D1818. Au coin de la rue
D1.Géométrie plane : triangles et cercles Problème proposé par Patrick Gordon
Je me trouve à la place Abel, au sommet A d'un triangle ABC formé par 3 rues qui joignent deux à deux les places Bourbaki et Cauchy. Je dois aller en un point M de BC et je me demande quel est le chemin le plus court : par B ou par C?
Manifestement, il existe un point D de BC tel que, si mon but M est de tel côté de D, je dois passer par B et vice-versa.
Le problème serait le même si j'étais à la place Bourbaki ou Cauchy : il existe un point E et un point F tels que, etc.
J'explore un peu et je découvre des statues de Diophante, Erdös et Fermat justement aux points D, E, F.
Q1 Montrer que les droites AD, BE, CF sont concourantes quel que soit le triangle ABC.
Q2 Par un dédale de petites rues, je parviens à leur point de concours N où je découvre une statue de Newton. Montrer que N est un point remarquable du triangle ABC. Lequel?
Q3 Poursuivant mon exploration je découvre que la rue rectiligne de l’Institut Géographique National relie dans cet ordre les places Inaudi, Gauss et Newton. La place Inaudi est à égale distance des rues AB, BC et CA. Par ailleurs IG = 100 mètres et GN = 200 mètres. Démontrer que la place Gauss est un point remarquable du triangle ABC.
Q4 Poursuivant mon exploration à partir de la place Hilbert, je découvre une rue qui me mène tout droit à la place Gauss avant d'arriver à la place Oronte de Pergame. Marchant à pas réguliers, je mets deux fois plus de temps pour aller de la place Hilbert à la place Gauss que pour aller de cette dernière à la place Oronte de Pergame. Celle-ci est à égale distance des places Abel, Bourbaki et Cauchy.
Montrer que la place Hilbert est un autre point remarquable du triangle ABC. Si OI = 400 mètres, quelle est la distance NH ?
Solution de Paul Voyer
Q1
Les points D, E et F sont les points de contact des cercles exinscrits avec les côtés du triangle.
La convergence de AD, BE et CF est une conséquence directe du théorème de Céva.
Q2
N est le Point de Nagel.
Q3
I est le centre du cercle inscrit.
G est le centre de gravité, situé au 1/3 sur IN à partir de I sur la droite de Nagel.
Q4
H est l'orthocentre.
O est le centre du cercle circonscrit.
NH = 2*OI soit 800 mètres.
NB Guidé par l'initiale des noms, j'ai néanmoins dû rafraîchir quelques connaissances sur internet :
https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89l%C3%A9ments_remarquables_d'un_triangle
https://fr.wikipedia.org/wiki/Cercles_inscrit_et_exinscrits_d%27un_triangle#Cercles_exinscri ts
paragraphe "Point de Nagel",
et quelques autres, notamment http://jl.ayme.pagesperso-
orange.fr/Docs/Cinq%20theoremes%20de%20Christian%20von%20Nagel.pdf
