Rappel de physique
Introduction
Le but de ce chapitre est de vous rappeler un point important : lorsque vous avez un phénomène physique qui est décrit par des ondes, vous pouvez avoir des phénomènes d’interférences. Nous illustrons ceci en prenant comme exemple les franges d’interférences dues aux ondes de lumière.
Le point important est alors celui-ci : si dans un autre domaine nous observons des figures d’interférence, nous considérons que ce phénomène est associé à des ondes.
1.1 Interférences d’onde
Les équations de Maxwell dans le vide (et approximativement dans l’air)
∇ ∧E = −∂B
∂t
∇ ∧B = ε0µ0∂E
∂t = 1 c2
∂E
∂t
ont pour solution des ondes. En choisissant, en coordonnées cartésiennes, E = (E,0,0)
B = (0, B,0)
k = (0,0, k) = vecteur d’onde nous avons la solution sous forme complexe :
E =E0exp{i(ωt−kz)}
B =B0exp{i(ωt−kz)}
1
La relation de dispersionω =ω(k) est
ω=kc et il existe une relation entreE0 etB0 :
B0= E0
c
Pour la lumière visible, les longueurs d’onde sont dans le domaine entre700nm et400nm.
Les fréquencesν sont de l’ordreν =c/λ, c’est-à-dire entre5·1014 Hz et 7.5·1014Hz.
Le vecteur
S= E∧B µ0
est le vecteur de Poynting.Sa la dimension de Wm−2 et est dirigé selon le vecteurk. En théorie électromagnétique, S en tout point donne la direction du transport de l’énergie de l’onde électromagnétique.
En reprenant l’exemple de notre onde électromagnétique plane, la variation dekSk est : kSk = E0B0
µ0
cos2(ωt−kz) = E0B0 2µ0
{1 + cos [2 (ωt−kz)]}
= E02 2cµ0
{1 + cos [2 (ωt−kz)]}
Notre œil (ou une plaque photographique) ne réagit pas à des fréquences aussi rapides que celles des ondes électromagnétiques. En fait, il "intègre" sur un temps beaucoup plus grand queT = 2π/ω. Ce que nous voyons est donc :
I = Z T0
0
S(t)dt=hkSki
avec T0 T, et h·i indique une moyenne sur le temps.I n’a donc plus de dépendance temporelle rapide.
Notez que si en un endroit nous avons deux champs électriques E1(r, t) et E2(r, t), le champ total Etot est (principe de superposition)
Etot =E1+E2
De même, pour le champ magnétique, nous avons : Btot=B1+B2 = Etot
c
Le vecteur de PoyntingStot est alors
Stot= Etot∧Btot µ0
Donc
kStotk= kEtotk2 cµ0
hkStotki= hkE1+E2k2i
cµ0 6= hkE1k2i+hkE2k2i cµ0
Historiquement, la nature ondulatoire de la lumière a été montrée bien avant la théorie de Maxwell. Ce fut en 1802 que Young a mis en évidence le caractère ondulatoire de la lumière par une expérience d’interférence. La théorie de Maxwell ne fut développée qu’en 1860.
1.1.1 Interférence de Young1
Pour pouvoir comprendre le dispositif expérimental de Young, rappelons d’abord le phé- nomène de diffraction. Soit une onde plane qui rencontre un obstacle avec une fente (figure ??).
Onde plane
Fente large Fente étroite
k k
Fig. 1.1 – Onde plane rencontrant un obstacle avec une fente
Si la fente est très large par rapport à la longueur d’onde, il y a un éclairage dans la région de la fente. Par contre, lorsque la taille de la fente est comparable à la longueur d’onde (quelques longueurs d’ondes ou moins), on observe que l’onde s’étale derrière. Ce phénomène est celui de la diffraction. Chaque point de la fente agit comme une source d’onde sphérique2, selon le principe de Huygens. Si la fente est un point, ce point est alors le centre d’émission d’ondes sphériques (figure??).
1Voir par exemple "Physique" de E. Hecht, p. 1024 et suivantes.
2Une onde sphérique est une onde dont les surfaces équiphases sont des sphères.
Onde plane
Fente très étroite
Onde sphérique
Fig.1.2 – Onde sphérique, créée par une fente ponctuelle
Le dispositif expérimental de Young est le suivant :
Onde monochromatique
Ecran d’observation
S1
S2 S0
2 3
1
Fig. 1.3 – Schéma expérimental de Young
On envoie sur l’écran 1, percé d’un petit trouS0, une onde monochromatique, c’est-à-dire ayant une seule longueur d’ondeλ, par exempleλ= 500nm (k= 2π/λ= 1.26·107 m−1, ω=kc= 3.77·1015s−1).
S0 est supposé petit par rapport à λ, et on peut considérer qu’il émet des ondes sphé- riques. Ces ondes atteignent les fentesS1 etS2 qui émettent aussi des ondes sphériques.
L’écartement entreS1etS2 estd, et la distance entre les écrans 2 et 3 estD. On suppose Ddλ.
Sur l’écran 3, on observe alors une succession de bandes sombres et de bandes brillantes appelées franges d’interférence. Comment les expliquer ?
Le point central de l’explication est de considérer qu’en un point P de l’écran, nous avons la superposition des champs électriquesE1 etE2dus aux ondes émises par S1 etS2. Ces ondes ont la même dépendance en exp{i(ωt−kz)}. Elles présentent un déphasage dû au fait que le point P se trouve à des distances différentes deS1 etS2 (figure ??).
S1 S2
3
P
D d
2
Fig. 1.4 – Les distanceS1P etS2P sont différentes
Si D d, les deux rayons S1P et S2P sont parallèles (figure ??). La différence de parcours entre les deux rayons est S2H=dsin(θ).
Vers le point P
S1
S2
d
E1
B1 k
H θ
Fig. 1.5 – Les rayons S1P et S2P sont parallèles. Les champs E1 et E2 sortent de la feuille.
Le déphasage entre les deux champs E1 etE2 générés en S1 et S2 lorsqu’ils atteignent l’écran est donc
Déphasage =kdsin(θ)
Si les trousS1 etS2 sont identiques et situés symétriquement par rapport à S0, les deux amplitudes E1 et E2 sont égales à E0. Leur superposition au point P donne Etot = E1+E2.
kEtotk=E0[exp{i(ωt−kz)}+ exp{i(ωt−kz−kdsin(θ))}]
carE1 etE2 sont parallèles.
Nous voyons tout de suite que si
•
kdsin(θ) =m2π⇔dsin(θ) = 2πm
k =mλ,m entier les deux champs électriques sont en phase etkEtotk= 2E0.
•
kdsin(θ) = (2m+ 1)π ⇔dsin(θ) = (2m+ 1)π
k =
m+1
2
λ,m entier les deux champs électriques sont déphasés de(2m+ 1)π etkEtotk=E0−E0= 0.
Donc selon l’angleθ, c’est-à-dire selon la localisation du point P, nous pouvons avoir les situations :
• kEtotk= 2E0 =valeur maximale dekEtotk.
• kEtotk= 0 =valeur minimale de kEtotk.
Ce que nous voyons esthkStotki. OrhkStotkiest proportionnel àhkEtotk2i. Le tableau??
explique la figure d’interférences observée dans l’expérience de Young.
Valeur de dsin(θ) kEtotk hkStotki Frange
mλ 2E0 (valeur max.) valeur maximale brillante
m+1
2
λ 0 (valeur min.) 0 sombre
Tab.1.1 – Interférences
