Étude de la persistance d'un champ météorologique

R EVUE DE STATISTIQUE APPLIQUÉE

M ^ICHEL D ^EQUE

Étude de la persistance d’un champ météorologique

Revue de statistique appliquée, tome 31, n

^o

3 (1983), p. 39-56

<http://www.numdam.org/item?id=RSA_1983__31_3_39_0>

© Société française de statistique, 1983, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Revue de statistique appliquée » (http://www.

sfds.asso.fr/publicat/rsa.htm) implique l’accord avec les conditions générales d’uti- lisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou im- pression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou im- pression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

39

ETUDE

DE LA

PERSISTANCE D’UN CHAMP METEOROLOGIQUE

Michel DEQUE Météorologie Nationale, 77 ^rue de Sèvres, 92100 Boulogne, France

RESUME

Lorsqu’on ^{est en}

présence

^{d’une série} de valeurs

numériques

^non

indépendantes

^on peut

mesurer la persistance ^et rechercher les cycles

privilégiés

^{en étudiant le} diagramme ^d’autocor- rélation. En

météorologie

^et plus

particulièrement

^en circulation

générale atmosphérique

^on

a affaire à des champs. ^{Pour une} échéance donnée on peut

décomposer

^un champ ^{en diffé-}

rentes composantes décorrélées ^{dont la} persistance ^{décroît de la}

première

^{à la dernière. Leur}

mode de construction est analogue ^{à celui des} Composantes Principales ^{mais au} lieu de maximi-

ser la variance, ^{on cherche à maximiser} l’autocorrélation temporelle. ^Diverses applications ^de

ce type ^de

décomposition

^{sont menées sur une série de 10 ans de} champs ^de

géopotentiel

à 500 mb simulés dans une

expérience

de circulation

générale

^{effectuée au Centre}

Européen

de Prévisions

Météorologiques

^à Moyen ^Terme.

I. INTRODUCTION

La

persistance joue

^{un rôle}

important

^en

météorologie

^{car elle sert de réfé-}

rence pour ^une

prévision. Cependant,

^toutes les variables n’ont pas la même

persis-

tance. Le

géopotentiel

à 200 mb évoluera

beaucoup plus

lentement que la nébu- losité.

Lorsqu’on

^{a affaire à une} variable unidimensionnelle

(précipitations

^{en une}

station)

^on

peut

^{étudier la}

persistance

par le

diagramme

d’autocorrélation

tempo-

relle. Plus les coefficients d’autocorrélation d’ordre k pk ^sont

proches

^{de 1}

plus

la série est

persistante.

^{En outre}

l’apparition

^de pl,

proche

de 1 alors que les valeurs de pi ^{pour i} k étaient inférieures met en évidence un

cycle

^de

période

^{k. Lors-}

qu’on

^{a affaire à une} variable multidimensionnelle et si la dimension est

grande,

il est hors de

question

d’étudier les

composantes

^{une à} une, ^surtout si elles ne sont pas

indépendantes.

^Une

expérience

de circulation

générale atmosphérique

^{a été}

réalisée au Centre

Européen

^de Prévisions

Météorologiques

^à

Moyen

^Terme

(CEPMMT) (Voir

André 81 - Rilat et

Thépaut 82)

pour modéliser le

comporte-

ment de

l’atmosphère pendant

^{10 ans.}

Même ^{en se}

restreignant

^au

champ

^de

géopotentiel

^{à 500 mb}

qui

^{résume le}

mieux la circulation

générale

^de

l’atmosphère,

^il y ^a 2048

composantes (c.a.d

2048

points

^{sur une}

grille

de 32 latitudes et 64

longitudes)

fortement corrélées entre elles. On ^a recours

classiquement

^{à une}

décomposition

^en

Composantes Principales

^{de ce}

champ (Der Mégréditchian

^{et Mante}

^1981,

^Lau

1981).

L’analyse

^en

Composantes principales

^{de cette}

expérience

^{a été}

présentée

dans Volmer et al. 1982. Il se trouve que les

premières Composantes Principales

sont

plus persistantes

que les ^suivantes mais il

s’agit

^{là d’une}

propriété

^météorolo-

Revue de Statistique Appliquée, 1983, vol. XXXI, n° ³

Mots-Clés :

Persistance, Météorologie, Géopotentiel,

Circulation

Générale,

^Auto-

gique

^{et non}

statistique (il

^{suffit de} traiter les

champs

dans le désordre chronolo-

gique :

les Directions

Principales

^seront les mêmes mais les

Composantes Principales

ne seront pas

autocorrélées).

On va donc essayer de résoudre le

problème

^{de la}

décomposition

^d’un

champ

en

composantes

décorrélées dont les

premières

^seront

plus persistantes

que les suivantes. Le but

poursuivi

^{est de faire le tri entre la}

part

d’information

qui

^se

conserve

pendant

^{une certaine durée et celle}

qui

^se

dégrade rapidement

^{au cours}

du

temps.

Pour mesurer la

persistance

^d’un

champ

de manière

globale,

^{il suffira de consi-}

dérer la

persistance

^des

premières composantes

^{et la}

part

de variance

qu’elles

occupent

^{dans la}

décomposition

^du

champ

^initial.

II. COMPOSANTES PERSISTANTES - DEFINITION ET PROPRIETES

a)

Position du

problème

Fixons k E N intervalle de

temps correspondant

^à

l’autocorrélation,

^{k = 1}

pour chercher la

persistance,

k &#x3E; 1 pour chercher les durées de retour

(par défaut,

k vaudra

1).

Considérons une série de N

champs

^de dimension p, Zn.

On cherche à obtenir

des

^séries

^{xi n} n = 1, N ; i = 1, p

par combinaison linéaire de Zn telles que

xl

^maximise l’autocorrélation à k

jours (ou

^{k unités}

quelconques

^de

temps) ^x2

^maximise l’autocorrélation à k

jours

^sous la contrainte d’être non corrélée à

x 1, ^x3

maximisant sous la contrainte d’être non corrélée à

xi

^et à

x2

etc. Cette démarche est semblable à celle

qui

mène à la définition des

Composantes Principales :

^{on cherche} des séries

zi n

^{n =}

^{1, N ;}

ⁱ

^{= 1,}

^{p par combi-}

naison linéaire de Zn telles que

z 1

maximise la

variance, z2

maximise la variance

sous la contriante d’être non corrélée à

z ,

^etc.

Les conditions sur

xi

sont

indépendantes

de la moyenne ^et de la

variance ;

pour que le

problème

^{ait une solution}

unique

^nous poserons des conditions ana-

logues

^{à celles}

requises

pour les

Composantes Principales.

^{Celles-ci étant}

centrées,

nous

imposerons

^aux

^Xl

de l’être. Le

champ

^{Z =}

{Zn/n

⁼

1,N}

^se recompose

en

Zn = 03A3 ^zinCi

^où

^C1

^{est un vecteur normé de dimension p.}

Nous

imposerons

^{d’avoir la}

recomposition

^{de Z en}

est un vecteur normé de dimension p.

b)

Résolution du

problème

Soit Z la moyenne

temporelle

de Z. Posons

On pose

Wk 2 ^(Wk

⁺

^Wk

^{est une matrice}

symétrique.

Soit B un vecteur de dimension p. Si xn ⁼

B’(Zn - Z)

L’autocorrélation

des xn ^est

B’WkB B’VB = BWkB B’VB

L’écriture

algébrique

^du

problème posé plus

^{haut est :}

B’Wk B

^..

B’Wk B

On cherche

B1

maximisant

puis B2

maximisant _{1 -} sous la

B VB B VB

contrainte

E (xi X2

^{= 0 soit}

B’1VB2 =

^0.

La solution de

^ce

problème classique

^{est obtenue à}

partir

^{des vecteurs}

propres

de

V-1 Wk

^et

Wk V-1. Soient r 1 , r2 , ... rp

^{les valeurs} propres de

WkV-1 (ri

r2 &#x3E; ... &#x3E;

rp) respectivement

^{associées aux vecteurs} propres

81 e2

^...

03B8p

orthonormés

(pour

^la

métrique

^{V-1 :}

03B1in

⁼

03B8’iV-1 (Zn - Z)

pour 1 n N est la solution du

problème

^{de maxi-}

misation. La variable

ai

est centrée et décorrélée avec les

aj j

^{-=1= i. On a :}

Nous choisissons les

scalaires {31

afin que les ^vecteurs

ri = 03B8i 03B2i

^{soient normés}

(pour

^{la norme}

usuelle). Il vient (3i

⁼

(03B8 ’i03B8i) ^1/2

La solution du

problème peut

^{donc s’écrire sous} forme définitive :

Où

xi

est la ie .

Composante

Persistante.

Et

0393i la

ie Direction Persistante

L’autocorrélation de

xi

^est

_ri.

Les

xi

sont centrés et décorrélés.

La variance de

xi

est :

Les

8 1 étant

V-1 orthonormés la somme des variances des _{xi est} Tr V comme

pour les

Composantes Principales.

^{On définira donc la}

part

de variance

expliquée

par la ie

Composante

Persistante :

03B8’i03B8i/Tr

^V.

Les m

premières Composantes

Persistantes

portent

^{moins de variance que les}

m

premières Composantes Principales,

^ce

qui

^{est naturel}

puisqu’elles

^n’ont pas été construites dans ce dessein.

III. APPLICATION AU GEOPOTENTIEL à 500 mb

a)

^{10 hivers}

globaux

Une

expérience portant

^{sur une}

période

^{de 10 ans réalisée en 1981 avec le}

modèle

spectral

^{T 21}

(troncature

à 21 nombres d’onde zonaux et méridiens soit 484

degrés

^de

liberté)

^{du CEPMMT fournit un}

important

fichier de données

glo-

bales dont nous n’avons retenu que le

géopotentiel

^{à 500 mb en} coefficients _spec- traux

tronqués

^{sur une T 13}

(troncature

à 13 nombres d’onde zonaux et méri-

diens)

afin d’avoir 196

degrés

de liberté

(sans trop

déformer le

champ)

^et de pou- voir traiter des matrices de covariance ^et d’autorcorrélation par des moyens infor-

matiques simples (mémoire

centrale du CYBER

175,

ordinateur CDC de la Météo-

rologie Nationale).

^{On montre} que la résolution du

problème

^est

équivalente

^en

points

^de

grille

^{et en} coefficients

spectraux.

^{Nous avons d’abord étudié}

l’hiver,

ou

plus

exactement les mois de Janvier et de Février

(600 jours).

Les résultats sont montrés en

projection stéréographique polaire

^sur

l’hémisphère

^{Nord -}

figure

^{1 et}

figure

^2.

L’analyse

^en

Composantes Principales

^{fournit une}

première composante

de variance

expliquée 8,6

^%

qui correspond

^{à un} noyau de baisse

(quand

^{elle est}

positive)

^{sur le} Groenland. Son autocorrélation est. 96 à 1

jour

et .56 à 10

jours.

La deuxième

composante

^{a une variance}

expliquée

^{de 6.1 %}

et

correspond

^à trois noyaux de baisse ^sur la baie de

l’Hudson,

^{la mer}

Caspienne

et le

Pacifique

^{Nord et un fort noyau de hausse sur} l’Alaska. Son autocorrélation est .94 à 1

jour

^{et .25 à 10}

jours.

^{Elle est donc moins}

persistante.

^{Nous avons fait}

ensuite une

Analyse

^en

Composantes

Persistantes avec k ⁼ 1 sur les 60

premières Composantes Principales (variance expliquée

⁸⁹

%)

^{de manière à filtrer les}

phéno-

mènes non

significatifs

^mais

qui peuvent

^être

persistants.

On obtient des résultats différents. La

première composante

^{a une variance}

expliquée

^{de 6}

^%,

^{son auto-}

corrélation à 1

jour

^{est de .989 et à 10}

jours

de .920. Elle

correspond

^{grosso modo}

à la

première Composante Principale (noyau

^{de baisse sur le}

Groenland).

^{La seconde}

composante

^{a une variance}

expliquée

^{de 3.6}

^%,

^son autocorrélation est .978 à 1

jour

et .710 à 10

jours.

^Son

aspect

^est sensiblement différent de celui de la deuxième

Composante Principale.

^{Nous avons} testé la sensibilité des deux

premières Compo-

santes Persistantes.

Lorsqu’on

^{cherche à maximiser} l’autocorrélation à 2

jours

^au

lieu de 1

jour,

^{on obtient}

pratiquement

^{les mêmes}

résultats ;

^{il en va de même}

lorsqu’on

^traite les données désaisonnalisées

(en

^{retirant à}

chaque

^{valeur du}

jour j

la valeur de l’année moyenne

correspondant

^{à ce}

jour).

Toutefois si on ne retient que les 20

premières Composantes Principales

^au

lieu des 60

(variance expliquée

⁵⁹

%)

la deuxième Direction Persistante est

plus

zonale. Il _y a donc suffisamment de

persistance

^{dans les}

Composantes Principales

21 à 60 pour modifier

l’aspect

de la deuxième Direction Persistante.

b)

^{10 années}

globales

Lorsqu’on

traite les 10 ans dans leur

intégralité,

^il

apparaît

^une

Composante

Persistante très autocorrélée et dont la variance

expliquée

^{est 60}

%,

^{c’est le}

cycle

saisonnier

(l’année

moyenne ^se situe à 92

%

sur une Direction

Principale

^{et la}

composante correspondante

^{suit une}

sinusoïde).

^{On enlève donc le}

cycle

^annuel

par soustraction.

Lorsqu’on

^{fait une}

Analyse

^en

Composantes Principales

^{sur ces}

données

(cf. IV),

^il

apparaît

^deux

composantes (Fig. 7)

^{de 4 %} de variance

expli-

Figure ^{1. -}

1re

et

2e

Directions Principales des 10 hivers.

Figure ^{2. -}

1 re

et

2e

Directions Persistantes des 10 hivers.

Figure

3. -lr’e

Direction Persistante des 10 ans désaisonnalisés.

quée

dont l’une se situe dans

l’hémisphère Nord,

^{l’autre dans}

l’hémisphère

^{Sud. La}

première Composante

Persistante

(Fig. 3) après filtrage

par les 20

premières Compo-

santes

Principales (variance expliquée

⁴⁶

%)

^{rétablit le}

couplage

^{entre les deux}

pôles.

Elle a une autocorrélation

plus importante

que les

Composantes Principales (Fig. 4a) ;

^{à 40}

jours

^{elle vaut .55 alors}

qu’elle

^est

négligeable « .02)

pour les

premières Composantes Principales,

^{mais sa variance}

expliquée

^n’est que de 2.7

%.

Il est

remarquable

^{d’obtenir une}

persistance

^aussi

importante

^{à 40}

jours (l’auto-

corrélation demeure

supérieure

à .55 de 1 à 40

jours)

alors que c’est l’autocorré- lation à 1

jour

que l’on maximise. La ^carte de la Direction Persistante montre

un

antagonisme

^{entre le}

pôle

^{Nord et les}

anticyclones

^de

l’hémisphère Sud,

^d’une

part

^{et le}

pôle

^{Sud d’autre}

part.

^{On observe en effet sur} le modèle de circulation

générale

^de l’Etablissement d’Etudes et de Recherches

Météorologiques (EERM) (voir

^{ROYER et al.}

1981, DEQUE

^{et al.}

1982)

^{des mois} de Janvier où la

pression moyenne

^au niveau de la mer est

plus

^faible

(que

^{sa valeur} moyenne pour ^tous les mois de Janvier

produits

^{par le}

modèle)

^au

pôle

^{Sud et}

plus

^{forte au}

pôle

^Nord

et des mois de

janvier

où l’inverse se

produit.

^Plus

précisément chaque

^fois

qu’un

déficit de masse

apparaît

^{à un}

pôle,

^{un excédent}

apparaît

^{à l’autre. Il}

s’agit

^donc

d’un accident suffisamment

persistant

pour

qu’il apparaisse

^{au niveau} des moyennes mensuelles. Il est difficile de

dire,

^{dans l’état} actuel des données si ce

phénomène

se retrouve dans

l’atmosphère

^réelle.

c)

^{20 années sur un domaine réduit}

Un fichier établi _{par la} subdivision

prévision

^à

longue

^{échéance de la Météo-}

rologie

^{Nationale nous} fournit 20 ans de données réelles sur un domaine de 89

points

^{limité à}

l’Europe

^et

l’Atlantique

Nord. Une étude similaire à celle de

b)

^a

été effectuée. La

première Composante Principale (Fig. 5) représente

^le

phéno-

mène de "Greenland Seesaw"

(bascule

^du

Groenland). ^Quand

^la

composante

est

positive

^le flux d’Ouest s’infléchit et suit une

trajectoire

Sud-Ouest - Nord-Est

sur

l’Europe

^{du Nord.}

Quand

^la

composante

^est

négative,

l’orientation du flux

est Nord-Ouest - Sud-Est. La variance

expliquée

^{est 16.3 % et son} autocorrélation .91 à un

jour,

^{.3 5 à 5}

jours.

Figure ^{4. -} Diagrammes d’autocorrélation à 10 jours ^{de la}

première

Composante

Principale (-) ^{et de la} Composante

Persistance (- - -) ^à partir ^des données désaisonnalisées a) ^sur le domaine global,

b) ^sur le domaine Europe-Atlantique.

Après filtrage

par les 28

premières Composantes Principales (variance expli- quée

⁹⁴

%),

^{on obtient une}

première Composante

Persistante

qui

^ne

représente

pas le même

phénomène.

^{Si on} schématise le

profil

^{Nord-Sud du}

géopotentiel

^en

portant

^{A et B les deux centres d’action}

(Fig. 5) :

0=0 C &#x3E; 0 C 0

On voit que

lorsque

^la

composante

^est

positive,

^le

gradient (et

^{donc la circu-}

lation)

^{est maximum vers}

^50°

^{N : il} y ^a accélération du

jet. Lorsque

^la

composante

est

négative

^le

gradient

^{est faible vers}

50°

N mais il est fort à

30°

^{N et à}

70°

N : il _y ^a

séparation

^du

jet

^{en deux}

branches,

^une branche Nord et une branche Sud.

C’est le

phénomène

^du

blocage.

^La

première composante persistante correspond

au

blocage

^sur

l’Atlantique

Nord. La variance

expliquée

^{est de 12.8}

^%

^{et son auto- -}

Figure ^{5. - Première Direction} Principale (a) et première Direction Persistante (b) ^{des 20 ans} désaisonnalisés.

corrélation est .94 à un

jour

^{et .48 à 5}

_jours.

La

figure

^{4b montre} que

jusqu’à

10

jours (et

^{en fait}

au-delà)

^la

première Composante

Persistante est

plus

^auto-

corrélée _que la

première Composante Principale.

IV. LEVEE DE LA DEGENERESCENCE DANS UNE ANALYSE EN COMPO- SANTES PRINCIPALES

Considérons deux

Composantes Principales

^{z 1}

(t)

et z2

(t) dégénérées (c’est-

à-dire associées à la même valeur _propre

À).

^{Elles sont}

décorrélées,

^{mais toute} combinaison :

r 1

⁼ Z1

(t)

^{cos 0 -} Z2

(t)

^{sin 0}

03B62

⁼ Z1

(t)

^{sin 0 + Z2}

(t)

^{cos 0}

donne un

couple (03B61 , 03B62) qui

^{satisfait aux} mêmes conditions

(décorrélation

^et

maximum de

variance).

^{Mais si nous} supposons

que

^{z 1 et z2 sont}

indépendantes,

il n’en vas pas de même

pour 03B61

^et

e2.

^{En effet}

r- k 12

⁼

cor (r 1 (t) , 1 e2 ^(t

⁺

k)) = (03C11 - P2)

cos 0 sin 0 où

p,

^et

P2

^{sont les} autocorrélations

temporelles

^{à k}

jours

de

z 1

^et

z2 .

L’autocorrélation

de 03B61

^vaut

PI cos 2 0

⁺

_P2 sin 2 0

^et celle

de e2

^vaut

p 1 sin2

0 ⁺

P2 coS2 0 .

Elles sont

comprises

^entre

Pl

^et

p2 quelque

^{soit 0. Donc}

dans un sous espace propre de dimension 2 les

Composantes Principales qui

^{ont un}

sens

physique (c’est-à-dire

^celles

qui

^sont

indépendantes)

^{sont les}

Composantes

Persistantes. Ce résultat se

généralise

^{aisément en} dimensions

quelconque.

Un pro- blème de cette nature s’est

posé

^{lors de}

l’Analyse

^en

Composantes Principales

des données désaisonnalisées de

l’expérience

^{de 10 ans}

(Fig.

^{6 et}

7).

^{Les deux}

premières Composantes Principales expliquent

^4.48

^%

^{et 4.14}

^%

de la variance.

Disposant

^{de 10} ans, cela

représente

^{environ 1000 données}

indépendantes.

^Si

l’on

applique

^{le test} d’Anderson

(MORISSON 1967),

^on voit que ^ces deux valeurs

ne sont pas

significativement

différentes

(alors qu’on

^montre que la troisième

l’est).

Si l’on considère les deux Directions

Principales

^{on voit}

qu’elles représentent

un

couplage

^{entre les deux}

hémisphères (ce qui

^{est étonnant}

puisque

les données sont

désaisonnalisées)

^et que dans

l’hémisphère

Nord elles ont la même structure et dans

l’hémisphère

^{Sud elles ont des} structures de

signe

contraire. On a bien envie de

prendre

^{leur somme et leur} différence

(normées

par

1/2)

^{mais cela}

peut

^sembler artificiel. Considérons les

Composantes Principales 03B61

^et

e2

^{que nous}

donne

l’algorithme

^de

diagnonalisation.

^Les coefficients de corrélation croisés

ri2

^sont

^peut

différents des

rk 1, augmentent

^{avec k et valent .10 à 10}

jours.

^Nous

ne sommes donc _pas en

présence

^{de variables}

indépendantes.

^{On va} donc chercher 03B8 pour que

z 1 = 03B61

^{cos 0}

+ 03B62

^{sin 0 et}

z2 = - 03B61

^{sin 0}

+ 03B62

^{cos 0 aient des}

coefficients de corrélation croisés d’ordre k

nuls,

^ou pour ^maximiser l’autocorré- lation _{de z1} il vient :

puisqu’on

^{a vu} que

rk12 ~ rk21 .

^{Or il se trouve}

^qu’à

^toutes les échéances le coeffi- cient d’autocorrélation

03C11 de ç 1

^{est le} même que celui

de ç 2 ’ P2 .

^{On obtient donc}

cos2 8 = sin2

0 =

1/2

^{et on}

peut prendre

Figure ^6. -Directions Principales ^{des données} désaisonnalisées

C 1 et C2

V. APPLICATION A L’ETUDE DES CYCLES

Nous nous sommes intéressés

jusqu’à présent

^à la maximisation de

pl

^dont

nous avons vérifié

qu’elle

fournissait des résultats

analogues

^{à celle de} Pk ^{pour les}

petites

valeurs de k. Intéressons-nous maintenant au cas où k devient

plus grand (tout

^{en restant}

petit

devant la taille du

fichier).

^{Un cas}

particulier

^{est celui où k}

vaut une année et où on cherche à mettre en évidence le

cycle

annuel. Dans le

cas de

l’expérience

^de circulation

générale

^{de 10 ans}

(filtrée

par les 20

premières Composantes Principales qui expliquent

^{80 % de la variance}

totale,

^{on considère}

ici l’année entière non

désaisonnalisée),

^{on trouve une}

première Composante

^Per-

sistante

(Fig. 8)

d’auto corrélation .998

(à

^un

an)

^et de variance

expliquée

^{60 %.}

C’est la direction

qui porte

^l’onde annuelle sinusoïdale et que l’on ^trouve

égale-

ment pour les faibles valeurs de k. La deuxième

Composante

Persistante

possède

une autocorrélation de .755

puis

^{on trouve des}

composantes

dont les autocorréla- tions sont

positives

^et inférieures au seuil de

signification

^estimé

plus

^{loin. Le}

cycle

annuel est donc

porté

par deux directions et les autres

composantes

^{sont décor-} rélées avec celui-ci. Le

procédé classique

^de désaisonnalisation

(utilisé

^au

III)

^se

fait en retranchant à une série de valeurs la valeur de l’année _moyenne au

jour

Figure ^{7. -}

Directions

Principales ^des données désaisonnalisées

correspondant x(jour, an)

^{= x}

(jour, an) - x(jour).

^S’il

n’y

^a

plus

^de

cycle

^dans

les _moyennes de la

série,

^{il en reste} dans les vriances

(les

^{variances d’hiver sont}

plus

^fortes que celles

d’été).

^{Dans le cas d’une variable}

unidimensionnelle,

^on

peut

diviser par l’écart

type

^au

jour correspondant,

^{mais dans le cas} d’une variable

multi-dimensionnelle,

^c’est

plus

^{délicat. De toutes}

façons

^{il restera un}

cycle

^{dans les}

autocorrélations

temporelles (ce cycle

^{a été mis en} évidence par J.P.

LABARTHE).

Nous venons de mettre en évidence une

procédure

pour filtrer le

cycle

^{annuel :}

on

décompose

^le

champ

^en

Composantes Persistantes,

^on annule les deux

premières composantes, puis

^on recompose le

champ. Géométriquement

^{cela revient à faire}

une

projection

^du

champ

^{au lieu de faire} des translations variables suivant la date.

Ce

procédé, qui

n’a pas ^encore été

testé,

nécessite que le

cycle

annuel d’une variable soit dans une variété de faible dimension.

On

peut également regarder

^ce

qui

^se passe

quand

^{k varie de 1 à 100}

jours

sur les 20

premières Composantes Principales

^de

l’expérience

^{de 10 ans}

(Fig. 9).

Regardons

^ce que deviennent l’autocorrélation à k

jours

^et la variance

expliquée

de la

première composante

Persistante à k

jours

pour les données brutes ^et les données désaisonnalisées

(par

la méthode

traditionnelle) ;

^{comme on fait une}

Figure ^{8. -}

1re

et

2e

Directions Persistantes du cycle ^annuel.

Analyse

^en

Composantes

Persistantes à

chaque

^échéance la courbe

qui joint

^les

autocorrélations est

l’enveloppe

^{de tous les}

diagrammes

d’autocorrélation des combinaisons linéaires des 20

Composantes Principales.

On observe une décrois-

sance de l’autocorrélation

puis

^une stabilisation ^{a un} seuil est de .40 pour les

données

brutes et .70 pour les données désaisonnalisées

(bien

que dans les deux

cas on ait un fichier 20 x

3 660).

La variance

expliquée

^décroît

également jusqu’à

un seuil

légèrement supérieur

^{à la variance}

expliquée

par la 20e

Composantes

^Prin-

cipale (par

construction il ne

peut

^{lui être}

inférieur).

^Il

n’y

^a donc pas dans les données de

géopotentiel

à 500 mb du modèle du CEPMMT de durée de retour

privilégiée correspondant

^{à une variance non}

négligeable (onde

^{à 5}

jours,

^{onde à}

18

jours,

^{onde à 28}

jours (la

^lune n’est pas

prise

^en

compte

^{dans le}

modèle !) etc.).

La méthode _que nous venons de décrire

peut

donc servir pour

analyser

^le

spectre temporel

d’une série de

champs (pour

^une série de variables unidimensionnelles

on

dispose

^{de la} méthode des coefficients de

Fourier).

^La série des variances

expli- quées permet

de contrôler si l’onde à

k jours qui

^se manifesterait _par un

pic

^d’auto-

corrélation n’est pas de variance

négligeable

^{et donc}

probablement

^{un artefact}

numérique.

Figure ^{9. -} Autocorrélation (-) ^{et variance}

expliquée

(- - -) de ^la Première Composante Persistante

a) ^données brutes, b) ^données désaisonnalisées.

VI. COMPOSANTES MIXTES PRINCIPALES PERSISTANTES

Revenons à

l’Analyse

^en

Composantes Principales

^{linéaire mais au lieu de}

considérer les valeurs

quotidiennes

^du

géopotentiel

^{à 500}

mb,

prenons ^un fichier

typiquement

peu

persistant :

^les moyennes mensuelles

départementales

^{de la}

pluie

^en France. Une

première Composante Principale (Fig. 10a) porte

⁵²

%

de la variance totale et

correspond

^{à la côte}

atlantique

^{et aux reliefs}

exposés

^aux per- turbations d’ouest. Les

Composantes Principales

^suivantes

expliquent

¹⁶

^%,

⁶

^%,

5 % ^mais les autocorrélations sont faibles

.02, .15, ;

^{11 et .11. Il}

n’y

^a pas de cor-

respondance

^{entre l’échelle}

spatiale

^du

département

^{et l’échelle}

temporelle

^{du mois.}

Nous sommes donc conduits à chercher les

Composantes

Persistantes de ce fichier.

On trouve 36

Composantes

^{sur 90 dont} l’auto corrélation est

supérieure

^à

.50,

^la

première

^étant

.84,

^{mais les variances}

expliquées

^sont inférieures à 2 %. On aime- rait

pourtant

^{bien trouver une}

projection

^du

champ

bien autocorrélée et cepen- dant

significative.

^Une

première

méthode consiste à ne retenir que les

plus grandes

Composantes Principales,

^{mais on}

risque

^de

perdre

^de l’information car contrai- rement au

géopotentiel

^la

persistance

n’est pas concentrée dans les

premières

Composantes Principales. Reprenons

le passage de la variable réelle ^{au vecteur.}

Figure

10. - Précipitations

mensuelles

départementales,

a)

1re

Direction Principale,

b)

1re

Direction Mixte Principale Persistante.

Dans le

premier

^{cas, on}

dispose

^{d’une mesure de la}

persistance :

l’autocorrélation.

Dans le

second,

^{on a} p coefficients d’autocorrélation dont ^on

peut

^{faire la somme}

pondérée.

^Le

plus logique

^{est de choisir comme}

pondération

^{la variance}

expliquée

par

chaque

coordonnée.

Reprenons

les notations de II.

L’autocorrélation de la

ie

coordonnée

z

est

p (zi) =

^Wii

(nous

^omettrons

le coefficient k fixé une fois _pour

toutes). Vii

La variance

expliquée

par

zi

est

Un coefficient

global p(Z)

^est

Cette

opération

^{est commode car elle est} invariante _par rotation des axes.

Mais ce coefficient

global peut

^être nul soit parce

qu’aucune

des coordonnées n’est

persitante,

^soit parce que certaines autocorrélations ^sont

proches

^{de 1 alors}

que d’autres sont

négatives.

^Nous

prendrons

^{donc comme} coefficient d’autocorré- lation totale

Alors

aucune

persistance

^{dans le}

champ.

On

peut

^{chercher une rotation A} maximisant

p(AZ).

On trouve alors Max colonne de la matrice A.

Soient

Di

^{les vecteurs} propres de

W _(matrice symétrique)

^{associés aux valeurs}

propres wi. ^En

décomposant

la base orthonormée

(Ai)

dans la base des

(Di)

Donc

p (DZ)

^{est solution de la} maximisation.

Si on ordonne les

|Wi|

^par ordre décroissant on définit une série de

composantes

avec

la

première ^maximise |03C1(xi)|.

^- alors que

l’analyse

^en

Composantes

^Prin-

cipales

^maximise

var(xi) TrV

^{et que}

^l’Analyse

^en

Composantes

Persistantes maximise

p(xi).

La seconde n’est pas décorrélée à la

première

^{mais on a seulement}

Si

x;

^{est assez}

persistante,

^on

peut

considérer que

x;

^et

x*

^sont décorrélés.

Chaque

composante x*i

^{que nous}

appellerons

^Mixte

Principale-Persistante

^maximise

l’autocorrélation

pondérée (sous

^la contrainte

d’orthogonalité) |03C1(x*i|. var(x*i) TrV

et la somme de ces autocôrrélations

pondérées qui

^constitue l’autocorrélation

totale est maximale et vaut

03C1(x*)

⁼

^03A3|Wi|

^.

Tr V

Avec la méthode _que nous venons de décrire les

premières Composantes

Mixtes ne

peuvent

^{avoir ni une variance}

expliquée trop

^{faible ni une} autocorréla- tion

trop

^{faible et sont} sensiblement décorrélées. On

dispose

^{donc d’un}

palliatif lorsque

^les

Composantes

Persistantes sont très peu

significatives

^ainsi que d’un coefficient _pour mesurer la

persistance globale

^d’un

champ.

^{Dans le cas}

qui

^nous

intéresse

(moyennes

mensuelles

départementales

^de

pluie),

l’autocorrélation totale est de .16. On

pouvait

^a

priori

^se douter de la faible

persistance

^{de ce}

champ.

^La

première Composante

^Mixte

(Fig. lOb) possède

^une autocorrélation

pondérée

de .05 soit une autocorrélation de .20 et une variance

expliquée

^{de 27 %. Elle}

correspond

^aux domaines d’influence maritime.

VII. CONCLUSION

La

persistance

^d’un

champ peut

donc s’étudier en

décomposant

^ce

champ

suivant des directions

privilégiées

solutions d’un

problème d’optimisation analogue

à celui de

l’Analyse

^en

Composantes Principales.

^Les

composantes obtenues, baptisées persistantes,

^sont

centrées,

décorrélées entre elles et d’autocorrélation

temporelle

décroissante

(la

méthode fournit des fonctions linéaires très

persis-

tantes mais elle

peut

^se

généraliser

^{à des fonctions}

polynomiales

^en

augmentant

la taille du

champ

par

l’adjonction

^de

monômes).

Sur une série de 10 années de

champs

^de

géopotentiel

^{à 500 mb on cons-}

tate que les Directions Persistantes ^ne coincident pas ^avec les Directions

Principales.

Cette

décomposition permet

de lever la

dégénérescence

^{dans une}

Analyse

^en

Composantes Principales.

^Elle

permet

^{de chercher les}

cycles

^ou les durées de retour ainsi que de désaisonnaliser ^une série de

champs

^{de manière} différente de la mé- thode de soustraction de la moyenne. Son

application permet

^d’afirmer

qu’il n’y

a pas de

cycle

de variance

significative

dans la série considérée. Toutefois cette méthode ne donne pas des résultats satisfaisants

lorsqu’on

^{traite des}

champs

peu

persistants.

^On

développe

^alors la notion de

Composante

^Mixte

Principale-

Persistante

qui permet

d’obtenir des

composantes

autocorrélées et de variance

non

négligeable.

^{En outre cette méthode fournit un} indicateur

global

^{de la}

persis-

tance, l’autocorrélation totale.

REMERCIEMENTS

Je tiens

particulièrement

^à remercier M.

Guy

DER MEGREDITCHIAN pour ^son soutien constant et pour ^ses nombreux conseils.

J’adresse

également

^{de vifs} remerciements à MM. Jean Pierre

VOLMER,

Michel JARRAUD et ULRICH CUBASCH

qui

^{ont mis en oeuvre}

l’expérience

de circulation

générale

^{et ont mis les résultats à ma}

disposition.

Je remercie en outre Jean Pierre

LABARTHE,

^Jean

François

^{ROYER et}

Daniel ROUSSELET pour l’aide occasionnelle

qu’ils

^m’ont

apportée.

BIBLIOGRAPHIE

D. ANDRE

(1981). - Analyse

^d’une

expérience

de circulation

générale

^effectuée

avec le modèle

spectral

^{du CEPMMT.}

Rapport

^de stage ^de l’ENM.

M.

DEQUE,

^{J.F. ROYER}

(1982). -

Modélisation du

cycle

^annuel à l’échelle

globale :

^{étude de}

janvier

^et

juillet.

Note de Travail de l’EERM

n°

35.

G. DER

MEGREDITCHIAN, C.

^MANTE

(1981). - Autoregression

of the 500 mb

geopotentiel

^{field for short and mean} range

forecasting.

^{Seminar on Statis-}

tical Prediction in

Meteorology,

^Nice.

J.P. LABARTHE

(1981). -

Contribution à la

prévision

^à

longue échéance ;

^étude de la

température

moyenne mensuelle. Note

technique

^{du SMM}

n° _9,

Nouvelle série.

J.P. LABARTHE

(1982). - Quelques

réflexions sur une tentative de

prévision

^men-

suelle. Note

Technique

^{de la DMN}

(à paraître).

N.C. LAU

(1981). 2014

^A

diagnostic study

^{of recurrent}

meteorological

anomalies ap-

pearing

^{in a}

16-year

simulation with a GFDL

general

circulation model.

Monthly

Weather Review

n°

109.

D.F. MORISSON

(1967). -

Multivariate statistical methods. Mc Graw Hill Book

Company.

M.F.

RILAT, M.A.

^THEPAUT

(1982). - Analyse

^du

cycle hydrologique

^{dans une}

expérience

^{de .10 ans} de simulation du climat. Note de travail de l’ENM

n°

_20.

J.F.

ROYER,

^M.

DEQUE,

^H.J.

CANETTI,

^{M. BOULANGER}

(1981). -

^Presenta-

tion du modèle

spectral

de circulation

générale

^à faible résolution. Simula- tion du climat

de janvier.

^Note de travail de l’EERM

n°

16.

J.P.

VOLMER,

^M.

DEQUE,

M. JARRAUD

(1983). - Large

scale fluctuations in a

long

range

integration

of the ECMWF

spectral

model. Tellus

n° _35A,

173-188.