I. Vecteurs dans l’espace

TSpémath 2020 - 2021

Cours : Géométrie dans l’espace (Partie 1)

Parcours : Comment décrire l’espace ?. . . pour le reproduire.

I. Vecteurs dans l’espace

1. Du plan à l’espace

La notion de vecteur vue en géométrie plane se généralise sans difficultés à l’espace.

Définition :

Soient AetB deux poinst distincts. Levecteur # –

AB est caractérisé par

• sadirection: la droite (AB).

• sonsens: deAversB.

# – AB B

A

• salongueurou sanorme: la longueur du segment [AB], soitAB ou encorek# – ABk Notations et vocabulaire :

• Pour le vecteur # –

AB, Aest l’originedu vecteur etB est l’extrémité.

• Les vecteurs peuvent aussi se noter avec une seule lettre :#–_u, #–_{v, . . .} Les notions suivantes se généralisent aussi à l’espace :

Propriété :

Pour tout pointOet tout vecteur#–_u de l’espace, il existe un unique point Atel que_{O A}# –

=#–_u.

Propriété :

Les affirmations suivantes sont équivalentes :

• # – AB=# –

DC

• ABC Dest un parallélogramme.

• [AC] et [B D] ont le même milieu

A B

D C

Propriété : Relation de Chasles

Pour tout pointA,B etCde l’espace on a # – AC=# –

AB+# – BC.

Définition : Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs #–_{u et}#–_{v sont}colinéairess’il existe un réelλtel que#–_{v =λ}#–_{u ou}#–_{u =λ}#–_v Remarque:Les coordonnées de deux vecteurs colinéaires sont proportionnelles.

Propriété : Alignement et vecteurs colinéaires

Trois pointsA,B etCde l’espace sontalignés si, et seulement si, les vecteurs# – AB et# –

ACsontcolinéaires.

2. Base de l’espace

Définition : Vecteurs coplanaires

Trois vecteurs #–_u, #–_{v etw}#–_sontcoplanairessi l’un estcombinaison linéairedes deux autres.

Autrement dit :

#–u,#–_{v etw}#–_sontcoplanairess’il existe deux réelsλetµtels que_w#–_=λ#–_u+µ#–_v.

Remarque :

Si de plus#–_{u et}#–_v sont non colinéaires ( donc non nuls), la décomposition_w#–_=λ#–_u+µ#–_v est unique.

Propriété :

Soient A,B,CetDquatre points de l’espace.

Les vecteurs # – AB, # –

AC et # –

AD sontcoplanairessi, et seulement si, les points A, B,C etD appartiennent à un même plan.

A

B

C

D

Définition : Vecteurs linéairement indépendants et base

Troisvecteurs#–_u, #–_{v etw}#–_{sont dits}linéairement indépendantslorsqu’ils ne sontpas coplanaires.

Autrement dit : a#–_u+b#–_{v +cw}#–₌#–₀

⇒ a=b=c=0.

On dit alors que ces trois vecteurs forment unebasede l’espace.

#–_u

#–_v w#–

Théorème : Unicité de la décomposition dans une base

Si #–_u, #–_{v etw}#–sont trois vecteurs formant unebasede l’espace alors tout vecteur #–

V de l’espace sedécompose de manière uniquecomme combinaison linéaire des vecteurs#–_u, #–_{v etw.}#–

Autrement dit :

Si #–_u, #–_{v etw}#–_sonttrois vecteurs non coplanaires, il existe, pour tout vecteur#–

V, un triplet unique de nombres réels (x; y; z) tel que#–

V =x#–_u+y#–_{v +zw}#–_.

On dit alors que (x; y; z) sont lescoordonnéesde_V#–

dans la base (#–_u,#–_v,w).#– _{On note V}#–











 x y z













3. Coordonnées de vecteurs dans une base

Définition : Repère de l’espace

Unrepère de l’espaceest un quadruplet (O;#–

i ,#–

j ,#–

k), oùOest un point de l’espace appeléorigineet (#–

i ,#–

j,#–

k) est unebasede l’espace.

Théorème : Unicité des coordonnées dans un repère

Soit (O;#–

i ,#–

j,#–

k) est un repère de l’espace.

Pour tout pointM de l’espace, il existe ununique tripletde réels (x; y; z) tel que

# – OM=x#–

i +y#–

j +z#–

k

On parle alors decoordonnées: (x: abscisse,y: ordonnée,z: cote).

• On note lescoordonnéesdu pointM :

M(x;y;z)

• On note lescoordonnéesdu vecteur# – OM:

# – OM











 x y z













z

y x

#– O

i #–

j

#–k

M

Remarque :

Tous les calculs s’effectuent de la même manière qu’en géométrie plane, avec une troisième coordonnée.

Théorème : Premiers calculs dans un repère

Soient deux pointsA(x_A;y_A;z_A) etB(x_B;y_B;z_B) de l’espace.

• Les coordonnées du milieuMde [AB] sont

³x_A+x_B

2 ; y_A+y_B

2 ; z_A+z_B 2

´

• Le vecteur# –

AB a pour coordonnées













xB−xA

y_B−y_A zB−zA













Remarque :

Quatre vecteurs du l’espace sont toujours linéairement dépendants. Au moins l’un d’entre eux s’obtient par combinaison linéairedes trois autres.

Exemple :

On se place dans un repère (O;#–

i ,#–

j,#–

k). Soient #–_u











 1 2 1











 , #–_v











 0 1 1











 ,_w#–













−1 0 1











 et #–_t











 5 4 0











 .

Le vecteur #–_u peut s’écrire comme combinaison linéaire des trois autres vecteurs , on a#–_{u =2}#–_{v −w}#–₊₀#–_{t .} Mais ce n’est pas le cas du vecteur#–_t.

On peut montrer que les 3 vecteurs#–_{v ,w}#–_et #–_t forment une base de l’espace.

II. Droites et Plans de l’espace

On se place maintenant dans un repère (O;#–

i ,#–

j,#–

k).

1. Direction d’une droite

Définition : Droite de l’espace

Soient AetB, deux points de l’espace.

Ladroite(AB) est l’ensemble des pointsM tels que# –

AM=t# –

AB oùtun réel.

Théorème : Représentation paramétrique de droite

La droitedpassant parA(x_A;y_A;z_A) et dirigée par le vecteur#–_u











 a b c













est l’ensemble des points

M(x;y;z) tels que















x=xA+t a

y=y_A+t b avec t∈R z=z_A+t c

C’est unereprésentation paramétrique ded.

Remarque :

Chaque droite a une infinité de représentations paramétriques (qui dépend deAet #–_u).

Exercice : SoientA(−1 ; 0 ; 1),B(−5 ;−2 ; 7) Ainsi, :# –_AB













−4

−2 6













Deux représentations paramétriques de (AB) sont















x=...

y=... t∈R z=...















x=...

y=... t∈R z=...

C(7 ; 4 ;−11) appartient-il à (AB) ? . . . .

2. Direction d’un plan

Définition : Plan de l’espace

Soient A,B,C trois points non alignés. Leplan(ABC) est l’ensemble des pointsM tels que

# –

AM=t# –

AB+t⁰# –

AC, avect,t⁰∈R Les vecteurs # –

AB et# –

ACsont desvecteurs directeursdu plan (ABC).

Un plan est donc entièrement déterminé par un point et deux vecteurs non colinéaires.

Théorème : Représentation paramétrique d’un plan

Le plan P contenant A(x_A;y_A;z_A) et de vecteurs directeurs #–_u











 a b c











 et #–_v











 a⁰ b⁰ c⁰













est l’ensemble des points

M(x;y;z) tels que















x=xA+at+a⁰t⁰

y=y_A+bt+b⁰t⁰ avect,t⁰∈R. z=zA+c t+c⁰t⁰

C’est unereprésentation paramétrique deP.

Exercice : Soient A(−1 ; 0 ; 1),B(−5 ;−2 ; 7) etC(1 ; 2 ; 0) Déterminer une équation paramétrique du plan (ABC)

Ainsi, :# – AB













−4

−2 6











 et# –

AC











 2 2

−1



























x=...

y=... t∈R et t⁰∈R z=...

En déduire les coordonnées d’un pointDappartenant au plan (ABC) ? D(... ; ... ; ...)

III. Intersection de droites et de plans

1. Positions relatives de deux droites dans l’espace

Théorème : Positions relatives de deux droites dans l’espace

Deux droites de l’espace peuvent être coplanaires (dans un même plan) ou non-coplanaires.

Droitesnon coplanaires

D’

D

Droitescoplanaires

sécantes :

D’

D

parallèles :

D’

D

confondues :

D D’

2. Positions relatives d’une droite et d’un plan dans l’espace

Théorème : Positions relatives d’une droite et d’un plan dans l’espace

Étant donnés une droiteDet un planP, trois cas seulement sont possibles : D

P

DetP sontparallèles La droite et le plan n’ont aucun

point commun.

D

P

K

DetP sontsécants La droite et le plan se coupent en

un point.

D P

DestinclusedansP . La droite et le plan ont une infinité de points commun : la

droite.

3. Positions relatives de deux plans dans l’espace

Les positions relatives entre plans seront étudiés dans la partie 2 du cours ( en 2021)