B) Propriétés algébriques
Propriétés algébriques :
Soient a etb deux réels quelconques :
exp(a+b) = exp(a)×exp(b)
• exp(−a) = 1 exp(a)
• exp(a−b) = exp(a) exp(b)
• Pour toutn ∈Z,exp(na) = (exp(a))n. En particulier, exp(n) = exp(1)n =en.
Par extension de l'écriture exp(n) = en pour n ∈ Z, on notera, pour toutx∈R, exp(x) = ex
• ea+b =ea eb
• e−a= 1 ea
• ea−b = ea eb
• Pour toutn ∈Z,ena = (ea)n.
• e1 =e et e0 = 1
Exemple 1 :
Simplier : e3×e4 e3×e4 = e3+4= e7
Exemple 2 :
Simplier : e5×e−3 e−2 e5×e−3e−2 = e5+(−3) e−2
= e2 e−2
= e2−(−2) = e4
Exemple 3 :
Simplier : (ex+ 1)2−(ex−1)2(ex+ 1)2−(ex−1)2 = (ex)2+ 2ex+ 1−((ex)2−2ex+ 1)
= e2x+ 2ex+ 1−e2x+ 2ex−1
= 4ex
Exemple 4 :
Montrer que pour tout réel x, e2x−4ex−5 = (ex−5)(ex+ 1) (ex−5)(ex+ 1) = ex×ex+ex×1 + (−5)×ex+ (−5)×1= ex+x+ex−5ex−5
= ex+x−4ex−5
Lycée du Bois d'Amour - Poitiers
