2 Raisonnements par l'absurde

TD 0 Ensembles, logique, applications

1 Raisonnement par la contraposée

Exercice 1.1 :

Soitn∈N? En utilisant la contraposée, montrer que :

(n²−1)n'est pas divisible par 8⇒nest pair.

Indication : Tout nombre impair s'écrit sous la forme4k+ 1ou4k+ 3. Exercice 1.2 :

Soita∈R+. Montrer par la contraposée que :

∀ >0, a < ⇒a= 0 Exercice 1.3 :

Soientaet b∈R.

1. Montrer que :

a+b /∈Q⇒a /∈Qoub /∈Q 2. Que dire de la réciproque ?

Exercice 1.4 :

Soit(a₁, a₂, ..., a_n)∈Rⁿ+ etM >0. Montrer que :

n

X

k=1

ak > M ⇒max(a1, ...an)> M n

2 Raisonnements par l'absurde

Exercice 2.1 :

On suppose connu (voir cours) que√

2est irrationnel. Soit(m, n, p, q)∈Q⁴. Montrer que : m+n√

2 =p+q√

2⇔m=pet n=q.

Exercice 2.2 :

Soitn∈N^∗. Démontrer par l'absurde que :

nest le carré d'un entier⇒2nn'est pas le carré d'un entier.

Exercice 2.3 :

Soitn≥1un entier naturel. On se donnen+ 1réelsx0, x1, . . . , xn∈ 0,1

vériant0≤x0≤x1≤ · · · ≤xn≤1. On veut démontrer par l'absurde la propriété suivante :

Il y a deux de ces réels qui sont distants de moins de ¹_n.

1. Ecrire à l'aide de quanticateurs et des valeursxi−x_i−1une formule logique équivalente à la propriété.

2. Ecrire la négation de cette formule logique.

3. Rédiger une démonstration par l'absurde de la propriété.

3 Raisonnement par analyse synthèse

Exercice 3.1 :

Trouver toutes les fonctionsf :N→Rvériant :

∀(m, n)∈N², f(m+n) =f(m) +f(n) Exercice 3.2 :

Trouver toutes les fonctionsf :R→Rvériant :

∀(m, n)∈R², f(x)f(y) =f(xy) +x+y

4 Quanticateurs et négation d'assertions

Exercice 4.1 : (négation) : Donner la négation des armations suivantes : 1. S'il pleut alors je prends mon parapluie.

2. Chaque été, il pleut au moins un jour à Toulouse.

3. ∀x∈A, x≥2 4. ∃y∈B:y >5 5. 2≤x <3

Exercice 4.2 : (négation lvl up) : Donner la négation des armations suivantes : 1. ∀x∈A,∃y∈B:x < y

2. ∃x∈I:∃y∈I:f(x)6=f(y) 3. ∀n∈N, u_n≤4

4. ∀ >0,∀x∈R,∃η >0 :∀y∈R,|x−y|≤η⇒|f(x)−f(y)|≤

5. ∀ >0,∃η >0 :∀(x, y)∈R²|x−y|≤η⇒|f(x)−f(y)|≤

Exercice 4.3 :

Ecrire les assertions suivantes avec des quanticateurs : 1. La suite(u_n)est minorée par 12.

2. La suite(un)est minorée.

3. La suite(un)n'est pas minorée.

4. La suite(un)est bornée.

5. La fonctionf est constante surR.

6. La fonctionf s'annule surR.

7. La fonctionf admet un minimum surR.

Exercice 4.4 : (ordre des quanticateurs) :

1. Une seule des deux propositions suivantes est vraie. Laquelle et pourquoi ? (a) ∀x∈R,∃y∈R:x < y

(b) ∃x∈R:∀y∈R, x < y

2. Laquelle des deux propositions suivantes implique l'autre et pourquoi ? (a) ∀ >0,∀x∈R,∃η >0 :∀y∈R,|x−y|≤η⇒|f(x)−f(y)|≤

(b) ∀ >0,∃η >0 :∀(x, y)∈R²|x−y|≤η⇒|f(x)−f(y)|≤

3. Y a t-il une diérence entre les deux asertions suivantes ? (a) ∀x∈R,∀y∈R^∗, x²+y²>0

(b) ∀y∈R^∗,∀x∈R, x²+y²>0

4. Y a t-il une diérence entre les deux asertions suivantes ? (a) ∃x∈R,∃y∈R^∗, x²+y²>0

(b) ∃y∈R^∗,∃x∈R, x²+y²>0

5 Ensembles

Exercice 5.1 : (manipulation) : Soit E un ensemble et soientAetB ∈ P(E)telles queA∪B=A∩B. Montrer queA=B.

Exercice 5.2 : (manipulation) : SoitE un ensemble et(A, B, C)∈ P(E)³. Montrer que : A\(B∪C) = (A\B)∩(A\C).

Exercice 5.3 : (ensemble de tous les ensembles) : On considèreE l'ensemble de tous les ensembles.

1. On considère l'ensembleA={a∈E|a /∈a}. (a) Que se passe t-il siA∈A?

(b) Que se passe t-il sA /∈A? 2. Conclure quand à l'existence deE.

6 Applications injectives, surjectives et bijectives.

Exercice 6.1 : O n considère les fonctions :

f : N → N

n 7→ n+ 1 et g:

N → N

n 7→

(0 sin= 0 n−1 sinon 1. Les applicationsf et gsont elles injectives ? surjectives ?

2. Calculerf ◦g etg◦f.

Exercice 6.2 : S oientE,F et Gtrois ensembles,f :E→F et g:F →Gdeux applications:

1. Montrer queg◦f injective⇒f injective. Que dire deg? 2. Montrer queg◦f surjective⇒g surjective. Que dire def ?

Exercice 6.3 : S oitE un ensemble non vide etA⊂Etelle que A6=E. On considère les applications :

f : P(E) → P(E)

X 7→ X∩A et g: P(E) → P(E)

X 7→ X∪A

Les applicationsf etg sont elles injectives ? surjectives ? Exercice 6.4 : O n considère l'application :

f : R² → R²

(x, y) 7→ (x−3y,2x+ 4y) Montrer quef est bijective.

Exercice 6.5 : O n considère la fonctionf :R²→R² dénie∀(x, y)∈R² par :

f(x, y) = (−3x+ 4y−4

5 ,4x+ 3y+ 2

5 )

1. Calculerf ◦f.

2. En déduire quef est bijective et donnerf⁻¹.

7 Image directe, image réciproque

Exercice 7.1 : O n considère la fonction :

f : R → C

x 7→ ^1+ix_1−ix

1. Montrer quef est bien dénie.

2. La fonctionf est elle injective ? surjective ? 3. Déterminerf⁻¹(R)etf(R).

Exercice 7.2 : S oientE et F deux ensembles etf :E→F. 1. Montrer que∀A∈ P(E), A⊂f⁻¹(f(A)).

2. Montrer que∀B∈ P(F), B⊃f(f⁻¹(B)).

3. Montrer que∀A∈ P(E), A=f⁻¹(f(A))⇔f est injective.

4. Montrer que∀B∈ P(F), B=f(f⁻¹(B))⇔f est surjective.

Exercice 7.3 : S oientE et F deux ensembles etf :E→F. Montrer quef est bijective⇔ ∀A∈ P(E), f(C_E^A) =C_F^f(A)

8 Récurrence

Exercice 8.1 :

Démontrer les trois formules du formulaire suivantes :

•

n

P

k=0

k= 1 +...+n=ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂

•

n

P

k=0

k²= 1 + 2²+...+n²=n(n+1)(2n+1) 6

•

n

P

k=0

k³= 1 + 2³+...+n³= (ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ )²

Exercice 8.2 :

Démontrer que∀n∈Net ∀x∈R, on a :

|sin(nx)|≤n|sin(x)| Exercice 8.3 :

Soientaet b∈Rainsi que(un)une suite vériant pour toutn∈N: u_n+1=au_n+b

1. Dans le cas oùa= 1, exprimerun en fonctiondenet u0. 2. On suppose quea6= 1.

(a) Résoudre l'équation :

l=al+b (b) On pose pour toutn∈N

v_n=u_n−l Montrer que(vn)est géométrique.

(c) En déduire l'expression deu_n en fonction deu₀ et den. (d) Sous quelles conditions, la suite(un)est-elle convergente ? Exercice 8.4 :

Soitc∈R^∗+. On considère la fonction dénie pour toutx∈Rpar : f(x) = x

√1 +cx²

Calculerf(f(x)),f(f(f(x)))puis généraliser.

Exercice 8.5 :

Soit(un)la suite dénie par :

u0= 2, u1= 5et∀n∈N, un+2= 5un+1−6un

Montrer que∀n∈N,un= 2ⁿ+ 3ⁿ.

Exercice 8.6 :

SoitAune partie deN^∗ contenant1et vériant :

∀n∈A,2n∈A ∀n∈N^∗, n+ 1∈A⇒n∈A

1. Montrer que pour toutn∈N, on a2ⁿ∈A. 2. Montrer queA=N^∗.

Exercice 8.7 :

Soitf :N→Nsurjective telle que∀n∈Non ait f(n)≥n. Montrer que∀n∈N, f(n) =n.