Analyse mathématique d'un modèle de digestion anaérobie avec phase d'hydrolyse

(1)

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Analyse mathématique d’un modèle de digestion anaérobie avec phase d’hydrolyse

Yessmine Daoud, N. Abdellatif, Jérôme Harmand

To cite this version:

Yessmine Daoud, N. Abdellatif, Jérôme Harmand. Analyse mathématique d’un modèle de digestion

anaérobie avec phase d’hydrolyse. TAMTAM 2015, May 2015, Tanger, Maroc. �hal-01617968�

(2)

7e colloque sur les Tendances des Applications en Math´ ematiques Tunisie Alg´ erie Maroc, Tanger 04 - 08 Mai 2015

Analyse math´ ematique d’un mod` ele de digestion ana´ erobie avec phase d’hydrolyse

Y. DAOUD

⁽¹⁾^∗

, N. ABDELLATIF

^(1,2)^∗∗

, J. HARMAND

⁽³⁾^∗∗∗

1

Universit´ e Tunis El-Manar, ENIT, LAMSIN, BP 37,1002 Tunis, Tunisie

2

Universit´ e de Manouba, Ecole nationale des sciences de l’informatique, Campus universitaire, 2010 Manouba,Tunisie

3

INRA UR0050, Laboratoire de Biotechnologie de l’Environnement Avenue des ´ Etangs, 11100 Narbonne, France et Modemic (Inra/Inria), UMR Mistea, 2 place Viala, 34060 Montpellier, France

∗

daoud-yessmine@yahoo.fr

∗∗

nahla.abdellatif@ensi.rnu.tn

∗∗∗

jerome.harmand@supagro.inra.fr

R´esum´e:

R´ ecemment, Weedermann et coll., [1] ont propos´ e un mod` ele de la digestion ana´ erobie en trois ´ etapes : l’acidogen` ese, l’ac´ etogen` ese et la m´ ethanogen` ese. L’´ etude faite dans [1], combine et ´ etend des r´ esultats r´ ecents de Sari et Hajji,[2], et de Hess et Bernard,[3], qui peuvent ˆ etre consid´ er´ es comme deux sous-mod` eles du mod` ele consid´ er´ e dans [1]. Or, il est ´ etabli que l’´ etape limitante de la digestion ana´ erobie est tr` es souvent l’´ etape d’hydrolyse. Rajoutant cette phase au mod` ele de Weedermann, nous ´ etudions ici un nouveau mod` ele en 4 ´ etapes. Dans un premier temps, on analyse les mod` eles propos´ es, avec et sans inhibition et on d´ etermine le nombre et la nature de leurs ´ equilibres ainsi que leur propri´ et´ es de stabilit´ e et leur r´ egion de stabilit´ e. Ensuite, on s’int´ eresse aux taux de production de l’hydrog` ene et du m´ ethane aux points d’´ equilibre. Pour chaque ´ equilibre, le taux de biogaz produit est d´ etermin´ e.

Mots cl´es:

digestion ana´ erobie, chemostat, stabilit´ e locale et globale, production de biogaz.

1 Analyse de mod` eles de la digestion ana´ erobie avec et sans inhibition

La digestion ana´ erobie (D.A.) est un processus naturel au cours duquel la mati` ere organique est transform´ ee en biogaz dans un milieu sans oxyg` ene par l’action d’un ´ ecosyst` eme microbien. Il est utilis´ e pour le traitement des eaux us´ ees ou des d´ echets et pr´ esente l’avantage de produire du m´ ethane et/ou de l’hydrog` ene. La digestion ana´ erobie est un processus en quatre ´ etapes comprenant l’hydrolyse, l’acidogen` ese, l’ac´ etogen` ese, et la m´ ethanogen` ese. Au cours de la premi` ere ´ etape, les mol´ ecules organiques complexes (X

0

) sont d´ ecompos´ ees en substrats simples(S). Pendant l’acidogen` ese, les bact´ eries acidog` enes (X

S

) convertissent le substrat (S ) en acide ac´ etique (A), acides gras volatiles (ou AGV) (V ) et alcools, hydrog` ene (H) et dioxyde de carbone. Ensuite, les AGV et les alcools sont utilis´ es par les bact´ eries ac´ etog` enes (X

V

) et convertis en acide ac´ etique (A) ainsi qu’en dioxyde de carbone et hydrog` ene (H). Dans la phase ﬁnale, les m´ ethanog` enes ac´ etoclastiques (X

A

) convertissent l’acide ac´ etique (A) en m´ ethane et en dioxyde de carbone, tandis que les m´ ethanog` enes hydrog´ en´ etrophes (X

H

) convertissent l’hydrog` ene (H ) et le dioxyde de carbone en m´ ethane.

La digestion ana´ erobie est inhib´ ee par un certain nombre de facteurs. Dans [1], deux d’entre eux sont int´ egr´ es: l’inhibition de la croissance des bact´ eries ac´ etog` enes par l’hydrog` ene et l’inhibition de la croissance des bact´ eries m´ ethanog` enes hydrog´ en´ etrophes par l’ac´ etate. Dans cette communication, nous consid` erons deux mod` eles distincts: un mod` ele sans inhibition et un mod` ele avec inhibition. Le mod` ele g´ en´ eral s’´ ecrit:











dX0

dt

= D(X

0in−

X

0

)

−

k

hyd

X

0 dS

dt

= D(S

in−

S )

−_c¹_s

g

S

(S)X

S

+ k

0

k

hyd

X

0 dX_S

dt

= (g

S

(S)

−

D)X

S dV

dt

=

−

DV + γ

sv

g

S

(S )X

S−_c¹_v

g

V

(V, H)X

V dX_V

dt

= (g

V

(V, H)

−

D)X

V dA

dt

=

−DA

+ γ

sa

g

S

(S)X

S

+ γ

va

g

V

(V, H)X

V−_c¹_a

g

A

(A)X

A dX_A

dt

= (g

A

(A)

−

D)X

A dH

dt

=

−DH

+ γ

sh

g

S

(S)X

S

+ γ

vh

g

V

(V, H)X

V −_c¹

h

g

H

(H, A)X

H dX_H

dt

= (g

H

(H, A)

−

D)X

H

.

(1)

o` u X

0in

et S

in

sont respectivement les concentrations de la mati` ere organique et celle du substrat ` a l’entr´ ee du ch´ emostat, D est le taux de dilution. k

hyd

, k

0

, c

s

, c

v

, c

a

, c

h

, γ

sv

, γ

sa

, γ

sh

, γ

va

, γ

vh

sont des param` etres de rendement tandis que g

V

(V, H ), g

H

(H, A), g

S

(S) et g

A

(A) sont les fonctions de croissance microbienne. Pour l = S, V, A et H, la fonction g

l

(l) est telle que: g

l

(0) = 0 et g

_l^′

(l) > 0.

Nous prouvons que pour toutes valeurs initiales positives, les solutions du sys. (1) restent positives et born´ ees pour tout t

≥

0.

1

(3)

7e colloque sur les Tendances des Applications en Math´ ematiques Tunisie Alg´ erie Maroc, Tanger 04 - 08 Mai 2015

1.1 Analyse du mod` ele de la digestion ana´ erobie sans inhibition

Ici la fonction de croissance microbienne g

V

(V, H ) ne d´ epend pas de H . On note g

V

(V ) = g

V

(V, 0). De mˆ eme, la fonction de croissance microbienne g

H

(H, A) ne d´ epend pas de A, on note g

H

(H ) = g

H

(H, 0).

Sous ces conditions, le syst` eme (1) s’´ ecrit sous la forme:

{ _dX₀

dt

= DX

0in−

(D + k

hyd

)X

0 dY

dt

= F (Y, X

0

). (2)

avec Y = (S, X

S

, V, X

V

, A, X

A

, H, X

H

). Une solution de (2) s’´ ecrit E = (X

0

, S, X

S

, V, X

V

, A, X

A

, H, X

H

).

L’´ etude des ´ equilibres du syst` eme (2) se d´ eduit de celle du syst` eme ´ etudi´ e dans [1] en utilisant le th´ eor` eme de Thi` eme, voir [4]. Le syst` eme (1) poss` ede neuf points d’´ equilibre, un ´ equilibre de lessivage E

l

= (X

0^∗

, S

^∗in

, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), sept ´ equilibres o` u l’extinction d’une ou plusieurs esp` eces a lieu et un ´ equilibre de coexistence de toutes les esp` eces

E

_∗

= (X

0^∗

, λ

S

, X

_S^∗

, λ

V

, c

v

(V

⁽⁰⁾−

λ

V

), λ

A

, c

a

(A

−

λ

A

), λ

H

, c

h

(H

−

λ

H

)), avec X

0^∗

= (

_D+k^D

hyd

)X

0in

, S

in^∗

= (

_D+k^k⁰^k^hyd

hyd

)X

0in

+ S

in

, X

S^∗

= c

s

(S

in^∗ −

λ

S

), V

⁽⁰⁾

= γ

sv

X

S^∗

, A

⁽⁰⁾

= γ

sa

X

S^∗

, H

⁽⁰⁾

= γ

sh

X

S^∗

, A = A

⁽⁰⁾

+ γ

va

c

v

(V

⁽⁰⁾−

λ

V

) et H = H

⁽⁰⁾

+ γ

vh

c

v

(V

⁽⁰⁾−

λ

V

).

Pour d´ eterminer les conditions d’existence des ´ equilibres ainsi que celles de leur stabilit´ e globale, notons pour l = S, V, A et H , λ

l

la valeur de l telle que: g

l

(λ

l

) = D, quand elle existe. Sinon, λ

l

= +∞.

Les r´ esultats sont donn´ es dans le tableau suivant:

L’´ equilibre Conditions d’existence Conditions de stabilit´ e globale

E

l

toujours S

^∗_in

< λ

S

E

0

S

_in^∗

> λ

S

A

⁽⁰⁾

< λ

A

, H

⁽⁰⁾

< λ

H

et V

⁽⁰⁾

< λ

V

E

H

⁽⁰⁾

> λ

H

A

⁽⁰⁾

< λ

A

et V

⁽⁰⁾

< λ

V

E

A

⁽⁰⁾

> λ

A

H

⁽⁰⁾

< λ

H

et V

⁽⁰⁾

< λ

V

E

AH

A

⁽⁰⁾

> λ

A

et H

⁽⁰⁾

> λ

H

V

⁽⁰⁾

< λ

V

E

V

⁽⁰⁾

> λ

V

A < λ

A

et H < λ

H

E

V H

V

⁽⁰⁾

> λ

V

et H > λ

H

A < λ

A

E

V A

V

⁽⁰⁾

> λ

V

et A > λ

A

H < λ

H

E

_∗

V

⁽⁰⁾

> λ

V

, A > λ

A

et H > λ

H

Lorsqu’il existe

Le tableau ci-dessous d´ ecrit les r´ egions de stabilit´ e des diﬀ´ erents ´ equilibres selon les param` etres de contrˆ ole D et S

_in^∗

.

Condition R´ egion E

l

E

0

E

H

E

A

E

AH

E

V

E

V H

E

V A

E

_∗

S

^∗_in

< λ

S

R

1

S

_in^∗

> λ

S

, H

⁽⁰⁾

< λ

H

,

A

⁽⁰⁾

< λ

A

et V

⁽⁰⁾

< λ

V

R

2

I S S

_in^∗

> λ

S

, H

⁽⁰⁾

> λ

H

,

A

⁽⁰⁾

< λ

A

et V

⁽⁰⁾

< λ

V

R

3

I I S S

in^∗

> λ

S

, H

⁽⁰⁾

> λ

H

,

A

⁽⁰⁾

> λ

A

et V

⁽⁰⁾

< λ

V

R

4

I I I I S S

_in^∗

> λ

S

, H

⁽⁰⁾

> λ

H

,

A

⁽⁰⁾

> λ

A

et V

⁽⁰⁾

> λ

V

R

5

I I I I I I I I S

La lettre S (resp. I ) signiﬁe que l’´ equilibre correspondant est stable (resp. instable). L’absence de lettre signiﬁe que l’´ equilibre n’existe pas.

1.2 Analyse du mod` ele de la digestion ana´ erobie avec inhibition

Nous revenons au mod` ele (1), on peut remarquer que:

•

Si X

_S^∗

= 0 alors V

^∗

, X

_V^∗

, A

^∗

, X

_A^∗

, H

^∗

et X

_H^∗

sont nuls.

•

Si X

S^∗

> 0 alors X

0^∗

= (

_D+k^D

hyd

)X

0in

, S

^∗

= λ

S

et X

S^∗

= c

s

(S

in^∗ −

λ

S

).

On peut alors d´ ecoupler le mod` ele avec inhibition et se restreindre ` a ´ etudier le mod` ele (3):

2

(4)

7e colloque sur les Tendances des Applications en Math´ ematiques Tunisie Alg´ erie Maroc, Tanger 04 - 08 Mai 2015











dV

dt

= D(V

⁽⁰⁾−

V )

−_c¹_v

g

V

(V, H)X

V dX_V

dt

= (g

V

(V, H)

−

D)X

V dA

dt

= D(A

⁽⁰⁾−

A) + γ

va

g

V

(V, H)X

V −_c¹_a

g

A

(A)X

A dX_A

dt

= (g

A

(A)

−

D)X

A dH

dt

= D(H

⁽⁰⁾−

H ) + γ

vh

g

V

(V, H)X

V −_c¹_h

g

H

(H, A)X

H dX_H

dt

= (g

H

(H, A)

−

D)X

H

.

(3)

L’´ etude des conditions d’existence ainsi que des conditions de stabilit´ e locale, obtenues en utilisant le crit` ere de Routh- Hurwitz, montre l’existence de douze ´ equilibres dont deux ´ equilibres sont strictement positifs, le premier ´ etant stable d` es qu’il existe alors que le second est toujours instable.

2 Taux de biogaz produit pour le mod` ele de D.A. sans inhibition

L’´ etude des mod` eles propos´ es inclut la recherche des conditions sous lesquelles on peut maximiser le taux de m´ ethane et d’hydrog` ene en tenant compte de l’´ etape d’hydrolyse. En eﬀet, le sch´ ema r´ eactionnel du mod` ele complet de la digestion ana´ erobie (en ajoutant l’´ etape d’hydrolyse) montre que le m´ ethane provient, d’une part, de l’acide ac´ etique provenant lui mˆ eme du substrat ou de l’AGV et que d’autre part, le m´ ethane provient de l’hydrog` ene et du dioxyde de carbone, provenant du substrat ou de l’AGV.

A partir de l’analyse des ´ ` equilibres du mod` ele, on d´ etermine le taux de biogaz produit ` a l’´ equilibre lors de la digestion ana´ erobie et on d´ etermine la voie qui produit le maximum de biogaz. L’´ etude est faite dans un premier temps pour le mod` ele sans inhibition.

Le taux de m´ ethane produit ` a l’´ equilibre est donn´ e par la formule suivante:

Q

CH4

= α

1

g

A

(A)X

A|A=A∗,X_A=X_A^∗

+α

2

g

H

(H )X

H |H=H∗,X_H=X^∗_H

o` u α

1

et α

2

sont deux constantes d´ etermin´ ees exp´ erimentalement.

Ce taux est d´ etermin´ e pour chacun des ´ equilibres. Une comparison men´ ee sur tous les ´ equilibres montre que si V

⁽⁰⁾

> λ

V

, le m´ ethane produit par le mod` ele sans inhibition est maximal pour l’´ equilibre strictement positif E

_∗

et si V

⁽⁰⁾

< λ

V

alors le maximum du m´ ethane est donn´ e par l’´ equilibre E

AH

. Donc, lorsque V

⁽⁰⁾

> λ

V

, le taux de m´ ethane est maximal lorsque toutes les biomasses coexistent et lorsque V

⁽⁰⁾

< λ

V

, le m´ ethane est maximal lors de lessivage des biomasses ac´ etog´ enes.

De la mˆ eme mani` ere, le taux d’hydrog` ene produit est donn´ e par la formule suivante:

Q

H2

= α

3

g

S

(S)X

S |S=S^∗,X_S=X^∗_S

+α

4

g

V

(V )X

V |V=V^∗,X_V=X_V^∗

o` u α

3

et α

4

sont deux constantes d´ etermin´ ees experimen- talement. Ce taux est compar´ e pour chacun des ´ equilibres. On voit alors que si V

⁽⁰⁾

> λ

V

alors l’hydrog` ene produit par le mod` ele sans inhibition est maximal pour l’un des ´ equilibres E

V

ou E

V A

et si V

⁽⁰⁾

< λ

V

alors le maximum de l’hydrog` ene est donn´ e par E

0

ou E

A

. Donc, lorsque V

⁽⁰⁾

> λ

V

, le taux d’hydrog` ene est maximal lorsque les biomasses acidog´ enes et ac´ etog´ enes coexistent et lorsque V

⁽⁰⁾

< λ

V

, l’hydrog` ene est maximal lors du lessivage des biomasses ac´ etog´ enes.

La g´ en´ eralisation de ce travail au cas du mod` ele avec inhibition est en cours.

Conclusion:

Dans ce travail, nous avons ´ etudi´ e un mod` ele ` a quatre ´ etapes pour la digestion an´ erobie avec d´ egradation enzymatique du substrat sous forme particulaire. Nous avons ´ etabli les conditions d’existence et le comportement asymptotique local et global des points d’´ equilibre pour les deux mod` eles avec et sans inhibition. Nous avons d´ etermin´ e le taux de m´ ethane et d’hydrog` ene produits pour chaque ´ equilibre, dans le cas sans inhibition.

Remerciements:

Les auteurs remercient:

•

le projet Euromed 3+3 TREASURE (http://project.inria.fr/treasure) et le projet UTIQUE qui ont ﬁnanc´ e cette recherche.

•

Tewﬁk Sari (IRSTEA) pour les discussions fructueuses que nous avons eues ` a propos de ce travail.

R´ ef´ erences

[1] M. Weedermann, G. Seo and G.S.K.Wolkowicz, (2013) , Mathematical model of anaerobic digestion in a chemostat: eﬀects of syntrophy and inhibition; Journal of Biological Dynamics, 7(1), pp 59-85.

[2] T. Sari, M. El Hajji and J. Harmand, (2012) , The mathematical analysis of a syntrophic relationship between two microbial species in a chemostat; Math Biosci Eng. 9, pp 627-645.

[3] J. Hess and O. Bernard, (2008) , Design and study of a risk management criterion for an instable wastewater treatment process; J. Process Control 18, pp 71-79.

[4] Hal L. Smith and Paul Waltman , The theory of the chemostat: Dynamics of microbial competition; Cambridge University Press, (1995).

3