J 142. Progressions sur un damier. **
Problème proposé par Raymond Bloch
Solution proposée par Michel Lafond
Me basant sur le style de l’auteur, je réponds 2017 en moins de 3 secondes.
Pour la démonstration il me faut plus de temps :
Numérotons les lignes et les colonnes 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Si r est la raison en ligne 0, si t est la saison en ligne 1 et si s est la raison en colonne 0, on a le début du damier ci-dessous :
a a+r a+2r …
a+s a+s+t a+s+2t
a+2s a+2s+2t–r a+2s+4t–2r a+3s a+3s+3t–2r a+3s+6t–4r a+4s a+4s+4t–3r a+4s+8t–6r
…
L’entier situé ligne i et colonne 0 est a + i s
La raison en colonne 1 est s + t – r donc l’entier situé ligne i et colonne 1 est a + r + i (s + t – r) On en déduit la raison en ligne i : a + r + i (s + t – r) – (a + i s) = r + i (t – r)
Donc l’entier situé ligne i et colonne j est a + i s + j (r + i (t – r)) = a + i s + j r + i j (t – r)
En faisant successivement i = 1 j = 7 ; i = 4 j = 6 ; i = 6 j = 5 ; i = 7 j = 2 on obtient par hypothèse le système
La solution est a = 2017 r = – 287 s = – 279 t = – 247
Trouver (en moins de trois minutes chronomètre en main) l'entier de la case (?) du coin supérieur du damier ci-contre de sorte que les entiers qui y figurent forment des progressions arithmétiques dans chaque ligne et dans chaque colonne.
