Controle, chaotification et hyperchaotification des systèmes dynamiques

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’enseignement supérieur

et de la recherche scientifique Université de Mentouri Constantine

Département d’électronique

CONTROLE, CHAOTIFICATION ET

HYPERCHAOTIFICATION

DES SYSTEMES DYNAMIQUES.

Thèse

Présenté pour obtenir le diplôme de Magister

En

Electronique

Option

Contrôle

Par M r Ikhlef Ameur

Président : Mr K. BELARBI Professeur U. Constantine

Rapporteur : Mme N. MANSOURI Professeur U. Constantine

Examinateurs : Mr A. BENNIA Professeur U. Constantine

Mr A. CHAREF Professeur U. Constantine

PROMOTION

Remerciement

Je pense en premier lieu à Mme _{N O R A M ANSOURI, professeur au département}

d’électronique, université de Constantine, que je remercie énormément pour avoir encadré ce travail de mémoire avec précieux conseils et beaucoup de compétence et de disponibilité. Merci madame pour la qualité du sujet, merci pour vos conseils et la confiance que vous m’avez accordée au cours de cette année.

Je tiens à exprimer ma gratitude envers les membres de jury pour leurs disponibilités :

Mr K. BELARBI, professeur au département d’électronique, université de Constantine qui m’a fait l’honneur de présider ce jury.

Messieurs A. BENNIA et A. CHAREF, professeurs au département d’électronique, université de Constantine pour avoir accepter de faire de jury.

Je remercie vivement monsieur A. BOUKABOU du département d’électronique, université de Jijel, pour ses compétences scientifiques qui m’ont permit de mener à bien ce travail.

Mes remerciements vont bien entendu à toutes les personnes des départements d’électronique et des mathématiques.

Enfin, ces remerciement ne serait pas complets sans mentionner mes parents, mes frères, mes sœurs et mes amis dont la contribution m’accompagné durant ce mémoire.

To my family …

Sommaire

Introduction générale 1

Chapitre 1 : Systèmes dynamiques et introduction au chaos 3

1. Introduction 3 2. Quelques définitions 3 2.1. Flot et trajectoires 3 2.2. Système déterministe 4 2.3. Systèmes discrets 4 2.4. Orbites 4 2.5. La section de Poincaré 5 3. Comportements asymptotiques 6 3.1. Invariance et attraction 6

3.1.1. Régimes asymptotiques et invariants 6 3.1.2 Ensembles attracteurs et attracteurs 7

3.1.3 Bassin d'attraction 7

3.2. Classifications des solutions des systèmes dynamiques 7

3.2.1. Solutions d'équilibre 7

3.2.2 Solutions périodiques 8

3.2.3 Solutions quasi périodiques 8

3.2.4 Solution Chaotique 8

4. Stabilité des systèmes dynamiques 11

4.1. Exposant de Lyapunov 11

4.2. La méthode de l’espace de phase 14

5. Eléments de la théorie des bifurcations 15

5.1. Stabilité structurelle et bifurcation 15

5.2. Diagramme de bifurcations 16

Chapitre 2 : Contrôle et chaotification des systèmes discrets 18

2.1. Contrôle des systèmes discrets 18

2.1.1. Introduction 18

2.1.2. Méthode du contrôle OGY 19

2.1.3. Application de la méthode OGY sur le système de Hénon 21

2.2. Chaotification des systèmes discrets 27

2.2.2. Méthode de chaotification 27 2.2.3. Application de l’algorithme pour l’équation logistique 29 2.2.4. Application sur le système de Hénon 33 2.2.5. Application sur un système du deuxième ordre 36 2.2.6. Application sur un système de trois dimensions (Kokame) 41

Chapitre 3 : Contrôle et chaotification des systèmes continus 46

3.1. Introduction 46

3.2. Contrôle et chaotification des systèmes continus par la méthode DCF 47

3.2.1. Le principe 47

3.2.2. Application de la méthode DCF sur le système de Chen-Lee 47 3.3. Suppression et génération du chaos par perturbation du paramètre 63

3.3.1. Le principe 63

3.3.2. Application sur le système de Lorenz 63

3.4. Autre méthode de chaotification 72

3.4.1. Le principe 72

3.4.2. Application de la méthode sur le système de Chen 72 3.4.3. Application sur le système de Lorenz 76

3.5. Anti-contrôle impulsif 80

3.5.1. Le principe 80

3.5.2. Application 81

Chapitre 4 : Hyperchaotification des systèmes chaotiques 85

1. Introduction 85

2. Application sur le système chaotique de Lü 85

3. Application sur le système chaotique de Lorenz 93 4. Hyperchaotification par perturbation d’un des paramètres du système 101

Conclusion générale 108

Bibliographie 109

Introduction générale

Les physiciens ont longtemps cru que l’évolution complexe d’un système était due au fait que ce système possédait de nombreuses variables indépendantes. Le célèbre physicien L. Landau relie par exemple la turbulence hydrodynamique à l’existence d’un très grand nombre – voire une infinité – de fréquences en interaction. Or, depuis le début des années 70, il est apparu clairement que certains systèmes très simples et ne dépendant que d’un tout petit nombre de variables pouvaient néanmoins avoir des comportements chaotiques. L’existence du chaos a été formalisée d’un point de vue théorique et observée dans de nombreuses expériences, aussi bien en physique que dans d’autres domaines. Le chaos constitue encore un champ de recherche important à l’heure actuelle, notamment en ce qui concerne le contrôle et l’anti-contrôle. L’existence du chaos, appelé également chaos déterministe pour bien le différencier d’un phénomène aléatoire, avait en fait été pressentie par Poincaré à la fin du 19eme siècle. S’intéressant aux problèmes de mécanique, il avait en effet montré que, malgré un caractère déterministe, le problème des trois corps (par exemple Terre-Lune-Soleil) ne pouvait donner lieu à prédiction. Si la résolution analytique des équations du problème des trois corps est impossible, il est possible de déterminer numériquement les trajectoires. On a ainsi pu tester la stabilité de ce système en comparant les trajectoires suivies par un des corps à partir de deux positions initiales très proches : ces trajectoires restent proches l’une de l’autre à court terme – et on peut donc prédire les éclipses – mais elles deviennent complètement différentes à long terme. Une toute petite différence initiale a donc produit un effet considérable et on peut penser que le système solaire est chaotique, mais fort heureusement sur des échelles de temps très grandes. C’est dans cette extrême sensibilité aux conditions initiales que réside l’origine de l’imprédictibilité du chaos déterministe. Poincaré avait remarqué cet effet puisqu’il écrit : " Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir et alors nous disons que cet effet est dû au hasard ".

Au début des années 90, les trois scientifiques Ott, Grebogi et York publient le premier article sur le contrôle du chaos [1]. Ils mettent en œuvre une technique très efficace qui permettait de contrôler parfaitement la trajectoire des systèmes chaotiques. Dès lors, plusieurs techniques de contrôle sont développées dans le but de contrôler toute forme de comportement chaotique pouvant surgir dans les systèmes non linéaires. Après les théories du contrôle et de la synchronisation du chaos, qui ont été assez bien explorées depuis les travaux de Ott, Grebogi et Yorke [1], et de Pecora et Caroll 1990, respectivement les recherches actuellement sont

beaucoup plus orientés sur les notions de chaotification de systèmes, linéaires ou non linéaires, (appelées aussi anti-contrôle du chaos) [2] [3]. Ces nouvelles techniques permettent de rendre chaotique un système qui ne l'est pas ou de le rendre 'plus' chaotique. Elles sont pour des applications dans des domaines varies tels que le domaine de la médecine par exemple dans la régulation des battements cardiaques, le traitement de l’épilepsie ou le domaine des télécommunications pour la sécurité des communications.

Le travail réalisé dans le cadre de ce mémoire est présenté en quatre chapitres.

Après une introduction générale où un bref historique sur le chaos, le contrôle et l’anti-contrôle des systèmes chaotiques est fait. Le premier chapitre est consacré aux définitions des différents outils mathématiques qui nous servent à mieux comprendre le comportement chaotique, tels que : les ensembles attracteurs, les méthodes permettant la détermination du type de stabilité de leur état d’équilibre, la section de Poincaré, la théorie de bifurcation, les exposants de Lyapunov et les méthodes utilisées pour leur calcul surtout pour les systèmes de dimension élevée.

Le deuxième chapitre porte sur le contrôle et l’anti-contrôle des systèmes discrets. Dans la partie contrôle, une description complète de la méthode de contrôle OGY est faite. Pour la partie anti-contrôle une description de la méthode d’anti-contrôle proposée par Chen et basée sur le choix des valeurs des exposants de Lyapunov est détaillée. La méthode est appliquée sur des systèmes chaotiques d’ordre élevé et sur des systèmes qui n’admettent aucun comportement chaotique.

Le contrôle et la chaotification des systèmes continus est abordé dans le chapitre trois. Plusieurs méthodes ont été appliquées, en particulier: la méthode (DCF), méthode basée sur la perturbation d’un paramètre du système, l’anti-contrôle impulsif et autre extension de l’algorithme d’anti-contrôle.

Le quatrième chapitre est consacré à la théorie de l’hyper chaotification des systèmes chaotiques où des méthodes de feedback contrôle sont appliquées afin d’augmenter la dimension du système qui devient ainsi hyper chaotique, grâce à un bon choix du paramètre de contrôle.

On termine par une conclusion générale ainsi que quelques perspectives qui peuvent être abordées ultérieurement.

Chapitre I

Systèmes dynamiques et

introduction au chaos

1. Introduction

Un système dynamique présente deux aspects, son état et sa dynamique, c'est-à-dire son évolution en fonction du temps [4].

Il est défini par un système d’équations différentielles du premier ordre de la forme : ) , , (x t m f dt dx x&= = (1.1)

Avec f un champ de vecteurs. xÎU ÍRn le vecteur d'état, mÎV ÍRp le vecteur des paramètres et t la variable temporelle.

Lorsque le champ de vecteurs f ne dépend pas explicitement du temps, on dit que le système dynamique est autonome. Dans le cas contraire il est non autonome.

Remarque : Par un changement de variable approprié, on peut toujours transformer un

système dynamique non autonome de dimension nen un système dynamique autonome équivalent de dimensionn+1.

2. Quelques définitions 2.1. Flot et trajectoires

Soit le système dynamique autonome : n R U x x f dt dx Ì Î = ( ), (1.2)

On appelle flot de (1.2) l’application :

(

)

(

)

î í ì = ® ® ´ F ) , ( , , : 0 0 0 t x x t x x t R U R n f (1.3) telle que :

- Pour chaque x fixé, ₀ t ®f

(

t, x₀

)

est une solution de l’équation différentielle, - f

(

0,x0

)

= x0.

Soit x Î0 U une condition initiale et x

(

t, x0

)

la solution de (1.2). L'ensemble des points

(

)

{

"t ÎR,xt,x0

}

est la trajectoire dans l’espace d’état passant au point x à l'instant initial. 0

Donc, deux trajectoires identiques émanent obligatoirement du même état initial :

(

,

)

(

,

)

.

, t x₁ t x₂ x₁ x₂

t = Þ =

" f f (1.4)

2.2. Système déterministe :

Soit U l’ensemble des conditions initiales et x Î0 U . Alors, si pour toutx ,0 x

(

t, x0

)

existe et

est unique, le système est dit déterministe. Lorsque le chaos se développe dans un tel système, on parle alors de chaos déterministe.

2.3. Systèmes discrets

La notion de système dynamique présentée au paragraphe précédent peut être étendue aux systèmes discrets. On appelle système dynamique discret tout système d'équations algébriques récurrentes défini par :

(

,m

)

1 k k F x x ₊ = (1.5) Où F la fonction de récurrence. n k U R

x Î Í le vecteur d'état à l’instantt . k p

R V Í

Î

m le vecteur des paramètres et k ÎN.

Remarque : Il est possible que le processus modélisé évolue de manière continue dans le

temps. C'est d'ailleurs le cas le plus général. Cependant l’état du système n’est apprécié qu’aux instants .tk

2.4. Orbites

Considérons le vecteur d'état initialx . Les itérations successives de F fournissent la suite 0

( )

( )

( )

( )

( )

ï ï î ï ï í ì = = = = = + + 0 1 1 0 2 1 2 0 1 x F x F x x F x F x x F x k k k M (1.6)

On appelle orbite de F au pointx la suite des états 0

{ }

¥

=0

k k

x générés par F dans l’espace d’état.

Remarque 1 : La notion d'orbite en temps discret est équivalente à celle de trajectoire en

temps continu.

Remarque 2 : Contrairement aux systèmes en temps continu, les systèmes récurrents les plus

simples, même unidimensionnels, peuvent produire des solutions chaotiques. La récurrence logistique est un célèbre exemple.

2.5. La section de Poincaré

L'application de Poincaré est un outil mathématique simple permettant de transformer un système dynamique continu en un système dynamique discret. Cette transformation s'opère via une réduction d'une unité de l'ordre du système.

Soit un système dynamique continu, décrit dans un espace d'état de dimension n et la

trajectoire de sa solution enx . Définissant dans cet espace une surface de dimension0 n-1.

L'application de Poincaré est le système dynamique en temps discret dont la suite des itérés correspond aux coordonnées des points d'intersection successifs de la trajectoire avec cette surface.

L'ensemble des points d'intersections, situés sur la surface est appelé section de Poincaré. Dans un espace euclidien, le plan de la section doit être choisi de manière à garantir l’existence d’intersections avec la trajectoire et de telle sorte que celle-ci le traverse alternativement dans un sens puis dans l'autre. On peut définir trois applications de Poincaré différentes. +

p décrit les points où f traverse le plan dans le sens du vecteur normal, p dans

-le sens contraire et p décrit la suite des points d'intersection quel que soit le sens de ±

traversée. Si f est bornée sans tendre asymptotiquement vers un équilibre et définie sur un espace euclidien, alors il existe toujours une surface pour laquelle les trois applications de Poincaré sont définies.

3. Comportements asymptotiques

Les paragraphes précédents ont introduit quelques définitions relatives aux systèmes dynamiques. Nous allons aborder maintenant, les caractéristiques essentielles de leurs solutions. Cependant il est important de rappeler qu'il n'existe aucune méthode générale d'intégration des systèmes différentiels non linéaires. Il n'est donc pas toujours possible d’en déterminer une solution analytique exacte. Fort heureusement, cela ne constitue plus aujourd’hui une difficulté majeure car une estimation, obtenue par simulation numérique, est souvent suffisante lorsque l'intégration n'est pas possible. Par contre, la connaissance qualitative des solutions est très utile lorsqu’il s'agit par exemple d'en déterminer les évolutions possibles à long terme, la stabilité, les bifurcations ou encore de disposer d'une vue d'ensemble des comportements dynamiques possibles selon l'état, l'excitation ou les paramètres.

3.1. Invariance et attraction

3.1.1. Régimes asymptotiques et invariants

Contrairement à un système linéaire, on ne peut considérer la solution d’un système non linéaire comme la simple superposition d'un régime libre et d'une réponse forcée. Cela conduit à reconsidérer la notion de régime transitoire. C’est pour cette raison que la notion de régime asymptotique est privilégiée à celle de solution permanente et par extension, la différence entre une solution et son régime asymptotique est appelée transitoire.

Définition : Soit E une région de l'espace d'état R et n x

(

t, x₀

)

une solution de (1.2). E est

n

R E

x Î Ì

" 0 et "tÎR,x

(

t,x0

)

ÎE (1.7)

Remarque : la trajectoire d'un système autonome dans l'espace d'état est un ensemble

invariant.

3.1.2 Ensembles attracteurs et attracteurs

Un ensemble attracteur est un ensemble invariant dont toutes les trajectoires qui y sont initialisées convergent vers lui.

Un attracteur est un ensemble attracteur vérifiant les deux propriétés suivantes :

La récurrence : Toute trajectoire ayant son origine dans l’attracteur revient de manière répétitive aussi proche que l’on veut de l’état initial. Il suffit pour cela d’attendre suffisamment longtemps.

L'irréductibilité : L’union de deux attracteurs disjoints ne constitue pas un attracteur.

Remarque :

La propriété de récurrence exclut la présence de phénomènes transitoires ou d'éventuelles solutions instables dans un attracteur.

Un attracteur ne peut pas être divisé en deux attracteurs élémentaires du fait de l'irréductibilité mais il est possible d'isoler plusieurs attracteurs dans un ensemble attracteur.

3.1.3 Bassin d'attraction

Soit A un attracteur. La région de l’espace B , telle que toutes les trajectoires qui y sont initialisées convergent vers A est appelée bassin d'attraction.

3.2. Classifications des solutions des systèmes dynamiques 3.2.1. Solutions d'équilibre

Soit le système dynamique autonome (1.2), la solution d'équilibre x est définie par [5] : *

( )

=0 = * * x f x (1.8)

Les points de l'espace d'état vérifiant cette relation sont appelés points singuliers.

Propriétés :

Une solution d'équilibre correspond à un point fixe dans l'espace d'état. Il n'est pas nécessairement stable, mais Lorsqu'il l’est ce point représente un attracteur.

3.2.2 Solutions périodiques

Soit x

(

t, x₀

)

la solution d’un système dynamique autonome ou non autonome. Elle représente

une solution périodique si et seulement si :

0 f

t

$ |"t,x

(

t+t,x0

)

=x

(

t,x0

)

. (1.9) La plus petite valeur de t si elle existe, est appelée période. On la note généralement T . Une solution périodique d’un système dynamique quelconque est dite solution isolée s'il existe un voisinage ne comporte aucune autre solution périodique. Si de plus le système est autonome, alors la solution isolée est appelée un cycle limite.

3.2.3 Solutions quasi périodiques

Soitx

(

t, x₀

)

une solution du système dynamique (1.2) et soit T =

{

T₁,T₂,L,T_n

}

_nÎN un ensemble fini de réels linéairement indépendants.

On dit quex

(

t, x₀

)

est une solution quasi périodique de (1.2) si elle est périodique pour chacune des périodes T de T . La solution _i x

(

t, x0

)

est également dite n-périodique.

Remarque :

- La trajectoire d'une solution n-périodique est une ligne infinie qui couvre densément un tore de dimension n.

- Tous les points du tore n'appartiennent pas à la trajectoire mais elle passe de manière répétitive dans tout voisinage d'un point quelconque du tore.

- Contrairement à l'attracteur périodique, l'attracteur quasi périodique est une surface. Il ne doit pas être confondu avec la trajectoire.

3.2.4 Solution Chaotique

C'est au début des années 70 que le rapprochement entre les travaux de physiciens et de mathématiciens a permis la découverte de la réalité mathématique du chaos dans les systèmes physiques déterministes.

La notion même de solution chaotique est difficile à formuler. Nous avons donc fait le choix de l'aborder sur la base des caractéristiques comportementales de ce type de solution.

-30 _-20 -10 ₀ 10 ₂₀ 30 -40 -20 0 20 40 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 y x z

Remarque : Un système dynamique peut présenter des solutions chaotiques instables.

Celles-ci ne pouvant être ni observées ni même simulées, nous ne traiterons que des solutions chaotiques stables.

Une solution chaotique est un comportement asymptotique borné qui n’est ni un point d’équilibre, ni une solution périodique ou quasi périodique. Le chaos peut donc être défini par défaut des autres types de solutions sachant qu'il n'existe pas de définition à la fois formelle et générale du chaos.

Pratiquement, une dynamique chaotique peut être identifiée, en première analyse, par la reconnaissance de propriétés caractéristiques : attracteurs étranges, spectres, sensibilité aux conditions initiales …etc.

Attracteurs chaotiques

De même que les autres types de trajectoires, la trajectoire d'une solution chaotique est un invariant du flot. De plus, on admettra l'existence d'un voisinage assurant la convergence des trajectoires. Autrement dit, initialisée dans le bassin d'attraction, toute trajectoire converge vers l'attracteur chaotique.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 temps x

Sensibilité aux conditions initiales

La sensibilité des trajectoires chaotiques aux conditions initiales est une autre caractéristique permettant de reconnaître un comportement chaotique. Quelle que soit la proximité de deux états initiaux, les trajectoires qui en sont issues divergent rapidement l’une de l’autre. Elles restent cependant liées au même attracteur donc confinées dans un espace borné. Cela a pour conséquences :

- Le bruit le plus infime altère complètement la connaissance des états futurs du système. En effet, la divergence des trajectoires dans un espace borné signifie qu'elles sont très rapidement décorrélées. Par conséquent, bien que le système soit déterministe, aucune prévision à long terme n’est possible.

- La moindre perturbation du système peut à terme conduire à des états extrêmement différents. Un événement insignifiant n’a donc pas toujours des conséquences insignifiantes. Cette propriété a été observée pour la première fois par E. Lorenz sur son modèle météorologique. Elle est connue sous le nom populaire d’effet papillon.

Figure (1.3). Sensibilité aux conditions initiales du système de Lorenz

La figure (1.3) nous montre qu’une petite différence de 0.01 sur la condition initiale, peut faire évoluer le système d’une manière totalement différente.

4. Stabilité des systèmes dynamiques :

On désigne par stable tout système qui reprend son état d’équilibre après une perturbation. La théorie des systèmes dynamiques non linéaires fait intervenir différentes notions de stabilité. Il faut rappeler que la stabilité d’un point stationnaire garantit une stabilité locale. C’est une condition nécessaire mais pas suffisante pour avoir une stabilité globale. Le système dynamique non linéaire est stable si tous ses états stationnaires sont stables.

Pour déterminer la stabilité d’un système dynamique non linéaire, on peut utiliser différentes méthodes mathématiques, parmi lesquelles on peut citer : la méthode de Lyapunov et la méthode de l’espace de phase. Elles permettent l’étude de la stabilité autour d’un point d’équilibre.

4.1. Exposant de Lyapunov :

L’exposant de Lyapunov sert à mesurer le degré de stabilité d’un système. Un système sensible à de très petites variations de la condition initiale aura un exposant positif (système chaotique). En revanche, l’exposant est négatif si le système n’est pas sensible à des petites variations des conditions initiales, les trajectoires se rapprochent et on perd donc l’information sur les conditions initiales.

Un système de dimension n possède n exposants de Lyapunov qui mesurent le taux de divergence suivant un des axes de l’espace de phase. L’apparition du chaos exige l’existence d’un exposant positif selon au moins un axe [6], tout en rendant compte que la somme des exposant est négative (respectivement nulle) pour les systèmes dissipatifs (respectivement conservatifs).

Un exposant de Lyapunov positif (respectivement négatif) selon une direction indique [7], qu’une divergence entre deux trajectoires voisines augmente (respectivement diminue) exponentiellement avec le temps. C’est une caractérisation d’un attracteur étrange ou non. Les différents types d’attracteurs d’un système tridimensionnel en fonction des signes des exposants de Lyapunov sont représentés dans le tableau ci-dessous.

Type d’attracteur Signe des exposants de Lyapunov

Point fixe - - -

Cycle limite 0 - -

Attracteur étrange + 0 -

Méthodes de Calcul des exposants de Lyapunov:

Il existe plusieurs méthodes de calcul des exposants de Lyapunov tels que la méthode (QR), (HQR) et (HQRB) [8]. L’une des méthodes les plus utilisées est l’algorithme de Wolf [9]. On considère un système discret à n dimensions

( )

,

1 k

k f x

x ₊ = k =0,1,2,L (1.10)

Le i-ème exposant de Lyapunov est défini en fonction du taux de croissance du i-ème axe principale v par la formule [10] _i

( )

( )

0 , log 1 lim i i N i v N v N ¥ ® = l i =1,2,L,n (1.11)

Les vecteurs v_i

( )

k sont transformés d’après la formule

(

k

)

J

( ) ( )

k v k

v_i + 1 = _i , i =1,2,L,n (1.12)

Où

( )

k

J est la jacobienne de f au point x k

A k =0 les vecteurs vi,i=1,2,L,n sont définis par :

(

)

(

)

(

0,0,0,0, ,1

)

0 , , 0 , 0 , 1 , 0 0 , , 0 , 0 , 0 , 1 2 1 L M L L = = = n v v v (1.13)

Pour éviter la divergence, à chaque itération les vecteurs v₁

( ) ( )

k ,v₂ k ,L,v_n

( )

k seront orthonormés par le procédé de Gram Schmidt :

0 50 100 150 200 250 300 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 l1=0.85922 l2=-0.0015763 l₃=-14.5208 temps exposant de lyapunov

(

)

(

)

(

)

(

)

(

,

)

(

,

)

. , , , , , , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v n n n n n n n n n n n ¢ ¢ -¢ ¢ -¢ ¢ -¢ ¢ -= ¢ ¢ ¢ -¢ ¢ -= ¢ = ¢ -L L M (1.14) Remarque :

Le calcul des exposants de Lyapunov du système d’équations différentielles :

( )

x,

f dt dx

= f :Rn ®Rn (1.15)

Se fait de façon analogue. Les équations (1.11) et (1.12) seront remplacées par :

( )

( )

, log 1 lim 0 t v t v t _i i t i ¥ ® = l i =1,2,L,n (1.16)

( )

t J

( ) ( )

t v t , v&_i = _i i =1,2,L,n (1.17) Exemple :

Figure (1.2). Exposant de Lyapunov du système Figure (1.3). Exposant de Lyapunov du système Discret de Hénon continu de Lorenz

4.2. La méthode de l’espace de phase :

La théorie des équations différentielles linéaires à coefficients constants montre que la solution générale est obtenue à partir des valeurs propres de l’équation caractéristique déduite de la matrice des dérivées partielles du système. Ainsi, la méthode de l’espace de phase qui est une technique qualitative simple et efficace permet la détermination du type de stabilité du point d’équilibre, à partir de la nature des valeurs propres de la matrice jacobienne de la fonction f linéarisée au tour du point d’équilibrex . eq

La linéarisation revient à prendre

x x x= eq +d (1.19) Ce qui donne x x

x&= &eq +d& (1.20)

En remplaçant dans (1.16) on obtient

(

x x

)

f x

x&_eq + &d = _eq +d (1.21)

Par le développement de Taylor du premier ordre de f

( )

x , on obtient

(

xeq x

)

f

( )

xeq f

( )(

xeq x xeq

)

f +d = + ¢ . - (1.22) D’où

( )

x x, Df x _eq d d =& dx

( )

0 =dx₀ (1.23)

( )

x

Df représente la matrice jacobienne de f

( )

x par rapport àx, tel que , ï þ ï ý ü ï î ï í ì = j i dx df Df i=1,2,L,n;j =1,2,L,n (1.24)

Cette équation montre l’évolution dans le temps d’une perturbation dx0 au voisinage du point

d’équilibre. Il a été démontré que les parties réelles des valeurs propres de Df

( )

xeq représentent la vitesse d’expansion

[

Re

( )

l_i f0

]

,ou de contraction

[

Re

( )

l_i p0

]

d’une spirale alors que les parties imaginaires indiquent la fréquence de rotation [11].

Combinant les résultats démontrés pour des valeurs propres réelles et ceux correspondant à des valeurs propres complexes, il a été établi que quelle que soit la nature des valeurs propres, le type de stabilité est déterminé comme suit :

- Si Re

( )

li p0,pour toutes les valeurs propres, alors, toute perturbation suffisamment petite tend vers 0 quandt®¥. On dit que le point xeq est asymptotiquement stable. Toutes les trajectoires tendent vers ce point quelque soient les conditions initiales. - Si Re

( )

l_i f0, pour toutes les valeurs propres, alors n’importe quelle perturbation peut

augmenter quandt®¥. On dit que le point x est instable. Ici les trajectoires de eq phase s’éloignent du point considéré.

- S’il existe i et j tel que Re

( )

l_i p0,Re

( )

l_j f0, alors il s’agit d’un point d’équilibre non stable.

5. Eléments de la théorie des bifurcations 5.1. Stabilité structurelle et bifurcation

Un système est dit structurellement stable sur une portion de l'espace des paramètres si une petite perturbation du système étudié ne modifie pas le comportement global de la dynamique sur cette portion.

Tant que le système est structurellement stable, les variations de paramètres produisent des changements quantitatifs dans la solution : coordonnées d’un point fixe, amplitude ou fréquence d’une solution périodique par exemple. Cependant, il arrive aussi qu’une infime variation de paramètres produise un changement qualitatif de la solution : changement de stabilité d'un ensemble limite.

A la valeur particulière du paramètre où la solution change subitement de nature, le système est structurellement instable ce qui autorise un brusque changement de type de la solution. Ce phénomène est appelé bifurcation et les points où il se produit sont les points de bifurcation.

Remarque :

Des bifurcations sont fréquemment observées au niveau expérimental car la plupart des processus réels sont non linéaires et ont des paramètres qui subissent des altérations. Ces variations de paramètres sont le fait soit du réglage de la commande, soit d’une évolution naturelle sous l’action de grandeurs extérieures.

5.2. Diagramme de bifurcations

Le diagramme de bifurcations unidimensionnel est un tracé repérant la nature des différentes solutions du système et leur stabilité lorsqu'un paramètre varie.

Il est composé d'intervalles sur lesquelles les solutions asymptotiques (ou les ensembles limites qui leur correspondent) évoluent continûment avec le paramètre et les intervalles sont séparés par les points de bifurcation.

Le diagramme de bifurcation est un outil efficace pour évaluer rapidement l’ensemble des solutions possibles d’un système en fonction des variations de l’un de ses paramètres. Il permet de repérer les valeurs particulières du paramètre qui induisent des bifurcations. C’est un diagramme qui porte les valeurs du paramètre en abscisse et des valeurs particulières d’une des variables d’état en ordonnée lorsque le régime asymptotique est atteint.

Dans le cas d'un système autonome, ces valeurs particulières peuvent être obtenues en travaillant avec une section de Poincaré. Pour un système excité par une fonction périodique du temps, elles peuvent l'être en échantillonnant la variable à la fréquence d’excitation. On obtient ainsi pour chaque valeur du paramètre la suite des états discrets de la variable lorsque le régime asymptotique est atteint.

Un seul point sur une verticale indique un fonctionnement périodique fondamental. En effet, si pour une valeur donnée du paramètre le régime est périodique, la variable échantillonnée à la fréquence fondamentale f prend une valeur unique. Les n points correspondants à la

même abscisse se superposent donc exactement.

Lorsque les points se répartissent densément sur un segment de la verticale, on peut en déduire que la solution est apériodique mais il n’est pas possible de préciser si elle est quasi périodique ou chaotique.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 c x

Exemple 1: diagramme de bifurcation du système de Rössler décrit par :

Figure (1.4). Diagramme de bifurcation du système de Rössler pour a=0.2 et b=0.2

Exemple 2: diagramme de bifurcation du système de Hénon

ï î ï í ì = + -= + + k k k k k x y by x a x 1 2 1

Figure (1.5). Diagramme de bifurcation du système de Hénon pour b=0.3

(

)

(

)

ï î ï í ì -+ = + = + -= c x z b z ay x y z y x & & &

Chapitre II

Contrôle et chaotification

des systèmes discrets

2.1. Contrôle des systèmes discrets

2.1.1. Introduction

En général, l’instabilité de l’état d’un système se traduit par la divergence des trajectoires voisines, quelle que soit la nature de l’état en question (stationnaire, périodique ou chaotique). Pour contrer cette instabilité, il suffit d’appliquer au système une petite perturbation à chaque fois qu’il s’écarte de la trajectoire désirée.

L’algorithme de contrôle doit répondre à plusieurs objectifs:

- Il doit toujours être réalisable : le contrôle doit fonctionner sur un système chaotique indépendamment du moment où l’algorithme de contrôle lui est appliqué.

- La transition entre l’état libre et l’état contrôlé doit être rapide : on doit pouvoir appliquer le contrôle instantanément qui doit également répondre à un critère d’efficacité.

- Le contrôle doit être durable dans le temps : une fois le contrôle effectif est stabilisé, le système doit conserver son état contrôlé.

- Le contrôle doit être non destructif : le système doit conserver ses propriétés dynamiques et ne doit pas être détruit ou modifié fondamentalement par le contrôle. Pour répondre à ces critères plusieurs méthodes de contrôle ont été développées. Elles peuvent être classées en deux catégories :

- Les méthodes de suppression du chaos : ces méthodes permettent la stabilisation du système sur une valeur fixe mais qui ne représente pas une orbite périodique instable ou un point fixe instable propre au système contrôlé. Parmi ces méthodes on peut citer : le contrôle prédictif généralisé (GPC) [12], le contrôle par retour d’état retardé [13], le contrôle basé sur l’exposant de Lyapunov [14], le contrôle par perturbation d’un paramètre du système [15].

- Les méthodes de stabilisation du chaos : dans cette catégorie le contrôle est réalisé en stabilisant les orbites périodiques instables d’un système chaotique. La méthode la plus intéressante est la méthode OGY proposée par Ott, Grebogy et York [1] et qui sera détaillée par la suite.

2.1.2. Méthode du contrôle OGY

La méthode Ott-Grebogi- Yorke connue sous le nom de OGY est une méthode de contrôle à retour d’état, qui utilise le chaos dans un système dynamique pour stabiliser une orbite périodique instable. La méthode se base sur l’idée suivante [16] :

- déterminer quelques orbites périodiques instables, les examiner, puis choisir une qui représente les performances du système.

- ajuster les paramètres de perturbation, en un temps relativement court, dans le but de stabiliser l’orbite périodique instable.

On considère le système suivant : )

, (x p F

x =& , x ÎRN, (2.1)

Où p représente le paramètre du contrôle.

La section de Poincaré du système est représentée par : ), , ( 1 F x p x_n+ = _{M n} -1 Î N R x (2.2)

Chaque point périodique dans la section représente un UPO (unstable periodic orbit) du flot. Soit x un point fixe dans la section de Poincaré f

), , ( f o f F x p

x = (2.3)

Où p représente la valeur nominale du paramètre _o

La stratégie de contrôle va donc consister à trouver une loi de contrôle de stabilisation par retour d’état, définie au voisinage de l’orbite choisie.

Le système étudié présente un phénomène chaotique, le passage au voisinage du point fixe est donc garanti et Une fois le système est dans le voisinage dux , la procédure du contrôle est f déclenchée pour amener le système vers l’orbite désirée.

Dans ce cas on a : f n n x x x = -d , (2.4) Et , o n n p p p = -d (2.5)

On linéarise le système au tour du point x _f

,

1 n n

n A x B p

x d d

Avec ) (x F D A= _x , , / p F B=¶ ¶

La matrice A représente deux direction propres, une direction stable e (valeur propre <1) et _s

une direction instable e (valeur propre >1). _u

Donc, les corrections sont appliquées sur la direction instable. Si on utilise les notations suivantes :

: s l Valeur proprel_s p1. : u l Valeur proprel_u f1. : s

e Vecteur propre correspond à la valeur propre l _s

: u

e Vecteur propre correspond à la valeur propre l _u

Alors la matrice A peut s’écrire sous la forme : u u u s s se f e f A=l +l (2.7)

Où f ,_s f_ureprésentent les vecteurs covariance Avec f_se_s = f_ue_u =1,

Et f_se_u = f_ue_s =0, Alors, l’équation (2.6) devient :

(

u u u s s s

)

n n

n e f e f x B p

x l l d d

d ₊₁ = + + , (2.8)

Et en multipliant (2.8) par f , on obtient : _u

(

)

], [ 1 u u u u s s s n n n u x f e f e f x B p f d ₊ = l +l d + d (2.9)

La stratégie de la méthode OGY consiste à ajuster le paramètre du contrôle p , afin de stabiliser le système sur le pointx . Il faut donc que_f dx_n+1 =0.

C'est-à-dire :

(

)

] 0, [ _{u u u} + _{s s s n} + _n = u e f e f x B p f l l d d (2.10) Sachant que 1 = = _{u u} s se f e f , , 0 = = _{u s} u se f e f

Alors : , 0 = + _{u n} n u u x f B p f l d d (2.11)

C'est-à-dire que l’ajustement sur le paramètre du contrôle va être égale à :

n u u u n x B f f p l d d = - , (2.12) Si on pose : , B f f k u u ul -= Alors, on obtient n n k x p d d =- , (2.13)

Le but du contrôle est de satisfaire la condition suivante :

, e p o n p p - (2.14) :

e étant un paramètre prédéfini qui détermine le voisinage dux . f On peut écrire aussi

,

e dx_n p

k (2.15)

Donc, l’incrément du contrôle est donné par

î í ì- - -= ailleurs x x k si x x k p n f n f n 0 ) ( ) ( e d p (2.16)

2.1.3. Application de la méthode OGY sur le système de Hénon

Le système de Hénon est décrit par :

ï î ï í ì = + -= + + n n n n n x y by x a x 1 2 1 _(2.17)

Avec a et b représente les paramètres du contrôle.

* point fixe :

Pour déterminer les points fixes on pose xn+1 =xn etyn+1 = yn, donc on obtient :

î í ì = + -= x y by x a x 2 (2.18)

Alors x_f y_f =-

(

-b

)

±

(

-b

)

+a 4 1 2 1 , 2 (2.19) On pose 2 1 b c= Donc x_f,y_f =-c± c2 +a (2.20)

* stabilité et comportement dynamique :

Dans l’étude de la stabilité du système de Hénon, on remarque que les valeurs propres sont en fonction des points fixes qui sont aussi en fonction des paramètres a etb. Donc, pour déterminer les différentes zones de stabilité, il suffit de calculer l’exposant de Lyapunov en fonction du paramètre a ou b.

On fixeb=0.3, et on laisse avarie entre 0 et 1.4.

Figure (2.1). Exposant de Lyapunov du système de Hénon en fonction du paramètre a

A partir de la figure (2.1) on obtient deux zones :

- une zone stable lorsque a varie dans l’intervalle [0,1.052]. - une zone chaotique lorsque a varie dans l’intervalle] 1.052, 1.4].

Pour bien voir la dynamique du système, on trace le diagramme de bifurcation des populations x ou _n y en fonction du paramètre_n a. On observe que :

- pour aÎ[0, 0.362] Þ 1 cycle stable - pour aÎ]0.362, 0.91] Þ 2 cycles stables - pour aÎ[0.91, 1.024] Þ 4 cycles stables - pour aÎ]1.024, 1.052] Þ 8 cycles stables - pour aÎ]1.052, 1.4] Þ phénomène chaotique

Figure (2.2). Diagramme de bifurcation en fonction du paramètre a

* Application de l’algorithme du contrôle :

Avant d’appliquer l’algorithme du contrôle au système, on fixe a=1.4 e t b=0.3 pour assurer la présence du phénomène chaotique. Le contrôle par la méthode OGY consiste à effectuer les opérations suivantes :

- Identification de l’orbite périodique à stabiliser :

Remplaçant a et bdans l’équation (2.19) on obtient 8839 . 0 , ₁ 1 f = f y x (2.21)

5839 . 1 , ₂ 2 f = -f y x (2.22)

Dans notre cas on choisit le point xf1 - Calcul des matrices A et B :

On a A = DxF(x) et B=¶F/¶p ú û ù ê ë é-= 0 1 2x 1 b A f , _ú û ù ê ë é = 0 1 B (2.23) Donc _ú û ù ê ë é-= 0 1 3 . 0 7678 . 1 A (2.24)

- calcul des valeurs propres l etu l : s

u

l etl sont définis par _s

b x x_{f f} u s =- ± + 2 1 1 , l (2.25) Donc 1559 . 0 = s l et l_u =-1.9237 (2.26)

- calcul des vecteurs propres {e ,_s e } et les vecteurs covariances {_u f ,_s f_u} :

Les vecteurs propres sont calculés de l’équation suivante

[

lI-A

]

e=0 (2.27)

Le vecteur propre est choisi de la forme ú û ù ê ë é = 1 l e Avec _ú û ù ê ë é = 1 s s e l et _ú û ù ê ë é = 1 u u e l Alors ú û ù ê ë é = 1 1559 . 0 s e , _ú û ù ê ë é-= 1 9237 . 1 u e (2.28) On sait que f_se_s = f_ue_u =1 et f_se_u = f_ue_s =0 Ce qui donne ú û ù ê ë é -= s u u u s s f l l l l l 1 et _ú û ù ê ë é -= u s s s u u f l l l l l 1

[

0.4808 0.9250

]

= s

f et f_u =

[

-0.4787 0.0746

]

- Calcul du k :

Le paramètre k est représenté par

[

u u s

]

u s s s u u s s s u u u u u B f f k l l l l l l l l l l l l l l l -= ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é -ú û ù ê ë é -= = 0 1 1 1 (2.29)

[

-1.9237 0.3011

]

= k (2.30) On choisit d =0.01

Comme l’exemple précédent, on va appliquer l’algorithme suivant :

- étape 1 : on posea0 =1.4, b=0.3,

(

x0,y0

)

=(0.1,0.1) et e =0.01 - étape 2 : boucle de test

Si kdx_n pe alors dan =-kdxn

Puis calculer le nouveau aet xn+1 jusqu’à ce que x soit égale à n x f1

Sinon, refaire l’étape 2.

On remarque qu’au environ de 554 itérations, le système se stabilise à la valeur x_n =0.8839 après deux déclenchements du contrôle.

Pour activer le contrôle plus tôt et pour éviter le double déclenchement du contrôle, on change la condition du test dans l’algorithme du contrôle par :

(

)

2 pe

1 2

1)

(x_n -x_f + y_n -y_f (2.31)

Figure (2.4). Contrôle de l’attracteur de Hénon

Dans cette figure on observe que le déclenchement du contrôle se produit une seule fois. Le système se stabilise à la valeur x_n =0.8839 après 79 itérations seulement, cela signifie l’efficacité de cette deuxième condition au voisinage du point fixex . f1

2.2. Chaotification des systèmes discrets :

2.2.1. Introduction

En général, le comportement chaotique est toujours indésirable. Pour cela, plusieurs méthodes de contrôle ont été développées dans le but de supprimer ce phénomène chaotique. Mais parfois le maintien et la génération du chaos est recherché pour certaines applications. On peut citer à titre d’exemple, le cryptage, la communication sécurisée, les processus épileptiques…etc.

L’anti-contrôle ou la chaotification des systèmes dynamiques est une méthode de contrôle qui permet de générer le chaos à partir d’un système non chaotique ou d’un système chaotique mais dans sa partie stable. Depuis l’apparition de cette nouvelle théorie en 1996 [17], les chercheurs accordent de plus en plus d’intérêts à cet aspect [18] [19]. Les méthodes de chaotification développées sont pratiquement toutes basées sur le calcul des exposants de Lyapunov. Nous présentons dans ce chapitre la méthode développée par Chen [17], qui est une méthode assez représentative des techniques proposées.

2.2.2. Méthode de chaotification

D’après les théorèmes de la stabilité des systèmes dynamiques, on dit qu’un système dynamique est stable si et seulement si, tout ses exposants sont inférieurs ou égaux à zéro. Par contre, s’il existe au moins un exposant positif, le système devient complètement instable (chaotique) [20]. Pour cela, pratiquement toutes les méthodes de chaotification des systèmes stables sont basées sur le changement de signe de l’exposant de Lyapunov.

Soit le système dynamique non linéaire défini par :

î í ì = = + , ) 0 ( )), ( ( ) 1 ( 0 x x k x f k x donné R k x( )Î n (2.32) Avec : f Fonction différentiable.

Pour contrôler le système on lui ajouté un contrôleur de manière à ce que le système contrôlé soit de la forme [19] : î í ì = + = + , ) 0 ( ), ( )) ( ( ) 1 ( 0 x x k u k x f k x donné R k x( )Î n (2.33)

Et ) ( ) ( ) (k B k x k u = (2.34)

B étant la matrice gain de dimension (n ´n)

Le système contrôlé s’écrit donc comme suit :

î í ì = + = + , ) 0 ( ), ( ) ( )) ( ( ) 1 ( 0 x x k x k B k x f k x donné R k x n Î ) ( (2.35)

Si on désigne par f ¢(xf)la matrice jacobienne du système original au tour du point x f

f x x f k x k x x f ₌ ¶ + ¶ = ¢ ) ( ) 1 ( ) ( (2.36)

Et par Jla jacobienne du système sous anti-contrôle ) ( ) (x B k f J = ¢ _f + (2.37)

Les exposants de Lyapunov de l’ensemble

{

x(k)

}

¥_k=0 sont donnés par

{ }

J k k i ln 1 lim ¥ ® = l , i =1,2,...,n (2.38)

Les exposants l sont choisis tel que : i ¥

p p pa li 0

étant une constante strictement positive.

L’objectif de la méthode, c’est d’appliquer au système la séquence

{

B(k)

}

¥_k=0à condition qu’un ou plusieurs exposants du système soient strictement positifs.

Pour rester dans le domaine de convergence, il faut que la séquence

{

B(k)

}

¥_k=0 soit bornée ¥ £ ¥ £ p p M k B k ) ( sup 0 (2.39) : M Constante

A chaque itération et avec une valeur désirée de l’exposant de Lyapunov, la matrice du gain d’anti-contrôle est calculée par

, 0 0 )) ( ( ) ( 1 ú ú ú û ù ê ê ê ë é + ¢ -= n e e k x f k B l l L M O M L k =0 L,1, ,n (2.40)

L’algorithme de chaotification se résume donc à trois étapes principales : * Calcul des exposants de Lyapunov du système sans contrôle.

* Fixer un des exposants à une valeur positive, et calculer la matrice du gain B * Appliquer le contrôle.

Pour garantir que la matrice B soit toujours bornée, on utilise la fonction (modulo). Donc le système sous anti-contrôle devient

) mod( ) ( ) ( )) ( ( ) 1 (k f x k B k x k e x + = + (2.41) :

e Nombre positif très petit.

2.2.3. Application de l’algorithme pour l’équation logistique :

On va prendre comme premier exemple l’équation logistique décrit par :

)], ( 1 )[ ( ) 1 (k px k x k x + = - (2.42)

Cette équation représente un système dynamique du premier ordre qui peut être stable ou chaotique. Le but de l’anti-contrôle est de générer le phénomène chaotique dans une zone où le système est complètement stable.

On applique au système (2.42), la loi suivante :

) ( ) ( ) (k B k x k u = (2.43) D’où ), ( ) ( )] ( 1 )[ ( ) 1 (k px k x k B k x k x + = - + (2.44)

La jacobienne du système (2.42) est

)], ( 2 1 [ ) (k p x k f¢ = - (2.45)

La jacobienne du système contrôlé est l

e J =

Où l représente l’exposant de Lyapunov

Donc l e k x p k B( )=- [1-2 ( )]+ , (2.46)

Pour assurer que la matrice B soit toujours bornée, on injecte la fonction modulo tel que

e mod ) ( ) ( ) (k B k x k u = , e =0.9, (2.47)

Le diagramme de bifurcation de l’équation logistique présente trois phénomènes : - point fixe

- solution périodique - système chaotique

Figure (2.5). Diagramme de bifurcation

L’algorithme d’anti-contrôle sera appliqué pour chacun des trois cas de fonctionnement :

1ercas : Point fixe (p=2.5)

Figure (2.6). Réponse temporelle du système sous anti-contrôle pour p=2.5

Au départ le système est stable sur son point fixexf =0.642, mais dès que la loi d’anti-contrôle est déclenchée, on remarque l’apparition du phénomène chaotique, donc on peut dire que le système a perdu sa stabilité à cause de son exposant de Lyapunov qui est devenu positif. Mais au moment du relâchement du contrôle le système revient à son état stable.

2emecas : Solution périodique ( p=3.3) avec toujours l=2

Dans ce cas, lorsque l’anti-contrôle est déclenché l’orbite périodique stable devient instable à cause du changement de signe de l’exposant de Lyapunov, pour cela le système va suivre une trajectoire chaotique. Dès que le contrôle est relâché le système change complètement sa trajectoire pour retrouver à nouveau l’orbite périodique stable.

Figure (2.7). Réponse temporelle du système sous anti-contrôle pour p=3.3

3emecas : Système chaotique (p=4)

Dans ce cas, dès le départ le système est chaotique. Mais on remarque qu’après le déclenchement du contrôle, la différence entre les deux systèmes reste nulle pour quelques itérations. Puis elle commence à varier parce que le système sous anti-contrôle va suivre une trajectoire différente mais elle est toujours chaotique. L’application de l’algorithme dans cette zone génère donc un système chaotique mais avec des trajectoires différentes. On remarque aussi, que même après relâchement du contrôle, la différence entre les deux trajectoires reste non nulle, parce que le système dans ce cas va prendre une condition initiale différente, ce qu’il le force à suivre une trajectoire différente.

2.2.4. Application sur le système de Hénon

Le système de Hénon est représenté par :

ï î ï í ì = + -= + + n n n n n x y by x a x 1 2 1 (2.48)

Ce système possède aussi trois zones de stabilité en fonction du paramètrea, un point fixe, une orbite stable et une trajectoire chaotique. La variation de l’exposant de Lyapunov en fonction de met bien en évidence ces trois types de fonctionnement.

Les étapes du calcul sont les mêmes que celles effectuées dans l’exemple précédent, c'est-à-dire : J k f k B( )=- ¢( )+ (2.49) Avec , 0 1 ) ( 2 ) ( _ú û ù ê ë é-= ¢ k x k b f , 0 0 2 1 ú û ù ê ë é = l l e e J

Pour garantir l’apparition du phénomène chaotique on donne à l₁une valeur strictement positive, par exemplel₁ =0.25. La valeur de l₂garde la valeur obtenue par simulation c'est-à-direl₂ =-2.31. Donc on applique au système la loi de contrôle suivante :

e mod ) ( ) ( ) ( ) ( _ú û ù ê ë é = k y k x k B k u , (2.50)

Les résultats de simulation pour les différents cas sont représentés dans les figures (2.10) à (2.12). Pour un fonctionnement sans anti-contrôle on a :

- pour a=0.2 et b=0.3 , le système converge vers un point fixe. - pour a=0.6 et b=0.3 , le système stabilise sur une orbite périodique. - pour a=1.4 et b=0.3 , le système suit une trajectoire chaotique.

Figure (2.10). Réponse temporelle du système sous anti-contrôle pour a=0.2

Figure (2.12). Réponse temporelle du système sous anti-contrôle pour a=1.4

Avant l’activation de l’anti-contrôle, on remarque que les deux systèmes suivent une trajectoire identique. Au moment du déclenchement du contrôle le système sous anti-contrôle obtient un exposant positif qui l’oblige de suivre une trajectoire différente et plus précisément chaotique, donc il va perdre sa stabilité soit sur le point fixe ou sur l’orbite périodique. Mais des que le contrôle est relâché le système récupère ses caractéristiques originales de stabilité, donc il revient à son état avant contrôle.

2.2.5. Application sur un système du deuxième ordre

On considère le système du deuxième ordre suivant :

( )

[

_b

]

(a b) k a k b k ab k b k x Ax x x A x + + + -+ -+ = ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 1 2 1 2 (2.51) Où

SiA=3, a=1.6et b=-0.4le système est toujours stable sur une orbite de deux cycles, et il n’accepte aucun comportement chaotique quelque soit la condition initialex . Pour cela on ₀

essaye de tracer la population

{ }

x_k ¥_k=0pour différentes conditions initiales.

On fait varier x entre 0.1 et 1 puis on observe les différentes réponses du système. 0

On remarque que, quelque soit la condition initiale le système est toujours stable sur un point fixe x_f =0.2 ou sur une orbite périodique. Donc pour ces conditions le système ne peut jamais être chaotique.

Figure (2.13). Réponses du système pour différentes valeurs de x₀

2 . 0 0 = x 3 . 0 0 = x _0.6 0 = x 1 0 = x 8 . 0 0 = x 1 . 0 0 = x

Pour appliquer l’algorithme d’anti-contrôle on prend le cas oùx0 =0.6.

Avant de déterminer la matrice jacobienne du système on utilise les notations suivantes

(2.52)

(2.53)

On choisit les deux variables d’état et tel que

(2.54) (2.55) Donc

(2.56) (2.57) La matrice jacobienne s’écrit :

(2.58) , 0 1 ) , 2 ( 0 ú û ù ê ë é + = ¢ S k k f (2.59) Et

[

( ) ( 1)

]

[

(

)

( )

]

, ) ( ) 2 ( ) ( 1 ) 2 ( 1 ) , 2 ( a b x k a a b x k a k x k x k x k x k k S + + + - + -+ -= +

Pour ces paramètres et cette condition initiale le système possède les exposants de Lyapunov suivants : , 6418 . 0 1= -l l₂ =-0.6931,

Les deux exposants sont négatifs, ce qui signifie la stabilité du système. Donc pour chaotifier le système, il faut qu’au moins un exposant soit positif. Alors, on choisit la matrice

Jsuivante : , 0 0 6931 . 0 6418 . 0 ú û ù ê ë é = -e e J Þ l₁ =0.6418

La loi d’anti-contrôle appliqué est

e mod ) ( ) ( ) (k B k x k u = , e =0.1 (2.60)

Donc la matrice B est calculée à chaque itération par J f k B( )=- ¢+

[

(

)

][

]

, 0 0 0 1 ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( 1 ) 2 ( 1 0 ) ( 2 1 ú û ù ê ë é + ú ú û ù ê ê ë é -+ -+ + + -+ -= l l e e a k x b a a k x b a k x k x k x k x k B

Les figures suivantes représentent les résultats de simulation du système sans et sous anti-contrôle.

Comme il est représenté dans la figure (2.15), le système original se stabilise sur une orbite périodique d’amplitude maximale égale à 0.799.

Dès le départ, le système sous anti-contrôle suit une trajectoire chaotique avec une amplitude supérieure à celle du système original (varie entre 0 et 1). La figure (2.17) montre que la réponse du système contient plusieurs sommets différents, ce qui signifie le comportement chaotique de la séquence

{ }

x_k ¥_k=0 .

Figure (2.17). Les sommets du système sous anti-contrôle

2.2.6. Application sur un système de trois dimensions (système de Kokame)

Le système de Kokame [20] est décrit par :

ï î ï í ì -= + + = + -+ = + ) ( 2 . 0 ) ( 1 . 0 ) 1 ( ) ), ( ( ) ( 3 . 0 ) 1 ( ) ( 5 . 0 ) ( 4 . 0 ) ), ( ( ) 1 ( k z k x k z a k y f k x k y k z k y a k x f k x (2.61) Avec ï î ï í ì -+ = ), 1 ( , ), 1 ( ) , ( a a a a v v v v f 5 . 0 5 . 0 5 . 0 f p a a a si si si £ (2.62) Et aparamètre du système

Donc pour x(k) £0.5 et y(k) £0.5 le système de Kokame admet un point fixepf(0,0,0). Pour voir le comportement dynamique du système, on trace le diagramme de bifurcation de la variable x en fonction du paramètrea. On fait varier a dans l’intervalle

[ ]

0,2 avec un pas d’itération de 0.001.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 -0.4 -0.2 0 0.2 x 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 -0.1 0 0.1 y 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 -0.5 0 0.5 itération z 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Figure (2.18). Diagramme de bifurcation du système de Kokame

Dans la figure (2.18), on remarque deux zones de stabilité

Ø aÎ

[

0,0.66

]

, le système se stabilise sur son point fixe pf (0,0,0) Ø aÎ

]

0.66,2

]

, le système présente un phénomène chaotique.

-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 x y z 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 -2 0 2 x 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 -2 0 2 y 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 -0.2 0 0.2 itération z

Figure (2.20). Le système de Kokame pour a =2

Les figures (2.19) et (2.20) représentent les réponses du système pour différentes valeurs dea. Pour a=0.3 le système est stable et ne présente aucun comportement chaotique. Notre but c’est de faire basculer le système vers un état chaotique dans cette partie stable, donc l’algorithme d’anti-contrôle sera appliqué au système poura=0.3.

L’algorithme de chaotification utilisé est le même que celui des exemples précédents, donc on applique au système la loi de contrôle suivante

e mod ) ( ) ( ) (k B k x k u = (2.63) Avec J f k B( )=- ¢+ (2.64) Où ú ú ú û ù ê ê ê ë é -= ¢ 2 . 0 0 1 . 0 0 3 . 0 5 . 0 4 . 0 a a f (2.65)