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De DEL à EDL ou comment illustrer la puissance des

événements inverses

Guillaume Aucher, Andreas Herzig

To cite this version:

Guillaume Aucher, Andreas Herzig. De DEL à EDL ou comment illustrer la puissance des événements inverses. 2007. �hal-00192061�

(2)

De DEL à EDL ou comment illustrer la puissance des événements

inverses

Guillaume Aucher? aucher@irit.fr Andreas Herzig? herzig@irit.fr

?IRIT, Université Paul Sabatier,

31062 Toulouse Cedex (France) Résumé :

La logique épistémique dynamique (DEL) intro-duite par Baltag et col. et la logique proposition-nelle dynamique (PDL) proposent différentes sé-mantiques aux événements. La seconde se prête fa-cilement à l’introduction d’événements inverses et de relations d’accessibilité épistémiques. Nous ap-pelons EDL le formalisme résultant. Nous mon-trons alors que DEL peut être traduit dans EDL grâce à cet emploi d’événements inverses. Il s’en-suit que EDL est plus expressive et générale que DEL .

Mots-clés : Logique dynamique épistémique, lo-gique propositionnelle dynamique

Abstract:

Dynamic epistemic logic (DEL) as viewed by Bal-tag et col. and propositional dynamic logic (PDL) offer different semantics of events. It turns out that converse events and epistemic accessibility rela-tions can be easily introduced in PDL . We call EDL the resulting formalism. We then show that DEL can be translated into EDL thanks to this use of converse events. It follows that EDL is more ex-pressive and general than DEL .

Keywords: dynamic epistemic logic, propositional dynamic logic

1 Introduction

But : raisonner sur la perception d’événements.

Rendre compte des modes variés de per-ception d’événements est le but d’une famille de systèmes formels appelés lo-giques épistémiques dynamiques. Ces sys-tèmes ont été proposés dans une série de publications, principalement par Plaza, Baltag, Gerbrandy, van Benthem, van Dit-marsch et Kooi [9, 7, 6, 13, 15, 16]. Les lo-giques épistémiques dynamiques ajoutent du dynamisme à la logique épistémique d’Hintikka en transformant les modèles épistémiques.

La logique épistémique dynamique se concentre sur des événements particuliers appelés updates. Les updates peuvent être vus comme des annonces faites aux agents. La forme la plus simple d’update est l’annonce publique à la Plaza ; quand le contenu de l’annonce est propositionnel une telle annonce correspond à l’opéra-tion d’expansion d’AGM [1]. Un autre example d’update est l’annonce de groupe à la Gerbrandy [6, 7]. Notons que DEL-updates différent des Katsuno-Mendelzon-updates qui sont étudiés dans la littérature IA [8].

Dans [2, 4, 3] et ailleurs, Baltag et col. pro-posèrent une logique épistémique dyna-mique qui eut beaucoup d’influence. Nous faisons référence à cette logique par le terme DEL. Il a été montré que leur ap-proche subsume toutes les autres logiques épistémiques dynamiques, ce qui justifie notre acronyme. La sémantique de DEL est basée sur deux types de modèle : un modèle statique Ms (appelé “state mo-del” par Baltag) et un modèle dynamique fini Md (appelé modèle d’action épisté-mique par Baltag). Msmodèlise le monde réel et les croyances des agents s’y rap-portant. Ce n’est rien d’autre qu’un bon vieux modèle épistémique à la Hintikka.

Md modèlise l’événement réel qui a lieu et les croyances des agents s’y rapportant. Les croyances des agents peuvent être in-complètes (l’événement a a eu lieu mais l’agent ne peut pas distinguer l’occurence de a de celle de a0) et même erronées (l’événement a a eu lieu mais l’agent l’a perçu comme étant a0 par erreur). Ms et

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construc-tion par produit restreint qui définit la si-tuation après que l’événement réel a eu lieu, c’est à dire le monde réel résultant et les croyances des agents s’y rapportant.

Sémantique des événements : produits ver-sus relations d’accessibilité. Naturellement, nous serions intéressés d’exprimer dans DEL qu’une action a a eu lieu, c’est à dire de donner une sémantique à l’événement inverse a− dans le cadre de DEL. Cela n’est pas clair comment on pourrait le faire précisément. La seule approche dont nous ayons connaissance est celle de Yap [18] qui ne parvient pas à obtenir une caractéri-sation complète.

D’un autre côté, dans PDL, les événe-ments sont interprétés comme des relations de transition entre mondes possibles, et pas comme des produits restreints de mo-dèles comme dans DEL. Les événements inverses a−peuvent être facilement inter-prétés en inversant la relation d’accessibi-lité associée à a. La logique résultante est appelée l’extension temporelle de PDL. A cela nous ajoutons un opérateur épis-témique. Nous appelons Logique Dyna-mique EpistéDyna-mique (temporelle) EDL la combinaison de la logique épistémique et de PDL avec inverse.1

Une sémantique en terme de relations d’accessibilités est plus flexible que la sémantique par produit de DEL : nous avons plus d’options concernant l’interac-tion entre les événements et les croyances. Notre contribution essentielle dans cet ar-ticle est de rendre compte de cette interre-lation délicate grâce à des contraintes sur les relations d’accessibilité : une contrainte de forgetting, une contrainte de

no-1EDL est liée à la logique dynamique doxastique DDL

[11, 12]. Jusqu’à maintenant la recherche dans DDL se concen-trait principalement sur sa relation avec la théorie de la révision des croyances d’AGM, et étudiait des événements particuliers de la forme +ϕ (expansion par ϕ), ∗ϕ (révision par ϕ), et −ϕ (contraction par ϕ). EDL et DDL coïncident en ce qui concerne les annonces propositionnelles.

learning et une contrainte de déterminisme épistémique.

Traduire DEL dans EDL . Afin de démon-trer la puissance de notre approche nous proposons une traduction de DEL dans EDL : nous exprimons la structure d’un DEL modèle dynamique Mdpar une théo-rie non logique Γ(Md) of EDL, et nous prouvons qu’une formule ϕ est valide dans DEL si et seulement si c’est une consé-quence logique de Γ(Md) dans EDL.

Ainsi, contrairement à DEL nous évi-tons de faire référence à une structure sémantique (c’est à dire le DEL mo-dèle dynamique Md) dans la définition même du langage. On réussit à encoder la structure du DEL modèle dynamique en une théorie non logique Γ(Md) grâce aux événements inverses. Par example [a]Bi(ha−i>∨hb−i>) exprime que l’agent

i perçoit l’occurence de a comme étant

celle de a ou b.

Organisation de l’article. Cet article est

or-ganisé comme suit. Dans la section 2 nous introduisons un langage portant sur les croyances, les événements et les événe-ments inverses. Dans la section 3, nous proposons une sémantique pour ce lan-gage, et définissons notre logique EDL. Dans la section 4 nous exposons la sé-mantique par produit restreint de Baltag pour le fragment du langage sans événe-ment inverse, et exposons sa logique DEL. Dans la section 5 nous associons une théo-rie Γ(Md) à chaque modèle dynamique

Md, et prouvons que les conséquences de Γ(Md) dans EDL correspondent aux va-lidités de DEL. Cela laisse à penser que EDL est plus expressive et générale que DEL, et nous nous concentrerons sur ce point pour conclure dans la section 6.

(4)

2 Les langages

Nous supposons donné un ensemble de symboles propositionnels PROP =

{p, q, . . .}, des symboles d’agents AGT = {i, j, . . .}, et des symboles d’événements EVT = {a, b, . . .}. Tous ces ensembles

peuvent être infinis (alors que dans DEL

AGT et EVT doivent être finis). A partir

de ces ingrédients, le langage multi-modal est construit de façon standard à l’aide des opérateurs booléens ¬ et ∧, d’une famille d’opérateurs épistémiques Bi, pour tout

i ∈ AGT et d’une famille d’opérateurs

dy-namiques [a] et [a−], pour a ∈ EVT . La formule Biϕ se lit “l’agent i croit que ϕ”. [a]ϕ se lit “ϕ est vrai après n’importe

quelle execution possible de l’événement

a”. Les opérateurs modaux duaux ˆBi, hai and ha−i sont définis de façon usuelle :

ˆ

Biϕ abrège ¬Bi¬ϕ ; haiϕ abrège ¬[a]¬ϕ ;

ha−iϕ abrège ¬[a]¬ϕ.

Le langage LEDL de EDL est le

lan-gage entier. Le lanlan-gage LDEL de DEL

est l’ensemble des formules de LEDL

qui ne contiennent pas d’opérateur in-verse [a−]. Enfin, le langage épistémique

LEL est l’ensemble des formules qui ne contiennent pas d’opérateur dynamique, c’est à dire construits à partir de PROP, les opérateurs booléens et l’opérateur Bi uniquement. Par exemple [a]Bi[a−]⊥ est une LEDL-formule (qui n’appartient pas à

LDEL).

3 EDL : logique dynamique

épistémique avec inverse

Quand on construit des modèles qui traitent des notions de croyance et d’évé-nement, le problème central est de rendre compte de l’interaction entre ces diffé-rentes notions. Dans notre sémantique ba-sée sur PDL, ce problème est résolu en proposant des contraintes sur les relations d’accessibilité respectives.

3.1 Sémantique

Les EDL-modèles sont de la forme M =

hW, V , {Aa}a∈EVT, {Bi}i∈AGTi où W est un ensemble de mondes possibles, V :

PROP −→ 2Wune valuation, et les A a⊆

W × W et Bi ⊆ W × W sont des

re-lations d’accessibilité sur W . La relation

A−1

a est l’inverse de Aa. On considère parfois les relations d’accessibilité comme des applications qui associent un ensemble de mondes à un monde, et écrivons par exemple A−1

a (w) = {v : hw, vi ∈ A−1a } =

{v : hv, wi ∈ Aa}.

Nous supposons que les EDL-modèles sa-tisfont les contraintes suivantes appelés no

forgetting, no learning et epistemic deter-minism : (nf) Si v(Aa◦ Bi◦ A−1b )v0alors vBiv0. (nl) Si (Aa◦Bi◦A−1b )(v) 6= ∅ alors (Bi◦ Ab)(v) ⊆ (Aa◦ Bi)(v). (ed) Si w1, w2 ∈ Aa(v) alors Bi(w1) = Bi(w2).

Informellement, le principe no-forgetting (aussi connu sous le nom de perfect re-call [5]) nous dit que chaque monde, tel que l’occurence d’un événement b dans ce monde donne comme résultat une alter-native possible pour l’agent i après l’oc-curence de a, est une alternative possible pour l’agent i avant l’occurence de a. Formellement, supposons que w résulte de l’occurence de l’événement a dans le monde v ; si dans le monde w, le monde w0 est une alternative pour l’agent i, et w0 ré-sulte de l’événement b dans un monde v0, alors v0 était déjà possible pour l’agent i dans le monde v. (nf) : v0 Ab // w0 v Aa // Bi OOÂ Â Â w Bi OO

Pour comprendre le principe no-learning (aussi connu sous le nom de no miracle

(5)

[14]), supposons que l’agent i perçoit l’occurrence de a comme étant celle de

b1, b2,. . . ou bn. Alors, informellement, le principe no-learning nous dit que chaque monde résultant de l’occurrence de b1,

b2,. . . ou bn dans une des alternatives pos-sibles de l’agent i avant l’occurrence de

a est bien une alternative possible après a pour l’agent i. Formellement, supposons

que l’agent i perçoit b comme une alterna-tive possible de a ((Aa◦Bi◦A−1b )(v) 6= ∅). Si dans le monde v le monde w0est un ré-sultat possible de l’occurrence de b pour l’agent i, alors le monde w0est une alterna-tive possible pour l’agent i dans un monde

w ∈ Aa(v). (nl) : . Ab // w0 . Ab //. v Aa // Aa ++ D H K O R T W Bi EE . Bi OO w Bi UU · » ¾ Â # & *

Pour comprendre (ed), supposons que nous avons vAaw1 et vAaw2. Alors (ed)

impose aux états épistémiques de w1et w2

d’être identiques : Bi(w1) = Bi(w2). Cela

découle de note hypothèse que les évé-nements sont feedback-free (aussi connus sous le nom d’ uninformative events [?]) : les agents ne peuvent pas distin-guer entre leurs différents résultats non-déterministes. Ce sont des événements dont les agents apprennent seulement leur occurrence, mais pas leur résultat. Un exemple de tel événement est l’action de jeter une pièce de monnaie sans regar-der le résultat. Un exemple d’événement non feedback-free est l’action de jeter une pièce de monnaie et regarder le résultat : ici la contrainte de déterminisme épisté-mique est violée.

La valeur de vérité d’une formule ϕ dans un monde w d’un modèle M est notée

(ed) : w0 v Aa // Aa '' w1 Bi OO w2 Bi WW ³¸ ½  $ ) .

M, w |= ϕ et est définie comme

d’habi-tude par :

M, w |= p ssi w ∈ V (p) M, v |= Biϕ ssi M, v0|= ϕ pour tout

w0∈ B i(v)

M, v |= [a]ϕ ssi M, w |= ϕ pour tout w ∈ Aa(v)

M, w |= [a−]ϕ ssi M, v |= ϕ pour tout

v ∈ A−1 a (w)

La valeur de vérité d’une formule ϕ dans un EDL-modèle M est notée M |= ϕ et est définie par : M, w |= ϕ pour tout w ∈ W . Soit Γ un ensemble de LEDL-formules. La

relation de conséquence (globale) est défi-nie par :

Γ |=EDLϕ ssi pour tout EDL-modèle M,

si M |= ψ pour tout ψ ∈ Γ alors M |= ϕ.

Par exemple nous avons

{[b]ϕ, haiBihb−i>} |=EDL[a]Biϕ et

|=EDL(Bi[b]ϕ ∧ haiBihb−i>) → [a]Biϕ. (*) Considérons ϕ = ⊥ dans (*) : Bi[b]⊥ si-gnifie que la perception de l’événement b était inattendue pour l’agent i, tandis que

haiBihb−i> signifie que l’agent i perçoit en réalité l’occurrence de a comme étant celle de b.

De notre contrainte no-forgetting, il s’en-suit que [a]Bi⊥ (ce qui est possible car nous n’avons pas supposé que la relation d’accessibilité Biétait sérielle).

(6)

En fait, il serait préférable d’éviter que les croyances des agents deviennent inconsis-tantes : dans de telles situations l’on de-vrait effectuer une révision des croyances.

3.2 Complétude

L’axiomatique de EDL est composée des principes de la logique multimodale K pour tous les opérateurs modaux Bi, [a] et [a−], plus les axiomes (Conv

1), (Conv2),

(NF) et (NL) ci-dessous :

(Conv1) `EDLϕ → [a]ha−iϕ

(Conv2) `EDLϕ → [a−]haiϕ

(NF) `EDLBiϕ → [a]Bi[b−]ϕ (NL) `EDL hai ˆBihb−i> → ([a]B

iϕ →

Bi[b]ϕ)

(ED) `EDLhaiBiϕ → [a]Biϕ

(Conv1) et (Conv2) sont les axiomes d’in-version standards de la logique temporelle et de converse PDL. (NF), (NL) et (ED) axiomatisent respectivement no forgetting, no learning et epistemic determinism. Nous écrivons Γ `EDLϕ quand ϕ est

prou-vable à partir de l’ensemble de formules Γ dans ce système axiomatique.

EDL possède la complétude forte :

Proposition 3.1 Pour tout ensemble de

LEDL-formules Γ et LEDL-formules ϕ,

Γ |=EDLϕ si et seulement si Γ `EDLϕ.

Proof. La preuve découle du théorème de Sahlqvist [10] : tous nos axiomes (NF), (NL), (ED) sont de la forme requise, et cor-respondent respectivement aux contraintes sémantiques (nf), (nl), (ed). QED

4 DEL : modèles statiques,

mo-dèles dynamiques, et leurs

produits

Nous présentons ici la version sans itéra-tion de la logique épistémique dynamique DEL de Baltag [4, 3].

4.1 Sémantique

Les Modèles Statiques sont juste des mo-dèles de la forme Ms = hW, V, {−→s

i

}i∈AGTi, où W est un ensemble arbitraire,

V : PROP −→ 2W une valuation et les s

−→i⊆ W × W sont des relations

d’acces-sibilité sur W.

Les Modèles dynamiques sont de la forme

Md = hEVT , Pre, {−→d

i}i∈AGTi, où

Pre : EVT −→ LEL est une fonction de précondition associant des formules épis-témiques aux événements, et les −→d i

EVT × EVT sont des relations

d’accessi-bilité sur EVT . Par exemple l’événement

a tel que Pre(a) = > correspond au ‘skip’

(rien ne se passe) de PDL et Pre(b) = p correspond à l’action d’apprendre que p est vraie. Quand nous avons−→d i (a) =

{b} alors l’occurrence de a est perçue par

l’agent i comme celle de b.

Nous rappelons que EVT est l’ensemble des événements atomiques. Dans DEL il est supposé fini. De plus, tout−→d iest sup-posé être sériel : pour tout a ∈ EVT il y a au moins un b ∈ EVT tel que a −→d ib.

(Rappelons que nous n’avons pas supposé la sérialité pour les relations d’accessibilité statiques.)

Etant donnés Ms = hW, V, {−→s

i}i∈AGTi et Md = hEVT , Pre, {−→d

i}i∈EVTi, leur

produit Ms⊗ Md est un modèle statique décrivant la situation après que

(7)

l’événe-ment décrit par Mda eu lieu dans Ms:

Ms⊗ Md= hW0, V0, {−→s i 0

}i∈AGTi où le nouvel ensemble de mondes pos-sibles est W0 = {hw, ai : Ms, w |=

Pre(a)}, la nouvelle valuation est V0(p) =

{hw, ai : w ∈ V(p)}, et les nouvelles

relations d’accessibilité statiques sont dé-finies par

hw1, a1i−→s i 0

hw2, a2i ssi w1−→s iw2et

a1−→d ia2.

Alors que la condition de vérité pour l’opé-rateur épistémique est identique à celle de la logique épistémique d’Hintikka et celle d’EDL, la construction par produit res-treint donne une sémantique à l’opérateur [a] qui est bien différente de celle de PDL et EDL :

Ms, w |= [a]ϕ ssi Ms, w |= Pre(a) implique Ms⊗ Md, hw, ai |= ϕ Finalement, la validité de ϕ dans DEL (no-tée |=DELϕ) est définie comme d’habitude

comme la vérité dans tous les mondes de tous les DEL-modèles. Notons que la va-lidité signifie la vava-lidité par rapport à un modèle dynamique Mdfixé.

La condition de vérité pour l’opérateur dy-namique met en valeur le fait que DEL est une extension dynamique de la logique épistémique tandis que EDL est une exten-sion épistémique de PDL.

4.2 Complétude

Supposons donné un modèle dynamique

Md. L’axiomatique de DEL est composée des principes de la logique multimodale K pour les opérateurs modaux Biet [a], plus les axiomes ci-dessous [4, 3].

(A1) `DEL[a]p ↔ (Pre(a) → p)

(A2) `DEL [a]¬ϕ ↔ (Pre(a) →

¬[a]ϕ)

(A3) `DEL [a]Biϕ ↔ (Pre(a) →

Bi[b1]ϕ ∧ . . . ∧ Bi[bn]ϕ) où b1, . . . , bn est la liste de tous les b tels que a−→d ib.

On note `DELϕ lorsque ϕ est prouvable à

partir de ces principes.

5 De DEL à EDL

Dans cette section nous montrons que DEL peut être injecté dans EDL. Nous le faisons en construisant une EDL-théorie particulière qui capture un DEL mo-dèle dynamique Md donné et simule la construction produit.

Definition 5.1 Soit Md =

hEVT , Pre, {−→d i}i∈AGTi un modèle dynamique. L’ensemble des formules Γ(Md) associé à Md(‘la théorie de Md’) est constituée des axiomes non-logiques suivant :

(1) p → [a]p et ¬p → [a]¬p, pour tout

a ∈ EVT et p ∈ PROP ;

(2) hai> ↔ Pre(a), pour tout a ∈ EVT ; (3) [a]Bi(hb−1i> ∨ . . . ∨ hb−ni>),

où b1, . . . , bnest la liste de tous les b tels que a−→d ib ;

(4) ˆBiPre(b) → [a] ˆBihb−i>, pour tout

ha, bi ∈−→d i.

Notons que Γ(Md) est finie car dans DEL l’ensemble des événements EVT et l’en-semble des agents AGT sont tous les deux

finis. ¢

L’axiome de déterminisme est en fait une conséquence logique de Γ(Md) dans EDL. Lemma 5.2 Pour tout LEDL-formule ϕ nous avons Γ(Md) |=

EDLhaiϕ → [a]ϕ. Nous avons alors le résultat essentiel sui-vant.

(8)

Theorem 5.3 Soit Mdun DEL modèle

dy-namique. Soit ψ une formule de LDEL.

Alors

|=DELϕ ssi Γ(Md) |=EDLϕ

Il s’ensuit que

`DELϕ ssi Γ(Md) `EDLϕ

Cela fournit donc une nouvelle axiomati-sation des validités de DEL.

6 Discussion et conclusion

Nous avons présenté une logique dyna-mique épistédyna-mique EDL dont la séman-tique diffère de de celle de la logique épis-témique dynamique DEL de Baltag et col. Nous avons montré que DEL peut être in-jectée dans EDL. Ce résultat nous per-met de conclure que EDL est une alter-native intéressante à la logique de Bal-tag et col. Cependant, EDL est plus ex-pressive que DEL car elle permet de par-ler d’événements passés. Un autre de ses avantages est que l’on peut décrire partiel-lement un événement ayant lieu et quand même en tirer des conséquences, alors que dans DEL le modèle d’action doît tout spé-cifier. Plus généralement, EDL semble être plus flexible pour décrire des événements. Cela permet de modéliser des événements qui ne peuvent pas être modélisés dans DEL.

Nous allons démontrer ce dernier point par un exemple. Considérons la situation où il y a deux agents i et j, et il y a deux annonces privées possibles a et b avec pour préconditions respectives p et

¬p. Supposons que les agents ne savent

rien de ce qui s’est passé excepté que a ou b ont eu lieu, c’est à dire formellement que ha−i> ∨ hbi> est connaissance com-mune. De cela nous devrions en conclure que les agents ne savent rien du tout de la perception que l’autre agent a de l’évé-nement (ce qui est en fait vrai en réalité).

Nous pouvons modéliser ce dernier point comme suit. D’abord on défini récursive-ment l’ensemble suivant de formules. – Φ0

i = Φ0j = {ha−i>, hb−i>} – Φn i = {Biϕj : ϕj ∈ Φn−1j } ∪ {V j:ϕj∈Φn−1j } ˆ Biϕj} Par exemple on a Φ1

i = {Biha−i>, Bihb−i>, ˆBiha−i> ∧

ˆ

Bihb−i>} et

Φ2

j = {BjBiha−i>, BjBihb−i>, Bj( ˆBiha−i> ∧

ˆ

Bihb−i>)} ∪ { ˆBjBiha−i> ∧ ˆBjBihb−i> ∧

ˆ

Bj( ˆBiha−i> ∧ ˆBihb−i>)}.

Naturellement, nous affirmons que l’en-semble de tous les ((WΦn

i) ∧ ( W

Φn j) re-présente le fait que les agents ne savent rien à propos de la perception qu’a l’autre agent de l’événement. Nous pouvons alors prouver par induction sur n que {ha−i> ∨

hb−i>} ` EDL ( W Φn i) ∧ ( W Φn j) pour tout

n.2Cela nous indique que la connaissance

incomplète des agents de ce qui se passe est correctement représentée par {ha−i>∨

hb−i>}.

De telles situations ne peuvent pas être dé-crites dans DEL car cela nécessiterait une infinité d’événements atomiques, et le mo-dèle dynamique Mddevrait être infini. Une autre approche qui associe DEL à la logique dynamique propositionnelle avec automate est [17]. Il n’a pas recours aux événements inverses et traduit les modèles dynamiques par une transformations sur les programmes de PDL. Comme nous l’avons dit dans la section 1, Yap a in-troduit les événements inverses dans DEL mais elle n’est pas arrivée à donner des axiomes de réduction pour l’opérateur mo-dal inverse. Comme nous, elle ne traite pas de la révision des croyances et nous

2L’observation clé est que `

EDLBi(ha−i> ∨ hb−i>) →

(9)

repoussons l’intégration de tels mécha-nismes à de futurs travaux.

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Les mesures montrent ainsi que, plus le passage au semis direct s’est effectué il y a longtemps, plus le rendement et la qualité (protéines) des cultures sont élevés. Les rendements