespin . . . 114

5.1.4 Champd'Oersted . . . 115 5.1.5 Champdipolaire . . . 116 5.2 Modespropres . . . 119 5.2.1 Introdu tion . . . 119 5.2.2 Sus eptibilitémagnétique . . . 121 5.2.3 Cartesdesus eptilité . . . 122

5.3 Modesex itéssous ourant . . . 124

5.3.1 Comportementde lamoyennedel'aimantation . . . 125

5.3.2 Distributiond'ex itationdansla ou helibre . . . 129

5.3.3 Largeurderaie . . . 134

5.4 Comparaisondesmodèles . . . 139

6 Mi romagnétisme: systèmesous ex itationtransverse 141 6.1 Introdu tion . . . 142

6.2 Modèlemi romagnétique . . . 144

6.2.1 Spe tresde puissan e . . . 144

6.2.2 Inuen edesparamètresnumériques . . . 146

6.3 Modespropres . . . 148

6.4 Modesex itéssous ourant . . . 150

6.5 Con lusion . . . 154

A Constantesfondamentales 159 B Traitementdu signal 161 B.1 Analysespe trale . . . 162

B.2 Digitalisationdusignal . . . 162

B.3 TransforméesdeFourier ontinueetdis rète . . . 166

B.4 Fenêtrageetltrage . . . 169

B.5 Estimationdeladensitéspe traledepuissan e . . . 174

B.6 Appli ationauxsimulationsnumériques . . . 177

C

e travailde thèse aété rendu possiblegrà e à la ollaboration entre laso iété AltisSemi ondu tor,l'UniversitéParis-Sud et leLaboratoiredePhysique duSolides

dans le adre de son programme de re her he et développement sur les mémoires

MRAM. Je remer ie don les personnels s ientiques et administratifs pour leur

ontributionà eprojet.

J

eremer ieenpremierlieumondire teurdethèse,Ja quesMiltat,pourm'avoir a ueillidanssonlaboratoire.Savisions ientique,sarigueuretsonexpérien e,qui

s'étendbienau-delàdudomainedumagnétisme,sontdesqualités quejenesuispas

lepremierà onstateretj'espèrequ'ellesaurontquelquepeuimprégné emanus rit.

Mais estroisannées(etquelquesgrossespoussières)m'aurontaussifaitappré iéson

enthousiasmeetsa uriositétoujourstrèsstimulants.D'autantplusquej'aibéné ié

desa onan eet desonsensdupartagejamaispris endéfaut.

E

nse ondlieu,jetiensàremer ierMM.B.DienyetY.Suzuki,lesrapporteursde e manus rit, pourleursremarqueset suggestions.ParailleursMM. C.Chappertet

L. Lopez-Diazm'ontégalementfaithonneurdeleurprésen elorsdemasoutenan e,

en tant que président du jury et examinateur respe tivement. Je tiens également

à asso ier M. S. Bournat, mon responsable au sein d'AltisSemi ondu tor, à es

remer iements. Non seulement il supervisé mon travail lors de mon stage de DEA

puis au ours de ma thèse, mais il a parti ipé a tivement à la ollaboration entre

l'UniversitéParisSudetAltisautourduprojetMRAM.Gra eà ette volontéetaux

moyensa ordés,j'aipuee tuerdenombreuxtravauxexpérimentaux,nonévoqués

dans e manus rit, et un important travail de modélisation dans de très bonnes

onditions.

M

ais laliste des personnes m'ayant aidé au ours de ma thèse ne s'arrêtepas là. Même si e manus ritn'expose pas les résultatsexpérimentaux auxquelsils ont

parti ipé,jetiensà ombler ette injusti een itant:

 les ingénieurs du entre de développement MRAM d'AltiSemi ondu tor

Qi-monda : MM. Ken Hernan, Rainer Leus hner, Rok Dittri h, Ullri h

Kloster-mann,AlexanderDut h, et ...

 VéroniqueMathetetlesingénieursdessallesblan hesdeMinerveàl'IEF

 Bertrand Vilquinet PhilippeLe oeur,de l'IEF,pourleur ontribution dire te

auprojetMRAM.Jesuisheureuxd'avoirprotéquelquesmoisdeleurénergie

et leursavoir-faire

 Ja ques Gierak et Eri Bourhis, duLPN, pourles nombreusesheures passées

autour duFIB

 Vin entKleinetSambathSaranga,pourleursoutiente hniqueauxexpérien es,

et pourbien d'autresservi esrendus

 André Thiaville, Stanislas Rohart, Carole Vouille et Hervé Hurdequint, du

groupeMi romagnétismeduLPS.Sansparlerdela han einestimabled'avoir

lesréponsesàtoutessesquestionsàlaported'à- té, etenvironnementdetrès

hautniveau apla é ette thèsesousunebonneétoile.

I

l y a bien toutes les personnes ren ontrés au ours d'expérien es et de onfé-ren es, mais, pour ause de mémoire des noms défaillante, je me ontenterai d'un

remer iement olle tif bien que très sin ère. Enn je n'oublie pas les an iens et

moinsan iensthésardsduLPSetd'ailleurs:François,Saa,David,Meydi,Gon alo,

Claire, Jeanne,Jean-Yves,Aristide,Alina, ..., esren ontres qui aurontfaitlevrai

U

nderniermer iestdûàmesparentsetàmafamille,pourleursoutien onstant.

P

our ellequi méritebien plusquedesmer is,J....

Les années 80 ont vu l'apparition des te hniques modernes de la

mi ro-éle tronique.Cesavan ées,destinées initialementàl'industriedessemi- ondu teurs,

ont égalementproté au domaine del'éle tronique de spin. Ainsi,le phénomène de

magnéto-résistan egéante a été mis en éviden e grâ e à la maîtrise des dépts de

ou hes min es métalliques 1

. Plus ré emment de très fortes valeursde la

magnéto-résistan etunnel ont étémesurées grâ e àl'eet deltrage enspindans labarrière

d'oxyde 2

. Ce qui a sus ité en retour un grand intérêt des industriels du fait de

l'utilisation de telles propriétés de transport dans les têtes de le ture pour disques

durs 'hautedensité'. Deplus,durantles années90, l'amélioratio ndeste hniques de

façonnagedes nano-stru tures apermis d'observerl'eet du transfert de spin,dont

unedesappli ationspotentielles on ernelesmémoireséle troniquesMRAM.

Le phénomène, initialement prédit théoriquement par Slon zewski 3

et Berger 4

,

a pu ainsi être étudié expérimentalement, notamment sur des piliers de taille

sub-mi rométrique (typiquement 100 nm) où le ouple dû au transfert de spin est

observablepourdesdensitésde ourant'raisonables'.L'eetdu ouplesurle

mouve-ment del'aimantationse traduitparles variationsdusignalde magnéto-résistan e.

Mais les mesures de transport éle trique ne permettent pas de onnaitre ave

pré ision ladynamique de l'aimantation sous ourant. C'est pourquoi d'importants

eorts ontétéentreprisenmatièredesimulationsnumériques,désormaisessentielles

àlabonne ompréhensiondesexpérien es.Ainsilesmodélisationsmi romagnétiques

ont ontribué à mieux omprendre lemé anisme de renversement sous hamp dans

unestru ture onnée,quipassepardesétatsd'aimantationfortementinhomogènes.

L'ajout du terme de transfert de spin est un fa teur de omplexité supplémentaire

arils'agitd'uneex itationparamétrique,non-linéaireetnon- onservative.

L'objetde ettethèseestdedéterminerlanaturedesrégimesdynamiquesex ités

par le ourantdans un nano-pilier. Commeles dispositifs magnétiquessontde plus

en plus petits, on se rappro he de la limite où l'aimantation peut être onsidérée

omme uniforme. Parallèlement les eets de bords (et notament les harges de

bords) deviennent prépondérants par rapport aux eets de volume, e qui tend à

favoriserdesétatsnonhomogènes.Deuxniveauxdedes riptionsontdon envisagés:

un modèle grossier où l'aimantation de la ou he libre de l'empilement est traitée

ommeunma ro-spin,etlemodèlemi romagnétique,plusrané,tenant omptede

manière réaliste des intera tions magnéto-statiques. L'intérêt d'une telle étude est

non seulementde validerdesthéoriesdutransfert despinmais aussidedonner une

idée, par omparaison de es deux appro hes, de l'inhomogénéité de l'aimantation

dansunenanostru ture.

1

M.N.Baibi h,J.M.Broto,A.Fert,F.N.Vandau,F.Petro,P.Etienne,G.Creuzet,A.Friederi h

etJ.Chazelas,Giantmagnetoresistan eof(001)Fe/(001) Crmagneti superlatti es ,Phys.Rev.Lett.

61 ,2472(1988);G.Binash,P.Grünberg,F.Saurenba het W.Zinn,Enhan ed magnetoresistan e

inlayered magneti stru tures withantiferromagneti interlayerex hange, Phys.Rev.B39 ,4828

(1989) 2

S.Yuasa, T.Nagahama, A.Fukushima,Y. SuzukietK. Ando, Giantroom-temperature

ma-gnetoresistan einsingle- rystalFe/MgO/Femagneti tunneljun tions,Nat.Mater.3 ,868(2004);

S.S.P.Parkin,C.Kaiser,A.Pan hula,P.M.Ri e,B.Hugues,M.SamantetS.H.Yang,Giant

tun-nellingmagnetoresistan eatroomtemperaturewithMg0(100)tunnelbarriers,Nat.Mater.3 ,862

(2004) 3

J.C.Slon zewski,Current-drivenex itationof magneti multilayers ,J.Magn. Magn.Mater.

159 ,L1(1996) 4

L.Berger,Emissionofspinwavesbyamagneti multilayertraversedbya urrent,Phys.Rev.

Le hapitre 1 revient de manière su inte sur deux phénomènes remarquables

du transport dépendant du spin : la magnéto-résistan e géante dans les jon tions

métalliquesetlamagnéto-résistan etunnel.

Le hapitre 2 est une revue des prin ipaux modèles dé rivant le phénomène

de transfert de spin dans les systèmes où les aimantations des ou hes sont

non- olinéaires.Le modèle de Slon zewski 5

est analysé endétail, aril sert de base aux

simulationsnumériques.

Le hapitre 3 est onsa ré aux méthodes numériques né essaires pour mettre

en ÷uvre e modèle de mi romagnétisme. Les équations de base du mouvement de

l'aimantationsontposées.Jedétaillele al ulde ha undestermesdu hampee tif

parlaméthodedesdiéren esnies,ave uneattentionparti ulièreportéeau hamp

démagnétisant.

Dans le hapitre 4 j'étudie l'eet du ourant sur ladynamique de l'aimantation

analytiquement et numériquementdans le adre du modèle ma rospin. Dans le as

d'un hamp axial, le diagramme de phase en hamp et en ourant est établi. Des

al ulsontégalementétéee tuésàdiérentestempératures,and'enétudierl'eet

sur lafréquen edes os illationsdel'aimantation.En annexe j'ai développéle al ul

deladensité spe trale depuissan e,grandeur représentantle ontenu fréquentielde

latraje toiredel'aimantation.Parailleurs es al ulssontétendusau asd'un hamp

dansleplanlégèrementdésalignéparrapportàl'axedunano-pilieretau asd'un

sys-tèmeoùl'aimantationetle hampappliquésontperpendi ulairesauplandes ou hes.

Le hapitre 5 reprend l'étudeen hampaxialsousl'angle dessimulations

mi ro-magnétiques. Ces al ulspermettentd'a éderàladistribution d'ex itation dansla

ou helibre selonladensitéde ourantinje téedans lenano-pilier.La omparaison

des résultatsave lemodèlema rospinvise àdonnerune idée du omportement de

l'aimantation lorsqu'elle est plongée dans un hampee tif fortement inhomogène.

Lalargeur despi sde résonan epourlesétatspré essionelsest une signaturede e

désordredansladistributiond'aimantation.

Une étudesimilaireestmenéepourle asoùle hampappliquéetlapolarisation

des éle tronsnesontplus alignés( hapitre 6). La omparaison ave les expérien es

de Krivorotov et al. 6

sert de support à une dis ussion sur l'eet des paramètres

numériquesetmagnétiquesdansle adremi romagnétique.

5

J.C.Slon zewski,Currentsandtorquesinmetalli magneti multilayers ,J.Magn.Magn.Mater.

247 ,324-338(2002) 6

I.N.Krivorotov,N.C.Emley,J.C.Sankey,S.I.Kiselev,D.C.Ralphet R.A.Buhrman,

Time-domain measurementsof nanomagnetdynami s drivenby spin-transfer torques ,S ien e307 ,228

Théories de la

est le modèlede Drude [1,2℄. Une des ription plusne adaptée aux stru tures

mé-sos opiquesest obtenue dans le adre duformalisme deLandauer et Buttiker[36℄.

Uneautre appro he onsisteàrésoudrel'équation deBoltzmanndanslesdiérentes

régions de la nano-stru ture 1

. Les éle trons sont traités omme des parti ules,

a-ra tériséesparleurfon tiond'onde

|ϕ(r, k, t)i

. Danslasuitenousallonsétendre es théoriesen tenant ompte dumoment inétique (en anglaisangular momentum)de

spin

σ

deséle trons.LesmodèlesdeBoltzmannetdeLandauerpeuventêtreadaptés pourdessystèmesoùleséle trodessontdesmatériauxferromagnétiques

2 .

Lespropriétésdetransportdesmatériauxmassifsdépendentduspindeséle trons

lespar ourant;maisd'autreseetsnon-triviauxapparaissentlorsqu'on onsidèredes

multi ou hes magnétiques. On ne peut plus simplement al uler leur ondu tivité

omme la somme des ondu tivités de ha une des ou hes isolées. En eet la

longueur de ohéren e de spin ex ède souvent leur épaisseur et elles interagissent

l'une ave l'autre.

Nousallonsnous on entrersuruntyped'hétérostru tureparti ulier,àsavoirdes

empilementsferromagnétique/barrière/ferromagnétique,danslesquelsle ourant

ir- uleperpendi ulairementauplandes ou hes.Lesmatériauxmagnétiques onsidérés

sontlesmétauxdetransition:Fe,Co,Ni,leursalliages,et ...quisontàlafoisbons

ondu teurset ferromagnétiquesàtempératureambiante.

La magnéto-résistan e ( MR) désigne la

dié-ren ederésistan ed'untelempilementsuivantla

dire tion relativedesaimantationsdanslesdeux

ou hesmagnétiques. MR

=

∆

R R

=

R AP

−

R P R P

P(resp.AP)désignel'étatoùlesaimantationssontparallèles(resp.antiparallèles).

On distingue deux types de stru tures qui ont des propriétés de transport très

diérentes :

 silabarrièreestun ondu teurmétalliquenon-magnétique, 'estle adredela

magnéto-résistan egéante(GMR)

 si la barrière est un oxyde isolant, il s'agit alors de la magnéto-résistan e

tunnel(TMR)

Dans le premier as, le transport des éle trons est gouverné d'une part par la

diéren e d'o upation au niveau de Fermi des bandes des éle trodes magnétiques

selonl'orientation de spinet d'autrepart parla diusion dépendante duspin dans

le volume des ou hes et aux interfa es. La magnéto-résistan e tunnel est quant

à elle plus parti ulièrement liée aux propriétés des interfa es éle trode-isolant. La

résistan e, bien plus élevée que pour les empilements métalliques, est dominée par

elledelabarrièretunnel.Ladiusiondansleséle trodesmagnétiquesnejouequ'un

rlemarginal.Larésistan eestdefait ontrléeparletauxdetransmissiondes

éle -tronsselonleurspin,leurve teurd'ondeetletyped'orbitaleparti ipantautransport.

1

Voirpour elal'ouvragedeAsh roftetMermin[7℄ 2

Pour desrevues détailléesde esméthodes et deleurs appli ations à l'éle tronique de spin,

Fig.1.1 :Première mise en éviden e de la

magnéto-résistan e géantesurdes

mul-ti ou hesdeFer/Chrome(40bi ou hes

deFe(3nm)/Cr(0 .9nm)) parFertetal.

en 1988 [13℄. Le ourant ir ule dans

le plan des ou hes. La résistan e

dé-pend du hamp magnétique appliqué :

(a)dansleplanetselonladire tiondu

ourant, (b) dans le plan et

perpendi- ulairementau ourant,( )

perpendi u-lairement auplandes ou hes.

Bienquelesmé anismessoientapparemmenttrèsdiérents,danslesdeux asla

résistan ede l'empilement est le plus souvent plusforte dans l'état antiparallèleet

plus faible quand lesaimantations sont alignées.On montreradans e hapitreque

plusieursphénomènessurviennentlorsqu'un ourant ir uleperpendi ulairementaux

ou hesmagnétiques:

 le ourantestpolariséenspinlorsqu'iltraverseunmatériauferromagnétique

 la présen ed'une interfa eave un matériaunon-magnétique pla e le système

lo alementhorséquilibre

 la stru ture éle tronique de la barrière ouple de manière séle tive les états

d'interfa esde ha unedeséle trodes

Nousallonsdétaillerl'importan erelativede eseetsetdistinguer,danslesdiverses

théoriesprésentées,lesargumentsenfaveurd'untraitementdiusif,paroppositionà

untraitementballistique,dutransport.

1.1 Théorie de la magnéto-résistan e géante

Dans e paragraphe sont exposées les théories du transport dépendant du spin

dans les dispositifs de type "vanne de spin". Les deux ou hes ferromagnétiques,

séparéesparunespa eurmétalliquenon-magnétique,sontfaiblement ouplées.Dans

la géométrie CPP (" urrent perpendi ular to the plane"), un hamp éle trique est

appliqué perpendi ulairement au plan des ou hes et le ourant est ontraint de

ir uler selon la normale à es interfa es. Au ontraire, dans la géométrie CIP, le

ourant s'é oule dans le plan des ou hes. L'eet de l'angle relatif entre es deux

dire tions d'aimantation sur la ondu tan e est appelé magnéto-résistan e géante.

Ceteetaétépourlapremièrefoismisenéviden e parFertetal.[13℄ ( gure 1.1)

et parGrünbergetal.[14℄en1988.

Quand le matériau est aimanté selon la dire tion z, l'axe de quanti ation du

momentmagnétiquedespinestprisparallèleàz.Ondistinguealorsdeuxpopulations

d'éle trons : euxdont lespinest parallèle àl'aimantationlo ale (onlesqualie de

majoritaires, notés

↑

)et euxdontle spinàunsensopposé(éle trons minoritaires, notés

↓

).

1.1.1 Introdu tion

La ondu tiondeséle tronsdesmatériauxferromagnétiquesestfortementae tée

parleurspin(dans lesmatériauxferromagnétiques,leséle tronsde ondu tion sont

detypes hybridéssp-d).L'intera tion d'é hange ouplelemomentdeséle tronsde

plussouventdes métauxde transition.Ainsi lelibre par oursmoyen (ouàl'inverse

letauxdediusion)peutêtrejusqu'à5foisplusgrandpourleséle trons

↑

quepour leséle trons

↓

danslePermalloy(Ni

81

Fe

19

)[15℄.

Diversesphénomènespeuventêtreavan éespourdé rirelesintera tionsentreun

ourantet l'aimantation:

 lafor edeLorentz;maisellen'estpasassezintensepourdéviersigni ativement

leséle tronsentredeux ollisions

 lamagnéto-résistan eanisotrope(AMR), 'est-à-direlavariationde résistan e

enfon tiondel'angleentrel'aimantationetladire tiondu ourantdemesure.

Cette propriété aété largement exploitéedans lestêtes dele ture des disques

durs durant les années 90. Pour les matériaux magnétiques onsidérés par la

suite, sa ontribution est unordre degrandeur plusfaibleparrapportàl'eet

GMR (quelquespour entsdel'eet observé).

 notons que les matériaux étudiés ont été hoisis de manière à e que la

ma-gnétostri tionsoitquasi-nulle(les oe ientsmagnétostri tifsduNietduFese

ompensentdanslePermalloy), equiéliminetoutartefa tdûauxdéformations

des ou hesmagnétiques.

Lesmodèlesthéoriquesprésentésparlasuitedé riventtroisphénomènesquisont

àl'originedelaGMR :

1. la diusion dépendante du spindans lesmatériaux ferromagnétiques: le libre

par oursmoyendeséle tronsmajoritairesestplusgrandque eluideséle trons

minoritaires.Les entresdediusionpeuventêtredesimpuretés,desdéfautsde

stru ture dans le métal,les intera tions éle tron/phonon.Leséle trons s sont

plusmobilesquelesd.

2. lera ordementdesniveauxéle troniquesauxinterfa esferro/métal: ela rée

des mar hes de potentiel que doivent fran hir les éle trons dans la géométrie

CPP. Le paysagede potentiel dépend du type de bande et don du spin des

éle trons.Ceteetsetraduitpardesrésistan esd'interfa es.

3. lesvariationsdeladensitéd'étatsauniveaudeFermiselonlespindans ha une

des éle trodes: ela modie lenombred'éle trons parti ipantautransportau

traversdel'espa eur (l'eet présenté plus hautae te laprobabilité de

trans-mission)

Ces modèlespeuventserangerentrois atégories:

 le modèle de résistan es àdeux ourants,simpli ation extrême où spins

↑

et spins

↓

ir ulentindépendammentlesuns desautres

 les modèlesà deux ourants semi- lassiques qui né essitent l'emploi de

oe- ients empiriques (résistan es d'interfa es ...) en appoint d'expressions

analy-tiquespourletransportàl'intérieurde haque ou he(Boltzmann)

 lesmodèlesdeliaisonsforteset les al uls ab initio, aprioriplusrigoureux ar

lesstru turesdebandessontre al uléespour haquedire tiondespin

1.1.2 Condu tion dépendant du spin

Formalismequantique

Lespinestunequantitéissueduformalismedelaphysiquequantiqueetapparaît

ommeune onséquen edel'équationdeS hrödingerrelativiste.Voi ilesexpressions

desgrandeurs ara téristiquesdutransportéle troniquequantique 3

:

3

 ladensité de harge :

ρ(r) =

−eψ

†

_{ψ =}

−e|ψ|

2

₌

−en(r)

(1.1)

où

n(r)

estladensitéd'éle tronsen

r

(où,demanièreéquivalente,laprobabilité deprésen ed'unéle tronen

r

)et

−e

estla hargedel'éle tron.Rappelonsque l'opérateurdensités'é rit

ρ =

ˆ

P

i

n

i

ϕ

i

ϕ

†

i

où

ϕ

i

n'estpassimplementlafon tion d'onde del'éle tronmaisestl'opérateurde hampasso iéà ette parti ule.La

densité volumique de harge

ρ

est la moyenne d'ensemble 4

de et opérateur

prise en

r

(au fa teur

−e

près) :

ρ =

hˆ

ρ

i = tr(ˆ

ρ) =

P

i

hψ|ϕ

i

ip

i

hϕ

i

|ψi = p

ψ

, 'est-à-direlaprobabilitéquelesystèmedeNparti ulessoitdansl'état

ψ

.  ladensité de ourant:

J

=

_−e

i~

2m

[ψ

†

_~

∇ψ − ψ ~

∇ψ

†

_{] =}

−eℜe(ψ

†

_ˆ

_{vψ) =}

h−eˆvi

(1.2)

C'est lamoyennedel'opérateurvélo ité, quis'é rit:

v =

ˆ

−i~/m~

∇

.  l'opérateurdensité de spin:

ˆ

S

=

~

2

σ

ˆ

(1.3)

ˆ

σ

est le ve teur des matri es de Pauli.

±~/2

sontles deux valeurs propresde

ˆ

S

_z

.Lamoyennede

S

ˆ

est l'aimantation:

~S(r) = ψ

†

_(r)ˆ

_{Sψ(r) =}

hˆSi

.

 l'opérateur ourantde spin:

ˆ

J

S

= ˆ

Sˆ

v

(1.4)

Lavaleurmoyenneest don :

J

S

(r) =

ℜe(ψ

†

_(r)ˆ

_vˆ

_{Sψ(r)) =}

hˆSˆvi(r)

.Onl'utilise engénérallaformule:

J

S

(r) =

~

2

2m

ℑm{ψ

†

_{σ ~}

∇ψ}

(1.5) L'opérateur

ˆ

S

agitsurla omposante"spin"delafon tiond'ondetandisque

v

ˆ

est unopérateurquiagitluisurlapositiondel'éle tron.

ˆ

J

S

est don dénisur leproduit extérieurde es deuxsous-espa esdesphases.

 l'opérateur ouple , dontla omposantesurl'axe

i

est déniepar:

hˆ

T

_i

_{i =}

d

hˆS

i

i

dt

=

1

i~

h[ˆS

i

,

H]i

(1.6)

où

H

estl'hamiltonien dusystème 5

.

4

Parlasuitelasommationsurtouslesétats

ψ

dusystèmeàNéle tronsestsousentendu edans lamoyenned'ensemble

5

Dans notre as,l'hami ltoniens'é rit :

H =

ˆ

p

2

2m

+ V (r) + ˆ

σ.B

.Ilpeut aussiin lure d'autres termestelsquele ouplagespin-orbite( ouplagedeRashba),l'eetdu hampéle trique,et ...

Lesobservablessontreliéesparl'équationde ontinuitépourlespin[71℄:

dS

dt

+ ~

∇J

S

=

−T

ext

−

S

τ

sf

(1.7)

dansl'approximationdutempsderelaxation.Iln'y adon pas onservationduspin

des éle trons ommeil y a onservation dunombrede parti ules. Le premierterme

de droite, le ouple

T

ext

, est un terme sour e représentant les eets de ouplage spin-orbite, de l'intera tion Zeeman ave un hamp externe, et ... Le se ond terme

représente l'a umulationdespindue aux ollisionsave renversementduspin.

Ma-thématiquementleterme

T

ext

peutsemettresouslaformed'ungradient

−~

∇ ˆ

P

,qui vas'ajouterau ourantdespin, equimèneàdénirunedensitéde ourantee tive

ˆ

J

S

+ ˆ

P

:

dS

dt

+ ~

∇J

S ef f

=

−

S

τ

sf

(1.8)

Le terme

−h~

∇(ˆJ

S

)

ef f

i

onstitue don le véritable ouple sur l'aimantation. Il apparaîtquelamoyennede

P

ˆ

esttelleque:

(J

S

)

ef f

=

ℜe(ψ

†

{ˆv,ˆs}ψ) = hˆsˆv + ˆvˆsi

(1.9)

où

{ , }

désignel'anti ommutateur.

Eets devolume

Dans un matériau magnétique massif, loin desinterfa es, la ondu tivité

σ

↑

des éle trons majoritaires est supérieure à elle des éle tronsminoritaires (plus grande

d'un fa teur 3 dans le as du obalt). En ir ulant dans un matériau magnétique,

du fait de l'intera tion s-d, le spin des éle trons de ondu tion s'aligne

progressi-vement ave les moments magnétiques lo alisés sur les atomes. Cette intera tion

est ara térisée par une énergie de l'ordre de 0.1

eV

(soit un temps de vie moyen

τ

p

= 10

−13

− 10

−14

s

).

Si la ou heest plusépaissequelalongueurdediusiondespin,ellese omporte

omme un ltre ou un polariseur en spin. La omposante orthogonale du moment

angulairedeséle tronsest édéeàl'aimantation.Le ourantsortantestdon polarisé

enspin.Lapolarisationest lassiquementdénieselon:

P =

σ

_σ

↑

− σ

↓

↑

+ σ

↓

(1.10)

Les ollisions peuvent être élastiques (l'énergie est onservée) mais à

tempé-rature ambiante les intera tions éle tron-phonon et éle tron-magnon, inélastiques,

deviennent prépondérantes. Elles augmentent la résistan e globale de l'empilement

et don tendent à réduire la magnéto-résistan e. Les éle trons perdent la mémoire

de leur moment au ours de e pro essus et, dans la géométrie CIP (" urrent in

the plane"), la diusion est la première sour e de résistan e dans les métaux à

basse température. Si les interfa es sont parfaites, les réexions sont spé ulaires et

il n'y a pas perte d'informationsur le moment

mv

des éle trons. Les interfa es ne ontribuentdon pasàlarésistan ede lastru ture.En revan he,dans lagéométrie

CPP (" urrentperpendi ular tothe plane"), lesinterfa es ontribuenttoujoursàla

Diusion àl'interfa e

Il faut distinguer les équations déterminant la distribution d'éle trons et elles

régissant la distribution de spin

↑

et

↓

. La densité de spin est en général hors équilibre.

δn

↑

(resp.

δn

↓

)représente l'é art par rapport àl'équilibre deporteurs de spin

↑ (resp. ↓)

.Ladensitétotaledeparti ulesest alors

n = n

↑

+ n

↓

.

Lorsqu'un ouranttraverseuneinterfa eentreunmétalnormaletun

ferromagné-tique,leséle tronsdespinmajoritairedansl'éle trodemagnétiqueontunemeilleure

ondu tivitéquelesminoritaires;uneplusgrandeproportiond'entreeuxestextraite

depuisl'éle trodemétallique.Au ontraire,leséle tronsminoritairess'a umulentau

voisinagede l'interfa e. Le système tente de restaurerl'équilibre par unmé anisme

dediusiondesporteursdespin.

A l'interfa eondénit troisquantités:

 l' a umulation de spin: 'estladiéren eentreladensitéd'éle trons

mino-ritaires

n

↓

etmajoritaires

n

↑

.Onnote

δn

S

= δn

↑

− δn

↓

 le ourant de spin:le ouranttraversantl'interfa eest polarisé ar

j

↑

> j

↓

;

J

S

= j

↑

− j

↓

 le potentiel éle tro himique dépendant duspin :

µ

σ

(r)

, qui n'estpas égal aupotentieléle trique"vrai"

V (r)

auvoisinagedel'interfa e:

µ

σ

=

2π

2

_v

F

~

k

2

F

δn

σ

(r)

− eV (r)

(1.11)

où

v

F

et

k

F

sont la vélo ité et le ve teur d'onde d'un éle tron au niveau au niveau deFermi.

L'équationdeladiusionappliquéeà haquepopulationd'éle trons onduità:

∂n

σ

∂t

= D

σ

∇

2

_n

σ

(1.12)

D

dépend duspin ar leséle tronsmajoritairesontuntemps devie

τ

sf

plusgrand que eluidesminoritaires(dufaitdel'intera tionsp-d).Onadon :

J

↑

=

σ

↑

e

E

− D

↑

∇δn

↑

(1.13)

Ilfaut retenir quele ourantde spin varie ave le gradient lo al de l'a umulation.

L'équationd'évolutiondel'a umulationdespinest :

dδn

S

dt

=

−∇ · J

S

−

δn

S

τ

sf

(1.14)

Lepremierterme dedroite résulteduux d'éle tronspolarisésenspintraversantla

ou hemagnétique.Lese ond estuntermephénoménologiquederelaxation.La

lon-gueur ara téristiquesurlaquelleseressentl'a umulationdespinest

ℓ

sf

=

p

D

S

τ

sf

, oùD

S

estle oe ientdediusiondépendantduspin.Elleest déniepar[16℄:

ℓ

−2

sf

= (ℓ

↑

)

−2

+ (ℓ

↓

)

−2

avec

ℓ

α

= v

F

v

u

u

t τ

sf

3

Ã

1

τ

sf

+

1

τ

α

!

−1

(1.15)

Longueurs ara téristiques

Leslongueurs ara téristiquesdutransportdiusifdépendantduspinsont:

 les libres par ours moyens(élastiques) dépendant duspin

ℓ

: 'est la distan e moyenneentredeux ollisions

 lalongueurdediusion despin

ℓ

sf

 lalongueurdeFermi

ℓ

F

 et biensûrl'épaisseurdes ou hes

Dans les matériauxferromagnétiquesusuels, la longueurde diusionde spinest

souventplusgrandequelelibrepar oursmoyen, artoutesles ollisionsn'entraînent

paslerenversementduspin 6

.Ainsi hoisit-ondedéposerdes ou hesmagnétiquesune

épaisseurdel'ordrede

ℓ

(quelquesnanomètres),nesparrapportà

ℓ

sf

(dequelques nanomètresàquelquesdizainesdenanomètres).

1.1.3 Modèle à deux ourants

Abassetempérature(TT

c

),lespro essusdediusion onduisantaurenversement duspind'unéle tron("spin-ip"),lesintera tionsmagnon-éle tronparexemple,sont

gelés.Mottasuggéréunmodèleoùleséle tronsdespin

↑

et euxdespin

↓

sepropagent enparallèledansdeux anauxdistin ts[17℄.La ondu tivitédelastru tureestdon

lasommedes ondu tivitésde esdeux anaux[15℄:

σ = σ

↑

+ σ

↓

(1.16)

d'oùlarésistivitédansles ongurationsparallèleetanti-parallèle:

ρ

P

=

ρ

↑

ρ

↓

ρ

↑

+ ρ

↓

et ρ

AP

=

ρ

↑

+ ρ

↓

4

(1.17)

σ

α

et

ρ

α

sontla ondu tivitéet larésistivitépour haquedire tion despin.

Lapolarisation deséle tronsdansleséle trodesmagnétiquesest ara tériséepar

le oe ientd'asymétriedespin

α

:

α =

σ

↑

σ

↓

=

ρ

↓

ρ

↑

(1.18)

Les ondu tivités

σ

↑,↓

peuvent être estimées à l'aide du modèle de Drude [1,2℄. Le temps de relaxation deséle tronspla és dans unpotentieldiuseur

V

↑,↓

vaut, dans l'approximationdeBorn:

τ

_↑,↓

−1

=

2π

~ |

V

↑,↓

|

2

D

↑,↓

(ǫ

F

)

(1.19)

La magnéto-résistan e dépend i i de manière expli ite à la fois du paysage de

potentiel dépendant du spin

V

, traduisant les eets des impuretés, et aussi de la stru turede bandevialadensitéd'étatauniveau deFermi

D

α

. Cal uler es termes n'est possible qu'àpartirde théories bien plusélaborées(méthodes ab initio), dans

lalimiteoùladensitéd'impuretés estfaible.

Quandlatempératureest plusélevée,l'équation 1.17devient:

ρ

AP

=

ρ

↑

ρ

↓

+ ρ

↑↓

(ρ

↑

+ ρ

↓

)

ρ

↑

+ ρ

↓

+ 4ρ

↑↓

(1.20)

6

Notonsque en'estpastoujoursle asetqu'enparti ulier,danslePermalloy,

ℓ

↑

≈

7nm,

ℓ

↓

≈

1nm,tandisque

ℓ

sf

≈

vautenviron5nm.

Fig.1.2:Illustrationdeladiusiondeséle trons majoritaires(

↑

)etminoritaires(

↓

)dans les ou hesmagnétiques, lorsquelajon tionest dansl'état parallèle(P) ou

anti-parallèle(AP).Endessous,le ir uit éle triqueéquivalent pourlemodèleà deux

ourants:ladiusionestfaiblepourleséle tronsdontlespinestmajoritairedans

une ou hemagnétique (résistan efaibler )etélevée lorsqu'ilssontdansl'étatde

spinminoritaire(résistan eR)

où

ρ

↑↓

représente lemélange despin entre les deux anaux de ondu tion.Dans la limite des hautes températures, les ollisions ave renversement de spin sont plus

fréquentesque elles onservantlespinet larésistivitéest réduiteà:

ρ

AP

=

ρ

↑

ρ

↓

ρ

↑

+ ρ

↓

(1.21)

Dans une vanne de spindans l'état parallèle,les éle tronsmajoritairessontpeu

diusésdanslesdeux ou hesmagnétiques,au ontrairedesminoritaires:ilya

ourt- ir uitparle anal

ρ

↑

.Dansl'étatantiparallèle, haquetyped'éle tronsestfortement diusédansl'une desdeux ou hes.Onaalors:

R

P

≈ R

↑

et R

AP

=

R

↑

+ R

↓

4

(1.22)

Lamagnéto-résistan es'é ritdon :

M R =

R

AP

− R

P

R

P

=

(α

− 1)

2

4α

(1.23)

Ainsi plus l'asymétrie de spin est grande, plus la vanne de spin présente une

magnéto-résistan eélevée.

Ces al uls ne sont validesque pourdes ou hes magnétiques asseznes ar on

néglige tout phénomène de "spin-ip". L'épaisseur globale doit être faible devant

le libre par ours moyen. Par ailleurs, la résistivité de l'espa eur (par exemple le

Cuivre : 6 n

Ω

m) étant d'un ordre de grandeur plus faible que elle des matériaux ferromagnétiques (ainsi le Cobalt : 86 n

Ω

m), il peut sembler logique de négliger etterésistan edansle ir uit.L'espa eurneserti iqu'àdé ouplermagnétiquement

les deux aimantations. Mais 'est sans ompter ave les résistan es d'interfa es et

l'eet dudésordre surladiusion deséle trons.Letransport pourdesaimantations

1.1.4 Modèles de diusion

Le modèlede Valet et Fert [16℄ tient ompte des eetsd'a umulationet de

re-laxation despin auxinterfa es. Les paramètresphénoménologiques de ette théorie

sont les résistivités des matériaux massifs, les résistan es d'interfa e, ainsi que les

oe ientsd'asymétrieasso iés,etleslongueursdediusiondespin:



β

est le oe ientd'asymétriedevolume,telque

J

↑,↓

= 1/2J

0

(1

± β)

(

J

0

estla moyennede esdeux ourants)



γ

estle oe ientd'asymétried'interfa e:

R

↑,↓

F/N

= 2R

∗

F/N

(1

± γ)

,où

R

σ

F/N

est larésistan ed'interfa epour haquedire tiondespinet

R

∗

F/N

lamoyennedes résistan es.

Ave emodèle,ValetetFertontmontréquelepotentieléle tro himiqueet

l'a u-mulationdespindé roissentexponentiellementenfon tiondeladistan eàl'interfa e.

Lalongueur ara téristiquededé roissan eest

ℓ

sf

.Ce modèleétendlathéoriedela ondu tion àdeux anaux développée parJohnsonet Silsbee [18℄et parvanSon et

al.[19℄.DanslemodèledeBoltzmanndépendantduspin,lafon tiondedistribution

deséle tronsest régieparl'équationsuivante:

v

z

∂f

∂z

− eEv

z

∂f

0

∂ǫ

=

³ ∂f

∂t

´

coll

(1.24)

oùletermededroitereprésentela ontributiondes ollisionsauxvariationsde

f

. Dans lalimite desfaibles perturbations,ledéveloppementaupremierordredela

fon tiondedistributionpourleséle tronsdespin

σ

donne:

f

σ

= f

0

+

∂f

0

∂ǫ

[

−(µ

σ

− µ

0

) + g

σ

]

(1.25)

où

g = g

σ

(z, k)

représente la omposante anisotrope de la fon tion de Boltzmann (

µ(z)

est isotrope dans l'espa e des

k

) [20℄. Du fait de l'a umulation de spin, le potentiel himique dépend du spin; on note :

µ

σ

= ¯

µ

σ

+ eV

et

µ

¯

↑(↓)

= ¯

µ

± ∆µ

. Endéveloppant

g

entermesd'anisotropie roissante,l'équationdeBoltzmanntraitée dansl'approximationdutempsderelaxationdevient:

J

_α

₌

σ

α

e

∂ ¯

µ

α

∂z

(1.26)

e

σ

α

∂J

α

∂z

=

¯

µ

α

− ¯µ

−α

ℓ

2

α

(1.27)

où

ℓ

α

est la longueurde diusion despin et

σ

α

est la ondu tivité pourun spin

α

. Cette équation est valide dans la limite où le libre par ours moyen est grand par

rapportàlalongueurdediusiondespin,quelquesoitl'épaisseurdela ou he.

Les paramètresd'interfa e servent àdénirles onditionsde bords.Le potentiel

∆µ

n'estpas ontinuauxinterfa es,et la hutede potentielest proportionnelleàla densitéde ourant:

¯

µ

σ

(0

+

)

− ¯µ

σ

(0

−

) = R

F/N

AeJ

σ

(1.28) e qui dénit les résistan es d'interfa es. Les solutionsde l'équation de Boltzmann

dé roissentexponentiellement ave ladistan e àl'interfa e. Pour une interfa e

mé-tal/ferro,Valetet Fert obtiennent[16℄:

∆µ =

β

1

_{− β}

2

eE

0

ℓ

sf

e

−|z|

ℓsf

où E

0

est le hamp éle trique appliqué à l'empilement et

|z|

est la distan e à l'interfa e. Ce i montre que l'a umulation de spin est lo alisée dans une ou he

d'épaisseur

ℓ

sf

dans le ferromagnétique. Cette a umulation perturbe le hamp éle triquelo al, equi réeunerésistan eadditionnellepurementinterfa iale.

Fig.1.3:A umulationde spindans une valvede spinen ourant perpendi ulaireau plan

desinterfa es:variationsdupotentiel himiquedansles ongurationsparallèleet

antiparallèlepour unempilementpériodique ferromagnétique/métalnormal.[16℄

Si onin lutenpluslesrésistan esdues àladiusionàl'interfa eet e,pourune

stru turede typeF/N/F,onobtientdesexpressionsplus omplexesde larésistan e

totale[16℄.PourunempilementdeMbi ou hesferromagnétique/métalnormal,Valet

et Fert dénissent la résistan e omme lasomme d'une résistan emoyenne et d'un

terme umulanttousleseetsdépendantduspin:

R

P/AP

= M ((1

− β

2

)ρ

∗

F

t

F

+ ρ

∗

N

t

N

+ 2(1

− γ

2

)r

b

∗

+ 2r

P/AP

SI

)

(1.30) où

2ρ

∗

F

et

2ρ

∗

N

sontlesrésistan esmoyennesdansla ou heferromagnétiqueet dans le métalnormal respe tivement,

t

F

et

t

N

sont lesépaisseurs des ou hes et

2r

∗

b

est larésistan emoyenne dueàla diusionà l'interfa e(

r

↑(↓)

= 2r

∗

b

(1

± γ)

). Enn

r

SI

est larésistan ed'interfa edueàl'a umulationdespin; elledépendde lalongueur

dediusion despin

ℓ

sf

et du oe ientd'asymétrie devolume

β

. Danslalimite où

t

≪ l

sf

,onaboutitàlarelationsuivante:

p

(R

AP

− R

P

)R

AP

= β

t

F

t

F

+ t

N

ρ

∗

F

L + 2M γr

∗

b

(1.31)

où

L

est l'épaisseur totale de l'empilement et

M

est le nombre de bi ou hes F/N. Cette équation peut être utilisée pour déterminer les fa teurs d'asymétrie et les

résistan esd'interfa esàpartirdesmesuresdeGMRee tivessurdesmulti ou hes.

On onstate que les ontributions de volume et d'interfa e sontdistin tes. Lorsque

les ou hessonttrèsnes, ladiusion àl'interfa eestprédominante.

Lesparamètrespourlesinterfa esPy/CuetCo/Cu,quenousavonsétudiéeslors

de ette thèse,sontrésumésdansletableau i-dessous :

Cette méthodeapermis dedonnerun adre physiquesatisfaisantauphénomène

de diusion de spin dans les hétérostru tures magnétiques. Les prédi tions

quanti-tativesde la GMR sont relativement orre tesmais dépendent des valeursretenues

Matériau Co Ni

19

Fe

81

Co

50

Fe

50

Cu

ρ

∗

(n

Ω

m) 86

±

5 159 250 6

±

1

β

0.5

±

0.05 0.7 0.65

±

0.05 r

∗

(f

Ω

.m

2

) 0.5

±

0.02 0.5

γ

0.76

±

0.05 0.85

ℓ

sf

(nm) 60 5.5

±

1 12

±

1 >450

ℓ

(nm) 10 10

Tab.1.1:Prin ipauxparamètres desmodèlesde diusionpourdes matériaux

ferromagné-tiques usuelsetleCuivre,quiestl'espa eurleplusemployé(T=4.2 K)[21℄.

Stiles a repris le problème de l'a umulation de spin à l'aide du formalisme de

Boltzmann an de traiter la magnéto-résistan eet le transfert de spin dans le as

d'aimantations non olinéaires [24℄. Slon zewski a déterminé une expression de la

magnéto-résistan edansunmodèlebaséàlafoissurdesargumentsbalistiquesetde

diusion[25℄.Lesrésultatssontexposésdanslapartie onsa réeautransfertdespin.

1.1.5 Con lusion

Le modèle de diusion développé par Valet et Fert permet de rendre ompte

d'un des mé anismes essentiels de la magnéto-résistan e dans les jon tions

métal-liques, l'a umulation de spin. Le transport de harge et le transport de spin sont

dèslorsrégispardesloissensiblementdiérentes.Laprésen e d'uneinterfa emétal

normal/ferromagnétique pla e lo alement la distribution de spin hors équilibre, et,

ommel'a umulationpénètredansl'espa eur, elui iestpartiellementaimanté.Sur

ette base,un modèle àdeux ourantstenant ompte de la diusion dépendant du

spinest onstruit pourles ou hesferromagnétiques.Cependant,l'eet desdensités

d'étatsauxinterfa esn'apparaîtpasexpli itement(ilapparaîttoutedemêmede

ma-nièreimpli ite autraversdes ÷ ientsd'asymétrie

γ

) et,surtout, e modèlen'est valablequepourdesaimantations olinéaires.

1.2 Théorie de la magnéto-résistan e tunnel

Les premières observations expérimentales de la magnéto-résistan e dans les

jon tions tunnel débutent en 1975 ave les travaux de Jullière [26℄ portant sur des

stru tures Co/Ge/Ni (TMR de l'ordre de 14 % à 4,2 K). Maekawaet Gäfvert [27℄

onttenté dereproduire etteexpérien esurdesjon tionsNi/NiO/Comaismesurent

seulement 2% à 4,2 K. L'amplitude de la magnéto-résistan e était limitée par la

qualité des interfa es et des dépts. Il a fallu attendre 1995 pour que l'intérêt soit

relan é par les mesures de TMR supérieures à 10 % relevées par Miyazaki [28℄ et

Moodera [29℄, qui ont réussi à mettre au point un pro édé de dépt de ou hes

d'Al

2

O

3

nesetrégulières.

La magnéto-résistan e tunnel est la onséquen e de l'eet tunnel dépendant du

spin, dé ouvert par Meserveyet Tedrow[30℄.Ces auteurs ontétudié lapolarisation

enspindu ouranttunnelenutilisantune ou hesupra ondu tri e ommeanalyseur.

Deuxphénomènes on ourentà eteetdeltrage:

 éle trons majoritaires et minoritaires n'ont pas la même densité d'états dans

l'éle trodesupra ondu tri e,dufaitdelalevéededégénéres en epareet

 éle trons majoritaires et minoritaires n'ont pas la même probabilitéde

trans-mission arilsn'ontpaslesmêmesdensitésd'état.

La onvolution de es deux eets peut onduire à des polarisations en spin et des

valeursdeTMRbien diérentesde ellesprévuesparlaméthodedeJullière,

notam-ment dans le as où lapolarisation est négative.Ilest vite apparu quela stru ture

éle troniqueàl'interfa eferro/isolantestdéterminantepourlepro essustunnel[31℄.

L'amélioration des te hniques de dépt et de nano-fabri ation a permis une étude

approfondiede es eets.LesplusfortesvaleursdeTMR ontd'ailleurs étéobtenues

ave MgO,unmatériauquipermetla roissan ede ou hesparti ulièrementpropres

et ordonnéesparépitaxie.

Il onvient de noter que transport par eet tunnel et ondu tion au travers

d'un métal résultent de mé anismesfondamentalementdiérents: lese ond est un

pro essus de diusion, au ours duquel les éle trons peuvent hanger de ve teur

d'onde, de vélo ité, de spin .... L'eet tunnel est en première approximation un

pro essusbalistique:lesrèglesdeséle tionimposentla onservationdela omposante

k

k

du ve teur d'onde et du spin. Cependant les théories les plusavan éestiennent omptedepro essusdediusionélastiquesouinélastiquesdanslabarrièreainsique

dudésordreàl'interfa e[32℄.

Le transport tunnel dépendant du spin peut être traité en utilisant les

forma-lismesdéveloppésplushaut(unerevuedesdiversesméthodesestdisponibledans[34℄

et [35℄). En premier lieu nous allons étudier un modèle simple dé rivant l'eet

tunnel an d'illustrer la élèbre formule deJullière. Ensuite lathéorieproposéepar

Slon zewski en 1989 est exposée en détail,avant quelques lignes sur les progrès en

matièrede al ulsab initio.

1.2.1 Théorie lassique du transport tunnel

Quand lajon tiontunnel est polariséeàunetension

V

,le ourantd'éle tronsde spin

σ

sepropageantautraversdelabarrièreest al uléàpartirdelarègled'orde Fermi:

I

+

σ

(V ) =

2πe

~

X

k

_,k

′

|T

σ

k

,k

′

|

2

f (ǫ

k

)(1

− f(ǫ

k

′

))δ(ǫ

k

− ǫ

k

′

+ eV )

(1.32) Les oe ients

T

σ

k

,k

′

représententladensitédeprobabilitédetransmissiond'un éle -tron de ve teur

k

et de spin

σ

vers un état (

k

′

,

σ

). La ontribution des éle trons sepropageantdans lesensopposéest donnéeparunsimpleargumentde symétrie :

I

−

σ

(V ) = I

σ

+

(

−V )

. Le ouranttunnels'é rit aunal:

I

σ

(V ) =

2πe

~ h|

T

σ

kk

′

|

2

i

Z

D

Gσ

(ǫ

− eV )D

Dσ

(ǫ)(f (ǫ

− eV ) − f(ǫ))dǫ

(1.33)

où

D

Gσ

(resp.

D

Dσ

) est ladensité d'états del'éle trode de gau he (resp.de droite) disponiblepourl'eettunnel.Cesdensitésd'étatsontétémesuréesexpérimentalement

surdesstru turesdetypeS/I/M(Supra ondu teur/Isolant/Matériaumagnétique)à

trèsbassetempérature.Enprésen ed'un hampmagnétique,lesniveauxd'énergiedes

étatsdu supra ondu teur(Al dans lestravauxde Meservey[30℄)qui vont tunneller

autraverslabarrièresontséparéspareetZeeman.Ladensitéd'étatsdisponiblesest

donnéepar:

où

D

BCS

estladensitéd'étatdelathéorieBCS 7

.Cetteméthodepermetderemonter

àlapolarisationenspinspé iqueà haquematériauferromagnétique:

P =

G

_G

↑

− G

↓

↑

+ G

↓

(1.35)

Matériau Ni Co Fe Ni

19

Fe

81

Co

50

Fe

50

Co

81

Fe

16

Polarisation 33% 42% 45% 48% 55% 55%

Tab.1.2:Valeursde lapolarisationdesélémentslesplusemployés,mesuréesdans les

em-pilementsMétal/Al

2

O

3

/Al.

Supposons quelapolarisation

V

appliquéeàlajon tion soit susamment faible pourquel'on puisse onsidérer lesdensitésd'états onstantes sur

[ǫ

F

, ǫ

F

+ eV ]

. La ondu tan edel'empilementvaut:

G(V )

_≈

2πe

2

~

h|T

σ

kk

′

|

2

iD

Gσ

D

Dσ

(1.36)

L'hypothèsesimpli atri efaiteparJullière[26℄ onsisteàdirequela ondu tan e

est proportionnelle au produit du nombre d'états émetteurs par elui du nombre

d'états disponibles. Ce i revient à onsidérer les éléments de matri e

T

σ

kk

′

omme indépendantsduspinetduve teurd'onde.

Fig.1.4:Cal uldela ondu tan eàV

≈ 0

pourles ongurationsPouAP ommeleproduit desdensitésd'états

D

desorbitalesddel'éle trodedegau he(états donneurs)par lesdensités d'étatde ellededroite(états disponibles)

La ondu tan edesétatsparallèleetantiparallèles'é ritalors:

G

P

∝ D

G↑

D

D↑

+

D

G↓

D

D↓

(1.37)

G

AP

∝ D

G↑

D

D↓

+

D

G↓

D

D↑

(1.38)

où

↑

et

↓

désignentleséle tronsmajoritairesetminoritairesdansles ou hes magné-tiquesgau heetdroite.

P

G

et

P

D

dénotentlapolarisationdel'éle trode ferromagné-tiquedegau heet dedroite respe tivement:

P

i

=

D

↑i

− D

↓i

D

↑i

+

D

↓i

(1.39)

7

elle se détermine à partir de la densité d'état du supra ond u teur dans l'état normal

D

N

:

D

BCS

= D

N

Re

h

_|ǫ|

√

ǫ

2

_−∆

2

i

Lamagnéto-résistan etunnelest alorsdonnéeparlaformuledeJullière[26℄:

T M R =

2

P

G

P

D

1

− P

G

P

D

(1.40)

Cette méthode expression donne une estimation despolarisations et de laTMR

ave unbonordre de grandeur dans ertains as. Mais ellene rend pas ompte des

asde polarisationnégative(parexemple

P

est négativesi on onsidèrelesdensités d'étatdeséle tronss dansCoouNi)

8 .

Stru ture TMR(exp.) TMR(Jullière)

Co

25

Fe

75

/Al

2

0

3

/Co

25

Fe

75

74% 69%

Co/Al

2

0

3

/Co 42% 37%

Ni/Al

2

0

3

/Ni 25% 23%

Tab.1.3:Valeurs de la magnéto-résistan e tunnel pour diérents empilements : données

expérimentalesetestimationsselon lathéorie deJullière.

La question est de savoir quelle densité d'état parti ipe ee tivement à l'eet

tunnel, notamment pour des métaux ferromagnétiques à la stru ture éle tronique

omplexe. Stearns [37℄ a montré que, du fait de l'intera tion s-d, les éle trons des

bandesd ontribuantautransport auniveaude Fermi possédentun ara tères.Ce

sont des éle trons d "itinérants", ave une stru ture de bande parabolique dé alée

selonladire tiondespin.Dansunmodèled'éle tronslibres,larelationdedispersion

indiqueque

D(ǫ

F

)

∼ k

,d'où lapolarisation:

P =

k

_k

↑

− k

↓

↑

+ k

↓

(1.41)

Ladi ultérésidedansl'évaluationdes oe ientsdetransfert

T

kk

′

.Ilspeuventêtre déterminésparlesméthodesdepremiersprin ipesouêtrevus ommedesparamètres

phénoménologiques.

Le al ul développé i-dessusdonneuneestimationdelamagnéto-résistan e

tun-nel uniquement pour la onguration olinéaire des aimantations dans les ou hes

magnétiques.Le asnon- olinéaireaétéanalyséparSlon zewskidans[32,38℄.

1.2.2 Modèle d'éle trons libres ( d-itinérants)

Pourtraiter l'eettunnel entre deux éle trodes magnétiques,une deuxième

pos-sibilité onsisteàemployerlemodèled'éle tronslibres.Dans le al ul développépar

Slon zewski [38℄, les fon tions d'ondes sont al ulées exa tement dans ha une des

éle trodes. Ces états sont ara térisés par un ve teur d'onde dont la omposante

transverse (

k

k

) est onservée lors de la traversée de la barrière tunnel (du fait de l'invarian epartranslationselonl'axe0z)etparleurspin

σ

.

Considérons tout d'abord une barrière tunnel dont les éle trodes sont

non-magnétiques.Sa ondu tan eparunitédesurfa evaut:

G =

e

2

h

Z

T (k

k

)

dk

2

k

(2π)

2

(1.42) 8

Ladéterminationpeutêtreamélioréeparlate hniquederée tiond'Andreev[36℄,oùleséléments

dematri evalent

|M|

2

_{∼ v}

F

,alorsquepourunebarrièretunnelona

|M|

2

_{∼ v}

2

k

Fig.1.5:Prol de potentiel dans une

jon tion tunnel dont labarrière

aune hauteur

Φ(x)

etallure de la fon tion d'onde dont

l'am-plitude s'atténue exponent

ielle-mentdansl'isolant

Le oe ientdetransmission

T (k

k

)

est al uléenrésolvantl'équationdeS hrödinger pourl'ensembledelastru ture.Lessolutionsasso iéesauve teurd'onde

k

k

sontdes fon tionsdeBlo h qui s'é rivent ommeune ombinaison linéairede fon tionsdela

forme

ϕ

i

(x) = a

i

e

k

i

x

_{+ b}

i

e

−k

i

x

. Leve teur d'ondepourl'éle trodedegau he,pour labarrièreet pourl'éle trodededroitesontrespe tivement:

k

G

=

q

(2m/~

2

_)(ǫ

_{− V}

G

)

− k

2

k

κ =

q

k

2

k

− (2m/~

2

)(Φ

− ǫ

F

)

(1.43)

k

D

=

q

(2m/~

2

_)(ǫ

_{− V}

D

)

− k

2

k

L'atténuationdanslapartie isolante reprendlerésultatdel'approximationW.K.B..

Les oe ients

a

i

et

b

i

sontdénisde telle sorteque

ϕ

et sa dérivéesont ontinues auxinterfa es.Onendéduit laprobabilitédetransmission:

T (k

k

) =

|a

D

|

2

k

D

|a

G

|

2

k

G

≈

16k

G

κ

2

k

D

(k

2

G

+ κ

2

)(k

D

2

+ κ

2

)

e

−2κd

(1.44)

où

d

estl'épaisseurdelabarrièreisolante.

Plaçonsnousdansle asd'unebarrièreestfaiblementtransmissive:

e

−2κd

1,

'est-à-dire

T (k

k

)

1.On onsidèreunestru turedebandeparabolique:

R

dk

2

k

(2π)

2

=

R

ρ

k

(ǫ)dǫ

oùl'énergies'é rit

ǫ = (~

2

_/2m)k

2

k

etladensitéd'états

ρ

k

vaut

m/2π~

2

.Danslalimite

oùlabarrièredepotentielleestgrande,ona

κ

≫ |k

k

|

etonendéduit uneexpression simpliéedela ondu tan e:

G

_{≈ 2}

e

2

~

κ

0

4πd

T (k

k

= 0) = 2

e

2

~

κ

0

4πd

4k

G0

κ

2

0

k

D0

(k

2

G0

+ κ

2

0

)(k

D0

2

+ κ

2

0

)

e

−2κ

0

d

(1.45)

oùlestermes indi éspar0désignentlesve teursd'ondeprisà

k

k

= 0

.

Dansle asdejon tionstunnelmagnétiques,lemodèled'éle tronslibresdéveloppé

par Slon zewski [38℄ peut être utilisé en tenant ompte de la stru ture de bande

dépendante duspin.Lemodèlereposesurleshypothèsessuivantes:

 leséle trodessontdemême matériau

 lastru tureéle troniquedeséle trodesestparabolique

 les anaux de ondu tion pour haquedire tion de spinsontindépendantsles

 labarrièredepotentielle est arrée(dehauteur

Φ

)

Leve teurd'ondedeséle tronsdespinmajoritaire(resp.minoritaire)s'é rit:

k

↑(resp.↓))

=

q

(2m/~

2

_)(ǫ

_{± V}

sp

)

− k

k

2

(1.46)

où

2V

sp

représenteledé alagedebandeentreleséle tronsmajoritairesetleséle trons minoritaires ( 'estle ouplaged'é hange). Si on onsidère lesdeux éle trodes

symé-triques,ona:

k

G0

= k

D0

pour haquedire tiondespin.Ladépendan eangulairede la ondu tan eest:

G = G

0

(1 +

P

ef f

2

cos θ)

(1.47) L'expressiondelamagnéto-résistan etunneldevient:

T M R =

(k

↑0

− k

↓0

)

2

_(κ

2

0

− k

↑0

k

↓0

)

2

2k

↑0

k

↓0

(κ

2

0

+ k

2

↑0

)(κ

2

0

+ k

2

↓0

)

=

2

P

2

ef f

1

_{− P}

2

ef f

(1.48) où:

P

ef f

=

k

↑0

− k

↓0

k

↑0

+ k

↓0

κ

2

0

− k

↑0

k

↓0

2

κ

2

0

+ k

↑0

k

_↓0

2

Le premier terme dans

P

ef f

est le même que elui de Stearns et représente la polarisation intrinsèque dumatériau. Le se ond terme est un préfa teur dépendant

essentiellementde la hauteurde la barrièretunnel

Φ

. Dans lalimite d'une barrière très haute, on trouve un résultat similaire à elui de Jullière : la ondu tan e est

proportionnelle au produit des densités d'états. Dans e modèle, il est possible de

dé onvoluer

P

2

ef f

en unproduit de deuxpolarisations pour ha unedes deux inter-fa es.Cettesimpli ationn'estpastoujourspossible[38℄.Notonsquelapolarisation

estspé iqueàun ouplemétal/isolantetnonpasaumétalseul.

Cesrésultatsnesontvalidesquepourunebarrière arréeetlesprédi tions

quanti-tativesdelaTMRsontassezsensiblesauproldepotentiel,expérimentalementmal

onnu.Simmons[39℄aee tuéle al uldu ouranttunnelpourunproldepotentiel

trapézoïdaldehauteurmoyenne

Φ

¯

:

J

₌

J

0

d

( ¯

Φ

−

1

2

eV )e

−Ad

√

Φ−eV /2

¯

−

J

_d

0

( ¯

Φ +

1

2

eV )e

−Ad

√

ϕ+eV /2

¯

(1.49)

Cetteformule est souventutilisée (ainsique lestravauxde Brinkman[40℄ ou

Strat-ton [41℄) pour déterminer la hauteurde barrière àpartir des relevés I(V). Ainsi la

ondu tan e

G(V )

est onstanteàtrèsfaibletensionpuis,auxvaleursintermédiaires, estquadratiqueenV.

Lasensibilitéauproldepotentieldanslabarrière onstituelalimitationà

l'em-ploidetellesthéoriespourprédirequantitativementlaTMR.Uneexpli ationestque

la représentation en termes de fon tions d'onde d'états bien dénis (dans le ÷ur

dumétal dumoins) n'estpasadaptée arellesne tiennentpas ompte desdensités

d'étatsauxinterfa es.

1.2.3 Modèle des liaisons fortes

Comme pour Stearns, le modèle de Slon zewski repose sur une stru ture

éle -tronique en deux sous-bandes paraboliques dé alées de l'énergie d'é hange (modèle

d'éle trons d itinérants). Mais la surfa e de Fermi a en général une topologie plus

formuleW.K.B.estentouterigueurinexa t.

L'emploi de la méthode des liaisons fortes asso ié au formalisme de

Kubo-Landauer a permis une des ription plus ne du transport tunnel, notamment

dans les jon tions magnétiques [34,42,43℄. Au ontraire des jon tions métalliques,

dans une jon tion tunnel les éle trodes se perturbent faiblement l'une l'autre. Les

étatsqui ontribuentàl'eettunnelsontdon euxdeséle trodesinnimentéloignées.

Par lasuite,leshypothèsessuivantessontposées:

 au unpro essusde ollisioninélastiquepouvantengendrerunrenversementdu

spinn'intervientdanslabarrièretunnel



k

k

est onservé:absen ededéfautdanslabarrièreouderugositéauxinterfa es  larésistan edeséle trodesesttrès faibleet négligeableparrapport elle dela

barrière; e in'estévidemmentpasle asd'unestru ture GMR,oùlesystème

omplet {éle trodes+barrière}doitêtremodélisé.

 lespro essusdediusionave renversementduspinnesontpasprisen ompte

[16℄.

Contrairementà equisepassedanslesjon tionsmétalliques,la hutedepotentielse

produitessentiellementdanslabarrière;leseetsd'a umulationdespindeviennent

alorsnégligeables,et e,quelquesoitl'épaisseurdes ou hes.

Considérons deux éle trodes magnétiques, séparées par

N

plans atomiques du matériauisolant.La ondu tan eautraversd'unebarrièreisolanteestdonnéeparla

formuledeKubo/Landauer[44℄:

G =

π~

2

N

2

Z

_X

N

n=1

X

α,β

|hα|J

n

|βi|

2

δ(ǫ + eV

− ǫ

β

)δ(ǫ

− ǫ

α

)dǫ

(1.50)

où

|αi

et

|βi

sontdes étatspropresdusystème (lesystème {barrière})d'énergie

ǫ

α

et

ǫ

β

,

n

estl'indi edu

n

ieme

planatomiquedelabarrière,quien omporte

N

,et

J

n

estl'opérateurde ouranttraversantle

n

eme

planatomique:

J

n

(k

k

) =

ie

~

h

tc

†

_n+1

c

n

− tc

†

n

c

n+1

i

(1.51)

où

t

est l'intégralede sautentre deuxplans atomiquesadja entset

c

n

(resp.

c

†

n

)est l'opérateurd'annihilation(resp.de réation)pourunétat

|i, k

k

i

.

Dans lalimite desbarrièreshautes outrèsépaisses,l'intégrale desautest pro he

de0et onobtient[44℄:

G

_≈

2πe

2

~

e

−2κaN

D

G

D

D

(1.52)

où

a

est la onstante du réseaudans l'isolant (

aN = d

, l'épaisseurde ette ou he) et le oe ient d'atténuation dans la barrière

κ

peut se déduire de la relation de dispersiondansl'isolant:

ǫ

F

= Φ + 2cosh(k

⊥

a) + 2(cos(k

x

a) + cos(k

y

a))

ave

k

⊥

= iκ

et

k

k

= (k

x

, k

y

)

.

Φ

est la hauteur de la barrière. Ce résultat est identique à elui donné par la théorie lassique de l'eet tunnel. Le préfa teur

e

−2κaN

montre la

forte dépendan e dela ondu tan eenfon tiondelahauteuret del'épaisseurdela

barrièretunnel; 'estunrésultatsimilaireàl'approximationW.K.B. sion onsidère

κ

indépendantde

k

k

.

Les expressions de la ondu tan e sont spé iques à un type d'orbitale donné

(

s

,

p

,

d

et orbitales hybrides) et pour un seul anal de spin

σ

. On onsidère que le transport tunnel se fait entre orbitales identiques. I i en ore on ne al ule les