J
OURNAL DE
T
HÉORIE DES
N
OMBRES DE
B
ORDEAUX
F
ABIEN
D
URAND
Sur les ensembles d’entiers reconnaissables
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome
10, n
o1 (1998),
p. 65-84
<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1998__10_1_65_0>
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Sur les ensembles d’entiers reconnaissables
par FABIEN DURAND
RÉSUMÉ. Soient U et V deux
systèmes
de numération deBertrand,
03B1 et
03B2
deux03B2-nombres multiplicativement indépendants
tels queL(U)
=L(03B1)
etL(V)
=L(03B2),
et E un sous-ensemble de N. Si Eest U-reconnaissable et V-reconnaissable alors E est une réunion
finie de
progressions arithmétiques.
ABSTRACT. Let U and V be two Bertrand numeration systems,
03B1 and
03B2
be twomultiplicatively independent
03B2-numbers
such thatL(U)
=L(03B1)
andL(V)
=L(03B2),
and E be a subset of N. If E isboth
U-recognizable
andV-recognizable
then E is a finite unionof arithmetic
progressions.
1. INTRODUCTION
Etant donné un sous-ensemble de N =
{0,1, " ’ }
peut-on
trouver un"algo-rithme
simple"
(i.e
unautomate)
acceptant
les éléments de E etrejetant
ceux
qui
n’y appartiennent
pas. En 1969 Cobham a montré que l’existenced’un tel
algorithme dépend
de la base danslaquelle
les éléments de E sontécrits. Le Théorème de Cobham
[Col]
s’énonce ainsi : Soient p et q deuxentiers
positifs multiplicativement indépendants
et E C I~. L’ensemble Eest
p-reconnaissable
etq-reconnaissable
si et seulement si E est une réunionfin2e
deprogressions arithmétiques.
Rappelons qu’un
ensemble E C N estp-reconnaissable
si lelangage
formé des écritures en base des élémentsde E est reconnaissable par automate
(pour
plus
de détails voir[Ei]).
Durant les années70,
etjusqu’à
la fin des années80,
peu d’articles complé-tèrent oupoursuivirent
les travaux de Cobham[CKMR,
Ei,
Hal,
Se].
Les ensembles d’entiersp-reconnaissables
peuvent
se définir defaçon
équiva-lente en termes
arithmétiques,
algébriques,
de la théorie deslangages
ou dela
logique
dupremier
ordre(voir
[BHMV]).
Ces définitions sont àl’origine
degénéralisations
récentes et variées du Théorème de Cobham[Bes,
BP,
Du2, Fal,
Fagl, Fag2,
MV].
Dans cet article nous étendons le Théorèmede Cobham à des
systèmes
de numération "non-standard" :Théorème 1. Soient U et V deux
systèmes
de numération deBertrand,
a et
Q
deux(j-nombres multiplicativement indépendants
tels queL(U) =
L(a)
etL(V)
=L(~3),
et E un ensemble d’entierspositifs.
Si E est U-reconnaissable et V -reconnaissable alors E est une réunionfinie
depro-gressions arithmétiques.
Ce théorème étend les résultats de Bès
[Bes]
et deFagnot
[Fag2]
qui
con-sidérent le cas où a et
~3
sont des nombres de Pisot dont lespolynômes
minimaux sont lespolynômes caractéristiques
des relations de récurrencedéfinissant U et V. Nous ne faisons
d’hypothèse
de cetype
et les méthodesemployées
sont totalement différentes.Gardons les notations du Théorème 1. Dans
[Fa2]
Fabre montreque E
est U-reconnaissable si et seulement si sa suite
caractéristique
estwa-substitutive. Ce résultat est
rappelé
dans la section5,
Théorème 22. Cela induit une formulationéquivalente
du Théorème 1 en termes de substitu-tions. Pour cette raison les sections2,
3 et 4 sont consacrées auxsubstitu-tions.
La Section 2 est consacrée aux définitions liées aux substitutions. Nous y
rappelons
la notion de mot deretour,
ainsi quequelques
unes de leurspro-priétés
obtenues dans[Dul,
Du2,
DHS].
Nous y ferons souvent référence.Dans la section 3 nous étendons aux
langages
substitutifsprimitifs
unrésultat obtenu dans
[Du2]
Théorème 2. Soient a et
3
deux réels. Soient x et y deux suitesnon-périodiques
respectivement
a-substitutiveprimitive
et(j-substitutive
primi-tive telles que
L(x)
=L(y).
Alors aet,û
sontmultiplicativement dépendants.
Dans[Fagl]
le même résultat a été obtenu pour leslangages
engendrés
pardes substitutions
(non-nécessairement
primitives)
delongueur
constante.Ensuite nous faisons
quelques
remarques sur lessystèmes dynamiques
en-gendrés
par des substitutions. Dans la Section 4 nous étendons le Théorème2 aux
langages
substitutifs(non-nécessairement primitifs)
engendré
par dessubstitutions se
projetant
sur des substitutionsprimitives
et vérifiant unecondition leur évitant d’être
"trop
lacunaires"(Proposition 18).
La Section5 a pour but de
rappeler
les résultatsclassiques
concernant lessystèmes
de numération et la notion de reconnaissabilité d’ensembles d’entiers. Cesrappels
étant faits nous utilisons les résultats des sectionsprécédentes
etun résultat de Hansel
[Ha2]
concernant lasyndéticité
d’ensembles d’entiers afin de prouver le Théorème 1.2.
DÉFINITIONS,
TERMINOLOGIE ET RAPPELS2.1. Mots et suites. Un
alphabet
est un ensemblefini,
ses éléments sontdes lettres. Soit A un
alphabet,
un mot sur A est un élément du monoïdelibre,
notéA*,
engrendré
par A. Soit x =n -1)
un mot surA,
salongueur
est n et se notelx 1 .
Le mot vide se note E,Ifl
= 0. L’ensemble des mots non-vides de A* se noteA+.
L’ensembleAN
estcomposé
de suites. Si x = est une suite sur A(avec
xi EA,
i E
N)
et I =~1~, t)
un intervalle deN,
nous posons xi =XI ;
xi est un
f acteur
de x.Lorsque
1~ = 0 le mot xi estappelé
préfixe
de x. L’ensemble des facteurs delongueur n
de x se noteLn (x)
et l’ensemble des facteurs de x, c’est à dire letangage
de x, se noteL(x).
Les occurrencesd’un mot u de
L(x)
sont les entiers i tels que = ~c.Lorsque
x estun mot nous utilisons la même
terminologie
et des définitionsanalogues.
Soient u et v deux
mots,
nous notons le nombre d’occurences de u dans v. Le mot u est unsuffixe
de vlorsqu’il
existe un mot x E A* tel quev = xu.
La suite x est ultimement
périodique
s’il existe un mot u et un motnon-vide v tels que x = où v’ est la concaténation infinie du mot v.
Quand u
sera le mot vide nous dirons que x estpériodique.
Une suite estnon-périodique
si elle n’est pas ultimementpériodique.
La suite x est
uniformément
récurrente si pourchaque
facteur u de x ilexiste une constante K telle que pour toutes occurrences successives i et
j
de u dans x nousavons Ii - j
K. On ditégalement
que tout facteurapparaît
à lacunes bornées dans x.2.2.
Morphismes
et matrices. SoientA,
B et C troisalphabets.
Unmorphisme
T est uneapplication
de A dans B*. Unmorphisme
définit parconcaténation une
application
de A* dans B*. SiT(A)
est inclus dansB+,
cela définit uneapplication
deAN
dansB~.
Par abus nous notons toutesces
applications
T.A un
morphisme
T, de A dansB*,
est associé la matriceMT =
où est le nombre d’occurrences de la lettre i dans le mot
T(j).
A lacomposition
demorphismes correspond
lamultiplication
de matrices. Parexemple,
soient Tl : B -~C*,
T2 : A -~ B* et T3 : A - C* troismorphismes
tels que T1T2 =
T3. Nous avons
l’égalité
suivante :MT3 .
Enparticulier
si T est unmorphisme
de A dans A* nous avonsMrn
=Mn.
Toute matrice carrée M à coefficients
positifs
a une valeur propre réellepositive
r,ayant
un vecteur propre à coefficientspositifs,
telle que le module de toute autre valeur propre de M a un module est inférieur ouégal
à r. Nousl’appelons
la vateur propre dominante de M(voir
[LM]).
Unematrice carrée est
primitive
si elle a unepuissance
dont les coefficients sontstrictement
positifs.
Unmorphisme
de A dans A* estprimitif
si sa matricel’est. Dans ce cas la valeur propre dominante est une racine
simple
dupolynôme caractéristique,
elle est strictementsupérieure
au module de toute autre valeur propre et elle a un vecteur propre à coordonnées strictement2.3. Substitutions et suites substitutives. Une substitutions est un
tri-plet
(7,A,a),
où A est unalphabet,
a est une lettre de A telle que lapremière
lettre du motT(a)
est a et T est unmorphisme
de A dans A* tel que17n(b)1
I
= +oo pour toute lettre b de A. Poursimplifier
l’écriture nous écrirons souvent T au lieu de(T, A, a).
Soit
(T, A, a)
une substitution. Il existe uneunique
suite x =(xn; n E ~
deAN
telle que xo = a etT(x)
= x. La suite x est lepoint
fixe
de T, nous lenotons Nous posons
L(T) = L (xT ) .
Quitte
àprendre
unsous-alphabet
de A on
peut
toujours
supposer que A estégal
à l’ensemble des lettresayant
une occurrence dans xT.
Si
(T,
A,
a)
est une substitutionprimitive
alors la suitexT
est uniformément récurrente(pour
plus
de détails voir[Qu]).
Soient A et B deux
alphabets,
lemorphisme 0
de A dans B* est unmor-phisme
lettre à lettre si~(A) -
B. Une suite y est substitutive(resp.
substitutivesprimitive)
s’il existe une substitution(resp.
substitutionprim-itive)
T et unmorphisme
lettre àlettre 0
tels que y =0(x,).
Nous dironségalement
que y estengendrée
par T. Cette suite est a-snbstitntive si a estla valeur propre dominante de T
(i.e.
deMT).
Remarquons
que les suitessubstitutives
primitives
sont uniformément récurrentes.Une
légère réorganisation
de la preuve de laProposition
3.1 dans[Dul]
permet
d’établir laproposition
suivante.Proposition
3. Soient x une suite a-substitutive surA,
B unalphabet
et cp unmorphisme
de A dansB+.
Alors il existe n E N tel que la suite est Deplus
si x est a-substitutiveprimitive
alors il existen E N tel que
~p(x)
est an-substitutiveprimitive.
Preuve. Il existe une substitution
(Ç,
C,
e)
depoint
fixe y et unmorphisme
lettre à lettre p de C dans A* tels que x =
p(y).
Posons §
=cpp, nous avons
Soient D = défini par:
le
morphisme
Il existe un entier n tel que
l(n(c)1 ~ 10(c)l 1
pour tout c dans C.Pour tout c dans C nous avons
par
conséquent
T(W(y)) =
9(Ç’~(y)) = e(y).
Ainsi W(y)
est lepoint
fixe de la substitution(T,
D,
(e,
0))
etT9 =
Deplus
remarquons que la valeur propre dominante de T est an.Soit x
lemorphisme
lettre à lettre de D dans B défini parX((c, k)) _
pour tout(c, k)
dans D. Pour tout c dans C on obtientpuis
X(~(y)) _ 0(y).
Parconséquent
cp(x)
est a’~-substitutive.La relation
".1/7 =
implique
que pour tout k E N nous avonsi-ke
Par
conséquent si (
estprimitive
alors T l’estégalement
et si x esta-substitutive
primitive
alorscp(x)
est an-substitutiveprimitive.
D Le résultat suivant est le résultatprincipal
de l’article[Du2].
Ilpeut
être vu comme unegénéralisation
du Théorème de Cobham pour les substitutionsprimitives.
Théorème 4. Soient a et
(3
deux réels et x une suitenon-périodique
qui
est a-substitutive
primitive
et~3-substitutive
primitive.
Alors a et~3
sontmultiplicativement dépendants.
Rappelons
un résultat essentiel sur la structure des suites substitutivesprimitives
établi dans[Dul]
(Théorème 4.4)
(mais
obtenuauparavant
dans[Mo]
pour lespoints
fixes de substitutionsprimitives)
qui
sera utile dans lapreuve du Théorème 1.
Théorème 5. Soit x une suite substitutive
primitive
non-périodique.
Alorsil existe un. entier N tel que
u~’ appartient
àL(x)
si et seulement si u estle mot vide.
2.4. Mots de retour. Dans toute cette sous-section x sera une suite
uni-formément récurrente sur
l’alphabet
A et u un mot deL(x).
Un mot w estun mot de retour sur u de x s’il existe deux occurrences
successives, i
et j,
de u dans x telles que w =
La suite x étant uniformément récurrente l’ensemble des mots de retour sur
u, que nous notons est fini. On
peut
vérifier sanspeine
qu’un
mot west un mot de retour sur u si et seulement s’il satisfait les trois conditions suivantes :
1. wu E
L(x) ;
2. u est un
préfixe
de wu ;Remarquons qu’un
mot deL(x)
vérifiant 1. et 2. est une concaténation demots de retour sur u.
Proposition
6.(Lemme
3.2 dans[Dul])
Soit x une suiteuniformément
récurrente
non-périodique,
alorsMunissons de l’ordre total suivant :
w v,
w, v ERu,
si et seulement si lapremière
occurrence de wu dans x est inférieure ouégale
à lapremière
occurrence de vu dans x. Cet ordre définit une
bijection
Ru - Ru
CA*,
oùRu
={l,... ,
de lafaçon
suivante : est le ~ememot de retour pour cet ordre.
Proposition
7.([Dul, DHS])
Les
applications
A* et811. :
AN
sontinjectives.
Cette
proposition
nouspermet
de définir la notion de suite dérivéeintro-duite dans
[Dul].
Pour toutpréfixe v
de x la suite dérivée de x parrapport
à v est
l’unique
suiteDv (x)
surllv
telle que = x. Dans[Dul]
(Théorème 2.5)
a étéprouvée
la caractérisation suivante des suitessubsti-tutives
primitives.
Théorème 8. Soient A un
alphabet
et x une suite sur A. La suite x estsubstitutive
primitive
si et seulement si l’ensemble{Du (x);
upréfixe
dex}
est
fini.
Le théorème suivant a été
prouvé
dans[DHS] (Théorème
24 etProposition
25).
Théorème 9. Soit y urte suite substitutives
primitive
non-périodique. B
existe une constante K telle que : Pour tout mot u de
L(y)
1. Pour tout mot w
appartenant
àIwi :5
2.Card(R.) -5 K(K
+1)2.
L’inégalité
lwl
du théorèmeprécèdent implique
que le nombre d’occurrences du mot u dans un mot delongueur n
deL(y)
est inférieur ouégal
àKn/lul.
3. UN
THÉORÈME
DE COBHAM POUR LES LANGAGES SUBSTITUTIFS PRIMITIFSDans cette section nous allons prouver le Théorème 2. Avant d’en donner
une preuve
rappelons quelques
résultatsclassiques
sur les substitutions.Soient
(T, A, a)
une substitutionprimitive,
x sonpoint
fixe,
M samatrice,
a sa valeur propre dominante et v =(vi; i
EA)
un vecteur propre associé à a tel que 1.D’après
le Théorème de Perron-Frobenius cele vecteur
fréquence
de T(ou
dex).
Ce nom sejustifie
par leprochain
théorème. Soit u un mot de
A*,
nous notonsN(u) _
EA)
le vecteuroù nz est le nombre d’occurrences de la lettre i dans le mot u. Dans
[Qu]
(Théorème
V.13 et CorollaireV.14)
estprouvé
le résultat suivant.Théorème 10. Soient
(T, A, a)
une substitutionsprimitive,
x =(xn; n
EN)
sonpoint
fixe
et v =(vi; i
EA)
le vecteurfréquence
de T. Alorsuniformément
en k.Autrement
dit,
pour tout i dans A lafréquence
de la lettre i dans x existeet vaut vi. Gardons les notations
qui précèdent
le Théorème 10. Soient Bun
alphabet,
p : A - B* unmorphisme
lettre àlettre,
P sa matrice et y = Nousappelons
vecteurfréquence
de Y le vecteur Pv.Remarquons
que la somme des coordonnées de ce vecteur vaut 1. La preuve du corollaire suivant est immédiate.Corollaire 11. Soient
(T,
A,
a)
une substitutionprimitive,
x sonpoint
fixe,
v son vecteurfréquence,
B unalphabet,
p : A --~ B* unmorphismes
lettre àlettre,
P sa matrice et y =(Yn;
n E Alorsuniformément
en k.Rappelons
un résultat établi dans[Du1]
(Proposition
5.1).
Proposition
12. Soient x lepoint
fixe
de la substitutionprimitive
(T,
A,
a)
et v l’un de ses
préfixes
non-vides. Alors la suite dérivéeDv(x)
est lepoint
fixe
de la substitutionprimitive
définie
parOvTV
=Remarquons
dans laproposition précèdente
que les substitutions(T,
A,
a)
et
(Í v, Ru,
1)
ont la même valeur propre dominante.Lemme 13. Soient y une suite a-substitutive
primitive
et u unpréfixe
dey. La suite
Du(y)
estok -substitutive primitive
pour un certain entier k.Preuve. Soient cp un
morphisme
lettre àlettre ,
T une substitutionprimitive
(dont
la valeur propre dominante esta)
et x sonpoint
fixe tels quecp(x)
= y. Soit vl’unique
préfixe
de x tel quecp(v)
= u. Si w est un mot de retour surv alors
cp(w)
est une concaténation de mots de retour sur u.L’application
eu
étantinjective
(Proposition
7)
celapermet
de définir lemorphisme
À :R*
parOua
=cpev.
Cemorphisme
vérifie =Du(y).
Preuve du Théorème 2.
D’après
le Théorème 8 il existe une suite depréfixes
(ui; i
EN)
de x vérifiant pour tout ie ui est un
préfixe
strict de ui+l(i.e.
ui+1 )
etNotons que x est an-substitutive
primitive
pour un certain n(Lemme 13).
Soient une telle suite et e
l’unique
suite depréfixes
de y vérifiant pour tout ie ui est un sufhxe
de Vi
et. Vi a exactement une occurrence de ui ; nous posons vi =
diUi.
Les suites x et y étant uniformément récurrentes nous pouvons supposer
(Proposition
6)
que, pour tout i EN,
chaque
mot de retour sur ui(resp.
Vi)
a une occurrence danschaque
mot de retour sur ui+l(resp. vi+1 ).
Rappelons
(Théorème 9)
qu’il
existe un réel K tel que pour tout mot u EL(x) = L(y)
et tout mot v E7Z~
nous avonsIul/ K :5
Klul,
puis
remarquons que pour tout i dans N le
mot di
est un suffixe d’un mot deretour sur ui . Ceci
implique
que1 vi
(K
pour tout i e N.D’après
le Théorème8,
quitte
àprendre
une suite extraite de EN),
nous pouvons supposer que pour tout i E N nous avons
Vvi
(y)
=(y) =
y. Donc y
est(3m-substitutive primitive
pour un certain(Lemme
13).
Rappelons
que si u est unpréfixe
de x alorsRu
désigne l’alphabet
de lasuite
Du(x).
Pour tout i E N nous avonsRui+l =
Rui
etRv; .
Posons
Ruo =
C etRz,o
= D etrappelons
que xappartient
àC~ et y
àD~.
Soient i e N et b E D. Le mot
appartient
àL(x)
donc8Vi
(b) di
yappartient
également. Puisque vi
est unpréfixe
de8Vi
(b)vi,
il existe un mot t tel que
ditui
et tel que ui est unpréfixe
detui. Donc t est une concaténation de mots de retour sur u2, autrement dit
il existe un
unique
mot dansR:i
tel que t = Ceci définitun
morphisme
pi : D - C* vérifiant8Vi(b)di
=di8ui(pi(b)).
Remarquons
que si s est un élément de
L (ÿ)
alors nous avonségalement
di8ui(pi(S))
=8Vi
(s) di.
L’utilisation du Théorème 9
permet
de donner unemajoration
de lalongueur
de
pi ( b) .
Par
conséquent
l’ensemble {pi; i E N}
est fini.Quitte
àprendre
une suiteextraite nous pouvons supposer que pj+1 = p pour tous les entiers
positifs j.
Soit i E N.
Puisque
les mots de retour sur u2 sont des concaténations dedéfinir une
substitution Qg :
C -- C* par8uoai
=8Ui.
Cette substitutionest
primitive
carchaque
mot de retour sur uo a une occurrence danschaque
mot de retour sur ui. Elle a pour
point
fixe la suite X. En effet nous avonsor
Ouo
estinjective
(Proposition 7)
d’oùQ(X)
= X.De même nous définissons la substitution
primitive
Ti : D -~ D* par8vo ’Ti
=8Vi.
Elle a pourpoint
fixe la suite.
Soient
â
et Q’
les valeurs propres dominantesrespectives de ai
et T2. Il vient que x(resp. )
est an-substitutiveprimitive
eta~-substitutive
prim-itive
(resp.
(3m-substitutive primitive
et0’-substitutives
primitive).
Le Théorème 4implique
que an eta’
(resp.
Q’
et~i~ )
sontmultiplicative-ment
indépendants,
i.e. il existe deux rationnelspositifs
piet qi
tels que api soit la valeur propre dominantede Q2
et,Qqz
celle de Ti.Soit w E
L (ÿ),
nous avonsAppelons
v le vecteurfréquence
dey.
D’après
le Théorème 10 nous avonsoù
Il.11 ( est
la norme définie( _
1 vII 1+. - ~+~vn ~.
Remarquons
que
uip(w)
appartient
àL(x)
etappelons
u le vecteurfréquence
de x. Enappliquant
de nouveau le Théorème 10 nous obtenonsAinsi nous obtenons
Notons que les constantes ci et c2 ne
dépendent
pas de i. Avec desconsidérations
analogues
nous montronsqu’il
existe une constante c3 nedépendant
pas de i telle queNous obtenons
C1C2o:Pi
=Soit j
un entierpositif
distinct de i. Les suites(pi; i E N)
et(qi; i
eN)
tendant vers l’infini nous pouvons supposerpi p j
et qi
Ainsi estégal
à i.e. a etQ
sontUne remarque sur les
systèmes dynamiques
substitutifs. Unsys-tème
dynamique
est uncouple
(X,T)
où X est un espacemétrique
compact
et T un
homéomorphisme
de X sur X. Deuxsystèmes dynamiques
(X,
T)
et
(Y, S)
sontisomorphes
s’il existe unebijection
continuef :
X - Y telleque
f o T = S o f .
On dit que
(X, T)
est unsystèmes dynamiques symbolique
surl’alphabet
A
(ou
subshi f t
surA)
lorsque
X est un fermé deA~
(pour
latopologie
produit
infini destopologies
discrètes)
tel queT(X)
= X où T :A~ -3 A~
est défini par =
(Xn+1; nEZ)
pour tout E4z.
Soit x = E
4z.
Posonsl1(x) = {y
E4z; L (x)
=L (y) }.
Onvérifie aisément que
(!1(x),
T)
est unsystème dynamique,
nous dirons quec’est le
système dynamique
engendré
par x.Soient x une suite a-substitutive
primitive
et(X, T)
lesystème
dynamique
engendré
par x(i.e.
X =l1(x)).
PosonsI(X, T)
= à où a est la classed’équivalence
de a pour la relationd’équivalence
définie surR+
parQ
m qsi et seulement si
(3
et 1 sontmultiplicativement dépendants.
Le Théorème 2implique
queI(X,
T)
est un invariantd’isomorphisme
pour lessystèmes
dynamiques
engendrés
par des suites substitutivesprimitives.
Théorème 14. Soient
(X,
T)
et(Y,
T)
deuxsystèmes dynamiques
engen-drés par des substitutionsprimitives.
Si(X,
T)
et(Y, T)
sontisomorphes
alors
I(X,T)
=I(Y,T).
La
réciproque
n’est pas vraie car les substitutions Q et T, définiesrespec-tivement par
ont la même valeur propre dominante
a2
où a =(1
+q$) /2
mais leurgroupe de
dimension,
respectivement(Z2,
{(x,
y)
EZ2;
X + ay >0}, (3, 5))
et(Z~,
{(x,
y,z)
EZ3;
ax +2y
+ z >0}, (2, o, -1)),
ne sont pasisomorphes
(pour
plus
de détails voir[DHS]).
4. LE CAS DES LANGAGES SUBSTITUTIFS QUI NE SONT PAS PRIMITIFS
4.1.
Décomposition
d’une substitution en sous-substitutions. Laproposition
suivante est uneconséquence
duparagraphe
4.4 et de laPropo-sition 4.5.6 de
[LM].
Proposition
15. Soit M = une matrice àcoefficients
positifs
p ~
0,
q,l,
oùq
l -1,
et unepartition
~A~;1
il }
de A tels queoù les matrices
Mz,1 i
q(resp.
q+1
il) ,
sontprimitives
ou nulles(resp. pr2mitives),
et tels que pour tout 1 iq il
existe i +1 j t
telque la
matriceMi,j
soit non-nulle.Dans ce
qui
suit nousgardons
les notations de laProposition
15. Nous dirons que{~; 1
i1}
est lapartition
encomposantes
primitives
de A(par
rapport
àM).
Si iappartient
à{ç
+1, ... ,
l}
nous dironsque Ai
estune
composante
primitive principale
de A(par
rapport
àM).
Soient
(T, A, a)
une substitution et ~VI = sa matrice. Soit i Eq
+1,... ,
l}.
Nous noterons 7j la restriction1Ai :
IAi -
A* de TP àAi.
Puisque
CAi
nous pouvons considérer que T2 est unmorphisme
deAi
dansA~
dont la matrice estMi.
Soient iE ~ 1, ~ ~ ~ , q}
tel quelVli
soit non-nulle.Définissons cp2
lemorphisme
de A dansAi
qui
à b associe b si bappartient à Ai
et le mot vide sinon. Considéronsl’application
ri :Ai -~
A* définie par
Ti (b)
= pour tout a eAi . Remarquons
commeprécédemment
queTi(Ai)
CAi,
parconséquent
Ti définit unmorphisme
deAi
dansAi
dont la matrice estlVla.
Nous dirons que la substitution
(T, A, a)
vérifie la condition(C)
si: C 1. La matrice.lVl,
elle-même,
se met sous la forme(2)
(i.e.
p= 1) ;
C2. Les matrices
Mi
sont nulles ou à coefficients strictementpositifs
si1 i q et à coefficients strictement
positifs
sinon ;
C3. Pour toute matrice
Mi
non-nulle, i
E{1,’" 11,
ilexiste ai
E Ai
tel queTi(ai)
= aiuzoù ui
est un mot non-vide de A* siMi =1
[1]
et videsinon.
D’après
laProposition
15 toute substitution(T, A, a)
a unepuissance
Soient
(T, A, a)
une substitution vérifiant la condition(C)
(nous
gardons
les mêmes notations que
précédemment).
Pour tout 1 i 1 tel queN.la
soit non-nulle et différente de la matrice[1],
l’application
ri :Ai
définit une substitution que nous
appellerons
sous-substitutionprincipale
de T si i Efq
+1, ... ,
l~
et sous-substitutionnon-principale
deT sinon. De
plus
la matriceMi
étant à coefficients strictementpositifs
celaimplique
que la substitution estprimitive. Remarquons qu’il
existe au moins une sous-substitutionprincipale.
Lemme 16. Soient
(Q, A, a)
et(T, B, b)
denx substitutionsvérifiant
lacon-ditzon
(C),
D unalphabet,
cp : A - D*et 0 :
B - D* deuxmorphismes
dettre à lettre tels que
~p(L(T)) _ fjJ(L(u)).
Si 7 est urce sous-substitutionprincipale
de a alors il existe une sous-substitutionprincipale
r de T telleque
~P(L(T)) _
Preuve. Soit
(~,~,0)
une sous-substitutionprincipale
de a. Pour toutn E N définissons
kn
leplus grand
entier k pourlequel
il existe une lettre c E B telle que ait une occurrence dans0(e(ii».
L’alphabet
B étant fini il existe une lettre c E B et deux suites d’entiers strictement
croissantes,
(in;n
(extraite
de EFQ)
et( jn; n
EN),
telles que(c))
ait une occurrence dans(a))
pour tout n E N.Dans ce
qui
suit nous utilisons les notations de laProposition
15(pour
la matriceB).
Montrons que le motr2l
(c)
a une occurrence d’une lettreb
appartenant
à unecomposante
primitive
principale
B de B.Soit d E
Bi
avec1~~.
Si Mi = 0
alors il telsque
d~
ait une occurrence dansr(d) (car
aucune des colonnescorrespondant
à
Bi
n’estnulle).
D’autre
part
siMi ~
0(i.e.
Mi
est à coefficients strictementpositifs)
alors il tels qued~
ait une occurrence dansr2(d)
(car
il existe i + 1 k l tel que
Mi,k
estnon-nulle).
Donc,
par inductionfinie,
pour tout e dans B le motr2l
(e)
a une occurrenced’une lettre
appartenant
à unecomposante
primitive
de B. A fortioriT~~ (c)
a une occurrence d’unelettre 6
appartenant
à unecomposante
primitive
principale
B de B._
Par
conséquent
la sous-substitutionprincipale Y
associée à B est telle que{~(~"~(6));~ 2013
21 >0, n
EN}
est contenu dansfjJ( L(Cf) ).
Les substitu-tions 7 et De étantprimitives
leurspoints
fixes sont uniformémentrécurrents,
nous en déduisons
O(L(D:».
CI4.2. Le cas des substitutions se
projetant
sur des substitutionsprimitives.
La définition suivante a été introduite dans[Fa2]
(voir
égale-ment
~BH1, BH2])
afin d’étendre le Théorème de Cobham à dessystèmes
de numération non-standard.Définition. Soient
A,
a)
et(T,
B,
b)
deux substitutions. Nous dirons queA,
a)
seprojette
sur(T,
B,
b)
s’il existe unmorphisme
lettre à lettrecp : A -~ B* tel que
cp(a)
= b et que pour toute lettre c E ARemarques.
Soient x et y lespoints
fixesrespectifs
de Q et T. Notons que~p(x)
= y et que = pour tout n EN,
i.e.(an,
A,
a)
seprojette
sur(Tn,
B,
b)
pour tout n E N.Soit ~c
(resp. v)
un vecteur propre, à coefficientspositifs
ounuls,
de lavaleur propre dominante a
(resp. /3)
deMu
(resp.
deMT ,
latransposée
dela matrice de
T).
Puisque
p est unmorphisme
lettre à lettreMvu
estnon-nulle. Donc a est une valeur propre de
MT
(car
a(M~u)
=M,(Mu»
eta
{3.
Montrons que{3
est inférieur à a. Si(vT)Mcp
est nulle alorsp(A) #
B. Celaimpliquerait
l’existence d’au moins une lettre de Bn’apparaissant
pas dans y, ce
qui
n’est paspossible.
Parconséquent
les valeurs propresdominantes des matrices de a et de T sont
identiques.
Exemple.
Il estpossible qu’une
substitutionnon-primitive
seprojette
sur une substitutionprimitive.
Soient(a,
{a, b, c}, a)
et(T, ~{o,1}, o)
deux substitutions et ~p :{a,
b,
c}
~~0,1}~
lemorphisme
définis parLa substitution T est
primitive
sans que u le soit.Lemme 17. Soit
A,
a)
une substitutionsvérifiant
la condition(C)
etse
projetant
sur une substitutionsprimitive
(T, B, b).
Soita’
unesous-substitutions de or. Si a’ est
principale
alors a’ et 7 ont la même valeur propredominarcte,
sinon la valeur propre domircante de Q’ est strictementintérieure
à celle de T.Preuve.
Soit e :
A -~ B* unmorphisme
lettre à lettre tel que = SoientAi, " ’ ,
AI
lescomposantes
primitives
de A(par
rapport
àMu)
etq l
- 1 l’entier telque Ai
estprincipale
si et seulement si q + 1 i l. Soient orl, ol les sous-substitutions de a associéesrespectivement
àA1~...
~Al.
Soit q +
1 i l,
nousnotons 1/Ji
la restrictionde 1b
àAi.
Nous avons9jaj(e) =
pour tout e EAi.
Une remarque faiteprécédemment
indique
que les valeurs propres dominantes de 7 et ai sontidentiques.
Lapremière partie
du lemme estprouvée.
Soit 0 i q. Par définition des sous-substitutions la matrice de ai, est à coefficients strictement
positifs
et différente de la matrice[1].
Soient a etQ
les valeurs propres dominantesrespectives
des substitutionsprimitives
T et oi. Un résultatclassique
sur les substitutionsprimitives
([Qu],
Proposition
V.7)
donne l’existence de deux constantespositives
non-nulles
I1
etK2
telles quepour tout n E
N,
tout d E B et tout c EAi.
Soit c EAZ,
nous avons pourtout n E N
Par
conséquent ,Q
a. Nous allons montrer quel’inégalité
eststricte ;
i.e.a ~ ,~.
Soit c E
Ai.
Comme dans la preuve du Lemme 16 il existe une lettref ,
appartenant
à unecomposante
primitive principale
A~,
ayant
une occur-rence dans Posons s = 2t.Puisque f appartient
àAj
nous avonsunef)
=ojn (f ),
n E N. La valeur propre dominante de la substitutionprimitive
Aj
est a(car
q +1 j
1)
parconséquent
pour toutn E N nous avons
D’après,
laProposition
V.7 et laProposition
V.9 de[Qu]
il existe unecon-stante L > 0 telle que pour tout n E N
Ainsi pour tout n e N et tout k E N* nous avons
Par
conséquent
pour tout n E
N,
parconséquent a =F /3.
D Soient A unalphabet
et x une suite sur A. Nous dirons que x est à puis-sances de mots bornées s’il existe un entierpositif
k tel que :~c~
EL(x)
si et seulement si u est le mot vide. Nous dironsqu’un langage
L C A* vérifie la condition(*)
s’il estfactoriel
(i.e.
si tous les motsayant
une occurrencedans un mot de L
appartiennent
àL)
et s’il existe une suite y EAN
àpuissances
de mots bornées telle queL(y)
C L. Autrementdit,
unlangage
L vérifie la condition
(*)
si et seulement s’il existe un entierpositif k
etune infinité de mots
appartenant
à Ln’ayant
pas d’occurrence depuissance
k-ième de mot non-vide. L’une desimplications
estdirecte,
montrons laréciproque. Supposons
que lelangage
L est telqu’il
existe un entier k etune infinité de mots
appartenant
à Ln’ayant
pas d’occurrence depuissance
k-ième de mot non-vide.Appelons
~C l’ensemble des mots de Ln’ayant
pasd’occurrence de
puissance
k-ième de mot non-vide. L’ensemble ,C étant in-fini etl’alphabet
étant fini il existe une suite i EN)
d’éléments de ,C telle que ~ci est unpréfixe
de ui+1 etlUit
lui+ll [
pour tout i E N. Soit yl’unique
suite de4N
telle que pour tout i E N le mot uj est unpréfixe
dey.
Puisque
L(y)
est contenu dans,C,
y est àpuissances
de mots bornées. Nous dirons que x EAN
vérifie la condition(*)
siL(x)
la vérifie.La
proposition
suivante est centrale dans la preuve du résultatprincipal
de la section suivante.Proposition
18. Soient(Q,
A,
a)
et(T,
B,
b)
dieuxsubstitutions,
seproje-tant
respectivement
sur les substitutionsprimitives
(a’,
A’,
a’)
et(T’,
B’ ,
b’),
tellesqu’il
existe deuxmorphismes
lettre à lettre cp : A - C* :C*
vérifiant
cp(L(u)) =
= L. Si Lvéri,fie
la conditions(*)
alors les valeurs propres dominantes de o et de T sontmultiplicativement
dépendantes.
Preuve.
Quitte
àprendre
et(Tk, B, b),
pour un certaink,
nouspouvons supposer que et
(T, B, b)
vérifient la condition(C).
Pour commencer montronsqu’il
existe nécessairement une sous-substitutionprincipale
57 de u depoint
fixe z tel que n’est paspériodique.
Supposons
que lelangage
L vérifie la condition(*):
il existe une suitey E
C~
telle que y soit àpuissances
de mots bornées. En utilisant desarguments
analogues
à ceux de la preuve du Lemme 16 nous montronsqu’il
existe une sous-substitution
principale
(Q,
A,
a)
de ~, une lettre c E A et unesuite d’entiers strictement croissante
(in; n
EN)
telles que EN})
cL(y).
Soit z lepoint
fixe de 0:.Puisque
y n’est paspériodique,
~p(z)
ne l’est pas non
plus.
D’après
le Lemme 16 il existe une sous-substitutionprincipale,
que nousnotons
(~B,6),
de(T, B, b)
telle quecp(L(~)) -
D’après
le Théorème 2 zf et 1 ont des valeurs propres dominantesmultiplicativement
dépendantes.
Le Lemme 17permet
de conclure : les valeurs propres dom-inantes et T sontmultiplicativement dépendantes.
D5.
SYSTÈMES
DENUMÉRATION
ET ENSEMBLES U-RECONNAISSABLES 5.1. Définitions etrappels.
Unsystème
de numération est une suiteU =
(Un; n
EN)
strictement croissante d’entiers telle que1.
Uo=1,
2. l’ensemble
1 Un ; n
EN}
est bornésupérieurement.
Soient U = un
système
de numération et c la bornesupérieure
entière
supérieure
de c. En utilisantl’algorithme
d’Euclide nous pouvonsécrire de
façon unique chaque
entierpositif x
sous la formei.e. i est
l’unique
entier tel queU~
x et xi = x,Xj =
ajuj
+Xj-l,
j
E f 1) * , * i },
où aj est lequotient
de la division euclidiennede x j
parUj
et lereste,
et ao = xo. Nous dirons que = ai ~ ~ ~ ao est laU-représerctation
de x et nous posonsNous dirons
qu’un
ensemble E C N est U-reconnaissable si lelangage
E E
E}
est reconnaissable par un automate. Pour la notion delangage
reconnaissable par automate nousdirigeons
le lecteur vers[Ei].
Nous dirons que U est linéaire s’il est défini par une relation derécurrence
linéaire,
i.e. s’il existe k Edl,... , dk
EZ,
0,
tels que pour tout n > kLe
polynôme
P(X)
= X~ -
d1Xk-1 - ... -
dk
estappelé polynôme
caractéristique
de U. Dans[Sh]
Shallit a montré :Théorème 19. Soit U un
système
de numération. S’i N est U-reconnaissable alors U est linéaire.5.2.
Systèmes
de numération de Bertrand. Unsystème
de numération U est de Bertrand[Ber3]
si : w EL(U)
si et seulement si EL(U)
pour tout n E N. C’est une condition naturellepuisque
tous lessystèmes
de numération en base la vérifient.Soit a > 1 un réel
positif.
Tout x E[0, 1]
s’écrit defaçon
unique
sous laforme
avec xl = x et pour tout n >
1,
an = et où[.]
désigne
lapartie
entière inférieure et~.}
lapartie
fractionnaire(pour
plus
de détails voir[Par]).
Nousappelons a-développement
de x la suite(an; n
ENous notons
L(a)
l’ensemble des mots finisayant
une occurrence dansl’une des suites E
[0,1].
Si est ultimementpériodique
nousdirons que a est un
(3-nombre
(pour
plus
de détails sur ces nombres voir[Par]).
Bertrand-Mathis a montré les résultats suivants:Théorème 20.
[Ber3]
Soit U unsystème
de numération. C’est unsystème
de Bertrand si et seulement s’il existe un réel a > 1 tel que
L(U)
=L(a).
Dans ce cas si U est linéaire alors a est une racine du
polynôme
Théorème 21.
[Berl]
Soit a > 1 un réel. Lelangage
L(a)
est reconnaiss-able par automate si et seulement si a estun (3-nombre.
5.3. Les suites
wa-subst itut ives.
Pour tout,Q-nombre
a définissons lasubstitution de la
façon
suivante[Fa2] :
e Si = al ~ ~ ~
an ~
0,
alors(cva, 11, - - - , ?T’}, 1)
est définie par. Si = oi ... où n et
m sont minimaux
et où an+l + an+2 + ... +
0,
alors(w~z , ( 1 , ... ,
n +m~,1 )
estdéfinie par
Remarquons
que dans les deux cas la substitution wa estprimitive
et quea est la valeur propre dominante de Pour montrer cette dernière
propriété
il suffit de calculer lepolynôme caractéristique
de wa et d’exhiberun vecteur propre de a
ayant
des coordonnées strictementpositives.
Nousappellerons
wa-substitntion
toute substitutionqui
seprojette
sur lasub-stitution w, et nous
appellerons
suitewa-substitutive
(a-automatique
dans[Fa2])
toute suitequi
estl’image
par unmorphisme
lettre à lettre dupoint
fixe d’une
wa-substitution.
Dans[Fa2]
(Corollaire 1)
Fabre a montré lerésultat suivant :
Théorème 22. Soit U un
système
de Bertrand tel queL(U)
=L(a)
où aest un
(3-nombre.
Unepartie
E de ~1 est U-reconnaissable si et seulement si sa suitecaractéristique
(xn; n
El~
(i. e.
xn = 1 si n E E et xn = 0sinon)
estwa-substitutive.
5.4. Une
application
auxsystèmes
de numération. Nous dirons queE C N vérifie la condition
(*)
si sa suitecaractéristique
la vérifie.Proposition
23. Soient U et V deuxsystèmes
de numération de Bertrand tels queL(U)
=L(a)
etL(V)
= où a sont etE un ensemble d’entiers
positifs
U-reconnaissable et V -reconnaissable. SiE
vérifce ta
condition(*)
alors a sontmultiplicativement dépendants.
Preuve. Soit x la suitecaractéristique
de E.D’après
le Théorème 22 il existe deux substitutions et(T, B, b)
seprojetant
respectivement
sur wa et w/3, et deuxmorphismes
lettre àlettre p :
A --+~0,1}*
et 0 :
:B -~ ~ o,1 ~ *
tels que x =Puisque
les substitutionset wa sont
primitives
et que x vérifie la condition(*),
laProposition
18permet
de conclure. DL’énoncé de la
Proposition
23peut
êtrelégèrement
amélioré(sans
modifi-cation de lapreuve) :
Proposition
24. Soient U et V deuxsystèmes
de numération deBertrand,
a et
/3
deux/3-nombres
tels queL(U)
=L(a)
etL(V)
=L(,Q),
et E(resp.
E’)
un ensemble d’entierspositifs
U-reconnaissable(resp.
V-reconnaissabte)
dont la suite
caractéristique
est x(resp.
x’).
Si xvérifie
la condition(*)
et
L(x)
=L(x’)
alors a et(3
sontmultiplicativement dépendants.
Un ensemble E C N est
syndétique
s’il existep e N
tel que pour tout n E Non ait
E n [n,
n +p] 7~ 0 ;
i.e la lettre 1apparaît
à lacunes bornées dans la suitecaractéristique
de E. Récemment Hansel[Ha2]
aprouvé
un résultattrès
général
sur lasyndéticité
des ensembles d’entiers reconnaissables. Dansle cas
qui
nous intéresse son résultat s’énonce ainsi :Théorème 25. Soient U et V deux
systèmes
de numération de Bertrand tels queL(U)
=L(a)
etL(V)
= où aet Q
sontdeux {3-nombres
mul-tiplicativement indépendants.
Si E est un ensembleinfini
d’entierspositifs
U-reconnaissable et V-reconnaissable alors E est
syndétique.
Preuve du Théorème 1.
Supposons que E
est U-reconnaissable et V-recon-naissable. Soit x =(xn; n
E1)
la suitecaractéristique
de E. Soient A et B lesalphabets respectifs
de wa et Il existe deux substitutions(o~,
A’, a)
et(T,
B’,
b)
etquatre
morphismes
lettre à lettre cp :A’ -~
A*,
~p’ :
B’ -3B*,
0 (y) = 0’(z)
= x, où y =(yn; n
EN)
et z =(zn; n
EN)
sont lespoints
fixesrespectifs
des substitutions(0", A’ , a)
et(T,
B’,
b).
Soit
y‘
lepoint
fixe d’unecomposante
primitive principale De
de 0".Puisque
a et{3
sontmultiplicativement indépendants, E
ne vérifie pas la condition(*)
(c’est
laProposition
23).
Par
conséquent ’lj; (y’)
estpériodique
(c’est
le Théorème5).
= uw oùjul
est laplus
petite
période
de 0(y’).
Montrons que u
apparaît
à lacunes bornées dans x. Posons n =lui.
La suite = EN)
est lepoint
fixe de la substitution oùAn = An,
définie pour tout(ai ... an)
dansAn
paroù
u(a1 ... a~)
=bl ~ ~ ~ bk
(pour
plus
de détails voir la section V.4 de[Qu]).
bl
pour tout(bl
bn)
EAn.
Nous avons par = Qp, doncy(n)
est Wa-substitutive carDe la même
façon
nous montrons que la suite estWa-substitutive.
Soit F =
{
EN;
x[ii+n -il
=u}.
On remarque sans difficulté que la suitecaractéristique
de F est uneprojection
lettre à lettre dey(n)
maiségalement
dez~n~.
Parconséquent F
est U-reconnaissable etV-reconnaissable,
c’est le Théorème 22. Deplus D:
étant unecomposante
primitive
principale
deQ, u
apparaît
une infinité de fois dans x(i.e
F estinfini).
Parconséquent
F estsyndétique
(c’est
le Théorème25) ;
i.e uapparaît
à lacunes bornéesdans x.
Bien que x n’est pas nécessairement uniformément
récurrente,
la notionde mot de retour sur u a un sens. L’ensemble
nu
des mots de retour sur u est fini(car u
apparaît
à lacunes bornées dansx),
donc il existe i E N tel que tout w Ei) )
apparaît
une infinité de fois dans x. Deplus
le même raisonnement queprécédemment
montre que les motsw E
Ru
ni ) )
apparaissent
à lacunes bornées dans x.Soient w E
i»
et K = El~~
où(in ; n
EN)
est la suite strictement croissante des occurrences de wu dans x. Dans tout mot delongueur K
apparaît
le mot wu.Nous remarquons sans
peine
que pour tout n E N le mot unappartient
àL (x)
carL (y‘ )
est contenu dansL (x) .
Soit n EN tel que
>Alors le mot wu a une occurrence dans un et par
conséquent
ilexiste j
E N tel que w =uJ.
Celaimplique
que x est ultimementpériodique.
DRemerciements. Ce travail a été
partiellement supporté
par lepro-gramme "FONDAP-matematicas
aplicadas,
programa en modelamientoes-tocastico".
BIBLIOGRAPHIE
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(x03B8n)n~0, langages codés et 03B8-shift, Bull. Soc. Math. France 114 (1986), 271-323.
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