bac D maths

Texte intégral

(1)République du Congo. http://maths.congo.free.fr. Série D. r. ér i ju mat en il hs eb le .co e t ng rl 20 o.f in 20 ree .f. Correction bac 2019 -. Corrigé bac D 2019. Exercice 1. :/ /. va l. a. L’équation Z 2 − 4Z + 8 a pour discriminant réduit :∆0 = (−2)2 − 1 × 8 = −4 = (2i)2 . Elle admet donc deux racines distinctes : Z1 = 2−2i = 2 − 2i et Z2 = 2+2i = 2 + 2i. 1 1 √ b. |Z1 | = 2 2. √ ä √ √ √ Ä D’où Z1 = 2 2 22 − i 22 = 2 2 cos(− π4 ) + i sin(− π4 ) . h. tt p. 1. 2. 3. ZB 2 + 2i 1+i (1 + i)(1 + i) = = = = i. ZA 2 − 2i 1−i (1 − i)(1 + i) ZB − ZO b. = |i| = 1. On en déduit que OA = OB. ZA − ZO å Ç −→ −−→ ZB − ZO π [2π] = arg(i) [2π] = [2π]. On en déduit que le tri(OA, OB) ≡ arg ZA − ZO 2 angle OAB est rectangle en O. Donc OAB est un triangle rectangle isocèle en O. a. U =. π. π. a. Z 0 = ei 3 Z ⇐⇒ (Z 0 − ZO ) = ei 3 (Z − ZO ) où ZO = 0. π f est donc une rotation de centre ZO = 0 et d’angle . 3 b. Forme trigonométrique de ZA0 √ iπ D’après 1. b., ZA = 2 2 e− 4 . ä √ √ √ Ä iπ iπ iπ π π π D’où : ZA0 = e 3 ZA = e 3 ×2 2 e− 4 = 2 2 ei 12 = 2 2 cos( 12 ) + i sin( 12 ) . Forme algébrique de ZA0 √ ! √ √ 1 3 iπ (2 − 2i) = (1 + 3) + i(−1 + 3). ZA0 = e 3 ZA = +i 2 2 c. En identifiant les parties réelles et les parties imaginaires √de la forme géométrique √ π √ 3 et sin( π ) = −1+ √ 3. et trigonométrique de ZA0 , on en déduit que : cos( 12 ) = 1+ 12 2 2 2 2 π D’où cos( 12 )=. √. √ 2+ 6 4. π et sin( 12 )=. √ √ − 2+ 6 4. Exercice 2 =2×1+3×0=2 . y = −1 − 2 × 0 = −1. r. 0. n a il ths eb le .co e t ng rl 20 o.f in 20 ree .f. 1 f (~i) a pour coordonnées :. ( 0 x. va lé p r h. D’où f (~j) = 3~i − 2~j.. ju. :/ /m. =2×0+3×1=3 . y = −0 − 2 × 1 = −2 0. tt. f (~j) a pour coordonnées :. ( 0 x. ie. D’où f (~i) = 2~i − ~j.. page 1.

(2) Corrigé bac D 2019. http://maths.congo.free.fr. République du Congo. 2. ← coordonnée selon ~i ← coordonnée selon ~j. → − 3 f ( V ) a pour coordonnées :. ( 0 x. r. ér i ju mat en il hs eb le .co e t ng rl 20 o.f in 20 ree .f. f (~i) f (~j) ↓ ↓ Ç å 2 3 −1 −2. = 2 × 3 + 3 × (−4) = −6 . y = −3 − 2 × (−4) = 5 0. :/ /. tt p. va l. → − L’image du vecteur V est le vecteur V 0 (−6 ; 5). h. 2 3 = −1. −1 −2 Comme le déterminant de la matrice associée à l’endomorphisme f est non nul, alors f est un endomorphisme bijectif (automorphisme). 5 a. Calcul de f ◦ f (~i) 4. f ◦ f (~i) = f (2; −1) a pour coordonnées : Ä. ä. ( 00 x. = 2 × 2 + 3 × (−1) = 1 . y = −2 − 2 × (−1) = 0 00. D’où f ◦ f (~i) = ~i. Calcul de f ◦ f (~j) f ◦ f (~j) = f (3; −2) a pour coordonnées : Ä. ä. ( 00 x. = 2 × 3 + 3 × (−2) = 0 . y = −3 − 2 × (−2) = 1 00. D’où f ◦ f (~j) = ~j. b. (~i, ~j) est une base de E . De plus, f ◦ f (~i) = ~i et f ◦ f (~j) = ~j. Donc f une symétrie vectorielle. c. Base de f − − − La base de f est l’ensemble : {→ u ∈ E / f (→ u)=→ u }. → − Soit u (x , y) un élément de la base de f . ( 2x + 3y = x → − → − f ( u ) = u ⇐⇒ ⇐⇒ x + 3y = 0. −x − 2y = y La base de f est la droite vectorielle d’équation x + 3y = 0.. page 2. ju. :/ /m. tt h. Exercice 3. va lé p r. ie. r. n a il ths eb le .co e t ng rl 20 o.f in 20 ree .f. Direction de f − − − La direction de f est l’ensemble : {→ u ∈ E / f (→ u ) = −→ u }. → − Soit u (x , y) un élément de la direction de f . ( 2x + 3y = −x → − → − f ( u ) = − u ⇐⇒ ⇐⇒ x + y = 0. −x − 2y = −y La direction de f est la droite vectorielle d’équation x + y = 0..

(3) République du Congo. http://maths.congo.free.fr. Corrigé bac D 2019. Partie I. r. ∀ x ∈ R∗+ , g 0 (x) < 0.. 1 . x2 ér i ju mat en il hs eb le .co e t ng rl 20 o.f in 20 ree .f. 1 ∀ x ∈ R∗+ , g 0 (x) = − 2. +∞. h. −. tt p. g 0 (x). va l. 0. :/ /. x. +∞ g(x) 0. Partie II. lim f (x) = 0.. x→+∞. 1 × x − 1 × ln x 1 ln x b. ∀ x ∈ R∗+ , f 0 (x) = x − 2 =− 2 . 2 x x x Tableau de signes f 0 (x) est du signe de − ln x et s’annule pour x = 1.. − ln x. +∞. 1 +. −. 0 +. x2 0. ie. +. −. c.. ju. :/ /m. va lé p r. f 0 (x). r. 0. n a il ths eb le .co e t ng rl 20 o.f in 20 ree .f. x. tt. 2. ln x = 0 ⇐⇒ x = 1. x ln x b. ∀ x ∈ ]0; 1[, f (x) − g(x) = < 0. On en déduit que la courbe (C ) est en dessous x 0 de la courbe (C ) sur ]0; 1[. ln x ∀ x ∈ ]1; +∞[ f (x) − g(x) = > 0. On en déduit que la courbe (C ) est en dessus x 0 de la courbe (C ) sur ]1; +∞[. å Ç 1 1 a. lim f (x) = lim (−u ln u + u) = lim u ln u −1 + = −∞ où l’on a posé u = . u→+∞ u→+∞ x→0+ ln u x a. f (x) = g(x) ⇐⇒. h. 1. Tableau de variation page 3.

(4) Corrigé bac D 2019 x. République du Congo. http://maths.congo.free.fr. 0. +∞. 1. f 0 (x). +. −. 0 r. ér i ju mat en il hs eb le .co e t ng rl 20 o.f in 20 ree .f. 1. va l. −∞. 0. :/ /. f (x). h. tt p. 3 Asymptotes lim f (x) = −∞. La courbe (C ) admet une asymptote verticale d’équation x = 0. x→0+. lim f (x) = 0. La courbe (C ) admet une asymptote horizontale d’équation y = 0 en +∞.. x→+∞. Tracés de (C ) et (C 0 ) 5. 4. 3. (C 0 ). 2. 1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. (C ) −1. −2. −3. −4. r. n a il ths eb le .co e t ng rl 20 o.f in 20 ree .f. −5. :/ /m. va lé p r. ie. Partie III h. page 4. ju. tt. 1 1 ln x × 2. . ln x = = k(x) pour tout x ∈ R∗+ . 2 x x Donc h est une primitive de k sur R∗+ .. 1 ∀ x ∈ R∗+ , h0 (x) =. 8. 9.

(5) République du Congo Z e. (f (x) − g(x)) dx =. Z e 1. 1. h0 (x) dx = [h(x)]e1 =. r. 1 3 3 3 + 1 × + a × + 3 × b = (1 + a + 8b). 8 8 8 8 i=1 3 3 3 a. E(X) = ⇐⇒ (1 + a + 8b) = ⇐⇒ a + 8b = 3. 2 8 2 1 3 3 D’autre part, comme p est une probabilité, alors + + + b = 1. On en déduit 8 8 8 1 que b = . 8 1 En remplaçant b par dans l’équation a + 8b = 3, on obtient a = 2. 8 Ç å2 4 X 3 3 1 3 3 1 2 2 2 2 2 2 b. Var(X) = = . xi p(X = xi ) − E(X) = 0 × + 1 × + 2 × + 3 × − 8 8 8 8 2 4 i=1 xi p(X = xi ) = 0 ×. h. tt p. va l. 1 E(X) = 2. 4 X. ér i ju mat en il hs eb le .co e t ng rl 20 o.f in 20 ree .f. Exercice 4. 1 1 u.a = × 4 cm2 = 2 cm2 . 2 2. :/ /. 2. Corrigé bac D 2019. http://maths.congo.free.fr. σ(X) =. ». Var(X) = 0, 86.. 3 [1 ; 2[. [2 ; 3 [. [3 ; +∞[. 0. 1 8. 4 8. 7 8. 1. ju. :/ /m. va lé p r. ie. r. n a il ths eb le .co e t ng rl 20 o.f in 20 ree .f. [0 ; 1[. tt. F (X). ]−∞ ; 0[. h. X. page 5.

(6)