Principe : On prend en considération 3 des côtés du quadrilatère, en l’occurrence nous prendrons AB, BC et AD (droites

D664. La saga des carrés inscrits (3ème épisode)

Combien de carrés peut-on inscrire dans un quadrilatère ?

On considère un quadrilatère (ABCD) tel que dans ses 4 sommets il n'y en ait pas trois alignés.

On numérote les droites (AB),(BC),(CD),(DA) par respectivement (1),(2),(3),(4).

On veut choisir 4 points Mi, Mi étant sur la droite (i) ( i entre 1 et 4) de telle façon que M1,M2,M3,M4 soient les sommets d'un carré, que l'on appellera carré inscrit dans (ABCD).

Soit N le nombre des carrés que l'on peut inscrire dans (ABCD)

Q₄ : Lorsque N n'est pas infini, quelle est la valeur maximale de l'entier N ?

Solution

Principe :

On prend en considération 3 des côtés du quadrilatère, en l’occurrence nous prendrons AB, BC et AD (droites (1) (2) et (4) ).

Nous étudierons tous les types de configurations possibles de M1, M2 et M4 satisfaisants à l’hypothèse « être sommets d’un carré » dont le 4^ème sommet M3 sera alors parfaitement défini (il s’agit de distinguer si M1M2et M1M4 sont des côtés ou des diagonales.

Nous allons démontrer que l’ensemble des positions de M3 est composé de 6 droites.

Il suffira alors de trouver l’intersection de la droite (3) avec ces 6 droites (D1) à (D6) pour connaître les 6 positions possibles de M3, donc les 6 carrés répondant à la condition.

Il y a bien évidemment le cas où la droite (3) est confondue avec une des 6 droites D(i), le nombre de solution devient alors infini. Au contraire le nombre d’intersection diminue de 1 chaque fois que la droite (3) est simplement parallèle avec une droite D(i).

Ainsi nous aurons montré que le maximum de carrés inscrits dans le quadrilatère est de 6.

1

cas : On suppose que M

M

et M

M

sont des côtés du carré

Nous appelons M1 le point de contact sur la droite AB, M2 sur BC, M3 sur CD et M4 sur DA.

Pour permettre les calculs analytiques, le point A sera pris comme origine, le segment AB comme élément unité, la droite AB comme axe des abscisses (donc AB = 1).

Le point de contact M1 est défini par AM1 = p Posons aussi pour simplifier les formules M1B = q Soit a l’angle (BAM4), posons Sin(a) = Sa et Cos(a) = Ca Soit b l’angle (M2BA), posons Sin(b) = Sb et Cos(b) = Cb Soit c l’angle (BM1M2), posons Tan(c) = T

On a M1 [p , 0]

Équation de la droite AM4 : Sa.x - Ca.y = 0 Équation de la droite M1M4 : x + Ty = p

D’où M4 [pCa/( Ca+SaT) , pSa/(Ca+SaT)]

Équation de la droite BM2 : Sb.x + Cb.y = Sb Équation de la droite M1M2 : T.x - y = p.T

Doù M2 [(Sb+pCbT)/(Sb+CbT) , qSbT/(Sb+CbT)]

On a |M1M4| = 𝑝𝑆𝑎.𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒(1+𝑇²)

𝐶𝑎+𝑆𝑎𝑇 et |M1M2| = 𝑞𝑆𝑏.𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒(1+𝑇²) 𝑆𝑏+𝐶𝑏𝑇

La condition |M1H4| = |M1H2|implique que :

𝑝𝑆𝑎

𝐶𝑎+𝑆𝑎𝑇 = ± _{𝑆𝑏+𝐶𝑏𝑇}^𝑞𝑆𝑏

Utilisons ε =+1 ou -1 pour traiter en une fois les 2 possibilités.

On obtient donc la relation entre p et T, condition nécessaire et suffisante pour des segments M4M1 et M1M2

égaux et perpendiculaires.

T =

𝐶𝑐

=

𝑆𝑎(𝑝𝐶𝑏−𝜀𝑞𝑆𝑏)

[1]

Compte tenu de cette condition, on peut obtenir les coordonnées de M1, M2 et M4 en fonction des paramètres p et ε

M1 [p , 0]

M2 [ εSa(𝑝𝐶𝑏−εqSb)

𝐶𝑎𝐶𝑏−𝑆𝑎𝑆𝑏 , Sb(qCa−εpSa) 𝐶𝑎𝐶𝑏−𝑆𝑎𝑆𝑏 ] M4 [ 𝐶𝑎(𝑝𝐶𝑏−εqSb)

𝐶𝑎𝐶𝑏−𝑆𝑎𝑆𝑏 , 𝑆𝑎(𝑝𝐶𝑏−εqSb) 𝐶𝑎𝐶𝑏−𝑆𝑎𝑆𝑏 ]

Calcul des coordonnées de M3 : Vectoriellement AM3 = AM1 +M1M2 + M1M4 = AM2 +AM4 - AM1

Ce qui fournit après quelques calculs fastidieux en fonction de la géométrie des côté du quadrilatère ( Sa, Ca, Sb, Cb), de la position p du point M1 et des solutions possibles (ε)

M3 [X3 , Y3] =

[

𝐶𝑎𝐶𝑏−𝑆𝑎𝑆𝑏

,

𝐶𝑎𝐶𝑏−𝑆𝑎𝑆𝑏

]

^[2]

D’où

p = (𝐶𝑎+𝜀𝑆𝑎)(𝐶𝑏+𝜀𝑆𝑏)^{𝐶𝑎𝐶𝑏−𝑆𝑎𝑆𝑏} X3 + ^𝜀𝑆𝑏

𝐶𝑏+𝜀𝑆𝑏

et

𝑆𝑎𝐶𝑏−𝐶𝑎𝑆𝑏

Ce qui permet de trouver la relation entre X3 et Y3 quand M1 se déplace sur AB.

(CaSb-SaCb) X + (Ca+εSa)(Cb+εSb) Y = Sb(Ca+εSa)

[3]

Quand M

M

et M

M

sont des côtés du carré, il existe 2 lieux possibles pour M

en fonction du choix de ε, ce sont les droites (D1) et (D2) suivantes :

(CaSb-SaCb) X + (Ca+Sa)(Cb+Sb) Y = Sb(Ca+Sa)

(D1)

[4]

(CaSb-SaCb) X + (Ca-Sa)(Cb-Sb) Y = Sb(Ca-Sa)

(D2)

[5]

Soit en ordonnant pour avoir une expression uniquement en sinus : (SaCb-CaSb) X - (Sa+εCa)(Sb+εCb) Y = -εSb(Sa+εCa)

sin(a-b) X – 2 sin(a+ε.π/4) sin (b+ε.π/4) Y = -ε √2 sin(b) sin(a+ε.π/4)

[3 bis]

sin(a-b) X – 2 sin(a+π/4) sin (b+π/4) Y = - √2 sin(b) sin(a+π/4) (D1)

[4 bis]

sin(a-b) X – 2 sin(a-π/4) sin (b-π/4) Y = + √2 sin(b) sin(a-π/4) (D2) [5 bis]

Compte tenu de la linéarité des formules, l’ensemble des points de ces droites font partie du lieu géométrique.

Remarque importante :

Pour la suite de la démonstration, nous constatons que l’utilisation des fonctions Sinus et Cosinus rendent peu lisibles les résultats alors qu’il apparait que toutes les formules peuvent s’exprimer uniquement en Tangente.

Il suffit en effet de diviser le numérateur et le dénominateur des formules par Ca et/ou Cb pour avoir une formule uniquement avec Ta et Tb.

C’est donc uniquement la fonction Tangente qui sera utilisée pour la suite de la démonstration à commencer par le récapitulatif des 2 résultats précédents page suivante.

Toutefois la conséquence est de faire apparaître une difficulté quand un des angles vaut π/2+kπ.

En fait c’est un faux problème car toutes les formules peuvent être retraduites à l’inverse en Sinus et Cosinus en multipliant numérateur et dénominateur des résultats par Ca et/ou Cb.

Le tableau ci-dessous détaille la suite des calculs qui permettent de trouver l’équation des droites (D1) et (D2) sous la forme Ax+By=C

En outre nous donnons à titre d’exemple les résultats numériques pour un quadrilatère avec un angle a de 70° et un angle b de 60°. Les coordonnées de M

(M3x et M3y) dépendent de la valeur de p choisie (ici pour l’exemple p=0,4). Mais la droite (D1) ou(D2) sur laquelle il se déplace ne dépend pas de p, mais uniquement des angles a et b

Le tableau donne donc successivement :

•

Les coordonnées de M

(ici avec p=0,4)

•

Les valeurs de p et de q

•

La valeur de Tangente qui permet que M

M

soit égal et perpendiculaire à M

M

(carré)

•

Le calcul d’une variable Den qui revient souvent dans les formules

•

Les coordonnées de M

, M

et M

•

Décomposée ensuite en deux fonctions linéaires en p : M3x = M3xa.p + M3xb et M3y = M3ya.p + M3yb

•

Les coefficient A, B et C de la droite dont les formules précédentes donnaient une équation paramétrique.

Pour les angles a et b choisis, les 2 droites ont les équations suivantes : -367x + 3702y = 2347 (D1)

-2938x + 3702y = -8758 (D2)

2

cas : On suppose que M

M

est un côté du carré et M

M

une diagonale du carré

Nous appelons M1 le point de contact sur la droite AB, M2 sur BC, M3 sur CD et M4 sur DA.

Pour permettre les calculs analytiques, le point A sera pris comme origine, le segment AB comme élément unité, la droite AB comme axe des abscisses (donc AB = 1).

Le point de contact M1 est défini par AM1 = p Posons aussi pour simplifier les formules M1B = q Pour Soit a l’angle (BAM4), posons Tan(a)=Ta Soit b l’angle (M2BA), posons Tan(b)=Tb Soit c l’angle (BM1M2), posons Tan© = T

On a M1 [p , 0]

Équation de la droite AM4 : Ta.x – y = 0

Mais nous devons maintenant définir si l’angle (M2M1M4) est égal à +45° ou -45°

a) (M2M1M4) = + 45°

Équation de la droite M1M4 : x - ^1−𝑇_1+𝑇 y = p En posant A=1+T et B=1-T on obtient :

D’où M4 [A.p/( A-B.Ta) , A.pTa/(A-B.Ta)]

Équation de la droite BM2 : Tb.x + y = Tb Équation de la droite M1M2 : T.x – y = p.T

Doù M2 [(Tb+pT)/(Tb+T) , qTbT/(Tb+T)]

On a |M1M4| = √2𝑝𝑇𝑎 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒 (1+𝑇²)

𝐴−𝐵.𝑇𝑎 et |M1M2| = 𝑞𝑇𝑏 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒(1+𝑇²) 𝑇𝑏+𝑇

Si M1M2 est une diagonale du carré, alors |M1M4| √2 = |M1M2| Ce qui permet d’exprimer la condition suivante pour avoir un carré :

2 𝑝𝑇𝑎

𝐴−𝐵.𝑇𝑎 = ^𝑞𝑇𝑏

𝑇𝑏+𝑇

On obtient donc la relation entre p et T, condition nécessaire et suffisante pour que √2 M4M1 soit égal à M1M2 en faisant un angle de 45°.

T =

2𝑝𝑇𝑎−𝑞𝑇𝑏−𝑞𝑇𝑎𝑇𝑏)

[10]

Compte tenu de la condition sur T, on peut obtenir les coordonnées de M1, M2 et M4 en fonction du paramètre p :

M1 [p , 0]

M2 [ (Ta+1)p−Tb−TaTb)

1−Ta−Tb−TaTb , Tb(−p(1+Ta)+1−Ta) 1−Ta−Tb−TaTb ] M4 [ ^p−Tb)

1−Ta−Tb−TaTb , ^(p−Tb)Ta

1−Ta−Tb−TaTb] D’où les coordonnées de M3 :

Vectoriellement AM2 = AM1 +M1M3 + M1M4 = AM3 + AM4 – AM1

Donc AM3 = AM1 + AM2 – AM4

M3 [ p−pTb−(p+1)TaTb)

1−Ta−Tb−TaTb , (−Tb−Ta−Ta∗Tb)p+Tb 1−Ta−Tb−TaTb ]

[11]

On constate que X3 et Y3 sont des fonctions linéaires de p.

M3 est donc sur une droite dont nous avons l’équation paramétrique en p est définie dans les équations donnant respectivement X3 et Y3.

Ces relations montrent également que lorsque le point M1 se déplace de -∞ à +∞, il en est de même de M3. Cela permet le calcul des coordonnées de M3

Isolons p (en posant Den = 1-Ta-Tb-TaTb) : p = ^Den

1−Tb−TaTbX3 + ^TaTb

1−Tb−TaTb

et

Ta+TaTb+Tb

Ce qui permet de trouver la relation entre X3 et Y3 quand M1 se déplace sur la droite AB.

Den

1−Tb−TaTbX3 + −Ta−TaTb−Tb^Den Y3 = ^−TaTb

1−Tb−TaTb + ^Tb

Ta+TaTb+Tb

(D3) [12]

En posant Den =1-Ta-Tb-TaTb

Remarque : La pente de cette droite est égale à ^Ta+TaTb+Tb

−1+Tb+TaTb ; on note donc qu’elle ne prend pas une valeur générale particulière contrairement au cas précédent où la pente était nulle pour a=b.

b) (M2M1M4) = - 45°

Il s’agit de l’autre configuration possible.

Mais l’équation de la droite M1M4 est modifié et s’écrit :

T−1 y = p En posant A=T-1 et B=1+T on obtient :

D’où M4 [A.p/( A-B.Ta) , A.pTa/(A-B.Ta)]

Le calcul continue ensuite sur le même principe pour obtenir l’équation de la droite (D4)

Den

1+Tb−TaTbX3 + ^Den

−Ta+TaTb−TbY3 = ^−TaTb

1+Tb−TaTb + −Ta+TaTb+Tb^−Tb

(D4) [13]

En posant Den =1+Ta+Tb-TaTb

Comme précédemment Le tableau ci-dessous détaille la suite des calculs qui permettent de trouver l’équation des droites (D3) et (D4) sous la forme Ax+By=C

Nous donnons encore à titre d’exemple les résultats numériques pour un quadrilatère avec un angle a de 70° et un angle b de 60°. Les coordonnées de M

(M3x et M3y) sont bien sûr spécifiques du

paramètre p.

Pour les angles a et b choisis, les 2 droites ont les équations suivantes : 1500x - 892y = 1054 (D3)

356x + 2581y = 3855 (D4)

3

cas : On suppose que M

M

est une diagonale du carré et M

M

un côté du carré Les calculs sont menés de manière identique au calcul précédent.

Il faut toujours envisager que l’angle (M2M1M4) soit égal à +45° ou -45°

a) (M2M1M4) = + 45°

On obtient l’équation de la droite (D5) :

Den

1−Ta−TaTbX3 + ^Den

Ta+TaTb+TbY3 = ^−Tb+TaTb

1−Ta−TaTb + _Ta+TaTb+Tb^Tb+taTb

(D5) [14]

En posant Den =1-Ta-Tb-TaTb

b) (M2M1M4) = - 45°

On obtient l’équation de la droite (D6) :

Den

1+Ta−TaTbX3 + _Ta−TaTb+Tb^Den Y3 = ^Tb+TaTb

1+Ta−TaTb + ^Tb−TaTb

Ta−TaTb+Tb

(D6) [15]

En posant Den =1+Ta+Tb-TaTb

Pour les angles a et b choisis, les 2 droites ont les équations suivantes : 1266x + 892y = 237 (D5)

-713x + 2581y = 4421 (D6)

Cela permet de tirer des conclusions générales :

Pour un quadrilatère dont les droites (1), (2) (3) et (4) sont définies, nous pouvons construire les droites (D1) à (D6) fonction des paramètres géométriques de (1), (2) et (4). L’intersection de (3) avec les droites (D1) à (D6) donne les 6 points M3 cherchés pour définir les 6 carrés possibles.

Nous pouvons évoquer quelques cas particuliers :

1. Si la droite (3) est confondue avec l’une des 6 droites, le nombre de solutions est infini.

2. Si la droite (3) est simplement parallèle à l’une des 6 droites, le nombre de solutions passe à 5 car un point d’intersection aura disparu.

3. Si deux angles internes consécutifs d’un côté du quadrilatère sont égaux (a=b), les droites (D1) et (D2) sont parallèles à ce côté (i) (a=b).

Cela résulte de l’équation de (D1) et (D2) qui commence par sin(a-b) X3 +….

et si de plus la droite (j), définie par le côté opposé du quadrilatère, est parallèle à (i), il n’y a plus que 4 intersections car 2 points d’intersection sont rejetés à l’infini.

Conclusion : Lorsque N n'est pas infini, la valeur maximale du nombre de carrés inscrits est : N=6

Nous donnons dans les pages suivantes l’exemple que nous citions (a=70°, b=60°) et nous prenons une droite (D3) quelconque qui complète le quadrilatère et rencontre les droites (D1) à (D6) en définissant autant de point M3 qui sont sommets d’un des 6 carrés recherchés.

Le premier graphique donne les droites (D1) à (D6) seules.

Les 3 graphiques suivants montre les carrés correspondant aux intersections avec (D1) et (D2), puis avec (D3) et (D4),et enfin avec (D5) et (D6) (pour des raisons pratiques les échelles ne sont pas les mêmes.

Schéma 1 : Uniquement les 6 droites (D1) à (D6) avec les 6 points d’intersection M3

à M3

Schéma 2 : Idem avec carrés correspondant aux points M3

et M3

Schéma 3 : Idem avec carrés correspondant aux points M3

et M3

Schéma 4 : Idem avec carrés correspondant aux points M3

et M3