Le19Janvier2008, durée2heures FINAL MT20
FINAL MT20
La précision et la clarté de la rédaction seront prises en compte dans l'attribution de la note.
Le barème est donné à titre indicatif. Une feuille A4 recto-verso manuscrite est autorisée pour l'épreuve. Les calculatrices sont autorisées.
Exercice 1 Laplace ( 5 points )
Dans cet exercice on applique Laplace pour résoudre des équations diérentielles linéaires homogène du troisième ordre :
1. Un exemple
a. Factoriser dansRle polynômex3−2x2−x+ 2(on cherchera des racines évidentes).
b. Résoudre par la méthode de Laplace l'équation diérentielle suivante y′′′−2y′′−y′+ 2y= 0
avec les conditions initiales suivantesy(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) = 2 2. On considère l'équation diérentielle suivante
y′′′+my′+ny= 0 (E) avec les conditions initiales y(0) =y′(0) = 0, y′′(0) = 1
a. En notant Y = L(y) la transformée de Laplace de la solution de cette équation, montrer queY = 1
p3+mp+n
b. Considérons l'équation algébrique x3+mx+n= 0et posons∆ = n2 4 +m3
27 (∆ est appelé le discriminant de l'équation x3+mx+n = 0). En 1545, Jérôme Cardan a proposé une méthode pour résoudre les équations algébriques du typex3+mx+n= 0.
Ainsi si∆<0on sait que l'équationx3+mx+n= 0a trois racines réelles distinctes r1, r2, r3. Que peut-on en déduire pour l'étude de l'équation diérentielle(E)?
Exercice 2 Fonctions de deux variables ( 3 points )
1. Les fonctions suivantes sont-elles continues en(0,0)? a.
f(x, y) = (
x2y2
x2+y2 si(x, y)6= (0,0)
0 sinon.
b.
f(x, y) = (
x2y
x2+y2 si(x, y)6= (0,0)
0 sinon.
2. Rechercher les extremas locaux de la fonction f dénie sur R2, par f(x, y) = x2+xy+ y2−2x−6y
Exercice 3 Équations aux dérivées partielles homogènes d'ordre 2 ( 12points ) Le but de l'exercice est de proposer une méthode pour résoudre les équations aux dérivées partielles du type
∂2f
∂x2 +b ∂2f
∂x∂y +c∂2f
∂y2 = 0 oùf est une fonction de classeC2.
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Le19Janvier 2008, durée2 heures FINAL MT20 Partie A : changement de variables
1. Montrer que l'application φ: (u, v)7→(u, v−αu)dénit bien un changement de variable, vous montrerez queφest bijective en déterminantφ−1(vous noterezx=uety=v−αx).
2. Justier queφetφ−1 sont de classe C2.
Pour la suite du problème on dénitφ1: (u, v)7→(u, v−α1u)etφ2: (u, v)7→(u, v−α2u)avec α16=α2. D'après ce qui précèdeφ1et φ2sont des changement de variables de classeC2. Partie B : résolution d'équations aux dérivées partielles d'ordre 1
1. On considère l'équation aux dérivées partielles ∂g
∂x(x, y)−α1
∂g
∂y(x, y) = 0.
a. On note G la fonction composée G = g◦φ1 dénie par G(u, v) = g(u, v −α1u).
Calculer ∂G
∂u(u, v).
b. En déduire quegest solution de ∂g
∂x(x, y)−α1
∂g
∂y = 0si et seulement si ∂G
∂u(u, v) = 0.
c. Conclure que les solutions de ∂g
∂x(x, y)−α1
∂g
∂y(x, y) = 0sont les fonctionsgtelles que g(x, y) =h(y+α1x)oùh:R→Rest une fonction de classeC2.
2. On considère l'équation aux dérivées partielles ∂f
∂x(x, y)−α2
∂f
∂y(x, y) =h(y+α1x).
a. On dénit maintenantF(u, v) =f◦φ2(u, v) =f(u, v−α2u). Montrer en utilisant les mêmes techniques qu'aux questions B 1 quef est solution de ∂f
∂x(x, y)−α2
∂f
∂y(x, y) = h(y+α1x)si et seulement siF est solution de ∂F
∂u(u, v) =h(v+ (α1−α2)u).
b. On noteH une primitive dehet on considèreΨ(u, v) = 1 α1−α2
H(v+ (α1−α2)u).
Montrer que ∂Ψ
∂u =h(v+ (α1−α2)u).
c. Conclure que f est solution de ∂f
∂x(x, y)−α2
∂f
∂y = h(y+α1x) si et seulement si F(u, v) = 1
α1−α2
H(v+ (α1−α2)u) +K(v).
d. Déterminer alorsf.
Partie C : cas des équations aux dérivées partielles homogènes d'ordre 2
1. On noteα1etα2les racines du trinômer2+br+c. Montrer queb=−(α1+α2)etc=α1α2. 2. Posons g(x, y) = ∂f
∂x −α2
∂f
∂y et montrer quef est solution de ∂2f
∂x2 +b ∂2f
∂x∂y +c∂2f
∂y2 = 0 si et seulement sig est solution de ∂g
∂x −α1
∂g
∂y = 0.
3. En utilisant la partie B déduire queg(x, y) =h(y+α1x)et montrer quef est solution de
∂2f
∂x2 +b ∂2f
∂x∂y +c∂2f
∂y2 = 0si et seulement si ∂f
∂x −α2
∂f
∂y =h(y+α1x).
4. Conclure en donnant les solutions de ∂2f
∂x2 +b ∂2f
∂x∂y +c∂2f
∂y2 = 0
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