soit ici : π/4(1 – 1/6) = 5π/24 D'où le volume de

G152– Qui est le plus obtus des deux?

Q₁ On donne un segment fixe AB de longueur d dans le plan Oxy et on considère la portion (P₁) du plan qui contient tous les points C tels que le triangle ABC admet AB comme plus grand côté.

On choisit au hasard un point M dans la portion (P₁) du plan selon une loi de probabilités uniforme. Quelle est la probabilité que le triangle ABM soit obtus?

Q₂ On donne un segment fixe AB de longueur d dans l'espace à 3 dimensions Oxyz et on

considère la portion (P₂) de l'espace qui contient tous les points C tels que le triangle ABC admet AB comme plus grand côté. On choisit au hasard un point M dans (P₂) selon une loi de

probabilités uniforme. Quelle est la probabilité que le triangle ABM soit obtus?

Solution

Q1

Prenons la longueur du segment AB pour unité.

La portion (P₁) du plan est l'intersection des cercles (en toute rigueur, on devrait dire "disques") de rayon unité de centres A et B.

Elle a pour aire le double de celle d'un segment circulaire, elle-même différence entre celle d'un secteur d'angle 2/3 et d'un triangle de base √3 et de hauteur ½, soit : 2 (/3 – √3/4).

La portion du plan telle que le triangle ABM soit obtus (en M) est le cercle de rayon ½ centré au milieu de AB.

Son aire est /4

Soit un ratio de 0,6394.

Q2

Le problème est le même que le précédent par révolution de la figure ci-dessus autour de l'axe AB.

La portion (P2) du plan est cette fois l'intersection des sphères (en toute rigueur, on devrait dire

"boules") de rayon unité de centres A et B.

Son volume est celui de deux calottes sphériques identiques de rayon R = 1 et de hauteur h = ½.

Or on sait que le volume d'une calotte sphérique est :

V = πh

(R - h/3)

soit ici : π/4(1 – 1/6) = 5π/24 D'où le volume de

: 5π/12

Quant à la portion du plan telle que le triangle ABM soit obtus (en M) c'est la sphère de rayon ½ centrée au milieu de AB.

Son volume est 4

π(1/2)

/3 = π/6.

Soit un ratio de 2/5 = 0,4