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voûtes clavées
Mathias Fantin
To cite this version:
Mathias Fantin. Étude des rapports entre stéréotomie et résistance des voûtes clavées. Art et histoire de l’art. Université Paris-Est, 2017. Français. �NNT : 2017PESC1077�. �tel-01834617�
préparée au sein du laboratoire Géométrie Structure Architecture de l’École nationale supérieure d’architecture Paris-Malaquais
présentée pour l’obtention du diplôme de DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ PARIS-EST École doctorale : Ville, Transports et Territoires
Spécialité : Architecture
par
Mathias Fantin
intitulée
Étude des rapports entre stéréotomie et résistance des voûtes clavées
Soutenue le mercredi 13 décembre 2017 devant le jury composé de : Alexandre Gady, président du Jury, Université Paris-Sorbonne Gianmarco De Felice, rapporteur, Università degli Studi Roma Tre Jean-Claude Morel, rapporteur, Coventry University
Alain Ehrlacher, examinateur, École nationale des ponts et chaussées Nathalie Domède, examinatrice, INSA Toulouse
Benjamin Mouton, invité, Agence Mouton ACMH Gilbert Margueritte, invité, Margueritte SAS
Maurizio Brocato, directeur de thèse, ENSA Paris-Malaquais Thierry Ciblac, professeur co-encadrant, ENSA Paris-Malaquais
Cette thèse vise à mieux comprendre l’influence de la coupe des pierres sur la résistance des arcs et des voûtes clavés en général, et des couvrements plans en par- ticulier. L’étude historique et typologique des plates-bandes et des voûtes plates, à travers les exemples construits et les traités d’architecture et de coupe des pierres du xvie au xviiie siècle, forme le préalable à l’étude mécanique de ces construc- tions. Les plates-bandes à joints en X, les plates-bandes en fausse-coupe, et les voûtes plates d’Abeille sont étudiées en détail en raison de leur stéréotomie savante. Les règles géométriques utilisées pour l’appareillage des plates-bandes, d’une part par les architectes, et d’autre part par les appareilleurs et tailleurs de pierre, émergent de ce travail. Une extension de la méthode des réseaux de forces est proposée, pour tenir compte de l’appareil des voûtes, pour raffiner les réseaux, et pour intégrer rigoureu- sement les réseaux à la théorie du calcul à la rupture. Des stratégies de calcul pour la recherche des chargements extrêmes, dont la détermination fonde la faisabilité de la technique, sont proposées. Les études mécaniques conduites considèrent les arcs en plein-cintre et dômes hémisphériques, les plates-bandes et voûtes plates, et les voûtes hélicoïdales. Elles illustrent la précision de l’estimatif proposée pour le coefficient de sécurité géométrique, l’influence de la coupe des pierres pour les couvrements plans, et les possibilités et limites de l’application de la méthode des réseaux de forces à l’étude des constructions clavées.
Mots-clés : stéréotomie, coupe des pierres, pierre de taille, appareil, plate-bande, voûte plate, stabilité, calcul à la rupture
This work aims at a better understanding of the influence of stereotomy on the stability of stone-cut archs and vaults in general, and flat archs and flat vaults in particular. A study of the history and typology of flat archs and flat vaults, through the consideration of existing examples and treaties of architecture or stereotomy from 1500 to 1800, is a preambule to the mechanical study of these constructions. Flat archs with X-joints, flat archs « en fausse-coupe », and Abeille’s flat vaults are studied in detail because of their specific stereotomy. Geometric rules used to determine joint orientation, by architects on the one hand, and by stone masons on the other hand, emerge from this work. An extension of the force network method is presented, in order to take into account the vaults’ stonework, to find new equilibrium solutions by refining networks, and to comply rigourously with the theory of yield calculus.
Calculus strategies for the search of limit loads, whose determination is essential for the technique, are given. Mechanical studies are conducted on cylindrical archs and hemispherical domes, flat archs and flat vaults, and helicoidal vaults. They show the precision of the geometric safety factor estimate, the influence of stone cutting on flat archs and vaults, and the possibilities and limits of using the force networks method to study stone-cut vaults.
Keywords : stereotomy, stone cutting, ashlar, stonework, flat arch, flat vault, sta- bility, yield design
Je remercie Maurizio Brocato et Thierry Ciblac d’avoir accepté d’encadrer cette thèse de doctorat et de m’avoir accompagné pendant ces trois années de recherche sur la coupe des pierres et sur les voûtes.
Je tiens à remercier particulièrement les Compagnons passant du devoir tailleurs de pierre Luc Tamboréro (Ateliers romeo), Gilbert Margueritte (Margueritte SAS), et Jérémie Fierens (Ateliers de Saint-Jacques) pour leur aide et leurs conseils sur la coupe des pierres actuelle et passée des plates-bandes, qui ont été essentiels pour mon travail de recherche historique sur les règles géométriques de conception des plates-bandes.
Je voudrais ensuite remercier l’ensemble des historiens de l’art qui m’ont ap- porté leur expertise pour contextualiser les exemples découverts de plates-bandes en fausse-coupe, et en tout premier lieu Alexandre Gady (Centre André-Chastel, Uni- versité Paris-Sorbonne) et Guillaume Fonkenell (musée national de la Renaissance au château d’Écouen) pour leur aide précieuse concernant les plates-bandes en fausse- coupe de Jacques Lemercier et celles du Louvre. Je remercie également Paolo Cor- naglia (Politecnico di Torino), Javier Ibáñez Fernández (Universidad de Zaragoza) et Arturo Zaragozá Catalán (Universitat de València), Pierre-Louis Laget (Conseil régional des Hauts-de-France), et Nicolas Reveyron (Université Lumière Lyon 2) pour leurs remarques éclairées. Un grand merci également à Léonore Losserand (chercheuse indépendante), Béatrice Viré-Gaillard (ENSA Versailles), Joëlle Barreau (Centre An- dré Chastel) et Yvon Plouzennec (Centre André Chastel) pour leurs conseils et re- marques.
Je suis reconnaissant à tous ceux qui m’ont aidé à réunir des informations sur le phénomène particulier de la fausse-coupe à Chambéry : Humbert de Rivaz (UDAP Haute-Savoie), Philippe Raffaelli (Conservation départementale du patrimoine de la Savoie), Benoit Chambre (Épure - architecture & patrimoine), François Juttet (Centre d’interprétation de l’Architecture et du Patrimoine) et Dominique Tritenne (Conser- vatoire national des pierres et marbres). Je tiens à remercier également Didier Re- pellin (ACMH) et Thomas Bricheux (Agence Repellin Larpin & Associés) pour leur aide concernant la coupe des pierres à Lyon, et en particulier pour m’avoir permis d’observer de près les plates-bandes en fausse-coupe de Soufflot à l’Hôtel-Dieu de Lyon.
Un grand merci à Benoît Vérant (ENSA Paris-Malaquais), Vianney Loing (ENPC), Blerta Lipo (Università Degli Studi Roma Tre) pour leur aide durant et après les expériences aux Grands Ateliers de l’Isle d’Abeau, et à Marco Czarnecki (Université Montpellier 2) pour son aide précieuse pour trouver une solution pra- tique aux problèmes d’optimisation numérique posés par les réseaux de forces.
Je suis également reconnaissant à Jérémy Bleyer (ENPC), Sandrine Conan (Uni- versité Lille 3), Antoine Garnier (Atlas roman), Louis Jacquart, Nicolas Lestrin- guez (ENSA Paris-La-Villette), Anne-Laure Morel (ENSA Paris-Malaquais), Ro- bert March (ENSA Paris-Malaquais), Márton Sarkadi et Nicolas Wasylyszyn (UDAP de l’Eure).
Enfin, merci à Silvia pour sa relecture attentive et sa patience durant ces trois années de recherche.
Afin de les distinguer des scalaires, les matrices sont notées par des lettres capitales en gras, et les vecteurs par des lettres minuscules en gras.
Lettres latines
b : largeur d’une plate-bande (ou 2b dans le cas des plates-bandes à joints en X) C : matrice de connectivité
CSGj(ζ) = λj(ζ) : le coefficient de sécurité géométrique d’un joint correspondant à la solution d’équilibre donnée par le vecteur paramètreζ
CSGJ(ζ) : coefficient de sécurité géométrique de la structure correspondant à la solution d’équilibre donnée par le vecteur paramètre ζ
CSGJ : coefficient de sécurité géométrique de la structure, correspondant à la plus grande valeur atteignable avec une solution d’équilibre
CSSj(ζ) : coefficient de sécurité statique d’un joint correspondant à la solution d’équi- libre donnée par le vecteur paramètre ζ
CSSJ(ζ) : coefficient de sécurité statique de la structure correspondant à la solution d’équilibre donnée par le vecteur paramètreζ
CSSJ : coefficient de sécurité statique de la structure, correspondant à la plus grande valeur atteignable avec une solution d’équilibre
e: excentricité d’un centre de pression par rapport au centre du joint f : fonction de coût utilisée pour déterminer un multiplicateur de rupture
F(Q) : coefficient de rupture du mode de chargement Q, également appelé multipli- cateur de charge, ou coefficient de sécurité
g : fonction de coût utilisée pour déterminer un multiplicateur de rupture G : domaine admissible pour les contraintes
H : poussée (réaction horizontale sur un appui) h : hauteur d’une plate-bande ou d’une voûte plate
K : domaine des chargements potentiellement supportables
K : matrice obtenue par l’écriture de l’équilibre horizontal de chaque nœud d’un réseau
k : nombre de claveaux d’une plate-bande l : longueur d’une branche d’un réseau de forces l∗ : force dans la branche d’un réseau de forces
lH : longueur de la projection sur un plan horizontal d’une branche d’un réseau de forces
Li : portée libre de l’arc ou de la voûte, mesurée à l’intrados Lm : portée de l’arc ou de la voûte, mesurée à mi-hauteur
M : moment dans le repère global de la plate-bande (contrainte généralisée de la théorie des poutres)
m : moment adimensionné, ou nombre de branches d’un réseau de forces
N : effort normal dans le repère global de la plate-bande (contrainte généralisée de la théorie des poutres)
N0 : effort normal dans le repère local du joint (contrainte généralisée de la théorie des poutres)
Nc : effort normal maximal admissible dans le repère global de la plate-band Nc0 : effort normal maximal admissible dans le repère local du joint
n : effort normal adimensionné, ou nombre de nœuds d’un réseau de forces nb : nombre de nœuds d’appuis d’un réseau de forces
ni : nombre de nœuds intérieurs d’un réseau de forces
ndof : degré d’hyperstaticité d’un réseau de forces projeté sur un plan horizontal r : rayon moyen d’un arc en plein-cintre ou d’un dôme hémisphérique
px,py,pz : composantes du chargement extérieur sur un nœud d’un réseau de forces Q : vecteur représentant le mode de chargement de la structure
q : densité de force dans une branche d’un réseau de forces rK : rang de la matrice K
s: force axiale dans une branche d’un réseau de forces
t : épaisseur d’un arc en plein-cintre ou d’un dôme hémisphérique u : composante selon l’axe x d’une branche d’un réseau de forces
u∗ : composante selon l’axe x de la force dans une branche d’un réseau de forces V : effort tranchant dans le repère global de la plate-bande (contrainte généralisée de la théorie des poutres)
V0 : effort tranchant dans le repère local du joint (contrainte généralisée de la théorie des poutres)
v : effort tranchant adimensionné ou composante selon l’axe y d’une branche d’un réseau de forces
v∗ : composante selon l’axe y de la force dans une branche d’un réseau de forces W : charge verticale totale s’appliquant à une plate-bande ou une voûte plate W0 : charge verticale due au poids propre
w : composante selon l’axe z d’une branche d’un réseau de forces
w∗ : composante selon l’axe z de la force dans une branche d’un réseau de forces x : coordonnée cartésienne d’un nœud d’un réseau de forces
xG : coordonnée cartésienne du centre de gravité d’un claveau y : coordonnée cartésienne d’un nœud d’un réseau de forces yG : coordonnée cartésienne du centre de gravité d’un claveau z : coordonnée cartésienne d’un nœud d’un réseau de forces zG : coordonnée cartésienne du centre de gravité d’un claveau
λj : coefficient de rupture du joint j, également appelé multiplicateur de charge, ou coefficient de sécurité
ϕ : angle d’un joint avec la verticale
µ : coefficient de frottement de Coulomb d’un joint, correspondant à un angle de frottement de tan−1µ
ρ0 : masse volumique de la pierre σ : champ de contrainte
σ0 : résistance admissible à la compression d’un joint ξ : hauteur relative en compression d’un joint
ζ : vecteur des forces horizontales d’un réseau de forces (cas du calcul d’un réseau), ou vecteur des paramètres de l’équilibre d’un réseau de forces (cas de la recherche des chargements extrêmes)
Acronymes
GAIA : Grands ateliers de l’Isle d’Abeau
GSA : Laboratoire géométrie, structure, architecture de l’ENSA Paris-Malaquais ENPC : École nationale des ponts et chaussées
ENSA Paris-Malaquais : École nationale supérieure d’architecture Paris-Malaquais ENSA Paris-La-Villette : École nationale supérieure d’architecture Paris-La-Villette ENSA Versailles : École nationale supérieure d’architecture de Versailles
ISMH : Monument inscrit à la liste supplémentaire des Monuments Historiques MH : Monument classé aux Monuments Historiques
Remerciements 3
Liste des symboles 4
Table des matières 8
Introduction 15
Partie I État de l’art 19
1 Équilibre des constructions clavées 20
1.1 Le polygone funiculaire. . . 21
1.2 La ligne de pression . . . 22
1.3 Comparaison de la ligne de pression et du polygone funiculaire . . . . 23
1.4 Influence de l’appareil sur la ligne de pression . . . 27
2 Stabilité des constructions clavées 28 2.1 Le calcul à la rupture . . . 29
2.1.1 Mécanique des milieux continus tridimensionnels . . . 29
2.1.2 Formulation générale . . . 29
2.1.3 Construction deK par l’intérieur . . . 31
2.1.4 Approche deK par l’extérieur . . . 32
2.1.5 Coefficient de rupture, multiplicateur de charge, et coefficient de sécurité. . . 32
2.1.6 Application aux constructions clavées . . . 33
2.1.7 Conclusion . . . 34
2.2 Recherche des solutions d’équilibre stables . . . 34
2.2.1 Méthodes antérieures au calcul à la rupture . . . 34
2.2.2 Résolution analytique . . . 34
2.2.3 Méthode des équations d’équilibre discrétisées . . . 35
2.2.4 Méthode de Delbecq . . . 37
2.3 Exemples de structures étudiées . . . 38
3 Critères de résistance 40 3.1 Critères de résistance des joints . . . 41
3.1.1 Expressions des critères . . . 41
3.1.2 Construction des coefficients de sécurité . . . 42
3.2 Résistance finie des joints à la compression. . . 43
3.2.1 Coefficient de sécurité statique . . . 43
3.2.2 Cas avec incertitudes sur la géométrie . . . 45
3.3 Résistance infinie des joints à la compression . . . 46
3.3.1 Coefficient de sécurité statique inopérant . . . 46
3.3.2 Introduction du coefficient de sécurité géométrique . . . 47
3.4 Résistance interne des pierres . . . 49
3.4.1 Cercles de Mohr . . . 49
3.4.2 Application au claveau d’une plate-bande . . . 50
3.4.3 Outils graphiques pour déterminer des solutions d’équilibre stables . . . 52
4 Méthode des réseaux de forces 55 4.1 Introduction. . . 56
4.2 Méthode des densités de forces . . . 56
4.2.1 Concepts et hypothèses . . . 56
4.2.2 Connectivité du réseau . . . 58
4.2.3 Notations . . . 58
4.2.4 Mise en équation de l’équilibre . . . 59
4.2.5 Recherche d’une solution admissible . . . 61
4.3 Méthode des réseaux de forces. . . 61
4.3.1 Origine de la méthode . . . 61
4.3.2 Hypothèses . . . 62
4.3.3 Principe de résolution pour les structures existantes . . . 62
4.3.4 Notations . . . 66
4.3.5 Mise en équation de l’équilibre . . . 66
4.3.6 Recherche des solutions d’équilibre admissibles . . . 69
Partie II Plates-bandes et voûtes plates en France 71 5 Stéréotomie et coupe des pierres 72 5.1 Définitions ; de la pierre au voussoir . . . 73
5.2 Processus de taille de pierre . . . 76
5.3 Évolution des tracés de coupe des pierres . . . 77
5.4 Principe de normalité . . . 80
6 Typologie constructive des plates-bandes 85 6.1 Terminologie . . . 87
6.1.1 Plates-bandes et linteaux . . . 87
6.1.2 Classification des plates-bandes selon les joints . . . 89
6.2 Nombre impair des claveaux . . . 96
6.3 Inclinaison des joints . . . 98
6.3.1 Principe d’inclinaison . . . 98
6.3.2 Rejet des joints verticaux . . . 98
6.3.3 Règles géométriques pour déterminer l’inclinaison. . . 99
6.3.4 Évolution des règles dans les traités . . . 101
6.3.5 Méthodes de tracés . . . 110
6.3.6 Architectes et appareilleurs . . . 113
6.3.7 Les « portes bombées »et les « croisées bombées » . . . 115
6.4 Hauteur des claveaux . . . 116
6.5 Détails constructifs . . . 121
6.5.1 Crossettes . . . 121
6.5.2 Balles de plomb, cailloux, goujons et os de bœufs . . . 123
6.5.3 La contre-flèche . . . 126
6.5.4 Lit de carrière. . . 128
6.6 Utilisation du métal dans les plates-bandes . . . 128
6.6.1 Exemples de plates-bandes avec armatures métalliques . . . 128
6.6.2 L’armature : linteau ou tirant . . . 132
6.6.3 Opposition aux armatures . . . 133
6.7 Coupe des pierres et décor . . . 134
6.7.1 Refends et faux-appareil . . . 134
6.7.2 Ablaq . . . 136
6.7.3 Non-fiabilité des dessins et gravures . . . 137
7 Plates-bandes à joints en X 140 7.1 Construction . . . 141
7.2 Exemples construits au Moyen Âge . . . 141
7.3 Références écrites . . . 142
7.4 Expériences . . . 146
7.4.1 Expériences aux ateliers de l’ENSA Paris-Malaquais . . . 146
7.4.2 Expériences aux Grands ateliers de l’Isle d’Abeau. . . 147
8 Plates-bandes en fausse-coupe 151 8.1 La fausse-coupe dans les traités . . . 152
8.2 Plates-bandes en fausse-coupe potentielles . . . 154
8.2.1 Introduction. . . 154
8.2.2 Jacques Lemercier (av. 1586-1654) . . . 156
8.2.3 Le Louvre . . . 158
8.2.4 Le dix-septième siècle . . . 159
8.2.5 Refus et renouveau de la fausse-coupe au XVIIIesiècle . . . 161
8.2.6 La fausse-coupe à Chambéry . . . 162
8.3 Conclusion . . . 164
9 Plates-bandes de l’Antiquité à la Révolution 168 9.1 Méthode de recherche et objectifs . . . 169
9.2 Antiquité . . . 170
9.2.1 Du linteau à la plate-bande dans les entablements . . . 170
9.2.2 Exemples construits . . . 170
9.3 Moyen Âge . . . 176
9.3.1 Portails . . . 176
9.3.2 Cheminées. . . 177
9.3.3 Baies. . . 178
9.3.4 Villard de Honnecourt . . . 178
9.4 Époque Moderne . . . 180
9.4.1 Entablements . . . 180
9.4.2 Baies. . . 180
9.4.3 Escaliers à jour et escaliers suspendus . . . 181
9.4.4 Les dessins de Léonard de Vinci. . . 181
10 Voûtes plates 184 10.1 Voûtes plates ou voûtes surbaissées ? . . . 185
10.2 Voûtes plates dallées . . . 188
10.3 Voûtes plates clavées . . . 189
10.3.1 Appareil . . . 189
10.3.2 Utilisation du métal . . . 189
10.3.3 Exemples construits . . . 193
10.3.4 Voûtes plates d’Abeille. . . 196
10.4 Voûtes très surbaissées . . . 198
10.4.1 Confusion des termes. . . 198
10.4.2 Voûtes surbaissées en pierre de taille . . . 199
10.4.3 Voûtes à la Roussillon, ou voûtes catalanes . . . 200
Partie III Réseaux de forces pour les constructions clavées 202 11 Motivation et enjeux 203 11.1 Réseaux de forces et lignes de pression . . . 204
11.1.1 Extension du polygone funiculaire sous forme de réseau . . . . 204
11.1.2 Réseau funiculaire . . . 205
11.2 Hypothèse de l’intersection des forces. . . 206
11.2.1 Rappels sur l’équilibre d’un bloc . . . 206
11.2.2 L’intersection, condition non nécessaire . . . 207
11.2.3 Absence de conséquence en 2D . . . 207
11.2.4 Directions fixes des forces projetées sur le plan horizontal . . . 208
11.2.5 Conjugaison des directions du réseau . . . 208
11.3 Verticalité des charges . . . 211
11.4 Besoins d’une extension de la méthode . . . 211
11.4.1 Pour la coupe des pierres . . . 211
11.4.2 Pour le calcul à la rupture . . . 211
12 Extension des réseaux de forces 212 12.1 Extension de la méthode des réseaux de forces. . . 213
12.2 Simplification de l’appareil et paramétrisation de la géométrie . . . 213
12.3 Considération des joints . . . 214
12.4 Critères de résistance des joints . . . 215
12.5 Branches partielles additionnelles . . . 215
12.6 Recherche des chargements extrêmes . . . 217
12.6.1 Recherche par optimisation sous contraintes . . . 217
12.6.2 Stratégies de résolution . . . 218
13 Implémentation numérique 219 13.1 Implémentation de l’extension des réseaux de forces . . . 220
13.1.1 Visual Basic for Applications et Microsoft Excel . . . 220
13.1.2 Équilibre horizontal . . . 220
13.1.3 Équilibre vertical . . . 221
13.2 Redéfinition des joints . . . 223
13.3 Raffinement du réseau et branches partielles . . . 225
13.3.1 Modification des équations d’équilibre . . . 225
13.3.2 Écriture alternative des équations d’équilibre . . . 226
13.3.3 Vérification de l’équilibre a posteriori. . . 226
13.4 Recherche des chargements extrêmes . . . 227
13.4.1 Optimisation sous contraintes . . . 227
13.4.2 Polynômes de Lagrange . . . 227
13.4.3 Multiplicateurs de charges modifiés par puissances d’entiers . . 228
13.4.4 Coefficient de sécurité géométrique modifié . . . 233
13.4.5 Convexité du domaine des chargements supportables . . . 235
13.4.6 Bilan des stratégies . . . 236
Partie IV Étude mécanique des constructions clavées 237 14 Étude des arcs et dômes 238 14.1 Épaisseurs minimales . . . 239
14.1.1 Coefficient de sécurité géométrique . . . 239
14.1.2 Épaisseur minimale d’un arc plein-cintre . . . 239
14.1.3 Épaisseur minimale d’un dôme hémisphérique . . . 241
14.2 Étude des procédés historiques de calcul des voûtes . . . 245
15 Étude des plates-bandes 249 15.1 Paramétrisation des plates-bandes . . . 250
15.2 Domaines des chargements supportables analytiques . . . 253
15.2.1 Contexte . . . 253
15.2.2 Frontière du critère de résistance en compression . . . 253
15.2.3 Frontière du critère de résistance en frottement . . . 256
15.3 Influence de la coupe des pierres sur la stabilité . . . 257
15.3.1 Exemples considérés, Prato et GAIA . . . 257
15.3.2 Influence du nombre de claveaux et de la clé. . . 259
15.3.3 Influence de l’inclinaison des joints . . . 259
15.3.4 Influence des joints en X . . . 261
15.4 Extension des domaines avec les réseaux de forces. . . 263
15.4.1 Principe de construction des domaines avec les réseaux de forces263 15.4.2 Plates-bandes à joints inclinés . . . 264
15.4.3 Plates-bandes à joints en X . . . 265
15.5 Modèle aux éléments finis . . . 270
15.5.1 Contexte . . . 270
15.5.2 Modèle Cast3M des plates-bandes . . . 270
15.5.3 Solutions d’équilibre . . . 272
16 Étude des voûtes plates 276 16.1 Description des voûtes étudiées . . . 277
16.1.1 Étude de trois appareils . . . 277
16.1.2 Paramétrisation des appareils . . . 278
16.1.3 Définition des voûtes étudiées . . . 279
16.2 Influence des choix de modélisation . . . 280
16.2.1 Application de la méthode des réseaux de forces . . . 280
16.2.2 Raffinement du réseau . . . 281
16.2.3 Interpolation polynomiale des paramètres . . . 283
16.3 Influence de la coupe des pierres . . . 285
16.3.1 Résultats de la voûte unidirectionnelle . . . 285
16.3.2 Résultats de la voûte bidirectionnelle . . . 286
16.3.3 Résultats de la voûte d’Abeille . . . 291
16.3.4 Conclusion . . . 294
16.4 Modèle aux éléments finis . . . 294
17 Étude des voûtes hélicoïdales 298 17.1 Introduction. . . 299
17.2 Étude par bandes indépendantes . . . 299
17.3 Étude avec les réseaux de forces. . . 300
17.3.1 Bande infinitésimale . . . 300
17.3.2 Escalier complet . . . 300
Conclusion et perspectives 305 Partie V Annexes 307 A Sources bibliographiques 308 A.1 Citations des traités de l’Époque Moderne . . . 308
A.2 Citations des traités de l’Époque Contemporaine . . . 321
A.3 Citations des ouvrages récents. . . 332
A.4 Discussion des plates-bandes à l’Académie royale d’architecture . . . . 336
B Catalogue 344 B.1 Plates-bandes dans l’Antiquité . . . 345
B.2 Plates-bandes au Moyen Âge . . . 352
B.2.1 Plates-bandes de portail . . . 352
B.2.2 Plates-bandes de cheminée. . . 359
B.2.3 Plates-bandes de baie . . . 365
B.3 Plates-bandes à l’Époque Moderne . . . 368
B.3.1 Plates-bandes d’entablement . . . 368
B.3.2 Plates-bandes d’escalier . . . 370
B.4 Plates-bandes à joints en X . . . 371
B.5 Plates-bandes en fausse-coupe . . . 373
B.5.1 Jacques Lemercier . . . 373
B.5.2 Le Louvre . . . 380
B.5.3 Le dix-septième siècle . . . 391
B.5.4 Le dix-huitième siècle . . . 398
B.5.5 Chambéry . . . 406
B.6 Voûtes plates . . . 411
C Critère de résistances des joints en X 418 D Instrumentation des plates-bandes à joints en X 422 D.1 Contexte. . . 422
D.2 Résultats de mars 2017 (GAIA) . . . 423
D.3 Résultats de juin 2017 (Troyes) . . . 424
E Voûtes plates d’Abeille expérimentales 426 E.1 Expériences aux Grands ateliers de l’Isle d’Abeau. . . 426
E.2 Murs préfabriqués du projet Astonyshine. . . 427
F Formules des voussoirs 429 F.1 Arc en plein-cintre . . . 430
F.2 Dôme hémisphérique . . . 430
F.3 Dôme elliptique . . . 432
F.4 Voûte hélicoïdale . . . 433
F.5 Voûte plate . . . 433
Table des figures 436
Index 445
Index des auteurs 449
Bibliographie 453
L’objectif de cette thèse est de mieux comprendre l’influence de la coupe des pierres sur la résistance des arcs et des voûtes clavés en pierre de taille. Elle s’inscrit dans le cadre de l’étude des techniques constructives antérieures à la Révolution.
Les épures des tailleurs de pierre du xvie au xviiie siècle, telles qu’elles sont suggérées par les traités de coupe des pierres, sont complexes à appréhender. Elles débutent cependant par l’application de règles géométriques simples, qui concernent notamment l’inclinaison à donner aux joints des voussoirs ou claveaux. Ces règles concernant l’inclinaison des joints constituent le fil conducteur reliant les différents arcs et voûtes que nous étudions, du point de vue historique, typologique, puis mé- canique.
La partie I présente l’état de l’art de l’étude de la stabilité des constructions clavées, c’est-à-dire des arcs et des voûtes composés de voussoirs ou claveaux, élé- ments en pierre de taille taillés et posés pour occuper une place prédéterminée dans la construction. Les concepts de polygone funiculaire et de ligne de pression sont d’abord présentés, ainsi que l’influence de l’appareil, et donc de la coupe des pierres, sur la ligne de pression. La théorie du calcul à la rupture et son application aux constructions clavées sont exposées ensuite. Cette théorie permet de déterminer les chargements potentiellement supportables par un arc ou une voûte. Les domaines des chargements potentiellement supportables seront exploités ultérieurement pour comparer la résistance des voûtes. Les différentes méthodes permettant de produire les solutions d’équilibre nécessaires à la construction par l’intérieur des domaines des chargements potentiellement supportables sont évoquées, ainsi que des exemples de constructions étudiées dans la littérature montrant la diversité des applications possibles du calcul à la rupture pour la maçonnerie et la pierre de taille.
Pour appliquer la théorie du calcul à la rupture aux constructions clavées, il convient d’exprimer la résistance des matériaux au niveau des joints. Ce point fait l’objet d’un chapitre spécifique, en raison de son importance dans le cadre de notre étude sur la coupe des pierres. Le coefficient de sécurité statique et un estimatif du coefficient de sécurité géométrique sont définis. La possible considération de la résistance interne de la pierre, en construisant des champs de contrainte constant par morceaux admissible pour chaque claveaux, et en exploitant les propriétés graphiques des cercles de Mohr, est ensuite présentée.
La méthode des densités de forces et la méthode des réseaux de forces sont ensuite décrites. Les réseaux de forces étendent sous forme de réseau la notion de polygone funiculaire, de la même manière que la résille caténaire inversée, notamment utilisée par Antoni Gaudí, généralise la caténaire inversée. L’intérêt des réseaux de forces
pour l’étude des voûtes en maçonnerie a été mis en avant parO’Dwyer(1999) sous le nom de « force network method », et étendue par Block et Ochsendorf(2007) sous le nom de « thrust network analysis ». Ces réseaux seront utilisés dans cette thèse pour générer les solutions d’équilibre des constructions clavées.
La partie II présente les résultats d’une étude historique et typologique des plates-bandes et des voûtes plates construites en France. Les notions principales de la stéréotomie et de la taille des pierres sont tout d’abord introduites, ainsi qu’un ré- sumé de l’évolution des traités de coupe des pierres qui décrivent le tracé des épures.
Le principe de normalité, qui indique que les joints des voûtes doivent être perpen- diculaires à l’intrados, est ensuite décrit, ainsi que les limites qu’entraîneraient son application systématique. Cet ensemble constitue le contexte général de la coupe des pierres des voûtes courbes, qui permet d’apprécier ensuite les spécificités de la coupe des pierres des couvrements plans : les plates-bandes et les voûtes plates.
Un essai de typologie constructive des plates-bandes est proposé, en considérant successivement le nombre de claveaux (généralement impair), la hauteur de la plate- bande (donnée relativement à sa portée), les détails constructifs (comme l’utilisation des crossettes, des balles de plomb etc.), et l’utilisation du métal. La relation qu’entre- tiennent coupe des pierres et décor est examinée à travers des exemples ; l’utilisation des refends pour souligner l’appareil, ou au contraire simuler un faux-appareil, est mentionnée ; le caractère non fiable des dessins et gravures représentant l’appareil des plates-bandes est rappelé. Au sein de la typologie proposée, l’inclinaison des joints des plates-bandes fait l’objet d’une étude approfondie. Le rejet des joints verticaux pour la construction des plates-bandes conduit à l’utilisation de joints inclinés sur la verticale. Nous étudions l’évolution des règles géométriques donnant le tracé des joints inclinés, et les informations que ces règles livrent sur les pratiques respectives des architectes et des appareilleurs.
Les plates-bandes à joints en X construites au Moyen Âge en Europe, et les plates- bandes en fausse-coupe construites à partir du xviie siècle en France, présentent une coupe des pierres savante, jouant sur l’impression d’instabilité qu’elle procure au spectateur. Chacune fait l’objet d’un chapitre pour exposer son mode constructif, les exemples connus, et les informations tirées de la littérature à propos de ces objets.
Les résultats d’expériences sur des plates-bandes à joints en X en bois, puis en pierre, sont présentés.
Une histoire des plates-bandes est proposée à travers la présentation d’exemples construits dans l’Antiquité, au Moyen Âge puis à l’Époque Moderne. Pour chaque époque, les traits principaux des plates-bandes tels qu’ils peuvent être appréciés à partir des exemples réunis sont exposés.
Enfin, les informations réunies sur les voûtes plates en pierre de taille, à ne pas confondre avec les voûtes surbaissées, font l’objet du dernier chapitre de la partie historique. Les voûtes plates clavées, et parmi elles les voûtes plates d’Abeille, du nom de leur inventeur, font l’objet d’un développement particulier.
L’exploitation des informations contenues dans les traités d’architecture et de coupe des pierres nécessite une part d’interprétation du vocabulaire de leurs auteurs, qui ne répond pas à une nomenclature bien établie concernant les points de détails de construction des plates-bandes. À titre d’exemple, le terme « joint à plomb » fait référence non pas à un joint unique vertical, mais à un joint double formé d’une partie
verticale (la fausse-coupe) et d’une partie inclinée. Dans ce contexte, les citations ex- ploitées dans cette étude historique sont reproduites pour permettre la confrontation des nombreuses sources utilisées. Elles ont été réunies en annexe pour ne pas alourdir la lecture. Les citations sont numérotées par ordre chronologique de publication. Le renvoi « cit.64» fait référence à la citation numéro64, les citations étant regroupées dans l’annexe A.
Le nombre d’exemples de plates-bandes et de voûtes plates réunis pour ces dif- férents chapitres étant important, ils ont été rassemblés en annexe sous forme d’un catalogue constitué de tableaux illustrés, avec les indications recueillies sur le contexte de la construction et la datation de chaque plate-bande ou voûte plate référencée.
La partie IIIprésente l’extension de la méthode des réseaux de forces que nous proposons dans cette thèse. Dans un premier temps, les raisons pour lesquelles une extension nous a semblé nécessaire sont exposées. Il convient tout d’abord de re- marquer que le réseau de forces est l’extension sous forme de réseau du polygone funiculaire, et non celle de la ligne de pression. De plus, les deux hypothèses fonda- mentales nécessaires pour appliquer la méthode des réseaux des forces introduisent des limitations sur les solutions d’équilibre accessibles. Le besoin d’une extension de la méthode apparaît également pour permettre d’une part l’étude de l’influence de l’appareil, et d’autre part l’intégration de la méthode au cadre rigoureux du calcul à la rupture.
Les principes de l’extension de la méthode des réseaux de forces sont ensuite ex- posés. Ils consistent en la simplification de l’appareil, la considération de la géométrie des joints, puis celle des critères de résistance exprimés au niveau des joints, qui sont des points essentiels pour l’intégration de la méthode des réseaux de forces au cadre du calcul à la rupture. De plus, l’introduction de branches partielles permet de raffiner les réseaux et donc les solutions d’équilibre accessibles. Enfin, différentes stratégies de détermination des chargements extrêmes définissant les domaines de chargements potentiellement supportables sont proposées.
L’implémentation de ces différents points est ensuite détaillée dans un chapitre spécifique. Les stratégies d’optimisation numérique, qui sont l’enjeu numérique le plus important pour la recherche des chargements extrêmes et donc pour la faisabilité pratique de la méthode que nous proposons, sont présentées, ainsi qu’une étude des vitesses de convergence pour la stratégie la plus efficace (modification de la fonction de coût utilisée pour la recherche des chargements extrêmes).
Enfin, lapartie IV présente les résultats des études mécaniques que nous avons menées sur quatre types de structures : les voûtes courbes (arcs et dômes), les plates- bandes, les voûtes plates, et les voûtes hélicoïdales.
Le chapitre sur les voûtes courbes présente deux applications de l’extension de la méthode des réseaux de forces. La première est l’étude des épaisseurs minimales des arcs en plein-cintre et des dômes hémisphériques, et à travers ces exemples l’étude de la convergence de l’estimatif du coefficient de sécurité géométrique vers la valeur du coefficient théorique défini par Heyman (1969). La seconde est l’exploitation des réseaux de forces pour l’étude des procédés historiques de calcul des voûtes, à travers les exemples de Rankine et Durand-Claye au xixesiècle.
L’influence de la coupe des pierres sur la résistance des plates-bandes est étudiée dans le chapitre suivant. Trois types de plates-bandes sont analysés : les plates-bandes
à joints verticaux, les plates-bandes à joints inclinés, et les plates-bandes à joints en X.
Les domaines des chargements potentiellement supportables, qui sont utilisés pour quantifier la résistance, sont déterminés d’abord par calcul analytique, puis étendus avec les réseaux de forces. Les réseaux de forces correspondant aux chargements extrêmes sont comparés aux résultats obtenus avec un modèle aux éléments finis.
Après les plates-bandes, l’influence de la coupe des pierres sur la résistance des voûtes plates est analysée. Trois types de voûte sont analysées : la voûte plate ap- pareillée sur le plan du berceau, la voûte plate appareillée sur le plan de la voûte en arc-de-cloître, et enfin la voûte plate d’Abeille. Les domaines des chargements poten- tiellement supportables, qui sont utilisés pour quantifier la résistance, sont déterminés avec les réseaux de forces. Les réseaux de forces correspondant aux chargements ex- trêmes sont comparés aux résultats obtenus avec un modèle aux éléments finis.
Enfin, le dernier chapitre de l’étude mécanique présente la comparaison des résul- tats fournis par la méthode des réseaux de forces à ceux d’un modèle analytique des voûtes hélicoïdales (García Ares,2007). Cette comparaison vise à illustrer quelques limites de la méthode des réseaux de forces, comme la conjugaison de la direction des réseaux, qui limite les solutions d’équilibre qui peuvent être produites avec cette méthode.
État de l’art
Équilibre des constructions clavées
Résumé : Ce chapitre traite de l’équilibre des constructions clavées en pierre de taille. Le polygone funiculaire et la ligne de pression sont des formes géométriques couramment employées pour l’étude en deux dimensions de ces structures. Dans les cas les plus courants, ces formes sont presque superposées, aussi est-il souvent difficile de les discerner. Ce chapitre donne la définition de chacun de ces objets géométriques, et souligne les confusions existant entre ces termes dans la littérature duxixe siècle.
L’influence de l’appareil sur la ligne de pression est ensuite évoqué. Les informations historiques concernant le polygone funiculaire et la ligne de pression de ce chapitre sont tirées de History of strength of materials de Timoshenko (1953).
Sommaire
1.1 Le polygone funiculaire . . . . 21 1.2 La ligne de pression . . . . 22 1.3 Comparaison de la ligne de pression et du polygone funiculaire . . 23 1.4 Influence de l’appareil sur la ligne de pression . . . . 27
1.1 Le polygone funiculaire
Pour que trois forces soient en équilibre, en 2D comme en 3D, il faut nécessai- rement que leurs lignes d’action soient coplanaires et passent par un même point, ce point pouvant être à l’infini (Culmann, 1880, p. 147). En revanche, pour plus de trois forces, ces conditions ne sont plus nécessaires : quatre forces peuvent être en équilibre sans que leurs lignes d’actions soient coplanaires ni passent par un même point. Nous verrons des exemples de ce type dans le cadre de l’étude des réseaux de forces (section11.2 page206).
L’équilibre d’un claveau faisant partie d’un arc fait intervenir trois forces : le chargement, et les deux forces s’appliquant sur les joints. À partir de la propriété précédente, il existe un point d’intersection des forces s’appliquant à chaque claveau.
Définition 1. Un polygone funiculaire d’un arc clavé est un polygone dont les som- mets sont les points d’intersection des lignes d’action des forces en équilibre s’appli- quant à chaque claveau.
Si le chargement est formé d’un ensemble de forces coplanaires, comme cela est le cas généralement pour le chargement gravitaire des arcs, alors le polygone funiculaire et le polygone des forces sont plans (fig.1.1 à gauche). Cependant, si les forces ne sont pas coplanaires, alors le polygone funiculaire et le polygone des forces ne sont pas plans (fig.1.1 à droite).
vuedefacevuededessus
polygone funiculaire
polygone des forces
vuedefacevuededessus
polygone funiculaire
polygone des forces
Fig 1.1 – Polygones funiculaires et polygones des forces de systèmes composés de deux forces coplanaires (à g.) ou non coplanaires (à d.), en vue de face et vue
de dessus
Historiquement, La Hire est le premier a avoir utilisé le polygone funiculaire en 1695 (Timoshenko, 1953, p. 63). Le polygone funiculaire est également utilisé par Varignon en 1725, par Lamé et Clapeyron en 1823, et par Poncelet en 1840 pour l’étude des murs de soutènement (1953, p. 84, 89, 194). Il s’agit cependant d’applica- tions pour des cas particuliers, et il faut attendreCulmann(1864) pour la présentation systématique des méthodes graphiques pour l’analyse des structures (1953, p. 194).
Culmann publie Die graphische Statik en 1864 à Zürick. Son ouvrage ne sera traduit de l’allemand au français qu’en 1880. L’épure de Méry, qui était la méthode de calcul des arcs en maçonnerie la plus connue en France au xixe siècle, ne fait pas usage(1) du polygone funiculaire (Méry,1840).
1.2 La ligne de pression
Un lieu géométrique important pour l’étude de l’équilibre des arcs est pour chaque joint le point d’application de la résultante des actions de contact. Ce point peut être également appelépoint d’application de la résultante des forces, oucentre de pression.
Les points d’application des résultantes des actions de contact sur les joints forment la ligne de pression. Dans le cadre de la statique graphique, ces points sont construits à partir du polygone funiculaire.
Définition 2. Uneligne de pressiond’un arc clavé est la suite des points d’application des résultantes des actions de contact (ou centres de pression) sur ses joints.
Les centres de pression étant donnés par les intersections des lignes d’action des résultantes des actions de contact avec les joints, la ligne de pression est donc la suite des intersections des segments ou des prolongations des segments du polygone funiculaire avec les joints.
Le concept de ligne de pression est publié pour la première fois par Gerstner (1831, p. 405) selon Timoshenko (1953, p. 211) et Benvenuto (1991, cit.134,135)(2). Il est ensuite étudié parMoseley (1843a,b), qui est le premier à distinguer la ligne de pression et le polygone funiculaire, et qui publie en 1843 un article écrit en 1839 sur la question (Timoshenko,1953, p. 212). En France, Méry est le premier à employer le terme de « courbe de(s) pression(s) » en1840. SelonDupuit(1870), l’article de1840 correspond à un travail rédigé en 1827.
Une confusion importante règne parmi les termes utilisés pour désigner le « po- lygone funiculaire » et la « ligne de pression », en raison des faux-amis(3) en anglais et en allemand.
Ainsi, dans (Culmann,1880) qui est la première traduction en français du traité de statique graphique de Culmann, les noms de « polygone funiculaire » et de « ligne des pressions » sont appliqués respectivement à un polygone funiculaire en tension, et à un polygone funiculaire en compression(4). Dans la partie de son ouvrage où Culmann utilise ces termes, il considère uniquement les relations entre le polygone
(1). L’épure de Méry connaît une évolution tout au long duxixe siècle. Nous faisons référence ici à l’épure de Méry telle qu’elle fut présentée par son auteur en1840.
(2). Les citations sont numérotées par ordre chronologique de publication. Le renvoi « cit.134» fait référence à la citation numéro134, les citations étant regroupées dans l’annexeA.
(3). « Faux-ami : terme d’une langue étrangère qui présente une ressemblance graphique ou pho- nique avec un terme de la langue maternelle, mais ne possède pas le même sens. » Dictionnaire Larousse.
(4). Culmann (1880) : « C’est pour ce motif que l’on désigne fréquemment le contour polygonal formé par les résultantes sous le nom depolygone funiculaire. Dans la théorie des voûtes, où tous les côtés du polygone sont soumis à des pressions, on l’appelleligne des pressions. Nous emploierons ces deux expressions, suivant que la majorité des côtés du polygone sera tendue ou comprimée. » Culmann(1875) : « Es wird daher häufig dieser Zug der Mittellinien ein Seilpolygon genannt. In der
des forces et le polygone funiculaire. Il ne peut donc y avoir confusion de sens avec la ligne de pression telle que nous l’entendons dans cette thèse, qui nécessite l’existence d’une famille de joints sur laquelle l’évaluer. Ici, le terme « ligne des pressions » est un faux-ami, une traduction littérale du terme allemand « Drucklinie », introduisant la confusion avec les autres acceptions du terme à la même époque. Par ailleurs le terme
« Drucklinie » est également utilisé par Breymann pour traduire le concept de « ligne de pression ». En effet Breymann intègre une traduction d’une large partie de l’article de Méry(1840) dans son ouvrage sur la construction en pierre (Breymann,1849). Le terme « courbe de pression » de Méry est traduit par Breymann par « Druckcurve ».
En anglais, la « ligne de pression » est traduite par « line of thrust », et le « poly- gone funiculaire » par « line of pressure », ce qui induit naturellement une confusion certaine pour les traducteurs.
La comparaison des appellations de plusieurs auteurs est exposée dans la table1.1.
Définitions données ici Ligne de pression Polygone funiculaire Méry(1840) « courbe de(s) pression(s) » ∅– non utilisé Moseley(1843a) « line of resistance » « line of pressure » Dupuit(1870) « ligne ou courbe de pression » ∅– non utilisé Durand-Claye(1880) « courbe de pression » ∅– non utilisé
Culmann(1880) ∅ « polygone funiculaire, ligne
des pressions » Benvenuto(2006, p. 388) « linea di resistenza » « linea di pressione »
aujourd’hui « ligne de pression » « polygone funiculaire »
aujourd’hui « line of thrust » « funicular polygon »
Table 1.1 – Comparaison des termes désignant la ligne de pression et le polygone funiculaire
1.3 Comparaison de la ligne de pression et du polygone funiculaire
La ligne de pression et le polygone funiculaire ont des définitions distinctes. Cepen- dant, dans le cadre de la statique graphique(5) le second est une étape nécessaire pour construire les points de la première, et ces deux objets géométriques sont proches : dans la plupart des cas, les points de la ligne de pression seront localisés sur les segments du polygone funiculaire.
Cette observation peut être illustrée par plusieurs exemples.
— La figure1.2représente trois cas d’équilibre pour un demi arc en plein-cintre.
Dans la colonne de droite et dans celle du centre sont représentés deux cas où la ligne de pression et le polygone funiculaire sont proches. En revanche,
Gewölbetheorie, wo alle Seiten des Polygons gepresst sind, heisst es mitunter auch die Drucklinie. Wir werden beide Ausdrücke gebrauchen, je nachdem die meisten Polygonseiten gespannt oder gepresst sind. »
(5). Il est à noter cependant qu’avant (Culmann,1880), première traduction en français de l’ouvrage de Culmann, la ligne de pression pouvait déjà être dessinée sans recours au polygone funiculaire (p.
ex.Méry,1840;Dupuit,1870).
dans la colonne de gauche est représenté un cas où la ligne de pression et le polygone funiculaire ne se superposent pas près de la naissance de l’arc.
— Moseley illustre cette différence en 1843 pour une portion d’arc soumis à la fois à des forces horizontales et verticales (fig.1.4, couleurs ajoutées par l’auteur).
— La figure1.3 donne l’exemple d’un arc-boutant, où ligne de pression et poly- gone funiculaire sont presque confondues dans la partie courante de l’arc, et bien distinctes au niveau de l’élargissement de l’appui de l’arc en pied.
— Dans le cas particulier des joints horizontaux étudié par Dupuit (fig.1.5 à gauche) sur lequel nous reviendrons ultérieurement, il est intéressant de noter que le polygone funiculaire se réduit au point m, point d’intersection commun à l’ensemble des résultantes, alors que la ligne de pression est com- posée par la suite des pointsr1,r2, . . . ,R. Par ailleurs, le concept de polygone funiculaire n’est pas utilisé par Dupuit pour tracer ces figures(6).
La différence nette qui existe entre la ligne de pression et le polygone funiculaire sur certains de ces exemples s’explique par l’observation suivante : les centres de pres- sion ne sont pas nécessairement localisés sur le polygone funiculaire. Par définition, chaque segment du polygone funiculaire correspond à un joint particulier. L’intersec- tion des lignes prolongeant un segment du polygone funiculaire avec le joint donne le centre de pression. Le centre de pression peut être placé sur le segment du polygone des forces, ou bien en dehors de ce segment, sur la ligne qui le prolonge. Par exemple, sur la figure de Moseley, le centre de pression eest placé sur la ligne (DE), mais pas sur le segment [DE] (fig.1.4).
Un corollaire de cette observation est que le polygone funiculaire peut sortir de la maçonnerie, alors que tous les centres de pression correspondants sont situés à l’intérieur de la maçonnerie, ou plus exactement des joints. Cette remarque est es- sentielle pour trouver des solutions d’équilibre pour les voûtes ayant une stéréotomie particulière, comme les voûtes d’Abeille et les plates-bandes à joints en X, que nous étudierons plus en détail ultérieurement (parties 15.3.4 et16.3.3).
Heyman(2009) a souligné les différences entre la ligne de pression et le polygone funiculaire, et les confusions qui pouvaient se produire. Il a également souligné que ces deux concepts dépendent de la stéréotomie des arcs considérés, ce sur quoi nous allons revenir dans la section 1.4.
(6). Ce dernier utilise une méthode proche de celle de Méry de 1840, avec la résolution successive de l’équilibre de l’ensemble des blocs situés au-dessus d’un joint.
Cas poussée minimale Cas intermédiaire Cas poussée maximale
Polygone funiculaire Polygone funiculaire Polygone funiculaire
Centres de pression Centres de pression Centres de pression
Superposition Superposition Superposition
Fig 1.2 – Comparaison de la ligne de pression et du polygone funiculaire
Fig 1.3 – Comparaison de la ligne de pression (bleu) et du polygone funiculaire (rouge) sur un exemple d’arc boutant
Fig 1.4 – Ligne de pression en bleu (« line of resistance ») et
polygone funiculaire en rouge (« line of pressure »), d’aprèsMoseley (1843a), etHeyman (2009)
Fig 1.5 – Influence du choix des joints sur la ligne de pression d’un piédroit,
1.4 Influence de l’appareil sur la ligne de pression
Contrairement au cas du polygone funiculaire qui ne nécessite de connaître que les points d’application des charges, la détermination de la ligne de pression présuppose le découpage de la structure à étudier en un certain nombre de blocs, ou de manière équivalent en 2D le choix d’une famille de joints découpant la structure. Ce choix constitue l’appareil, parfois également appelé clavage(7), de la structure.
La ligne de pression dépend directement de l’appareil choisi pour l’étude méca- nique. Dupuit(8)illustre cette propriété dans le cas d’un piédroit rectangulaireABCD soumis uniquement à une force horizontale Qen tête et à son poids propre (Dupuit, 1870 – voir fig.1.5). Il considère trois familles de joints, qui divisent chacune le pié- droit en huit parties égales (de même poids). Le polygone des forces est donc identique dans les trois cas. Pour une famille de joints horizontaux, la ligne de pression(9) pR (figure de gauche) est verticale.
Pour les arcs et voûtes clavées, l’appareil est connu et les blocs de l’étude mé- canique doivent correspondre aux blocs réels, les voussoirs ou claveaux. Pour les structures non clavées, comme les maçonneries en moellons, il est nécessaire de choi- sir un découpage fictif en blocs pour procéder à l’étude mécanique en utilisant la ligne des pressions.
Nous reviendrons en détail sur l’influence de l’appareil, et donc de la coupe des pierres, sur la résistance des voûtes dans la partie IV consacrée à l’étude mécanique des constructions clavées.
(7). Sur la définition et les différentes acceptions du motclavage, voir la section5.1p.74.
(8). L’attention apportée par Dupuit à l’influence des joints sur la forme de la ligne de pression a été relevée notamment parHuerta Fernández et Aroca Hernández-Ros(1989) etTarrío(2015).
(9). « Les pointsr1,r2, . . . ,R sont tous situés sur une verticalepR dite ligne de pression. Dans ce cas particulier, la ligne de pression est droite, mais, dans beaucoup de cas, les points déterminés par la rencontre de la résultante et de chacun des plans de joint sont en ligne courbe. »Dupuit(1870, p. 25). La ligne de pression est plus précisémentr1R dans le cas présent.
Stabilité des constructions clavées
Résumé : Ce chapitre traite de la théorie du calcul à la rupture et de son application à l’étude de la résistance des constructions clavées. La théorie du calcul à la rupture sous sa forme générale est d’abord présentée, et les notions de chargement extrême et de domaine des chargements potentiellement supportables sont introduites. Les critères de résistances habituellement choisis pour l’application du calcul à la rupture à la maçonnerie sont ensuite donnés. Il existe différentes méthodes pour calculer les solutions d’équilibre qui sont ensuite exploitées dans le cadre du calcul à la rupture.
Ces méthodes sont présentées, ainsi qu’un ensemble de types de constructions en maçonnerie ou pierre de taille étudiés récemment dans littérature (dômes, escaliers, roses etc.).
Sommaire
2.1 Le calcul à la rupture . . . . 29 2.1.1 Mécanique des milieux continus tridimensionnels . . . . . 29 2.1.2 Formulation générale . . . . 29 2.1.3 Construction deK par l’intérieur . . . . 31 2.1.4 Approche deKpar l’extérieur. . . . 32 2.1.5 Coefficient de rupture, multiplicateur de charge, et coeffi-
cient de sécurité. . . . 32 2.1.6 Application aux constructions clavées. . . . 33 2.1.7 Conclusion. . . . 34 2.2 Recherche des solutions d’équilibre stables . . . . 34 2.2.1 Méthodes antérieures au calcul à la rupture . . . . 34 2.2.2 Résolution analytique . . . . 34 2.2.3 Méthode des équations d’équilibre discrétisées . . . . 35 2.2.4 Méthode de Delbecq . . . . 37 2.3 Exemples de structures étudiées . . . . 38
2.1 Le calcul à la rupture
Le calcul à la rupture est un « mode de raisonnement » pour permettre la véri- fication du dimensionnement des ouvrages. Selon Salençon (1983, p. 23), « Le calcul à la rupture est certainement le mode de raisonnement le plus anciennement utilisé pour tenter d’y apporter une réponse [...]. C’est ce mode de raisonnement que l’on trouve aussi bien chez Galilée (1638), que chez Coulomb (1773), Culmann (1866), et qui est à la base de l’épure de Méry (1840), des règles de descentes de charges, etc ; ».
Le calcul à la rupture s’appuie sur la connaissance de trois éléments uniquement :
— la géométrie du système, qui est supposée indéformable ;
— le chargement appliqué au système ;
— la résistance du matériau constitutif.
Il a été appliqué au calcul des structures et à la mécanique des sols.
Nous donnons ici une synthèse de la présentation de Salençon (1983) du calcul à la rupture. Cette présentation est reprise par différents auteurs (Oikonomopoulou, 2009;Ciblac et Morel,2014).
2.1.1 Mécanique des milieux continus tridimensionnels
Salençon (1983) présente le calcul à la rupture avec le formalisme des milieux continus tridimensionnels :
— V est le volume de la structure etS son contour ;
— σ est le tenseur des contraintes de Cauchy ;
— dest le tenseur des vitesses de déformation dérivé de v;
— −(σ :d) dV est la puissance des efforts intérieurs pour l’élément dV dans le champ de vitesse v.
Les champs de contrainte statiquement admissibles dans le mode de chargement étudié sont les champsσ qui satisfont les conditions aux limites sur les contraintes et les équations d’équilibre pour un état de sollicitation du mode étudié.
Leschamps de vitesse cinématiquement admissibles dans le mode de chargement étudié sont les champs v qui satisfont les conditions aux limites sur les vitesses pour un état de sollicitation du mode étudié.
Le principe des puissances virtuelles pour l’équilibre statique d’un système s’écrit :
∀ σ champ de contrainte statiquement admissible et
∀ ˆv champ de vitesse virtuel cinématiquement admissible :
P(i)+P(e) = 0 (2.1)
avec P(i)=− Z
V
[σ(x) : ˆd(x)] dV − Z
Σ
[[ˆv(x)]].σ(x).n(x) dΣ (2.2)
avec P(e)(Q(σ),ˆv) =Q(σ).˙q(ˆv) (2.3)
2.1.2 Formulation générale
Géométrie, chargement et résistance
Le calcul à la rupture s’applique à des systèmes dont la géométrie, le chargement et la résistance sont connus. La géométrie de la structure est donnée par son volume
V et son contourS. Par hypothèse lemode de chargement dépend linéairement den paramètres, et est représenté par le vecteur Q∈Rn. On désigne par σ(x) le tenseur des contraintes en un point quelconque de la structure (x∈V).
La résistance est donnée sous la forme du domaine admissible pour les contraintes en chaque point de V. Ce domaine admissible est noté G(x) :
( 1◦ σ(x)∈/G(x) est impossible
2◦ σ(x)∈G(x) est permis. (2.4) Nous faisons les hypothèses suivantes sur le domaine admissibleG(x) :
G(x) contient l’état de contrainte nul : σ(x) = 0∈G(x) (2.5)
G(x) est convexe (2.6)
Salençon n’utilise que le caractère étoilé de G, notant que la convexité de G est fréquente mais n’est pas une règle générale.
Notion de stabilité potentielle
Une condition nécessaire de stabilité d’une structure sous un chargement Q est qu’il existe un champ de contrainte statiquement admissible qui respecte en tout point le critère de contrainte.
stabilité sousQ⇒ ∃σ tel que
( σ statiquement admissible avecQ
σ(x)∈G(x) ∀x∈V (2.7)
La condition ci-dessus n’est qu’une condition nécessaire. Elle n’est pas une condition nécessaire et suffisante. On introduit la notion de stabilité potentielle d’une structure sous un chargement Qpar l’équivalence suivante :
stabilité potentielle sous Q⇔ ∃σ tel que
( σ statiquement admissible avec Q σ(x)∈G(x) ∀x∈V
(2.8) Pour illustrer la notion de stabilité potentielle, Salençon utilise dans son cours un exemple de cadre à six barres. Lorsque la loi de comportement des barres est de type fragile, des chemins de chargements conduisant à la rupture existent, bien que les chargements appliqués soient potentiellement supportables.
Chargements potentiellement supportables
Salençon introduit l’ensemble K des chargements potentiellement supportables, c’est-à-dire des chargements pour lesquels la structure est potentiellement stable. Cet ensemble est appelé ledomaine des chargements potentiellement supportables. Il a les propriétés suivantes, qui découlent directement des propriétés de G:
K contient le chargement nul : Q= 0∈K (2.9)
K est convexe (2.10)
Les chargements appartenant à la frontière deK seront désignés sous le terme de chargements extrêmes.
2.1.3 Construction de K par l’intérieur
La construction deK par l’intérieur exploite la propriété de convexité deK.
SoitQ1 un chargement potentiellement supportable. Soit Qλ=λQ1 un trajet de charge radial. On recherche le paramètre λmaximal donnant un chargement poten- tiellement supportable. (fig.2.1)
Trouver le paramètre maximal qui donne le chargement extrême n’est pas tou- jours possible en pratique. Cependant tout paramètre λdonnant un chargement po- tentiellement supportable est une borne inférieure du paramètre maximal recherché.
En conduisant cette recherche pour plusieurs directions de Q, on approche ainsi par l’intérieur l’ensemble K des chargements potentiellement supportable (fig.2.2).
Q2
O
Q1 Q1
Qλ = λ Q1 Max.
Fig 2.1 – Construction deK par trajets de charge radiaux, d’aprèsSalençon(1983, p. 40)
Q
2Q
1Q
1Q
2Q
3Q
jFig 2.2 – Approximation par l’intérieur de la frontière deK lorsqueK est convexe, d’après Salençon(1983, p. 41)
2.1.4 Approche de K par l’extérieur
Approche de K par l’extérieur par les contraintes
L’approche par l’extérieur par les contraintes consiste à chercher des chargements pour lesquels l’équilibre implique le dépassement de la capacité de résistance du ma- tériau.
Nous n’utiliserons pas cette approche dans cette thèse.
Approche de K par l’extérieur par les vitesses
L’approche deK par l’extérieur par les vitesses est également appelée approche cinématique par l’extérieur. Elle s’appuie sur le principe des puissances virtuelles, et introduit la notion depuissance résistante maximale.
Salençon pose les fonctionsπ suivantes, correspondant à la densité de puissance résistante maximale :
π(x,d(x)) = sup{σ(x) : ˆˆ d(x)|σ(x)∈G(x)} (2.11) π(x,n(x),[[ˆv(x)]]) = sup{[[ˆv(x)]].σ(x).n(x) |σ(x)∈G(x)} (2.12) (2.13) La puissance résistante maximale pour un champ de vitesse virtuel cinématique- ment admissible ˆv est :
Prm(ˆv) = Z
V
π(x,d(x)) dVˆ + Z
Σ
π(x,n(x),[[ˆv(x)]]) dΣ (2.14) Si il existe un champ de vitesse virtuel ˆv cinématiquement admissible tel que :
Prm(ˆv)< P(e)(Q,ˆv) =Q.q(ˆ˙ v) (2.15) alorsQne fait pas partie des champs potentiellement supportables.
Le champ de contrainte σ que pris pour calculer la valeur de la fonction π n’est pas nécessairement un champ statiquement admissible. Il est choisi pour donner la plus grande valeur possible à la puissance résistante locale.
Dans le cas des arcs clavés, l’approche par l’extérieur consiste à chercher les méca- nismes de rupture pour lesquels la puissance résistante maximale des efforts intérieurs est égale à la puissance du chargement dans le mécanisme considéré.
2.1.5 Coefficient de rupture, multiplicateur de charge, et coefficient de sécurité
Salençon introduit lecoefficient de rupture F(Q) pour un mode de chargementQ (fig.2.3). Ce coefficient de rupture est défini tel queQF =F(Q)Qsoit un chargement extrême. Sa définition est :
F(Q) = max
λ/λQ∈Kλ (2.16)
