AC  AEAFAI  6  BC  AEAB  3 AFAC  3   DevoirdeContrôleN°1

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Lycée : Souassi Professeur : Fligène Wissem

Date : 19/10/2010 Devoir de Contrôle N°1 ^Epreuve : Mathématiques

Classe : 2 S

Durée : 1 heure

- Il est recommandé de soigner la rédaction et la présentation de la copie -

Exercice 1 : (2 points)

Une mère de 37 ans a trois enfants âgés de 8, 10 et 13 ans.

Dans combien d’années l’âge de la mère sera-t-il égal à la somme des âges de ses enfants ? Exercice 2 : (6 points)

Résoudre dans _ :

1) 3 1 3

2

x x

x   x

 ²⁾ 5 x   4 x  1 3) 2 x   4 6

Exercice 3 : (4 points) Soit ABC un triangle.

1) Construire les points E et F tels que  AE  3  AB

et  AF  3  AC 2) Montrer que les vecteurs EF 

et  BC

sont colinéaires

3) On désigne par I et J les milieux respectifs des segments   ^{BC et}   ^EF

a) Montrer que   AE  AF  6  AI

b) En déduire que les points A, I et J sont alignés Exercice 4 : (8 points)

Soit  ^{O i j , ,  }  un repère orthonormé du plan. (Aucun schéma n’est demandé) On considère les points A (0, 4) ; B ( 2, 0)  et ^C   ^{6,1 .}

1) Montrer que  ^{  AB AC ,}  est une base de l’ensemble des vecteurs du plan 2)

a) Montrer que les vecteurs  AB

et  AC

sont orthogonaux.

b) Déduire la nature du triangle ABC.

3) Soit ^D  ^{ 6, 7}  . Les points A, C et D sont-ils alignés ? 4)

a) Calculer les distances BC et BD

b) Déduire que le point B appartient à la médiatrice du segment   ^{CD .}

www.tunisiamaths.com/m2 Correction

Exercice 1 :

Soit ݔ le nombre d’années donc ݔ ∈ ℕ

L’équation du problème est : 37 + ݔ = (8 + ݔ ) + (10 + ݔ) + (13 + ݔ) (1 pt) Donc 37 + ݔ = 3ݔ + 31 sig 2ݔ = 6 sig ݔ = 3 (1 pt)

Exercice 2 :

1) 3 1 3

2

x x

x   x

 . Cette équation existe ssi ݔ ≠ 0 et ݔ ≠ 2 (0,5 pt)

(3ݔ − 1)(ݔ− 2) = 3ݔ ² ݏ݅݃ 3ݔ ² − 6ݔ − ݔ+ 2 = 3ݔ ² ݏ݅݃ − 7ݔ = −2 ݏ݅݃ 2 2

7 7

x   



ܵ

= ൜ 2

7 ൠ (૚, ૞ ࢖࢚ )

2) 5 x   4 x  1 . Cette inéquation existe ssi 5ݔ− 4 ≥ 0 et ݔ + 1 ≥ 0 ssi ݔ ≥

et ݔ ≥ −1 ssi ݔ ∈ ቂ

,+∞ቂ∩ [−1,+∞[ ssi ݔ ∈ ቂ

, +∞ቂ(૚ ࢖࢚ )

 ^{5 x  4}  

^{ x  1} 

^{sig 5ݔ − 4 > ݔ + 1 sig 4ݔ > 5 sig ݔ >}

ܵ

= ൨ 5

4 , +∞ ൤∩ ൤ 4

5 , +∞ ൤= ൨ 5

4 , +∞ ൤ (૚ ࢖࢚ )

3) 2 x   4 6 sig  ^{2 x  4} 

^{ 6}

^sig |2ݔ− 4| = 36 sig 2ݔ− 4 = 36 ou 2ݔ − 4 = −36 sig 2ݔ = 40 ou 2ݔ = −32 sig ݔ = 20 ou ݔ = −16

ܵ

= {20,−16} (૛ ࢖࢚ ) Exercice 3 :

1) (1pt)

2) ܧܨ ሬሬሬሬሬ ⃗ = ܧܣ ሬሬሬሬሬ ⃗ + ܣܨ ሬሬሬሬሬ ⃗ = 3ܤܣ ሬሬሬሬሬ ⃗ + 3ܣܥ ሬሬሬሬሬ ⃗ = 3൫ܤܣ ሬሬሬሬሬ ⃗ + ܣܥ ሬሬሬሬሬ ⃗ ൯= 3ܤܥ ሬሬሬሬሬ ⃗ donc  EF et  BC

sont colinéaires (1pt) 3) a) ܣܧ ሬሬሬሬሬ ⃗ + ܣܨ ሬሬሬሬሬ ⃗ = 3ܣܤ ሬሬሬሬሬ ⃗ + 3ܣܥ ሬሬሬሬሬ ⃗ = 3൫ܣܤ ሬሬሬሬሬ ⃗ + ܣܥ ሬሬሬሬሬ ⃗ ൯= 3൫ 2ܣܫ ሬሬሬሬ ⃗ ൯൫ܣܤ ሬሬሬሬሬ ⃗ + ܣܥ ሬሬሬሬሬ ⃗ = 2ܣܫ ሬሬሬሬ ⃗ ݌ݑ݅ݏݍݑ݁ܫ= ܤ ∗ ܥ൯

donc   AE  AF  6  AI

(1pt)

b) Puisque ܬ= ܧ ∗ ܨ alors ܣܧ ሬሬሬሬሬ ⃗ + ܣܨ ሬሬሬሬሬ ⃗ = 2ܣܬ ሬሬሬሬ ⃗ et comme   AE  AF  6  AI

alors 2ܣܬ ሬሬሬሬ ⃗ = 6ܣܫ ሬሬሬሬ ⃗ donc ܣܬ ሬሬሬሬ ⃗ = 3ܣܫ ሬሬሬሬ ⃗ d’où A, I et J sont alignés (1pt)

Exercice 4 :

1) ܣܤ ሬሬሬሬሬ ⃗ ቀ ݔ

− ݔ

ݕ

− ݕ

ቁ donc ܣܤ ሬሬሬሬሬ ⃗ ቀ −2

−4 ቁ ܣܥ ሬሬሬሬሬ ⃗ ቀ 6

−3 ቁ ቚ −2 6

−4 −3 ቚ = (−2) × (−3) − (−4) × 6 = 6 + 24 = 30 ≠ 0 donc ܣܤ ሬሬሬሬሬ ⃗ et ܣܥ ሬሬሬሬሬ ⃗ ne sont pas colinéaires d’où  ^{  AB AC ,} 

est une base de l’ensemble des vecteurs du plan (2 pt)

2) a) (−2) × 6 + (−4) × (−3) = −12 + 12 = 0 donc ܣܤ ሬሬሬሬሬ ⃗ ⊥ ܣܥ ሬሬሬሬሬ ⃗ (1,5 pt) b) ABC est un triangle rectangle en A (0,75 pt)

3) ܣܦ ሬሬሬሬሬ ⃗ ቀ −6

3 ቁ alors ܣܦ ሬሬሬሬሬ ⃗ = −ܣܥ ሬሬሬሬሬ ⃗ donc ܣܦ ሬሬሬሬሬ ⃗ et ܣܥ ሬሬሬሬሬ ⃗ sont colinéaires (ils sont opposés plus exactement) donc A, C et D sont colinéaires (1,5 pt)

4) a) ܤܥ = ඥ(6 + 2)

+ (1 − 0)² = √65 (0,75 pt) ܤܦ = ඥ (−6 + 2)

+ (7 − 0)² = √65 (0,75 pt)

b) ܤܥ = ܤܦ donc B appartient à la médiatrice du segment   ^{CD (0,75 pt)}