1 Rappel : cas des probabilités finies

Chapitre 3

—

Probabilités

Pour éviter tout excès de technicité, les définitions utilisées dans ce chapitre se- ront un peu édulcorées par rapport à celles utilisées par les probabilistes dans la littérature, mais seront amplement suffisantes pour nous.

I Le triplet fondamental

1 Rappel : cas des probabilités finies

Notation : Pour un ensembleΩ, on noteP(Ω)l’ensemble de toutes les parties deΩ: P(Ω) ={A| A⊂Ω}

Remarque :

SiΩest de cardinal finin, on a card(P(Ω)) = . . . .

Rappel de définition :

Pour tout ensemble fini non videΩ, on appellemesure de probabilitépsur(Ω,P(Ω)) toute applicationp:P(Ω)→Rtelle que

i ∀A∈ P(Ω), on a06p(A)61 ii p(∅) = 0; p(Ω) = 1

iii Pour tout couple(A, B)d’éléments incompatibles deP(Ω), on a p(AtB) =p(A) +p(B)

Le triplet(Ω,P(Ω), p)est alors appeléespace probabilisé.

Étant donné un espace probabilisé fini(Ω,P(Ω), p), on rappelle également le vocabu- laire suivant :

on appelleΩl’ensemble fondamental(ou l’univers).

Un élément deΩest appeléépreuve(ou événement fondamental.)

Exercice

Montrer que la conditionp(∅) = 0est redondante.

Exemple :

Une compagnie pétrolière dispose de 4 bateaux numérotés de 1 à 4. Les bateaux 3 et 4 sont plus récents. L’expérience est la suivante : pour faire un voyage, le compagnie choisit un des bateaux, avec une probabilité deux fois plus importante de choisir un bateau récent qu’un bateau ancien.

On modélise cette expérience par le triplet fondamental(Ω,P(Ω), p)suivant : Ω ={1,2,3,4}et pdécrit par

i 1 2 3 4

p({i}) ¹₆ ¹₆ ¹₃ ¹₃

La probabilité de l’événement{1,3}(choisir le bateau 1 ou 3) est donc p({1,3}) = 1

6+1 3 =1

2.

Remarque :

On rappelle que l’univers Ω est l’ensemble de tous les résultats possibles "a priori" d’une expérience. Si on connait à l’avance toutes les possibilités (par exemple pour un lancé de dé), l’univers peut être énoncé clairement. (Par exemple, Ω ={1, . . . ,6} pour le dé.)

Dans le cas d’une expérience dont on ne connait pas à l’avance l’ensemble des résultats (par exemple si on étudie l’ensemble des effets secondaires d’un médica- ment), on ne pourra pas forcément décrire distinctementΩ. Il y aura forcément toujours une part d’inconnu. (Dans le cas des effets secondaires, il se peut en effet qu’apparaisse un jour un effet non détécté jusque là.) Ceci n’est pas forcément un problème. La plupart du temps, on n’aura pas besoin d’énoncer l’univers en détail, mais simplement de savoir qu’il existe, surtout dans le cadre des variables aléatoires que nous (re)verrons dans quelques temps. (. . .à méditer. . .)

Partant de ce principe, on peut donc être confronté très rapidement à l’étude d’ensembles fondamentaux infinis. Par exemple, on lance une pièce de monnaie et on s’arrête dès que l’on obtient "pile".

Si on veut décrire cette expérience dans le détail, on peut par exemple représenter chaque épreuve par une série de lettres P et F qui représente dans l’ordre l’obten- tion d’un pile ou d’un face. (FFFP représenterait donc l’obtention de trois "faces"

avant l’obtention du premier pile.) ou encore par un nombre qui représenterait le rang d’obtention du premier pile. (qui serait donc "4" dans le cas de "FFFP").

Dans les deux cas, l’univers obtenu est infini :

- cas 1 :Ω ={P, F P, F . . . F P |la longueur deF . . . F est quelconque.}.

- cas 2 :Ω =N^∗.

Il semble difficile, même en changeant la description, de décrire cette expérience avec unΩfini, puisqu’on ne sait paspar avanceà quel moment on va s’arrêter ! Essayez, vous verrez...

On souhaite donc généraliser la définition d’espace probabilisé à des ensembles fondamentaux infinis. Quelques difficultés surviennent alors.

i La définition est notamment insuffisante pour calculer la probabilité d’une réunion infinie d’événements.

ii Se contenter d’utiliser comme ensemble d’événements P(Ω) se révèle in- suffisant pour l’étude des probabilités en général, notamment dans le cas de l’étude des probabilités à densité (que nous verrons un peu plus tard).

Cependant, cet aspect technique de construction d’univers ne sera que très brièvement évoqué cette année. (cfci-après.)

2 Cas général : mesure de probabilité

2 . a

Notion de tribu

Commentaires :

Jusque là, rappelons que pourΩfini, une mesure de probabilité p est uneappli- cationdont le domaine de définition étaitP(Ω)(et nonΩ!)

Par exemple, sur l’exemple de la compagnie pétrolière (page 1), si on veut la pro- babilité de "choisir le bateau 1 ou 2", il nous fautp({1,2}). Or {1,2} 6∈Ω, mais {1,2} ∈ P(Ω)!

CommeP(Ω) existe pour n’importe quel ensemble Ω(fini ou infini) on pourrait imaginer que pour un Ω quelconque (non fini), on peut tout simplement généra- liser la définition du cas fini sans modifications. En réalité, pour Ω quelconque, c’est un peu plus subtil. En fait, l’ensemble P(Ω) sur lequel est défini p se révèle quelquefois "un peu trop grand".

Par exemple, imaginons l’expérience suivante : on lance deux fléchettes sur une cible carré lontaine de côté1mètre et on suppose que l’on est en capacité de me- surer ensuite exactement la distance entre les deux impacts. On obtient alors un universΩ =

0,√ 2

(unité en mètre) (à méditer !)

il existe dans cet intervalleΩdes sous-ensembles tellement compliqués et bizarres qu’on ne s’y intéressera jamais dans le cadre des probabilités. (exemples HP) En revanche, il est tout à fait pertinent de vouloir s’intéresser à des intervalles, des réunions d’intervalles, des interserctions d’intervalles, etc... Or, il existe dansR des ensembles qui ne s’expriment pas sous cette forme ! ! (HP)

Voilà pourquoi, pour définir une probabilité, il va falloir restreindre P(Ω) à des cas "plus simples à étudier" :

Imaginons donné un triplet (Ω,T, p), avecT ⊂ P(Ω). Si p:T →[0; 1]doit être une probabilité, il est clair qu’elle doit au moins conserver les propriétés de base d’une probabilité finie. On doit donc au moins avoir

∅ ∈ T etΩ∈ T ;

A, B∈ T ⇒ A∪B∈ T

A∈ T ⇒ A¯∈ T

Dans le soucis d’avoir la possibilité de construire des espaces infinis, on aimerait également que, pour toute suite(An)_n∈N dansT, on ait S

n∈N

An∈ T. Ces observations amènent aux définitions ci-après.

Définition :

Soit Ω un ensemble fondamental et T ⊂ P(Ω). On dit que T est une tribu (ou σ-algèbre) surΩsi

Ω∈ T,

T est stable par passage au complémentaire, (i.e. siA∈ T, alorsA¯∈ T.)

T est stable par réunion dénombrable : (i.e. pour toute suite(A_n)_n∈NdeT, on a

+∞

S

n=0

A_n∈ T.)

Contre exemples :

1 Si Ω ={1,2,3,4}, l’ensemble

∅,Ω,{1},{1,2} n’est pas une tribu.

2 Si Ω =Z, l’ensemble

∅,Ω,{1},{2},{3}, . . .} n’est pas une tribu.

Exemples :

SoitΩun ensemble fondamental.

1 {∅,Ω}est une tribu.

2 P(Ω)est une tribu quelquesoitΩ.

3 Si Ω ={1,2,3,4}, une tribu surΩpeut êtreT =

∅,Ω,{1,2},{3,4}

4 Si Ω =N, une tribu surΩpeut êtreT ={∅,Ω,2N,2N+ 1}

Exercice

SoitT une tribu surΩ. Montrer que 1.Si A, B∈ T, alorsA/B∈ T.

2.T est stable par intersection dénombrable.

Définition :

Pour tout ensembleΩet toute tribuT surΩ, on appelle le couple(Ω,T)unespace probabilisable( ouespace mesurable).

2 . b

La tribu des Boréliens

Commentaires :

Si l’ensemble fondamental est R ou un intervalle de R, pour les raisons tech- niques légèrement évoquées précédemment, la tribu associée n’est pas, (sauf très rares exceptions), l’ensembleP(Ω), mais une autre tribu, plus petite.

Analyse du problème :

Pour pouvoir effectuer des calculs raisonnables, il faudrait que cette tribu contiennent au minimum les intervalles et les réunions d’intervalles.

Proposition / Définition :

Si l’universΩ⊂Rest un intervalle, il existe une tribu ayant les propriétés suivantes : - elle contient l’ensembleC={[a, b] |a, b,∈Ω}de tous les intervalles fermés bornés dansΩ

- il n’existe pas de tribu plus petite contenantC On la noteB(Ω). On l’appelle tribu des borélienssurΩ.

Exercice Montrer que

1.Tout intervalle]− ∞;a]ou[a; +∞[appartient à B(R).

2.Tout intervalle ouvert appartient àB(R).

3.Tout intervalle semi ouvert appartient àB(R).

Remarque :

Conformément à ce qui a évoqué en début de paragraphe, la tribu des boréliens surRn’est pas du tout égale àP(R)!

2 . c

Espace probabilisé

Définition :

Étant donné un ensembleΩet une tribuT surΩ, on appellemesure de probabilité psur(Ω,T)toute applicationp:T →Rtelle que

i ∀A∈ T, on a 06p(A)61 ii p(∅) = 0; p(Ω) = 1 iii axiome deΣ−additivité :

. . . . . .

Le triplet(Ω,T, p)est alors appeléespace probabilisé.

Remarque :

La convergence de la série X

n∈N

p(An) est en réalité une hypothèse redon- dante. En effet, c’est une série à termes positifs et majorée (par 1) :

∀n∈N,

n

X

k=0

p(Ak) =p

n

G

k=0

Ak

! 61

L’ordre dans lequel on fait la somme desp(A_n)n’importe pas. On rappelle en effet que nous avons vu dans le chapitre sur les séries que si la série est convergente et de termes positifs (ce qui est le cas ici), on pouvait sommer dans n’importe quel ordre.

Si on suppose Ω fini, T = P(Ω) et que l’on se donne A_n = ∅ à partir d’un certain rang dans la troisième hypothèse, onretrouve la définition d’une mesure de probabilité finiedonnée en première année.

Cette année, les tribus utilisées seront, soit P(Ω) (probabilités finies ou discrètes), soit la tribu des boréliens (probabilités à densité.)

Commentaires :

Un triplet fondamental peut être obtenu par construction mathématique purement conceptuelle (Choix d’un ensemble Ω, construction d’une application p vérifiant les hypothèses d’une mesure de probabilité). Néanmoins, il n’a de sens véritable que s’il est associé à une expérience aléatoire, pour laquelle il constituera une modélisation.

Exemple :

On sait bien que le triplet ({1, . . . ,6},P({1, . . . ,6}), p) où p(n) = 1 6 pour n= 1, . . . ,6 est une modélisation possible d’un lancé de dé.

Commentaires :

Comme un espace probabilisé est, dans tous les cas censés, une modélisation d’une expérience aléatoire, le vocabulaire suivant est cohérent.

Définition :

Étant donné un espace probabilisé(Ω,T, p),

i on appelleΩl’ensemble fondamental(ou l’univers).

ii Un élément deΩest appeléépreuve.

iii Un élément deT est appeléévènement.

iv Pour un évènement A ∈ T, l’événement A¯ = A^c est appelé évènement contraire de A.

v Si deux événementsAetB sont disjoints, alors ils sont dits incompatibles.

3 Cohérence avec les propriétés connues

Remarque :

Les propriétés ci-dessous, déjà connues dans le cadre des probabilités finies se généralisent aisément à toutes les mesures de probabilités. (à traiter en exercice)

Propriété

On se donne un espace probabilisé(Ω,T, p) et des événementsA, B∈ T. i Si AetB sont incompatibles, alorsp(AtB) =p(A) +p(B) ii p( ¯A) = . . .

iii Si A⊂B, on ap(A)6p(B)etp(B\A) = . . . .

iv Pour Aet B quelconques, p(A∪B) =. . . .

Exercice 1 Montrer que p(A∪B∪C) =

p(A) +p(B) +p(C)

−

p(A∩B) +p(A∩C) +p(B∩C)

+p(A∩B∩C)

2 Montrer que, de manière générale, p(A1∪. . .∪An) = X

16i6n

p(Ai)− X

16i<j6n

p(Ai∩Aj) +. . .+ (−1)ⁿ⁻¹p(A1∩. . .∩An) Pour la culture, cette formule se trouve dans la littérature sous le nom de formule de Poincaré.... (et non pas de "Pointcarré").

4

S

n=1

A

et systèmes complets

Commentaires :

Notons que les opérateurs de réunion et d’intersection ont toujours le même sens que dans le cas des probabilités finies :

i L’événement

+∞

S

n=1

Ancorrespond à l’événement "au moins un des événements A_n se produit."

ii L’événement

+∞

T

n=1

An correspond à l’événement "tous les événements An se produisent."

Définition :

Étant donné(Ω,T, p)un espace probabilisé,A∈ T un événement etI⊂N. On dit que la famille(Ak)k∈I est un système complet d’événements(ou une partition) de Asi :

. . .

. . .

. . .

Commentaires :

Pour un ensemble A, la famille (Ak)k∈I dans T est donc un système complet d’événements si et seulement si :

- deuxA_k distincts ne peuvent se produirent en même temps - l’ensemble desA_k forme toutes les possibilités pour obtenir A.

Exemples :

1 Si on cherche le rang d’apparition du premier pile lors d’une série de lancers de pile ou face, on pose

An : "Obtenir Pile au rangn" ∀n∈N^∗ et A0 : "Ne jamais obtenir Pile"

Alors(An)n∈Nest un système complet d’événements de l’univers.

2 Si Ω = Net A l’ensemble des nombres pairs. Alors, en posant An ={2n}

pour tout entiern, on trouve que (An)n∈N est un système complet d’événements deA.

Faire attention aux mélange de notations. Le système complet est une famille d’événements, pas une réunion ! Explication :

{A_k}_k∈I 6= [

k∈I

A_k

| {z }

=A

Remarque :

On peut bien entendu avoir A = Ω. On parle alors d’un système complet (ou partition) (de l’univers).

Si on oublie de préciser de quel événement est issu le système complet, par dé- faut, on considère que c’est un système complet de l’univers. Il faut donc être vigilant. . .

Commentaires :

Dans la suite (cas des probabilités discrètes ou à densité), nous auront besoin d’une notion plus souple, d’où la définition ci-dessous

Définition :

Étant donné(Ω,T, p) un espace probabilisé, on dit que la famille(A_k)_k∈N est un système quasi-complet d’événementsdeA∈ T si :

. . .

. . .

. . . .

Convention d’écriture pour la suite du cours : Pour faciliter les notations, on a indexé ci-dessus (et dans la suite du cours) les systèmes complets surN. En réalité, rien n’empèche queAk=∅ pour certainsk.

Si par exemple,Ak =∅ pour toutk > N, on a en fait un système quasi-complet fini : (Ak)06k<N où la somme

+∞

P

k=0

p(Ak)devient une somme finie

N

P

k=0

p(Ak).

Remarque :

i Dans la seconde définition, on n’impose pas que S

k∈I

Ak =A, mais seulement queP

A\

S

k∈I

Ak

= 0).

Ceci impose d’accepter qu’il existe des événements non vides de probabilité nulle !

ii Tout système complet de A est aussi un système quasi-complet, mais le contraire est faux. (cf.Exemple ci-dessous.)

iii Attention, quand A6= Ω, la notion de système quasi-complet est plus dif- ficile à manipuler que celle de système complet et de surcroît, rarement utilisée. En effet, c’est généralement la probabilité deAque l’on cherche à déterminer. Il est donc difficile de vérifier l’égalité. On préferera donc l’uti- lisation d’un système complet de A 6= Ω plutôt que d’un quasi-complet) Dans le cas deA= Ω, les sytèmes quasi-complets peuvent en revanche sou- vent s’avérer très utiles mais nécéssitent généralement une démonstration préalable.

Exemples :

1 Si on cherche le rang d’apparition du premier pile lors d’une série de lancers de pile ou face, on pose

An : . . . ∀n∈N^∗

Alors(An)n∈N est un système quasi-omplet d’événements de l’univers (si on veut bien admettre pour l’instant queP("ne jamais obtenir Pile") = 0)

2 On choisit un nombre au hasard entre0 et1 (0 et1 inclu.).

On associe à cette expérience l’ensemble fondamentalΩ = [0; 1] et la tribuB des boréliens.

Comparons les systèmes suivants :

A1= [0; 1/2[et A2= [1/2; 1] (1) et

B1=]0; 1/2[et B2= [1/2; 1] (2).

Le système(1)est clairement un système complet pourΩ = [0; 1], car A1∪A2= Ω

Mais

B1∪B2=]0; 1]6= Ω

Donc le système (2) n’est pas complet. Néanmoins, la probabilité de tomber exactement sur 0 est nulle. (Pour l’instant, il faut se contenter de l’intuition, nous prouverons ceci un peu plus tard.) Ainsi, on a en fait

p(B1∪B2) = 1−p(B1∪B2) = 1−p({0}) = 1 Le système(2)est donc quasi-complet.

Commentaires :

Un système complet étant un cas particulier de système quasi-complet, toutes les propriétés suivantes sont donc valables dans les deux cadres...

Propriété : (Découpage par système quasi-complet)

On se donne un espace probabilisé(Ω,T, p).

Si(An)_n∈Nest un système quasi-complet d’événements de(Ω,T, p)etB un événement quelconque, alors

p(B) =p B∩ G

n∈N

An

= . . . .

Démonstration :

PosonsC le complémentaire dansΩde

+∞

F

n=0

A_n. AlorsΩ =Ct

+∞

F

n=0

A_n puis p(B) = p(B∩Ω) =p(B∩Ct^+∞F

n=0

A_n)

= p (B∩C)t(B∩

+∞

F

n=0

An)

=p(B∩C) +P(B∩

+∞

F

n=0

An) Or,B∩C⊂C, d’où0≤P(B∩C)≤P(C) = 0et doncP(B∩C) = 0.

On en déduit que

P(B) =P(B∩

+∞

G

n=0

An) =

+∞

X

n=0

P(B∩An)

II Probabilités conditionnelles

1 Définition

Commentaires :

On rappelle que, dans le cas des probabilités finies, on sait que la probabilité d’un événement A connaissant déjà la réalisation d’un autre événement B tel quep(B)6= 0 peut s’écrire (sous réserve de définition)pB(A) =p(A∩B)

p(B)

Cette formule est dûe tout simplement à une interprétation de l’arbre de probabilité suivant :

Ω

A

A

B B B B p(A)

p(A)

pA(B) p_A(B)

pA(B) pA(B)

p(A∩B)

p(A∩B)

p(A∩B)

p(A∩B)

Heureusement, on peut étendre cette notion à l’ensemble de toutes les mesures de probabilités.

Théorème

Pour tout événementB de l’espace probabilisé(Ω,T, p), vérifiantp(B)6= 0. L’ap- plication

pB : T → R⁺ A 7→ p(A∩B)

p(B) est une mesure de probabilité sur(Ω,T, p).

Démonstration : exercice

Notation :L’applicationpB se note quelquefoisp(•/B).

Remarque :

Le plus souvent, on connaîtpB(A)et on cherche à calculerp(A∩B). Les formules utilisées dans ce cas sont donc celles données ci dessous

Propriété

Pour tout événementA, B∈ T d’un espace probabilisé(Ω,T, p), on a

p(A∩B) =pB(A)p(B) sip(B)6= 0 ou p(A∩B) =pA(B)p(A) sip(A)6= 0

Commentaires :

Si p(B) = 0, commeA∩B⊂B, on a égalementp(A∩B) = 0.

Si on attribue àpB(A)n’importe quelle valeur, la formulep(A∩B) =pB(A)p(B) peut quand même prendre un sens, car

pB(A)p(B) = 0 =p(A∩B)

Les formules établies par la suite seront toutes écrites suivant cette convention

2 Formule des probabilités composées

Théorème (Formule des probabilités composées)

Soient (Ω,T, p) un espace probabilisé, n un entier supérieur ou égal à 2 et A₁, . . . , A_n ∈ T. On a alors

p(A₁∩. . .∩A_n) = . . . Démonstration :exercice

Exemple :

On dispose d’une urne contenant n boules dont 5 boules blanches. On tire sans remise 3 boules. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 boules blanches ?

————–

Solution

————–

On noteBil’événement "obtenir une boule blanche aui^èmetirage". On cherche doncp(B1∩B2∩B3): D’après la formule des probabilités composées,

p(B₁∩B₂∩B₃) = p(B₁)p_B1(B₂)p_B1∩B2p(B₃) Or, par équirobabilité des tirages, on a

p(B₁) = 5

n ; p_B1(B₂) = 4

n−1 ; p_B1∩B2p(B₃) = 3 n−2 D’où

p(B1∩B2∩B3) = 5 n· 4

n−1 · 3 n−2

Commentaires :

Cette formule permet de démontrer des résultats que l’on considère souvent comme intuitifs, alors qu’ils ont en réalité (cf formule) une justification bien précise.

Remarque :

Cette formule est souvent utilisée quand les événementsA1, . . . , An sont donnés dans un ordre chronologique décroissant ; An ⊂ An−1 ⊂ . . . ⊂ A1. La formule s’écrit alors

p(An) =p(A1)pA₁(A2). . . pAn−1(An)

Exemple :

On reprend l’exemple précédent. On cherche toujours la probabilité d’obtenir 3 boules blanches.

————–

Solution

————–

On note A_i l’événement "obteniriboules blanche au i^èmetirage". On cherche doncp(A₃)et on sait que

A3⊂A2⊂A1

D’après la formule des probabilités composées pour des événements chronolo- giques,

p(A₃) = p(A₁)p_A1(A₂)p_A2p(A₃) Or, par équirobabilité des tirages, on a

p(A₁) = 5

n ; p_A1(A₂) = 4

n−1 ; p_A2p(A₃) = 3 n−2

D’où p(A3) = 5

· 4

− · 3

−

3 Formule des probabilités totales, version condition- nelle

Commentaires :

Si la formule des probabilités composées consiste à suivreune branched’un arbre de probabilités, la formule des probabilités totales ci-dessous consisterait plutôt à analyser la décomposition suivantses extrémités.

Ω

A

A

B B

p(A∩B)

p(A∩B)

p(A) =p(A∩B) +p(A∩B)

Théorème (Formule des probabilités totales)

Étant donné (Ω,T, p) un espace probabilisé, et (A1, . . . An, . . .) un système quasi- complet d’événements de(Ω,T, p). Alors, pour tout événementB∈ T, on a

p(B) = . . .

Démonstration :

On sait déjà, d’après le découpage en système quasi-complet démontré précé- demment, que

p(B) =

+∞

X

k=1

p(B∩Ak) (∗)

Or, pour tout k= 1, . . . , n, on a p(B∩Ak) =pA_k(B). On réinjecte dans(∗) et c’est terminé.

Exemple :

Suivant une étude (non contractuelle), on sait que la probabilitépkpour une famille d’avoirk enfants est telle que

po=p1=a, pk= (1−2a)2^−(k−1)∀k>2.

On part du principe que la probabilité d’avoir une fille ou un garçon est la même.

Quelle est dans ce cas la probabilité d’avoir exactement 2 garçons ?

————–

Solution

————–

Notons Gl’événement "avoir deux garçons" et En : "La famille a 2 enfants."

Alors le système{En}n>2 est un système complet de l’événementGet on a alors P(G) =

+∞

X

n=2

P(G∩E_n) =

+∞

X

n=2

P_En(G)P(E_n)

Or PE_n(G) = P("Il y a deux garçons etn−2filles") L’événement ci-dessus est l’ensemble des permutations de la listeGG F . . . F

| {z }

n−2fois

.

De plus, chacune de ces listes est de probabilité égale à₂¹_n par indépendance. Ainsi, comme on a ⁿ₂

permutations possibles, P_En(G) =

n 2

1

2ⁿ = n(n−1) 2

1 2ⁿ D’où

P(G) =

+∞

X

n=2

n(n−1) 2

1

2ⁿ(1−2a)2⁻⁽ⁿ⁻¹⁾= (1−2a)

+∞

X

n=2

n(n−1) 1

4ⁿ = (1−2a)1 4²

2 1−¹₄3

i.e.

P(G) = 8

27(1−2a)

4 Formules de Bayes

Théorème

Soit(Ω,T, p)un espace probabilisé. Pour tout A, B ∈ T tels que p(A), p(B)6= 0, on a que

pB(A) =p(A∩B)

p(B) = pA(B)p(A) p(B)

Exercice

Sur l’exemple précédent (probabilité d’avoir des enfants), déterminer la probabilité d’avoir exactement deux enfants sachant que la famille a exactement deux garçons.

(Après calcul, vous devez obtenir ²⁷₆₄.)

Remarque :

En exprimantp(B)grâce à un système complet d’événements, on généralise faci- lement à la formule suivante.(Exercice)

Théorème

Étant donné (Ω,T, p) un espace probabilisé, et (A1, . . . An, . . .) un système quasi- complet d’événements de(Ω,T, p). Alors, pour touti∈N^∗ etB∈ T, on a

pB(Ai) = pA_i(B)p(Ai)

+∞

P

k=1

p_Ak(B)p(A_k) où on aura posépA_k(B)p(Ak) = 0sip(Ak) = 0.

III Indépendance

On se donne un espace probabilisé(Ω,T, p).

Commentaires :

Instinctivement un événementA est indépendant de B, si la réalisation de A ne dépend pas de celle de B. Une restitution sous forme de formule serait donc la suivante :

pB(A) =p(A)

D’un autre côté, cette formule a l’air non symétrique entre A et B (ce qui est contraire à l’instinct. Heureusement, ce n’est qu’une impression.

Propriété

On se donne A, B∈ T tels que p(A), p(B)6= 0. Alors on a

p_B(A) =p(A) ⇔ p(A∩B) =p(A)p(B) ⇔ p_A(B) =p(B) Démonstration :

Soient A, B∈ T tels quep(A), p(B)6= 0. Alors on a

pB(A) =p(A)⇔p(A∩B)/p(B) =p(A)⇔p(A∩B) =p(A)p(B) De même, on pourra écrire

p(A∩B) =p(A)p(B)⇔p(B∩A)/p(A) =p(B)⇔pA(B)p(A)

Définition :

Étant donnéA, B ∈ T, on dit queAetBsont indépendants sip(A∩B) =p(A)p(B).

Remarque :

Toutes les propriétés vue en première année sur l’indépendance restent vraies.

(Les relire et les redémontrer.)

IV Cas où Ω est dénombrable : Probabilités discrètes

1 Préliminaires : les ensembles dénombrables

Définition :

On dit qu’un ensembleΩestdénombrables’il est en bijection avec un sous-ensemble deN. (Une telle bijection s’appelle unenumérotation...)

Exemples triviaux (ou presque !) :

tous les ensembles finis.

les entiers naturelsN,

les nombres pairs, les nombres impairs, ou encore tous les multiples aN d’un nombrea.

Autres Exemples :

Tout sous-ensemble infini d’un ensemble dénombrable,

les entiers relatifsZ.

Un peu plus difficile maintenant :

N×N(parcouplage de Cantor:)

1 2 3

0 1 2 3

1 2

3 4 5

6 7 8 9

11 12

13 18

17 24

0

0

De cet exemple, on déduit également Z×Zpuis Qdénombrable.

Pour finir : la réunionfinied’ensembles dénombrables.

A1 A2 A3 AN 1

2 3 4 5 .. .

. . . . . . . . . . . . . . .

1 2 3 N

N+ 1

et tout produitfinid’ensembles dénom- brables(exercice).

Contre exemple :

L’intervalle[0; 1[n’est pas dénombrable.(démonstration admise)

(Par conséquent) l’ensemble des réelsR, n’est pas dénombrable.

(Par conséquent) l’ensemble{0,1}^N n’est pas dénombrable.

Démonstration :

{0,1}^Nest en bijection avecRpar l’écriture en base2.

2 Probabilités discrètes

Définition :

On appelleespace probabilisé discret tout triplet(Ω,P(Ω), p)oùΩest un en- semble fondamental dénombrable. On dit alors quepest une(mesure de) probabilité discrète.

Remarque :

Dans ce cadre, on a souvent besoin d’évaluer la probabilité des événements élé- mentaires (Les {w} tels que w ∈ Ω). La tribu choisie est donc généralement T =P(Ω).

Commentaires :

Le lemme suivant (admis et énoncé dans le cadre des séries) appelé "théorème des familles sommables" signifie que, dès qu’une série positive est convergente, on peut additionner ses termes dans n’importe quel ordre. C’est ce que l’on fait "sans vraiment le remarquer" dans le cadre des calculs de probabilités ...

Lemme

Étant donné une suite(u_n)_n∈Npositive telle queX u_n

n∈N

converge, alors, pour toute permutation ϕ:N→N, on a

+∞

X

n=0

un =

+∞

X

n=0

uϕ(n)

Ce lemme donne un sens à la propriété ci-dessous.

Propriété

Étant donné un espace probabilisé discret (Ω,P(Ω), p), on observe en particulier que, ∀A∈ P(Ω), on a

p(A) = X

w∈A

p({w}) Cette somme ayant toujours un sens.

Démonstration :

• SiAest fini, alors il est clair que P

w∈A

p({w})est bien défini.

• Si A est infini, alors A est également discret. On peut noter A = {an | n ∈ Noùa_i6=a_j ∀i6=j}. On aA=

+∞

G

n=0

{a_n} et doncp(A) =

+∞

P

n=0

p({a_n}).

Comme tous lesp({an})sont positifs, d’après le théorème des familles sommables (cf chapitre série), on peut additionner ses termes dans n’importe quel ordre. La notation P

w∈A

p({w})a donc toujours un sens et

+∞

P

n=0

p({an}) = P

w∈A

p({w}).

Remarque :

Si (Ω,P(Ω), p) est un espace probabilisable discret, pour connaître p dans son intégralité, il suffit donc de connaîtrep({w})pour toutw∈ P(Ω).

Exemple :

On jette une pièce de monnaie équilibrée jusqu’à obtenir "pile". On aimerait savoir à quel moment on s’arrête.

Pour modéliser ce jeu, on a besoin d’une infinité de possibilités ! On peut par exemple introduire le modèle(Ω,P(Ω), p), oùΩ ={An |n∈N}et où :

? An désigne l’événement : "on obtient pour la première fois pile aun^èmelancé"

pour toutn>1

? et A₀ : "on n’obtient jamais pile".

Alors, on obtient raisonnablement que p(A_n) =

1 2

ⁿ

et p(A₀) = 0 (exercice.)

Ensuite, la probabilité d’obtenir pour la première fois un "pile" au cours des 10 premiers lancers est simplement obtenue par

p(A1) +p(A2) +. . .+p(A10)

Contre exemple :

SiΩest non dénombrable, la propriété n’est plus vraie. En effet, reprenons le même exemple que précédemment en changeant de modèle. PrenonsΩ ={P, F}^N, où une liste désigne clairement les résultats obtenus pour une infinité de lancers. Alors, pour chaque épreuvew∈Ω, on ap({w}) = 0. Il y a donc un petit problème ...

Le modèle{P, F}^Nn’est donc pas exploitable ici.

Corollaire

Pour toute suite(pk)k∈Npositive, tel que

+∞

P

k=0

pk = 1, il existe un espace probabilisé discret(Ω,P(Ω), p) tel quep({wk}) =p_k pour toutw_k∈Ω ={wn |n∈N}.

Remarque :

QuandΩest dénombrable, ce dernier corollaire dit que sous de bonnes conditions (i.e. P

ω∈Ω

p(ω) = 1), toute applicationp: Ω→[0,1]peut étre "prolongée" en une applicationp:P(Ω)→[0,1]qui est une mesure de probabilités discrètes.

Voilà également pourquoi on se contente de ne présenter dans ces cas là que les p({ω})(par exemple en faisant un tableau de probabilités siΩest de cardinal fini et petit.)