Enoncé H150 (Diophante) Six noeuds dans un graphe
Soit un graphe à six noeuds nommés 1, 2, 3, 4, 5 et 6 et douze arêtes désignées par les numéros des noeuds qu’elles ont pour extrémités : 12, 13, 16, 23, 24, 25, 26, 34, 35, 36, 45, 56.
Donner une représentation de ce graphe de telle sorte que : chaque noeud noi(i= 1 à 6) est le centre d’un cercleCi, pour tout couple de noeuds (i, j) qui sont les extrémités de l’une des 12 arêtes ij définies supra, les cercles Ci etCj sont tangents entre eux, mis à part les 12 points de tangence, les six cercles n’ont pas de point d’intersection.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Pour 3 arêtes formant un triangle, les cercles centrés aux sommets et tan- gents deux à deux ont pour points de contact entre eux les points de contact avec les arêtes de l’un des cercles inscrit ou exinscrits au triangle.
Etant donnés trois cercles tangents deux à deux, il existe deux cercles tangents aux trois cercles. Je ne vais pas discuter toutes les configurations, je choisis de définir les trois cercles, à partir d’un triangle ABC (côtés a, b, c, demi-périmètre p), par les points de contact du cercle inscrit (de rayonr).
Les 3 cercles ont alors pour rayonsrA=p−a,rB=p−b,rc=p−c. Des deux cercles tangents à ces 3 cercles, je prends celui qui est intérieur au triangle, de rayonrD donné par
1/rD = 1/rA+ 1/rB+ 1/rC+ 2/r,
ce qui permet de construire le pointDpar ses distancesrD+rA,rD+rB, rD+rC à A,B etC.
La figure demandée s’obtient par les constructions suivantes :
Fixer (arbitrairement) les sommets 3, 5, 6 et construire les 3 cercles C3, C5, C6 au moyen du cercle inscrit.
Déterminer le sommet 2 et le cercleC2 tangent àC3, C5, C6. Déterminer le sommet 1 et le cercleC1 tangent àC2, C3, C6. Déterminer le sommet 4 et le cercleC4 tangent àC2, C3, C5.
La construction effective dans le cas général est assez fastidieuse, l’obten- tion derD demandant de nombreux reports de longueurs. Je me bornerai à décrire la configuration où 356 est un triangle équilatéral de côté 2, par les coordonnées barycentriques de base (3,5,6).C3, C5, C6 sont de rayon 1.
Rayon deC2 : 1/(2√
3 + 3), sommet 2 : (1/3,1/3,1/3) ; Rayon deC1 etC4 : 1/(9 + 4√
3) ; Sommet 1 : ((20−4√
3)/33,(8√
3−7)/33,(20−4√ 3)/33).
Sommet 4 : ((20−4√
3)/33,(20−4√
3)/33,(8√
3−7)/33).
Pour construire les sommets 1 et 4, on a tan(165) = tan(d 654) = 2d −2/√ 3.
