E674-Les prisonniers d’Ithaque 1 Solution proposée par Jean-Marie Breton
Pour simplifier la visualisation du problème je remplace les personnages par la première lettre de leur nom soit : Antoine par A, Bernard par B, …, Isidore par I.
La situation de départ est donc la suivante :
Le retrait d’un des prisonniers revient à rendre une case vide et les règles relatives à la position des grilles nous ramènent à un jeu de type taquin (mais de trois sur trois).
La situation d’arrivée est, de même :
Les lettres sont en relation d’ordre totale (ordre lexicographique).
La suite décroissante des lettres du second tableau nous fournit un ordre de parcours des tableaux, qui, pour le tableau de départ donne : (G, D, I, B, H, A, C, F, E)
On constate qu’il y a 15 couples en inversion d’ordre (coefficient de désordre = 15) par rapport à l’ordre auquel on souhaite aboutir (I, H, G, F, E, D, C, B, A)
Le processus du taquin consiste à permuter la case libre avec une case de position n 1 ou avec une case de position n 3, donc une case dont la parité de position est différente. Dans ce processus le nombre d’inversions d’ordre change également de parité (en effet si n est pair n 1 et n 3 sont impairs et si n est impair n 1 et n 3 sont pairs).
Il y donc invariance de la parité de la somme S = nombre d’inversions du tableau + numéro de la case vide. Comme dans la situation d’arrivée il n’y a pas d’inversion, il n’y a de solution qu’en choisissant une lettre qui n’occupe pas des cases de même parité dans les situations de départ et d’arrivée.
Il y a deux solutions car seules les lettres H et A répondent au problème.
Les prisonniers doivent désigner soit Hector soit Antoine.
NB. Pour un taquin classique de quatre sur quatre le problème n’existe plus.
On peut poser le problème avec différentes tailles pour la prison à condition de conserver un tableau carré de côté impair.
G D I B H A C F E
I H G F E D C B A
