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I. Vibrations longitudinales d’une chaîne linéaire diatomique

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(1)

UNIVERSITE IBN ZOHR 2015-2016 FACULTÉ DES SCIENCES

DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE AGADIR

TD DE PHYSIQUE DES MATERIAUX SMP5 - Série 4

Dynamique des réseaux cristallins Exercices avec solutions

I. Vibrations longitudinales d’une chaîne linéaire diatomique

(Solution : Voir cours chapitre ‘’Dynamique des réseaux’’ paragraphe : II-3-2)

Considérons une chaîne diatomique linéaire cristalline de maille a. Le motif élémentaire est constitué de deux atomes différents de masses M1 et M2 respectivement (M1 > M2). On se propose d’étudier les vibrations longitudinales en se plaçant dans l’approximation harmonique (appelée aussi approximation de Hooke). On suppose que les interactions sont limitées entre premiers plus proche voisins. Ces interactions sont caractérisées par les constantes de rappel C1 et C2.

On désignera par un et vn les écarts par rapport aux positions d’équilibre des atomes de masses M1 et M2 du motif ‘’n’’respectivement.

1- Etablir les équations du mouvement des deux espèces d’atomes qui constituent le motif ‘’n’’

2- a) Etablir les relations de dispersion des vibrations susceptibles de se propager le long de la chaîne.

 Utiliser des solutions sous forme d’ondes planes progressives :

kna t

et vn v i

kna t

i n u

u ω exp . ω

. 0 0exp

Mettre en évidence l’existence d’une ‘’branche acoustique’’ et une autre dite ‘’optique’’. Justifier ces dénominations.

b) Représenter les courbes de dispersion correspondantes et mettre en évidence l’intervalle des fréquences interdites.

3- Préciser, pour chaque branche, les expressions prises par

ω

et par le rapport n n

v

u

dans les deux situations suivantes :

a) proche du centre de la première zone de Brillouin :

k 

a ;

b) l’extrémité du vecteur d’onde k s’appuie sur la 1ère zone de Brillouin.

(Représenter pour chaque cas les déplacements mutuels des atomes) 4- Quelle est l’expression de la vitesse du son, Vs, le long de la chaîne ? II-

Vibrations transversales & chaleur

spécifique d’un cristal bidimensionnel

On considère les vibrations transversales, perpendiculaires au plan, d’un cristal bidimensionnel.

Le réseau est carré de côté a. Le motif est formé de deux atomes A et B de masses respectives M et m

(2)

(M>m). L’atome A est situé en (0,0). L’atome B est situé en (1/2,1/2). On se place dans le cadre de l’approximation harmonique et on ne considérera que les interactions entre premiers voisins. On désignera par C la constante de force entre proches voisins.

On note (s)

u

lm les déplacements perpendiculaires au plan du réseau des atomes (s=1 pour les atomes A ; s=2 pour les atomes B) de la cellule (l,m). La cellule (l,m) est définie par le vecteur

b m a l

R

  

.

Le cristal a la forme d’un carré de côté L=Na et on cherche des solutions sous la forme d'ondes progressives de vecteur d'onde

kk

x

ik

y

j

et de pulsation

ω

:

 

 

   

 

  

a b t

R k i u

u et t R k i u

u

lm

lm

. 2 exp .

exp

(2) 0(2)

) 1 ( 0 ) 1 (

 

1- a) Donner l’équation du mouvement pour les atomes A et les atomes B.

Rep. :

(,2) 1 (1)

) 2 (

1 , 1 )

2 (

, 1 )

2 (

, )

1

( l m l m l m l m

4

lm

lm

u u u u u

u

M     

M u  

lm(2)

  u

l(1,m)

u

l(1)1,m

u

l(1)1,m1

u

l(1,m)1

4 u

lm(1)

b) Montrer que la relation de dispersion

2

f ( k )

s’écrit :,

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

  

cos 2 cos 2

4 1 1

1 1

2 1

2 2

2

2

k a k a

mM M

m M

C m

x y

On Précisera le nombre de modes et leurs natures.

Rep. :

R

l a

m b

la i

ma

j

et

kk

x

ik

y

j

Pour les atomes A :

) 2 ( 0 ) 2(

) 2(

) 2(

) 2(

) 1 ( 0

2

4 )

( M C u C e

x y

e

x y

e

x y

e

kx ky

u

ia k

a k i k

a k i k

a k i

 

 

   

Pour les atomes B :

) 1 ( 0 ) 2(

) 2(

) 2(

) 2(

) 2 ( 0

2

4 )

( m C u C e

x y

e

x y

e

x y

e

kx ky

u

ia k

a k i k

a k i k

a k i

 

 

   

On pose

k a

k a k a

a k k

A k

x y x y x y

cos 2 cos 2

4 2 )

cos(

2 2 )

cos(

2  

 

0 )

4 (

0 )

4 (

) 1 ( 0 )

2 ( 0 2

) 2 ( 0 )

1 ( 0 2

CAu u

C m

CAu u

C M

0 )

4 (

0 )

4 (

) 2 ( 0 2

) 1 ( 0

) 2 ( 0 )

1 ( 0 2

u C m

CAu

CAu u

C M

Ce système d’équation n’admet de solution non triviale que si le déterminant est nul.

(3)

0 )

4 )(

4

( M

2

C m

2

CC

2

A

2

0 ) 16

( 1 )

( 1

4

2

2 2

4

    A

mM C M

C m

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

  

cos 2 cos 2

4 1 1

1 1

2 1

2 2

2

2

k a k a

mM M

m M

C m

x y

M avec m

a a k

k mM

C

x y

1 1 1

cos 2 cos 2

4 1 1

2 1

2 2 2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

On a donc deux solutions

pour la branche acoustique et

pour la branche optique.

c) Déterminer la première zone de Brillouin du réseau carré et montrer que la région de l’espace des

k

pour laquelle il existe des solutions indépendantes est la première zone de Brillouin.

Le réseau direct est un carré de côté a, le réseau réciproque est donné par les relations :

Rep. :

j

a a a b k

et a i

a k

a b

  

 

2  2  2

2 

2

  

2

La première zone de Brillouin est un carré de côté

a

2

, on prend

k a a

x



et

k a a

y



d) Donner les relations de dispersions dans la direction

[10]

et calculer les pulsations au centre et à la limite de la première zone de Brillouin. En déduire la vitesse du son dans le cristal.

Rep. : Dans la direction

[10], kk

x

et k

y

 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

sin 2 1 4

2 1 cos 2

4 1 1

2 1

2 2 2 2

2

k a

mM a C

k mM

C

x

x

 

au centre

kk

x

 0

 2 C

pour la branche optique, et

 0

pour la branche acoustique au voisinage de

kk

x

 0

k v M k m a C a

M k m

C a

k mM C

s x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2 2 2 2 2

4 2

2

Pour

x

et k

y

 0

k a

k

 

 

  

mM

C

2

2

4

1

2 1 

 

;

M m

1 1 1  

m

2 C

pour la branche optique, et

M 2 C

pour la branche acoustique e) Même question pour la direction

[11].

(4)

Rep. : Dans la direction

[11],

2

1 2 2

2

(

x y

)

y x

y

x

k et k k i k j k k k

k        

 

 

 

 

  

 

 

  

 

 

  

cos 2 4 1

1 1 1

2 1

4

2

2

k a

mM M

m M

C m

x

au centre

k

x

k

y

 0

 

 

  

 

 

  

M m M

C m 1 1 1 1

2

2

C

M

C m 1 1 2

2  

 

  

pour la branche optique, et

 0

pour la branche acoustique Pour

k a k

x

y

 

 

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

  

 

 

  

2 2

2

1 1 1 1

4 2 1

1 1

2 1

M m M

C m mM

M m M

C m

m 2 C

pour la branche optique, et

M 2 C

pour la branche acoustique

Pour

ka  1 on a k

x

a  1 et k

y

a  1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

  

4 1 2

2 1 4

1 4 2 1

4 4

1 1 1

2 1

4 4

4 1

1 1

2 1

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a k mM a C

k mM C

a k mM M

m M

C m

a a k

k mM M

m M

C m

x y

k v M k m a C a

M k m a C

k mM C

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

2 2 2

4 2

2

La vitesse du son est constante :

M m a C v

s

 

f) Représenter les courbes

  f (k )

dans la direction

[10]

et dans la direction

[11].

(5)

2- a) En utilisant les conditions aux limites périodiques Born et Von Karman, montrer que les vecteurs d’ondes

k

x

et

k

y

ne peuvent prendre que des valeurs discrètes que l’on précisera.

Rep. : les conditions aux limites périodiques Born et Von Karman

)

, ( ) , ( ) ,

( x y u x L y u x y L

u    

où bien (2)

, ) 2 (

, )

1 (

, )

1 (

,m l N m l m l m N

l

u et u u

u

Z de élements n

et n Na n

k et Na n

k

x

 2 

x x

 2 

y x y

La première zone de Brillouin est découpée en

N

2 cellules, chacune ayant une surface

2

2

 

 

L

.

b) Etablir dans l’approximation de Debye (pour les deux branches) la densité des modes

D()

, Rep. : -On remplace les deux branches du spectre de vibration par une droite correspondant à un milieu continu

  v

s

k

.

-On remplace la 1ere zone de Brillouin par une zone de rayon kD, choisi de telle sorte qu’elle contient le même nombre de vecteurs d'onde possibles que la 1ere zone de Brillouin.

Les courbes d’isopulsation sont des cercles. La densité de mode D(k)

2 0 ) ( 2

) 2 (

2

2

 

 

 

  L k avec k

k D soit L

dk kdk k

D  

Pour une branche 2

2 2

2 ) 2

( ) ( )

( )

(

s

s v

L v

k L d k dk D D

d D dk k

D

 

    

c) montrer que la pulsation de coupure

Dest de la forme D

v

s

a

  2 2

, en déduire le rayon du

disque de Debye

k

D etla température de Debye

D. Rep. :

(6)

v a k

a v L v

N

v N L

v d d L

D

s D D

s D

s D

D s

s

D D

 

 

 

 

2 2

2 2 8

1 2 4 ) 2 (

2 2

2 2

2 2

2 2

0 2

2 0

s B B

D D D

B

D

v

ak

k   k   

   2 2

    

3- a) Ecrire l’expression de l’énergie interne du gaz de phonons,

U

, sous forme d’une intégrale (on utilisera la statistique quantique de Bose-Einstein).

Rep. : l’énergie interne du gaz de phonons,

U

(vibration transversale)

0 ) ( ) 0

2 ( 1 )

( n d U T U

D

U

D

1 exp

avec 1

 

 

 

T k n

B

n

représente le nombre d'occupation moyen des phonons dans le mode normal

k

, pour un système en équilibre à la température

T

. On l’appelle la fonction de distribution de Bose-Einstein.

b) Trouver l’expression de

C

v

(T)

en dérivant

U

par rapport à

T.

(On posera

T x k

B

 



ħ

étant la

constante réduite de Planck et

k

B la constante de Boltzmann.) On distinguera deux cas: basse température

(T 0)

et haute température

(T )

. On montrera, en particulier, qu’à basse température,

C

v

(T0)

varie comme

(T/

D

)

2, et qu’à haute température,

C

v

(T )

tend vers une constante que l’on déterminera.

On donne :

0

2

4 , 1 2 e

x

dx

x

.

Rep. : Aux basses températures (

T0

) et dans l’approximation de Debye On pose



T

x

T x k

B

0 lorsque

2 2 3

0 0 2 2

2 3

6 , 9 1

4

D x B

D B

k T N U

e dx x k T

N

U   

(7)

7 2

8

2

.

28  

 

 

 

 

D B V

V

k T dT N

C dU

A haute température et dans l’approximation de Debye



T

T k T

k

B

1

B

losque exp    

. On pose

T x k

B

 

L’énergie interne U est donnée par :

0 2

0 2 2

2 3 2 3

0 0 2 2 3

2 2 4 1

4 U N k T U

T k k

T N k

U dx T x

k N

U

B

B D D

B D B

x D

B

    

 

 

B V

V

N k

dT

C dU   2

2

 

.

C

v ne dépend pas de la température, Même résultat que celui obtenu par la

loi de Dulong et Petit.

---

III- Chaleur spécifique d’une chaîne linéaire (facultatif)

On considère une chaîne de longueur L formée de N atomes identiques de masse m, séparés d’une distance a (avec L>>a). Les vibrations longitudinal des atomes de cette chaîne seront supposées pouvoir être décrites dans le cadre de l’approximation harmonique et en ne tenant compte que des interactions entre premiers voisins, avec une constante de rappel unique 

1. a- Écrire l’équation du mouvement d’un atome au voisinage de sa position d’équilibre et en déduire la loi de dispersion (k). On supposera que le déplacement un du nième atome s’écrit sous la forme :

u

n

Ae

i(knat)

b- Tracer les courbes de dispersion (k), on précisera les valeurs de (k) au centre et aux bords de la 1ère zone de Brillouin .Pourquoi peut-on nous contenter de tracer ces courbes de dispersion à l’intérieur de la 1ère zone de Brillouin pour avoir toutes les valeurs possibles de (k) ?

c- En utilisant les conditions aux limites cycliques de Born et Von Karman, montré que les vecteurs d’ondes k ne peuvent prendre que des valeurs discrètes qu’on précisera.

2- On se place dans le cadre de l’approximation de Debye.

a- Définir de manière précise l’approximation de Debye en général.

b- Exprimer la densité de modes, g(), et vérifier que, dans ce cas de problème unidimensionnel, cette densité de modes est, en fait, indépendante de .

3- En déduire les expressions de (i) le vecteur d’onde de Debye, kD, (ii) la pulsation de DebyeD, et (iii) la température de Debye, D.

(8)

8

4- Écrire l’expression de l’énergie interne, U, du gaz de phonons.

5- Exprimer la chaleur spécifique, Cv, de cette chaîne d’atomes (on posera ħ la constante réduite de Planck, kB est la constante de Boltzmann et T désigne la température). On exprimera Cv en particulier dans les deux cas: basse température (T

0) et haute température.

On donne :.

0

2

1 6

e

x

xdx

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