Texte intégral
A323 Les nombres prolifiques
Solution proposée par Anne Foubert
Par hypothèse N étant prolifique, N est de la forme N = a 1 + a avec a entier naturel.
On pose N’ = a 1- a Soit b =
n 2 n
2 ' N
N et c =
n 2 n
2 ' N N
On en déduit c – b =
4
' N ) ' NN ( 2
N2n n 2n
- 4
' N ) ' NN ( 2
N2n n 2n
= (NN')n Or NN’ = ( a 1 + a ).( a 1- a ) = a + 1 – a = 1
Il en résulte que c –b = 1.
Par ailleurs b c = N . n
D’où b b 1 = N , prouvant ainsi que la puissance n-ième de N est à nouveau un n nombre prolifique.
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