Écriture en code CLE

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TS/Spé Devoir maison 4 _2013-2014

EXERCICE 1

mest un entier naturel non nul.a≡b(m) équivaut àa−b=km, k∈Z.

Démontrer que sia≡b(m) et^′a≡b^′(m), alorsa+a^′≡b+b^′(m) etaa^′≡bb^′(m).

xety sont deux entiers relatifs. On se propose de résoudre le système : 3x+y≡1 (6)

x−y≡3 (6) 1. (a) Démontrer que 4x≡4 (m).

(b) Déduisez-en, à l’aide d’un tableau donnant les restes modulo 6, que 4x≡4 (6)⇔x≡1 (6) oux≡4 (6).

2. En tenant-compte dey≡x−3 (6), déduisez-en les couples (x;y) de solutions du système.

EXERCICE 2

Le code CLE (Code Large Echelle) permet de traiter les grands nombres avec précision. Le but de cet exercice est d’expliquer son fonctionnement.

Le nombre 42 se décompose

42 = 1×2⁵+ 0×2⁴+ 1×2³+ 0×2²+ 1×2¹+ 0.

donc l’écriture en base deux est(101010)2.

On peut écrire aussi :42 = 2⁵+ 2³+ 2¹. En code CLE, 42 s’écrira(5,3,1)CLE.

1. Écrivez en base dix le nombre écrit (6,4,3,1)C LE en code CLE.

2. Écrivez en code CLE les nombres dont l’écriture décimale est 463 ; 327 et 179.

3. Comment reconnaissez-vous qu’un nombre écrit en code CLE est impair ?

1. Écrivez en code CLE les sommes (7)C LE+ (7)C LE et (n)C LE+ (n)C LE oùnest un entier naturel.

2. Effectuez en code CLE les additions

(13,10,7,4)C LE+ (15,11,10,7)C LE

et (21,13,12,7,5)C LE+ (19,13,5)C LE

3. Quelle régle de calcul peut-on énoncer au sujet de l’addition des nombres écrits en code CLE ?

1. Écrivez en code CLE le produit (m)C LE×(n)C LE oùmet nsont des entiers naturels.

2. Calculer (7,3,1)C LE×(4)C LE, puis (9,2)C LE×(7,3,1)C LE

3. Quelle régle de calcul peut-on énoncer au sujet de la multiplication des nombres écrits en code CLE ?

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