A126 – Diophante le devin
Solution
C’est toujours possible et Diophante n’est pas devenu un devin. Il utilise tout simplement une formule qui lui donne automatiquement les deux premiers chiffres en fonction des chiffres p, q et r annoncés par Hippolyte.
Si A est le nombre choisi par Hippolyte, on pose A = 10000*a + 1000*b +100*c +10*d +e.
Le nombre renversé s’écrit 10000*e + 1000*d +100*c +10*b +a.
D’où la différence D du plus grand et du plus petit des deux termes = abs[9999*(a-e) + 990*(b-c)] qui est un nombre de la forme Npqr avec p, q et r chiffres annoncés par Hippolyte et N entier à 0,1 ou 2 chiffres deviné par Diophante .
En établissant la table de toutes les possibilités, on obtient aisément les résultats suivants : - si p = q = r = 0, alors N = 0 A est un palindrome
- si r = 0, alors a = e et D = abs[990*(b-c)] et prend les valeurs 990, 1980, 2970,… 8910
N=9-q
- si r > 0, N = 99 + p – q –10*r
Exemples :
A = 27308 D = 80372 – 27308 = 53064 p=0, q=6 et r=4 N =99 –6 – 40 = 53 A = 98765 D = 98765 – 56789 = 41976 p=9, q=7 et r=6 N= 99 + 9 – 7 – 60 = 41
