Méthode d’inversion d’un Modèle de diffusion Mobile Immobile fractionnaire

HAL Id: tel-01016447

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01016447

Submitted on 30 Jun 2014

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Martyrs Ouloin

To cite this version:

Martyrs Ouloin. Méthode d’inversion d’un Modèle de diffusion Mobile Immobile fractionnaire. Autre

[cond-mat.other]. Université d’Avignon, 2012. Français. �NNT : 2012AVIG0504�. �tel-01016447�

Département de Physique

Méthode d’inversion d’un modèle de diffusion Mobile Immobile fractionnaire

Spécialité : Mécanique

Mémoire présenté en vue de l’obtention du Diplôme de Doctorat par

Martyrs Ouloin 17 Juillet 2012

Jury composé de

Christelle Latrille (Examinateur) CEA- Saclay

Mohamed El Ganaoui (Rapporteur) Université de Lorraine

Mohamed Najib Ouarzazi (Rapporteur) Université de Lille

Marie Christine Néel (Directeur) Université d’Avignon

Maminirina Joelson (Directeur) Université d’Avignon

Résumé

L’étude expérimentale du transport de soluté dans les milieux poreux montre des écarts à la loi de Fick. D’autre part, des progrès importants ont été accomplis sur le transport en milieu poreux, en supposant que les fluides (et les traceurs) en mouvement dans ces milieux sont arrêtés pendant des durées aléatoires. La matrice solide rend cette idée plausible. Nous étudions un modèle utilisant cette idée en l’associant à des durées d’immobilisation sans moyenne finie, en fait dis- tribuées par des lois de Lévy. On arrive ainsi au modèle MIM fractionnaire, ou fractal.

Ce modèle est une équation aux dérivées partielles pour la densité de traceur. Il équivaut à supposer que les particules de fluide et de traceur font des déplace- ments régis par un processus stochastique. Ce dernier est la limite hydrodyna- mique de marches au hasard fondées sur des déplacements convectifs, des sauts gaussiens, et des arrêts distribués suivant une loi de Lévy. Ces deux versions du même modèle donnent deux méthodes de simulation numérique.

Nous montrons comment mettre en oeuvre ces méthodes. Ceci a pour but la maîtrise d’outils de simulation, afin de comparer avec des données expérimen- tales pour savoir si ce modèle convient pour décrire le transport dans un milieu donné. Cette simulation, pour être efficace, nécessite la connaissance des pa- ramètres du transport de soluté au sein du milieu donné. Ils sont difficilement mesurables et/ou identifiables en pratique. Donc, il faut pouvoir les estimer à partir de grandeurs qu’on sait mesurer directement, comme la densité d’un tra- ceur. Pour cela, nous avons mis en place une méthode d’inversion qui permet d’extraire les paramètres du modèle MIM fractionnaire, à partir de données expérimentales.

Cette méthode d’inversion est basée sur la transformation de Laplace. Elle uti- lise le lien entre les paramètres de transport du modèle MIM fractionnaire, et les dérivées de la transformée de Laplace des solutions de ce modèle. Ce lien est exact dans un milieu semi-infini, et seulement approché dans un milieu fini.

Après avoir testé cette méthode en l’appliquant à des données numériques en

essayant de retrouver leurs paramètres à l’"aveugle", nous l’appliquons à des

données issues d’une expérience de traçage en milieu poreux insaturé.

0.1 Introduction . . . . 9

1 Le phénomène de diffusion dans un milieu poreux 12 1.1 Introduction . . . . 12

1.2 Modèle classique de transport par diffusion . . . . 14

1.3 Observation du transport anormal . . . . 16

1.4 Conclusion . . . . 21

2 Outils Théoriques 22 2.1 Introduction . . . . 22

2.2 Notion de variable aléatoire . . . . 23

2.2.1 Moments d’une variable aléatoire . . . . 25

2.2.2 Loi de probabilité gaussienne . . . . 25

2.2.3 Version simplifiée du théorème de la limite centrale . . . 28

2.2.4 Simulation de la réalisation d’une variable aléatoire . . . 28

2.2.5 Lois α-stables de Lévy . . . . 31

2.2.6 Moments . . . . 38

2.2.7 Théorème de la limite centrale généralisée . . . . 38

2.2.8 Simulation de variables aléatoires α-stables . . . . 39

2.3 Fonction aléatoire ou processus stochastique . . . . 42

2.4 Les opérateurs fractionnaires . . . . 47

2.4.1 Les opérateurs fractionnaires d’intégration . . . . 48

2.4.2 Dérivées d’ordre non entier . . . . 48

2.4.3 Les formules de Grünwald-Letnikov pour la dérivée frac- tionnaire . . . . 50

2.4.4 La dérivée de Caputo . . . . 54

2.4.5 La dérivée de Riesz-Feller . . . . 55

2.5 Fonction de Mittag-Leffler . . . . 55

2.5.1 Définition . . . . 55

2.5.2 Transformée de Laplace . . . . 56

2

2.5.3 Equations différentielles vérifiées par les fonctions de Mittag-

Leffler . . . . 56

2.5.4 Représentation graphique . . . . 57

2.6 Conclusion . . . . 59

3 Modélisation de la diffusion anormale 60 3.1 Introduction . . . . 60

3.2 Le modèle MIM classique . . . . 63

3.2.1 Principe du MIM . . . . 63

3.2.2 Simulation numérique du modèle MIM . . . . 64

3.2.3 Allure des solutions du Modèle MIM . . . . 65

3.3 Modèles fractionnaires . . . . 66

3.3.1 Modèle fractionnaire en espace . . . . 66

3.3.2 L’équation de Fokker-Planck fractionnaire . . . . 67

3.3.3 Le modèle MIM fractionnaire en temps . . . . 68

3.4 Principe de la solution numérique des diverses formulations du fMIM . . . . 78

3.4.1 La dérivée de Caputo ∂ _t ^γ . . . . 78

3.4.2 La dérivée de Riemann-Liouville . . . . 79

3.4.3 Discrétisation de H = (Id + ΛI _0,t ^{1 − γ} ) ^{− 1} . . . . 79

3.4.4 L’opérateur H . . . . 79

3.4.5 L’inversion de H . . . . 81

3.4.6 Schéma semi-implicite permettant de résoudre le fMIM . 83 3.4.7 Conditions aux limites . . . . 83

3.4.8 Allure des profils spatiaux et des courbes de percée . . . 84

3.5 Modèle de marche aléatoire subordonnée en temps . . . . 86

3.5.1 Principe des Marches au hasard . . . . 87

3.5.2 Principe de la Simulation des Marches au hasard . . . . 89

3.6 Conclusion . . . . 92

4 Inversion du modèle MIM fractionnaire. Détermination des pa- ramètres du modèle à partir de données 93 4.1 Introduction . . . . 93

4.2 Rappel d’une méthode utilisant des moments temporels dans le cadre du MIM . . . . 94

4.3 Méthode des moments temporels tronqués pour le modèle MIM fractionnaire . . . . 96

4.3.1 Moments temporels tronqués . . . . 96

4.3.2 Transformée de Laplace de P (x, t) en milieu semi-infini

pour les deux versions du modèle MIM . . . . 97 4.3.3 Lien entre M n (x, s) et les dérivées de f . . . . 98 4.3.4 Extraction des paramètres . . . 100 4.3.5 Procédure pour estimer les paramètres du MIM ou fMIM

à partir de 2 courbes de concentration . . . 102 4.3.6 Expérience numérique . . . 104 4.3.7 Mise en oeuvre numérique avec des données tronquées . . 108 4.3.8 Application à des données expérimentales . . . 109 4.4 Conclusion . . . 113

5 Conclusion et perspectives 114

A Discussion de l’hypothèse du milieu sem-infini, dans le cadre

du MIM fractionnaire 126

1.1 Comparaison entre un histogramme d’un mouvement Brownien simulé et la solution de l’équation de diffusion (1.2) d’après Gorenflo et Minardi (2002). A gauche on a un dia- gramme semi logarithmique représentant en abscisses les positions d’un ensemble de mar- cheurs aléatoires, et en ordonnées leur densité. Les points représentent cette densité par l’intermédiaire d’un histogramme, les traits pleins correspondent à la solution de l’équation de la diffusion. Le paramètres α = 2 définit dans un ensemble plus vaste la loi de probabilité gaussienne des sauts du mouvement Brownien. La partie de droite montre des échantillons

de sauts (en bas) et latrajectoire d’une particule (haut). . . . . 15 1.2 Illustration schématique de l’effet de la dispersion anormale sur l’allure de courbes de percée,

d’après Berkowitz et al. (2000) . . . . 17 1.3 Figure : Courbes de restitution de plusieurs essais de traçage au bromide sur le site de

Mirror Lake en domaine cristallin fracturé. D’après Becker et Shapiro (2003). . . . . . 18 1.4 Comparaison de données expérimentales sur une fracture simple avec le modèle ADE et un

modèle incluant un terme de stockage transitoire, d’après Raven et al. (1988). . . . . . 19 1.5 Comparaison entre un modèle ADE (en pointillés) et un modèle de marche aléatoire CTRW

(en trait plein) pour représenter des résultats d’expériences (cercles) en laboratoire d’après

Bromly et Hinz [17] . . . . 20 2.1 Exemple de densité de probabilité (ici une loi lognormale) et de fonction de répartition

d’une variable aléatoire continue . . . . 24 2.2 Exemples de densités de probabilité de variables aléatoires suivant la loi normale . . . . 26 2.3 Exemple de fonction de répartition de variable aléatoire de loi normale . . . . 27 2.4 Densité de probabilité de lois α-stables symétriques calculées numériquement. Toutes les

densités représentées correspondent à la valeur maximale β = 1 du paramètre de dissymé-

trie. C’est seulement avec α < 1 qu’on obtient des densités dont le support est R

. . . 35 2.5 Densité de probabilité de lois α-stables asymétriques calculées numériquement. Toutes les

densités représentées correspondent à la valeur maximale β = 1 du paramètre de dissymé-

trie. C’est seulement avec α < 1 qu’on obtient des densités dont le support est R

. . . 36 2.6 Fonction de répartition de lois α-stables symétriques calculées numériquement. . . . . . 36 2.7 Fonction de répartition de lois α-stables asymétriques calculées numériquement. . . . . 37

5

2.8 Simulations numériques d’échantillons de variable aléatoire de loi α-stable avec α = 2 et

α = 1.5. . . . . 40 2.9 Simulation numérique d’échantillons de variable aléatoire de loi α-stable avec α = 0.5. . . 41 2.10 Simulation numérique d’échantillons de variable aléatoire de loi α-stable avec α = 1 et

β = 0.5 et β = 1. . . . . 41 2.11 Simulation numérique d’échantillons de variable aléatoire de loi α-stable avec α = 0.5 et

β = 1. . . . . 42 2.12 Simulation numérique de différentes trajectoires d’un mouvement Brownien (W

, t ≥ 0). . 46 2.13 Courbe de la fonction de Mittag-Leffer E

( − Λt

) pour Λ = 1 et α = 0.5 . . . . 57 3.1 Courbes de percée P(x,t) des solutions du modèle MIM donnés par l’équation (3.4) avec

comme condition aux limites en x = 0 flux R(t) = R

pour t < t

, R(t) = 0 pour t < t

;

on a pris D = 0.01, v = 1, K = 1 et ω = 10 . . . . 65 3.2 Représentation de quelques étapes de marche aléatoire approchant le mouvement Brownien

avec une vitesse moyenne uniforme . . . . 70 3.3 Représentation d’une étape d’une marche aléatoire combinant des sauts instatanés, de

l’advection et des immobilisations et approchant le fMIM. . . . . 71 3.4 ^{Profil de C(x, t) lorsque v = 0, Λ = 1, γ = 0.5} ; conditions aux limites C(0,t)=C(1,t)=0 . 77 3.5 La solution approchée et la solution exacte sont en accord, γ = 0.5, α = 0.5 . . . . 80 3.6 La solution approchée et exacte sont en accord, γ = 0.5, α = 0.25 . . . . 81 3.7 Profils temporels P(x,t) des courbes de percée solutions du modèle MIM-fractionnaire don-

nés par l’équation (3.29) avec D = 0.001, v = 1, Λ = 1, γ = 0.6 ; D = 0.001, v = 1, Λ = 1,

γ = 0.5 pour différentes positions. . . . . 84 3.8 Profils temporels P(x,t) des courbes de percée solutions du modèle MIM fractal donnés par

l’équation (3.29) avec D = 0.001, v = 0.5, Λ = 1, γ = 0.9 ; D = 0.001, v = 1,Λ = 1, γ = 0.8

pour différentes positions. . . . . 85 3.9 Courbes de percée en coordonnées logarithmiques, montrant le comportement asymptotique

de 2 jeux de paramètres donnant des profils, excepté aux grands temps. . . . . 85 3.10 Instantanés P(x,t) des solutions du modèle MIM-fractionnaire en temps donnés par l’équa-

tion (3.29) comparés à la Marche aléatoire (3.38) avec D = 0.00001, v = 1, Λ = 1, γ = 0.9 86 3.11 Profils temporels P(x,t) des solutions du modèle MIM-fractionnaire donnés par l’équation

(3.29) avec D = 0.00001, v = 1, Λ = 1, γ = 0.9 . . . . 86 3.12 Trajectoires des marches au hasard définies par (3.38). Les trajectoires ont été obtenues

avec les mêmes déplacements lN

. . . . 88 3.13 Profils P(x,t) des solutions du modèle MIM-fractionnaire donnés par l’équation (3.29) com-

parés à la Marche aléatoire (3.38) . . . . 90

3.14 Courbes de percée correspondant à D = 0.1, v = 0.5, Λ = 1.2, et γ = 0.5 . . . . 90

3.15 Courbes de percée correspondant à D = 0.1, v = 0.5, Λ = 1.2, et γ = 0.6 . . . . 91 3.16 Courbes de percée correspondant à D = 0.1, v = 0.5, Λ = 1.2, et γ = 0.8 . . . . 91 4.1 Paramètres estimés et profils temporels qui en sont issus. A gauche, les courbes représentées

par des lignes correspondent à P

(x

, t) pour des paramètres initiaux (D

, v

, Λ

, γ

) = (0.1, 0.5, 1.2, 0.5). A droite : paramètres estimés (D

, v

, Λ

, γ

) à partir des profils temporels P

(x

, t) représentés à gauche par des courbes. A gauche, les symboles repré- sentent les profils temporels calculés à partir des estimations associées au minimum de E.

De plus, les positions des profils utilisés pour l’estimation sont x = 0 et x = 0.2. . . . . 105 4.2 Les paramètres initiaux (D

, v

, Λ

, γ

) = (0.001, 0.46, 0.84, 0.89). A gauche, les profils tem-

porels correspondant (D

, v

, Λ

, γ

) et (D

, v

, Λ

, γ

). A droite, paramètres estimés

et erreur relative de E. . . . 106 4.3 Effet d’un bruit gaussien artificiel d’amplitude très faible devant le signal. Les vrais para-

mètres sont (D

, v

, Λ

, γ

) = (0.1, 0.5, 1.2, 0.5) et l’estimation a été effectuée en ajoutant ηB à P

, avec η = 1 à gauche et η = 10 à droite. Les paramètres estimés et les valeurs de

E diffèrent peu de ce que montre la partie droite de la figure. . . . 108 4.4 Effet d’un bruit gaussien artificiel réalisant un rapport signal sur bruit de l’ordre de 10

(avec η = 100) pour de "vrais" paramètres égaux à (D

, v

, Λ

, γ

) = (0.1, 0.5, 1.2, 0.5).

L’allure générale de la courbe C ressemble encore à ce qu’on obtient sans bruit. Cependant, les estimations des 4 paramètres couvrent des plages réduites qui ne contiennent pas toutes les vraies valeurs. La courbe C est en quelque sorte repliée en plusieurs courbes plus petites qui se recouvrent partiellement. Ceci se voit nettement sur la représentation de l’erreur E.

On voit aussi que Λ est représenté par au moins deux traits superposés, comme D et γ. . 108 4.5 Estimation des paramètres, appliqués à des données numériques tronquées à t = t

. A

gauche : solution du MIM fractionnaire obtenu pour (D

, v

, Λ

, γ

) = (0.001, 0.46, 0.01, 0.4) (lignes), ainsi que (D

, v

, Λ

, γ

) (symboles). A droite : paramètres estimés à partir de 1

(t), et valeurs de E pour t

= 6, c’est à dire un peu plus que la durée du pic

représentée à gauche. . . . 110 4.6 Paramètres estimés à partir des données de la figure (précédente) en les tronquant à

t

= 5 à gauche, à t

= 4 à droite. A gauche, (D

, v

, Λ

, γ

)(s

) représente en- core une approximation de (D

, v

, Λ

, γ

). A droite, avec une troncature plus sévère, seul (D

, v

)(s

) approche (D

, v

), (γ

)(s

) = 0.42 correspond à une erreur relative de

10/100, et (Λ

)(s

) est négatif. . . . 110 4.7 Solutions du modèle (3.29) correspondant aux paramètres estimés à partir des courbes de

percée expérimentales. Les traits représentent ces solutions, les données correspondent aux

symboles . . . 111

5.1 Erreurs relatives commises sur les dérivées de f en appliquant l’approximation du milieu

semi-infini, avec les données de la figure 4.2 . . . 127

0.1 Introduction

Contexte de l’étude

Les milieux poreux constituent une grande part de notre environnement.

En particulier, les milieux naturels (sols, roches, tissus organiques) sont essen- tiellement faits de milieux poreux. Le transport dans ces milieux présente par conséquent un intérêt fondamental pour la compréhension des différents mé- canismes complexes qui gèrent l’environnement naturel et pour la préservation d’un environnement sain.

Le développement d’outils de modélisation et de prédiction dans un contexte de contamination de l’environnement par des rejets liés aux activités humaines représente donc un enjeu sociétal important. C’est dans ce cadre que le présent travail s’inscrit.

Les milieux poreux constitués d’une matrice solide autour de laquelle des fluides peuvent se mouvoir. Cette hétérogénéité, la présence de la matrice solide qui impose aux écoulements des conditions aux limites très complexes, font que le champ des vitesses d’un fluide à petite échelle peut être représenté à l’aide d’une moyenne, et de fluctuations. La moyenne peut être rattachée à la vitesse de Darcy grâce à divers procédés d’homogénéisation [3]. Les fluctuations imposent d’autre part des mouvements aux particules de fluide et de soluté. La dispersion résume l’effet de ces fluctuations et de la diffusion moléculaire, sur le mouvement d’un traceur : c’est le sujet de ce travail.

On modélise en général la dispersion à l’aide de la loi de Fick et de l’équation

d’advection dispersion (ADE), en conformité avec les résultats de l’homogénéi-

sation. Ceci équivaut à représenter les mouvements à petite échelle à l’aide du

mouvement Brownien. Or, dans certains milieux poreux très hétérogènes ou non

saturés, des résultats expérimentaux suggèrent d’utiliser d’autres modèles. En

de nombreuses circonstances, le Modèle Mobile/Immobile (MIM)[24][109] est

en meilleur accord avec les expériences [41]. Il est fondé sur l’idée que fluide et

traceur se répartissent tous deux en deux phases, mobile et immobile : le flux de

traceurs est donné par loi de Fick appliquée à la phase mobile, et les deux phases

échangent de la matière selon une cinétique d’ordre 1. A l’échelle microscopique,

ce modèle correspond à un mouvement Brownien soumis à un changement de

temps aléatoire [11], et ce processus est approché par des marches au hasard ac-

cumulant des étapes mobiles et immobiles de durées aléatoires, mais possédant

une moyenne finie. A l’échelle macroscopique, la densité de traceur immobile

s’obtient en appliquant une convolution (de noyau exponentiel) à la densité

mobile. On a ainsi un opérateur non-local, dont le noyau (ou fonction mémoire) représente l’effet du passé sur le présent. Dans de nombreux milieux naturels où l’existence d’une phase immobile est plausible voire évidente, ce modèle ne suffit cependant pas pour décrire la dispersion. Ce point est bien mis en évi- dence lorsque les expériences produisent des courbes de percée dont la traînée reste significativement importante aux grands temps. En effet, les solutions du MIM peuvent avoir des traînées très épaisses, cependant elles finissent par dé- croître exponentiellement. Or, certaines expériences suggèrent plutôt des lois de puissance, en meilleur accord avec le plus récent [100] fractal Mobile/Immobile Model (fMIM). Ce dernier est fondé sur la même idée que le MIM, sauf que la densité de traceur immobile s’obtient (dans le cas de fMIM) en appliquant à la densité mobile une convolution dont le noyau est une puissance et non pas une exponentielle. A l’échelle microscopique, le fMIM correspond encore à un mouvement Brownien subordonné, lui même approché par des marches au ha- sard. Cette fois-ci elles incorporent des immobilités dont la durée est distribuée par une loi (de probabilité) stable de Lévy. L’équation d’advection dispersion (ADE), fondée sur le mouvement Brownien, le MIM et le fMIM, sont trois modèles qui méritent d’être envisagés lorsqu’on cherche à représenter quantita- tivement la dispersion dans un milieu poreux. On a besoin pour cela d’outils adaptés de simulation numérique et de méthodes permettant de déterminer les paramètres sur la base de données expérimentales. Nous préciserons ces points dans le cadre du fMIM.

Motivation et objectifs de la thèse

Il est souhaitable de pouvoir appliquer le modèle fMIM, parmi d’autres mo-

dèles, à des données de traçage recueillies dans des milieux poreux divers. On

pense tout d’abord aux milieux non saturés et aux sols. Il s’agit cependant d’un

modèle récent, pour lequel on a besoin d’outils de simulation que l’on a bien en

main, et dont on peut vérifier la précision. Nous concentrons donc nos efforts

sur ce modèle. Les marches au hasard et la discrétisation des équations aux

dérivées partielles (edp) fractionnaires en temps fournissent de tels outils de

simulation, présents au laboratoire EMMAH. Ils ont été conçus pour résoudre

le fMIM lorsque ses paramètres sont constants ou au contraire dépendent de

la variable d’espace. Notre premier objectif est de montrer comment les utili-

ser, comment les comparer entre eux ou avec des solutions exactes, pour être

certain de la qualité du résultat. Le modèle fMIM est une e.d.p avec quatre

paramètres indépendants. Face à des données expérimentales correspondant à

un problème pour lequel le fMIM pourrait convenir, on a besoin de déterminer les paramètres de ce dernier qui correspondent le mieux. Ceci est indispensable pour comparer avec d’autres modèles. Par conséquent, un second objectif est de proposer à une méthode d’inversion permettant d’estimer ces paramètres à partir de données expérimentales.

Plan du mémoire :

Le mémoire se compose de cinq parties qui s’articulent de la façon suivante :

· Le premier chapitre présente succinctement la dynamique de déplacements dispersifs en milieu poreux homogène, ainsi que les équations générales qui la gouvernent. Ce chapitre contient l’étude bibliographique non exhaustive per- mettant l’analyse du cadre théorique et expérimental des différents processus de transport.

· Le deuxième chapitre aborde de façon synthétique les éléments de la théo- rie des probabilités appliqués au problème que nous allons aborder. Ce chapitre expose aussi de façon plus détaillée comment ces outils sont appliqués aux pro- blèmes de transport. La théorie de l’intégration et de la dérivation fractionnaire appliquée aux phénomènes de transport anormal et le lien avec le point de vue probabiliste sont également rappelés.

· Au chapitre trois, sont abordées la présentation et la formulation mathéma- tique du problème physique en question en s’appuyant sur les outils théoriques du chapitre précédent. On rappelle quelques modèles fractionnaires mis en oeuvre dans le cas du transport anormal. La modélisation à l’aide des marcheurs aléatoires est aussi décrite. Les méthodes analytiques ainsi que les méthodes nu- mériques pour la résolution des équations aux dérivées partielles d’ordre non entier sont discutées. Les solutions de ces équations différentielles fractionnaires sont comparées aux densités obtenues par marche aléatoire.

· Dans le quatrième chapitre, nous abordons l’inversion du modèle de dis- persion étudié, le MIM fractionnaire, avec pour objectif de mettre en place une méthode pour extraire ses paramètres. La formulation mathématique basée sur la méthode des moments est présentée. Des tests sur l’efficacité de la méthode sont effectués et discutés.

· Le cinquième chapitre concerne la conclusion et les perspectives.

Le phénomène de diffusion dans un milieu poreux

1.1 Introduction

Dans de nombreuses circonstances, le déplacement d’un soluté dans un mi- lieu poreux homogène ou hétérogène saturé suit une évolution en temps et en espace régie par un processus de diffusion. Le processus de diffusion qui re- présente le transport de solutés dans un tel milieu repose donc, à l’échelle des particules de soluté, sur le mouvement Brownien. A l’échelle macroscopique ce processus se traduit par une équation de convection-dispersion souvent désignée par l’acronyme anglais ADE.

Il y a une correspondance bien établie entre les aspects macroscopiques et microscopiques du processus de diffusion. Les modèles de type advection- dispersion sont basés sur la représentation de deux phénomènes supposés res- ponsables de transport en milieu poreux homogène et saturé. Le premier concerne le flux advectif qui entraîne les éléments du soluté par un écoulement plus ou moins simple. Il correspond à une moyenne effectuée sur l’ensemble des parti- cules dispersées. Ceci revient à accepter l’idée qu’une mesure de vitesse de cet écoulement change lorsqu’on recommence la mesure, même en régime station- naire.

Le second est le flux dispersif qui représente la propagation des éléments du soluté au sein même de l’écoulement. Le processus dispersif vient de la diffusion moléculaire et de la variabilité de l’écoulement convectif : il prend en compte les fluctuations locales de la vitesse de l’écoulement.

L’ensemble de ces deux processus (convection et dispersion) est en général caractérisé par une propriété intrinsèque au milieu poreux dans lequel s’effectue le transport. Cette propriété traduit un lien direct entre l’évolution en temps de la diffusion et son étalement dans l’espace sous la forme d’une constante

12

qui représente le rapport entre la variance des moments des déplacements dûs aux fluctuations de la vitesse de l’écoulement, et le temps pendant lequel on mesure. C’est un coefficient de diffusion ou de dispersion. La constance de ce coefficient de dispersion est intimement liée aux lois classiques du transport en milieu homogène telles les lois de Fick. Cette propriété d’invariance du couple temps et espace est la marque de la diffusion normale. On peut souvent mesurer ou plutôt estimer la valeur de ce rapport. Si le mouvement Brownien représente la dispersion dans un milieu, il est constant.

Pour un milieu hétérogène, cette caractéristique de dispersion peut varier et dépendre de l’échelle, ce qui nous fait sortir du cadre de l’hypothèse des modèles de type convection-dispersion. La prise en compte de cette variabilité du coef- ficient de dispersion oblige à reconsidérer l’hypothèse d’homogénéité dans un sens plus large. C’est l’idée à la base de la théorie d’homogénéisation qui cherche à substituer l’hétérogénéité par des propriétés d’ensemble, à des échelles bien choisies. D’un autre point de vue, il s’agit de considérer un milieu homogène équivalent (milieu effectif) et d’en étudier la réponse au niveau macroscopique sans se soucier de détails aux échelles inférieures à celle qu’on considère. Sou- tenue par des théories mathématiques bien établies, cette approche a ouvert la voie à d’importants progrès qui ont permis d’aborder la complexité des phé- nomènes de transport en milieu hétérogène. La pertinence de cette approche repose sur la possibilité de considérer que les propriétés de dispersion varient suivant au moins deux échelles caractéristiques bien distinctes du milieu, dont le rapport permet d’établir un "petit paramètre" de développement. Cette condi- tion peut ne pas être réalisée dans un milieu naturel tel que le sol ou les aquifères hétérogènes dont les propriétés physiques possèdent des variabilités complexes voire aléatoires ou partiellement inconnues. Des tentatives pour généraliser la théorie de l’homogénéisation à des contextes aléatoires ont été effectuées par quelques auteurs [15][111].

Même si on pouvait disposer d’une description complète du milieu, celle-ci serait si compliquée et ferait intervenir tellement d’échelles différentes qu’il serait im- possible de résoudre le problème complet de manière analytique ou numérique.

La représentation des mouvements de soluté à l’aide d’un processus aléatoire

peut simplifier énormément l’analyse en vertu des théorèmes limites. L’appli-

cation de théorèmes limites permet de passer d’une description probabiliste à

l’échelle microscopique à une description aussi probabiliste à l’échelle macro-

scopique. C’est l’approche que nous avons développée. Elle consiste à adopter

une modélisation qui intègre les caractères aléatoires du milieu. Cette modé-

lisation est basée sur l’utilisation des marches au hasard qui représentent le transport à l’échelle microscopique. Avant de présenter en détail nos travaux dans les chapitres suivants, nous avons trouvé utile d’aborder ce mémoire de thèse par une description générale du phénomène de transport par diffusion dans les milieux poreux. L’objectif de ce chapitre est d’une part de donner un aperçu sur les principes et les bases du transport par diffusion dans un cadre normal (classique), mais aussi de donner une synthèse bibliographique des observations expérimentales qui soutiennent l’importance de la diffusion anormale. Rappe- lons ici que notre objectif n’est pas de faire une synthèse supplémentaire de la large bibliographie déjà existante sur ce sujet. Nous nous proposons simplement de présenter des résultats qui ont retenu notre attention. Ces observations de diffusion anormale constituent en effet une des motivations du sujet que nous abordons dans cette thèse.

1.2 Modèle classique de transport par diffusion

Historiquement, l’estimation quantitative de la diffusion remonte aux travaux de Fick (1855). La loi de Fick prédit que dans un milieu immobile, le flux d’un soluté à travers une surface unitaire est proportionnel au gradient de la concentration. Sous sa forme unidimensionnelle, celle-ci s’écrit :

F lux = − D∂ x C(x, t) (1.1)

où le coefficient de proportionnalité D représente le coefficient de diffusion du milieu physique considéré. La fonction C (x, t) représente la concentration du soluté au point x à l’instant t.

Combinée avec la loi de conservation de la masse, la loi de Fick donne lieu à l’équation de la diffusion appelée aussi l’équation de la chaleur :

∂ t C(x, t) = D ∇ ² C (x, t) (1.2) Pour un fluide en mouvement, il faut rajouter à cette diffusion des particules du soluté, une dispersion due aux variations de vitesse du fluide transportant les particules. Cette opération conduit au modèle d’advection-dispersion (ADE) :

∂ t C (x, t) + ∇ · ⟨ v ⟩ C (x, t) = D ∇ ² C (x, t) (1.3)

où ⟨ v ⟩ est la vitesse moyenne du fluide. A cette formulation macroscopique de la

diffusion correspond une description probabiliste à l’échelle des particules du so-

luté basée sur le modèle de déplacement d’un nuage de particules sous la forme

d’un mouvement Brownien. Cette correspondance fut établie pour la première fois dans les travaux d’A. Einstein en 1905. Dans cette représentation duale de la diffusion, C(x, t) représente aussi bien la concentration des particules que leur probabilité de présence P (x, t) = θC (x, t) où θ représente la teneur en solvant du milieu. Le point clé de cette construction qui permet de passer de l’échelle microscopique à l’échelle macroscopique repose sur l’application d’outils ma- thématiques tels que le théorème central limite. En effet, l’importance accordée au modèle de diffusion et la question de son application à des milieux à grande échelle repose sur ce théorème qui implique que la somme de variables aléatoires (qui représentent des variations à petite échelle) indépendantes mais distribuées par une même loi de probabilité possédant une variance finie, converge vers une distribution gaussienne, qui constitue une solution standard de l’équation de la diffusion (1.3). En d’autres termes, la loi normale est un attracteur pour les lois de probabilité possédant une variance finie. Une illustration de l’accord entre un histogramme de déplacements obtenu à partir d’un nuage de particules ef- fectuant un mouvement Brownien et la solution gaussienne (1.2) est donnée sur la figure 1.1.

Figure 1.1 – Comparaison entre un histogramme d’un mouvement Brownien simulé et la solution de l’équa- tion de diffusion (1.2) d’après Gorenflo et Minardi (2002). A gauche on a un diagramme semi logarithmique représentant en abscisses les positions d’un ensemble de marcheurs aléatoires, et en ordonnées leur densité. Les points représentent cette densité par l’intermédiaire d’un histogramme, les traits pleins correspondent à la solu- tion de l’équation de la diffusion. Le paramètres α = 2 définit dans un ensemble plus vaste la loi de probabilité gaussienne des sauts du mouvement Brownien. La partie de droite montre des échantillons de sauts (en bas) et latrajectoire d’une particule (haut).

Ce résultat illustre le lien entre la diffusion normale et la loi de probabi-

lité gaussienne. En effet, un des critères permettant de confirmer la validité du

modèle d’advection dispersion, (ADE), consiste à tester si les grandeurs obser- vées (concentration, histogramme) sont gaussiennes. Il est devenu ainsi habituel d’attribuer le caractère "non-gaussien" comme le critère principal qui décrit la diffusion anormale.

1.3 Observation du transport anormal

Avant d’aller plus loin, rappelons brièvement ce que nous entendons par le qualificatif "non gaussien". De nombreux résultats publiés montrent que dans un milieu saturé homogène, les courbes de concentration d’un contaminant non réactif sont généralement symétriques et s’apparentent facilement à des lois gaussiennes. Les profils spatiaux représentés sur la partie gauche de la figure 1.2 illustrent ceci. Souvent, il faut attendre un peu pour observer de tels profils, et les observations effectuées aux temps courts montrent des dissymétries entre la partie montante et la partie descendante des profils. Lorsque le milieu est hé- térogène en structure (agencement de différents types de grains) ou bien lorsque le milieu devient insaturé (présence de phase "air" en plus de la phase liquide), la courbe de concentration peut présenter selon l’échelle étudiée une traînée qui détruit sa symétrie, de manière persistante lorsque le temps d’observation augmente. A cause de cette asymétrie, on parle de transport "non-gaussien"

ou également de "non Fickien". Une représentation schématique des caracté- ristiques de diffusion anormale est illustrée par la partie droite de la figure ci-dessous, due à Berkowitz et al [13]

Différentes expériences rapportent des observations de longues traînées de restitution des traceurs aux temps longs (comportement asymptotique). D’un point de vue plus théorique, ce caractère asymétrique des lois de probabilité (ou des concentrations), au-delà du fait de traduire un écart avec la loi normale, montre aussi que l’on peut être en présence d’une dynamique marquée par des effets de grands déplacements ou de stagnation des particules. Expérimentale- ment, on parle dans ce cas de temps de percée courts ou d’effets de traînée.

On attribue formellement à ces régimes de transport respectivement les termes de super-diffusion ou sous-diffusion. Dans ce paragraphe, nous allons donner une brève synthèse des résultats d’observations expérimentales de la diffusion anormale. Plusieurs observations du transport anormal ont été rapportées dans la littérature. Elles suggèrent que les processus à la base des observations ne peuvent pas être décrits convenablement avec le modèle d’advection-dispersion.

On peut distinguer ces observations selon l’échelle considérée en deux catégories

Figure 1.2 – Illustration schématique de l’effet de la dispersion anormale sur l’allure de courbes de percée, d’après Berkowitz et al. (2000)

suivant qu’elles sont réalisées en laboratoire ou en conditions in-situ. Un autre critère de distinction consiste à regarder le degré d’homogénéité et de satura- tion en fluide du milieu. En adoptant ces critères, il apparaît que l’existence d’un régime de transport anormal peut s’observer aussi bien à l’échelle d’une colonne de laboratoire qu’à l’échelle d’une parcelle en milieu naturel et ceci pour différents types de milieux (aussi bien en milieux poreux comme l’argile ou le sable [12][17] que pour les milieux fracturées comme les roches [25]). Des expériences [18] indiquent aussi que dans un milieu homogène (colonne remplie de sable) et saturé en eau, la concentration en traceur passif (ici du bromure) peut ne pas présenter le caractère gaussien. Ces expériences, qui correspondent en fait à un écoulement assez complexe, ont été interpretées par Benson et al [9] en suggérant que les courbes issues des observations sont liées à des lois α- stables. Lévy et Berkowitz [60] ont proposé trois séries d’expériences en colonne permettant de voir l’effet de l’hétérogénéité du milieu sur le régime transport.

Pour cela, ils ont considéré un milieu homogène, un milieu hétérogène à distri- bution uniforme et un milieu hétérogène aléatoire. Ces expériences ont montré que pour un milieu hétérogène, l’écart à la loi gaussienne est observé après un temps long et à forte vitesse d’advection. Les résultats en milieu hétérogène suivent la même tendance avec des écarts plus marqués.

Des résultats incompatibles avec les équations (1.2) ou (1.3) ont aussi été ob-

tenus dans des conditions in-situ. Sur le site de Cape Cod [40], qui est un aqui- fère alluvial de faible hétérogénéité, les résultats de Benson et al [10] montrent que la concentration de contaminants dans le panache pour des temps suffisam- ment longs s’écarte de la loi gaussienne et paraît mieux représentée par des lois α-stables. Des expériences similaires ont été menées pour des milieux naturels fortement hétérogènes. L’expérience MADE (Macrodispersion Experiment) sur le site de Columbus (Mississippi) a été mise en oeuvre pour tester l’applicabilité du modèle de macrodispersion (une variante de l’advection-dispersion) pour un aquifère alluvial fortement hétérogène [1]. Un des principaux résultats issus de cette campagne est rapporté par [6] sur la figure 1.3 ci-dessous. Les courbes de restitution des traceurs injectés dans le milieu montrent une nette asymétrie qui n’est pas accéssible par les modèles de type ADE. D’autres résultats issus

Figure 1.3 – Figure : Courbes de restitution de plusieurs essais de traçage au bromide sur le site de Mirror Lake en domaine cristallin fracturé. D’après Becker et Shapiro (2003).

du même site ont été auparavant rapportés dans [102]. Ces résultats montrent que les panaches de soluté obtenus dans des expériences sur ce site présentent des pics et des formes asymétriques caractéristiques d’un comportement non- gaussien. Les processus principaux contrôlant le profil de concentration dans ces expériences restent peu expliqués. Parmi les tentatives d’explication, Har- vey et Gorelick [51] et Zheng et al [112] mettent en avant l’influence des chemins préférentiels et des zones de stagnation. Plus tard, Benson et al [8] ont montré que les résultats de l’expérience MADE pouvaient être représentés par des lois α-stables dont nous donnerons dans le chapitre suivant la définition et le rôle dans la dispersion anormale.

D’autres expériences présentent des résultats comparables [28][30][53][89][113].

Nous notons les observations [23][93] qui décrivent le transport de radio-éléments fortement plus rapides que ce qu’on pourrait espérer par la loi de Fick. Une bi- bliographie sur différentes expériences sur le transport anormal peut être trou- vée dans l’article de revue [75].

La figure 1.4 présente les résultats obtenus par Raven et al. [96] sur un milieu poreux fracturé. Ce résultat indique qu’il est impossible d’ajuster le modèle ADE aux données expérimentales, que ce soit en amplitude ou au niveau de la traînée. Ces auteurs introduisent dans leur modèle un terme de stockage transitoire qui rend compte de la présence de zones d’eau stagnante dans les fissures.

Figure 1.4 – Comparaison de données expérimentales sur une fracture simple avec le modèle ADE et un modèle incluant un terme de stockage transitoire, d’après Raven et al. (1988).

Pour finir cette brève synthèse bibliographique, nous rappelons les résultats

de Bromly et Hinz [17] obtenus à partir de données expérimentales réalisées sur

trois colonnes de longueurs respectives 10, 20 et 40 cm. Les colonnes avaient été

remplies de sable recompacté dans des conditions contrôlées de façon à avoir

un milieu poreux artificiel homogène. Dans ces colonnes un écoulement insa-

turé avait été etabli. Les courbes de percée obtenues à la sortie des colonnes

présentent des ailes épaisses caractéristiques du transport non-gaussien repré-

sentées sur la figure 1.5 ci-dessous. Elles montrent que même dans un milieu

homogène, la dynamique du transport dans un milieu poreux insaturé peut ne

pas être représentée par le modèle ADE. Bien que ces résultats ne concernent que des expériences en laboratoire, en remarquant que le régime insaturé est la situation la plus fréquente dans les milieux poreux naturels, on peut mesu- rer ici la portée des résultats de Bromly et Hinz. Nous n’oublions pas aussi de mentionner qu’il existe de nombreux résultats associés à la diffusion normale (dynamique gaussienne) pour des milieux homogènes en régime saturé.

Figure 1.5 – Comparaison entre un modèle ADE (en pointillés) et un modèle de marche aléatoire CTRW

(en trait plein) pour représenter des résultats d’expériences (cercles) en laboratoire d’après Bromly et Hinz [17]

1.4 Conclusion

Les résultats que nous avons rapportés suggèrent que le modèle d’advection- dispersion n’est pas toujours satisfaisant pour décrire la dynamique du trans- port dans les milieux naturels, en particulier dans des conditions hétérogènes et/ou insaturées. Ces constatations ouvrent la discussion sur la complexité de l’explication physique qu’on doit mettre en face des observations. Elles mettent aussi en évidence la nécessité de trouver des outils qui permettent d’estimer et de représenter les processus mis en jeu. Certains des travaux que nous avons présentés tentent d’apporter une contribution à cette question. En particulier, les études menées par Bromly et Hinz [17] montrent que le modèle MIM et les marches au hasard de temps continu (CTRW) modélisent mieux les obser- vations quand celles ci mettent en évidence des comportements non-gaussiens.

Nous notons aussi les différents travaux de Benson qui associent la famille des lois α-stables de Lévy pour représenter les concentrations de traceurs. Ceux-ci montrent que la modélisation de ces observations de la diffusion anormale re- quiert un cadre probabiliste à petite échelle, plus général que la loi normale.

D’autre part, les nombreuses observations indiquant des longues traînées de

restitution de traceurs aux temps longs sont généralement interprétées comme

la manifestation d’un transport non Fickien sous-diffusif [5][6][48][107]. Un tel

régime de diffusion peut être associé à des effets de mémoire. Ces effets de mé-

moire constituent l’aspect de la diffusion anormale que nous traitons dans cette

thèse. Dans le chapitre suivant, nous abordons la description des différents ou-

tils théoriques nécessaires à la description d’un modèle de diffusion anormale

avec effets de mémoire.

Outils Théoriques

2.1 Introduction

Nous présentons dans ce chapitre d’une part des notions de base de la théo- rie des probabilités utiles à la résolution de problèmes de transport de masse.

D’autre part nous présentons d’une manière synthétique et unifiée les éléments de calcul fractionnaire dont nous aurons besoin, en particulier les intégrales et dérivées d’ordre non entier nécessaires à l’utilisation du modèle fMIM. Compte tenu de la complexité des milieux poreux naturels, les phénomènes de transport de soluté qui s’y déroulent présentent en effet des caractéristiques aléatoires.

Leur modélisation à petite échelle (échelle microscopique) requiert alors l’utili- sation d’outils de probabilité : les déplacements des éléments de soluté peuvent être modélisés par des marches aléatoires à l’échelle microscopique.

Quand ces marches aléatoires sont non-gaussiennes, la migration des élé- ments de soluté peut dépendre de mécanismes différents de ceux correspondant à la diffusion normale. Les propriétés du milieu ainsi que les multiples inter- actions entre les processus sont difficiles à décrire. Mais leurs effets peuvent occasionner de la diffusion plus rapide (super- diffusion) ou de la diffusion plus lente (sous-suffusion) que la normale. Les régimes de diffusion rapide peuvent être représentés par des marches aléatoires incluant la possibilité d’effectuer de très grands sauts [57][83]. Tandis que la sous-diffusion se traduit par la possi- bilité pour les particules de soluté de pouvoir être piégées longtemps dans le milieu poreux. Ces immobilisations de particules se modélisent par des marches aléatoires incluant des temps d’attente entre deux sauts pouvant être très longs dans le cas du modèle fMIM. Ces temps d’attente sont mathématiquement re- présentés par des variables aléatoires distribuées par des lois stables.

La modélisation de la sous-diffusion à l’échelle des observations macrosco- piques fait intervenir des opérateurs non-locaux en temps pouvant rendre compte

22

d’effets de retard dans le transport (on parle alors d’effets de mémoire).

Le modèle fMIM incluant des dérivées d’ordre non entier ou fractionnaire en temps est une généralisation du modèle de l’équation d’advection dispersion.

Rappelons que l’équation d’advection dispersion modélise la diffusion classique dont la représentation à petite échelle est donnée par des marches aléatoires gaussiennes dont la limite hydrodynamique est le mouvement Brownien.

2.2 Notion de variable aléatoire

La notion de variable aléatoire peut être directement liée à la définition du hasard. En d’autres termes, une variable aléatoire représente le résultat d’une épreuve dont on ne connait pas par avance le résultat, qu’on ne peut donc pas prédire de manière exacte. Une variable aléatoire est donc particulièrement indiquée pour représenter le résultat d’une mesure : en général on ne trouve pas le même résultat lorsqu’on recommence la mesure.

Une variable aléatoire est caractérisée par l’ensemble des valeurs qu’elle peut prendre et par l’expression mathématique de la probabilité d’avoir ces valeurs.

Cette expression définit la loi de probabilité (ou distribution de probabilité) de l’épreuve considérée. Ainsi, à une épreuve donnée on peut associer une variable aléatoire et identifier la loi suivie par celle-ci.

Dans notre situation, les grandeurs aléatoires qu’on souhaite modéliser sont à valeurs réelles, ce sont des variables aléatoires continues. Pour une variable aléatoire X , l’expression donnant la probabilité pour que X prenne sa valeur dans un intervalle de valeurs possibles se définit de la manière suivante :

Soit (Ω, A , P ) un espace probabilisé où Ω est l’univers et A une σ-algèbre de Ω qui représente l’ensemble des évènements et P une mesure de probabilité, telle que P (Ω) = 1. Pour tout intervalle [a, b] ∈ A , on a :

P (a < X ≤ b) = ^{∫ b}

a f (x)dx (2.1)

où f : R → R est la densité de probabilité de X .

Pour pouvoir considérer P (a < X ≤ b) pour a < b ∈ R , il faut que ∀ a <

b ∈ R l’intervalle ]a, b[ appartienne à l’ensemble A des ensembles mesurables.

La fonction densité de probabilité f (x) doit être positive. Elle doit de plus admettre une primitive et vérifier

∫

R f (x)dx = 1 pour que P (Ω) = 1 (2.2)

D’un point de vue infinitésimal, on a

P (X ∈ [x, x + dx]) = f (x)dx. (2.3) La variable aléatoire peut aussi être caractérisée par la fonction de répartition définie par

F (x) = P (X ≤ x) = ^{∫ x}

−∞ f (t)dt (2.4)

F (x) est une fonction monotone continue à gauche. C’est en fait une primi- tive de la densité de probabilité f et elle constitue dans certains cas un meilleur moyen que f (x) pour estimer la loi d’une variable aléatoire. La figure 2.1 repré- sente une illustration de la relation entre la fonction de répartition F (x) et la densité de probabilité correspondante. Un autre intérêt pratique de la fonction de répartition est qu’elle permet de calculer la probabilité de tout intervalle dans R :

P (X ∈ [a, b[) = F (b) − F (a). (2.5)

−1 0 1 2 3 4 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Densité de probabilité Fonction de répartition

Figure 2.1 – Exemple de densité de probabilité (ici une loi lognormale) et de fonction de répartition d’une variable aléatoire continue

Une autre grandeur qui décrit la loi de distribution d’une variable aléatoire

est la fonction caractéristique. Elle permet de déterminer, de façon unique, la

loi de probabilité de X . Si X a pour densité f , la fonction caractéristique est

la transformée de Fourier de la densité de probabilité. Les valeurs en zéro des

dérivées successives de la fonction caractéristique permettent de calculer les

moments de la variable aléatoire. La fonction s’écrit donc comme :

φ _X (x) = ^∫

R e ^ixt f (t)dt. (2.6)

La fonction caractéristique est parfois le meilleur moyen de caractériser une variable aléatoire lorsque celle-ci ne possède pas de forme explicite pour sa densité de probabilité. Nous verrons que c’est le cas des variables aléatoires suivant les lois stables de Lévy.

2.2.1 Moments d’une variable aléatoire

Une variable aléatoire X : Ω → R de densité f est dite : (i) - intégrable si ^∫ R | x | f (x)dx < + ∞ .

Ceci est le moment d’ordre 1, soit la moyenne pondérée : E (X ) = µ = ^∫

R xf (x) dx;

(ii) - de carré intégrable si E (X ² ) = ^{∫ R} x ² f (x)dx < + ∞ .

La variance est le moment d’ordre 2 dont la racine carrée est l’écart-type, c’est la mesure de dispersion de X autour de son espérance :

V ar(X ) = σ ² = E (X ² ) − ( E (X )) ² = ^∫

R (x − µ) ² f (x)dx

Pour définir des moments d’ordre supérieur, il existe une relation entre les moments et la fonction caractéristique d’une variable aléatoire. Lorsque les mo- ments de la variable aléatoire X existent alors :

ϕ X (x) = ^{+ ∑ ∞}

k=0

i ^k w _k

k! t ^k (2.7)

où w k est le moment d’ordre k de la variable X . Il est facile de voir par exemple que

1 = ϕ X (0); E (X ) = − iϕ

_X (0); E (X ² ) = ϕ

_X (0).

2.2.2 Loi de probabilité gaussienne

La loi normale appelée aussi loi gaussienne, est une des principales distri-

butions de probabilité qu’on évoque fréquemment pour interpréter les obser-

vations. Elle se présente comme une limite de nombreuses distributions. Elle

est décrite par une courbe en "cloche" symétrique autour de la valeur moyenne

(qu’on notera µ). On sait, par exemple, qu’une loi de probabilité binômiale de

paramètre n tend vers la loi normale quand ce paramètre n devient très grand.

Plus généralement, on remarque souvent que lors d’observations expérimentales, la moyenne calculée sur un échantillon tend à suivre une loi normale quand la taille de l’échantillon augmente, même si l’échantillon initial a une toute autre distribution de probabilité. Ces simples constatations montrent l’importance de la loi normale et traduisent le fait qu’elle attire d’autres lois de probabi- lité. Cette importance de la loi normale qui se présente comme un attracteur s’énonce par la propriété plus générale du théorème de la limite centrale vu à la fois comme modèle pour décrire des situations pratiques mais aussi comme un outil théorique dont on en parlera dans le paragraphe qui suit après avoir défini ce qu’est une loi de probabilité "attracteur".

On dit que la variable aléatoire X suit une loi gaussienne (ou normale) de paramètre µ ∈ R et σ ² > 0 et on note X ∼ N (µ, σ ² ) si X possède la densité de probabilité

f (x) = 1

√ (2σ ² π) exp( − (x − µ) ²

2σ ² ). (2.8)

Lorsque les deux paramètres µ = 0 et σ ² = 1 on dit que la variable aléatoire qui suit une loi normale est centrée réduite. Les figures 2.2 et 2.3 représentent des lois de distribution de probabilité normales.

−5 0 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

σ²=1 µ=0 σ²=0.5 µ=0 σ²=1.5 µ=0 σ²=1 µ=1

Figure 2.2 – Exemples de densités de probabilité de variables aléatoires suivant la loi normale

−5 0 5 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

σ²=1 µ=0 σ²=0.5 µ=0 σ²=1.5 µ=0 σ²=1 µ=1

Figure 2.3 – Exemple de fonction de répartition de variable aléatoire de loi normale

Le terme d’attracteur est utilisé dans plusieurs domaines de la science, avec des sens qui peuvent être différents. Rappelons ce que signifie ce mot en termes de probabilités.

Notion d’attracteur

Définition : (d’après Feller [36]) Soit F la fonction de répartition d’une suite de variables aléatoires indépendantes X n . On dit qu’une loi de probabilité de fonction de répartition G est un attracteur pour la loi de fonction de réparti- tion F ou encore que F est dans le domaine d’attraction de G, s’il existe une suite de nombres (A _n ) et (B _n ) avec B _n ≥ 0 telle que la fonction de répartition de

X 1 + ... + X n

B _n − A n tend vers G lorsque n → ∞ .

Domaine d’attraction d’une loi de probabilité

Nous admettons le résultat suivant : seules les lois stables (que nous abor-

derons après avoir parlé de la loi normale), ont un domaine d’attraction non

vide, comme l’indique le théorème suivant : "Une loi de probabilité G possède

un domaine d’attraction non vide si et seulement si elle est stable. Il existe

un grand nombre de lois stables mais qui se distinguent par leur comportement

asymptotique." (Gnedenko et Kolmogorov [42]). Ceci permet de préciser le terme

d’attracteur utilisé pour la loi normale.

2.2.3 Version simplifiée du théorème de la limite centrale

Le théorème de la limite centrale nous dit à quoi on peut s’attendre en matière d’une somme de variables aléatoires indépendantes (de même loi) et identiquement distribuées lorsqu’on la centre, en lui soustrayant sa moyenne, et qu’on la réduit, en la divisant par son écart-type. Sous des conditions assez larges, la loi de probabilité (de la moyenne) tend vers une loi normale centrée réduite, ce qu’on peut écrire :

Soit (X n ) n>1 une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et iden- tiquement distribuées telles que µ = E (X ₁ ) < + ∞ et σ ² = ^√ V ar(X ₁ ) > 0. On note X ¯ n = _n ^{1 ∑ n} _j=1 X j la moyenne empirique. Alors pour n → + ∞ ,

√ n

σ ( ¯ X n − E (X 1 )) → Y ∼ N (0, 1) On peut écrire encore

Y 1 + ... + Y n ≈ nµ + σ √

n N (0, 1) (2.9)

Comme bon nombre de phénomènes naturels sont dûs à la superposition de causes nombreuses plus ou moins indépendantes, il est tout à fait légitime de s’attendre à ce qu’ils soient distribués selon des lois possédant la propriété d’attractivité. Or, une vaste classe de lois plus générales que la loi normale joue le même rôle lorsque les X n n’ont pas de variance finie. Pour ces lois, il faut réduire la somme des variables aléatoires dans (2.9) par un coefficient différent de n

. Ces lois forment la famille des lois α-stables. Elles ont été introduites par Lévy [61].

Après avoir parlé de la simulation d’une variable aléatoire de loi gaussienne sur ordinateur, on abordera la notion de loi α-stable et la généralisation du théorème centrale limite.

2.2.4 Simulation de la réalisation d’une variable aléatoire

Afin de réaliser des simulations numériques de marche aléatoire, il est néces- saire de pouvoir simuler numériquement les sauts et les temps d’attente associés.

Il s’agit donc de simuler la réalisation de variables aléatoires dont on connait les

lois de distribution de probabilité. Une telle approche est communément appe-

lée "méthode de Monte-Carlo". D’une manière générale, toutes les procédures de

simulation d’échantillons pseudo-aléatoires sont basées sur le théorème suivant

qui stipule que toutes les distributions sont liées à la loi uniforme :

Théorème de la réciproque : Pour une variable aléatoire de fonction de répar- tition F, on note G sa réciproque généralisée, définie par

G(ω) = inf { x ∈ R | F (x) ≥ ω } .

Si U désigne une variable aléatoire réelle uniforme sur [0,1], alors la variable aléatoire X = G(U ) a pour fonction de répartition F . Par exemple la variable aléatoire Y = − ln(U )/λ est distribuée selon la loi exponentielle de paramètre λ, [64].

Principes de la simulation

Pour simuler des variables aléatoires d’une loi donnée, on dispose principa- lement de deux moyens :

1. L’inversion de la fonction de répartition. En effet si la fonction de répar- tition de la loi est F et U une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1]

alors la loi de X = F ^{− 1} (U ) a comme fonction de répartition F . F ^{− 1} est ici l’inverse à droite de F , c’est-à-dire que

F ^{− 1} (α) = inf { x, F (x) ≥ α } . (2.10) On utilise cette méthode pour la simulation de variables aléatoires à valeurs discrètes telles que, la loi exponentielle, ou la loi de Weibull.

2. Dans le cas où la fonction de répartition ne s’inverse pas bien mais où l’on connaît la densité f , on utilise la méthode de rejet. L’idée de la méthode de rejet repose sur le théorème suivant : Soit f une fonction de densité de probabilité. On suppose qu’il existe une densité de probabilité g telle que :

∃ K > 0, ∀ x ∈ R , f (x) ≤ Kg(x).

Soit alors Z une variable aléatoire distribuée suivant la loi de densité g et Y une variable uniforme sur [0, Kg(Z )]. Alors la variable aléatoire X = { Z | Y ≤ f (Z ) } est distribuée selon la loi de probabilité f .

Pour effectuer des simulations probabilistes sur ordinateur, on utilise un gé-

nérateur de nombres pseudo-aléatoires. Un tel générateur retourne une suite

(x n ) n de nombres réels compris entre 0 et 1. Ces réels sont calculés avec un

algorithme déterministe simulant une réalisation de variables aléatoires sui-

vant la loi uniforme sur [0, 1]. Le bon comportement de la suite est vérifié à

l’aide de tests statistiques. En supposant qu’on dispose d’un bon générateur de

nombres pseudo-aléatoires uniformement distribués, nous pouvons construire une variable aléatoire de loi donnée, avec une attention particulière pour les lois usuelles notamment, la loi exponentielle, la loi normale.

Méthode polaire pour la simulation de la loi normale centrée réduite

Proposition : Soient R de loi exponentielle de paramètre ¹ ₂ et Θ de loi uniforme sur [0, 2π] indépendantes alors X = √

R cos(Θ) et Y = √

R sin(Θ) sont des variables indépendantes, de loi normale N (0, 1), de densité ^{√ 1} _2π exp( ⁻ ₂ ^x

).

Nous appliquons la méthode de la fonction muette : Soit f : R ² → R une fonction bornée. Nous avons

E (f (X, Y )) = E (f ( √

R cos Θ, √

R sin Θ))

= 1

4π

∫ ∞ 0

∫ 2π 0 f ( √

ϱ cos θ, √

ϱ sin θ)e

dϱ dθ.

Le changement de variable (x, y) = φ(ϱ, θ) = ( √ ϱ cos θ, √ ϱ sin θ) est une bi- jection C ¹ ainsi que son inverse de ]0, ∞ [ × ]0, 2π[ sur R ² \{ (x, 0) : x ≥ 0 } . Sa matrice jacobienne est

D(x, y) D(ϱ, θ) =



 cos(θ)/(2 √ ϱ) − √ ϱ sin(θ) sin(θ)/(2 √ ϱ) √ ϱ cos(θ))





ce qui entraîne que dx dy = ¹ ₂ dθ dϱ. Nous concluons par la formule de change- ment de variable que

E (f (X, Y )) = 1 2π

∫

R

f (x, y) e ⁻

2−y2

2

dx dy

D’après ce qui précède si (U ₁ , U ₂ ) est un couple de variables uniformes sur [0, 1] indépendantes ( − 2 ln(U 1 ), 2πU 2 ) = (R, Θ). Ce qui entraîne que

( ^√ − 2 ln(U ₁ ) cos(2πU ₂ ), ^√ − 2 ln(U ₁ ) sin(2πU ₂ )) = (X, Y )

Nous concluons que X et Y sont deux variables gaussiennes normales centrées réduites indépendantes. La simulation d’une gaussienne non réduite N (m, σ) s’en déduit par une transformation affine.

Z = m + σX ou Z = m + σY.

Pour simuler une variable aléatoire gaussienne, on a donc besoin de 2 va-

riables aléatoires uniformes. Par contre on obtient 2 variables aléatoires pour

prix d’une.