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Quentin Vuillemin
To cite this version:
Quentin Vuillemin. Klystrons et IOTs multifaisceaux à fort rendement. Physique des accélérateurs [physics.acc-ph]. Université Paris-Saclay, 2017. Français. �NNT : 2017SACLS230�. �tel-01616088�
Klystrons et IOTs multifaisceaux à fort rendement
Thèse de doctorat de l'Université Paris-Saclay préparée à l’Université Paris Sud
École doctorale n°576 : Particules Hadrons Énergie et Noyau : Instrumentation, Image, Cosmos et Simulation (Pheniics) Spécialité de doctorat: physique des accélérateurs
Thèse présentée et soutenue à Orsay, le 28/08/2017, par
Quentin Vuillemin
Composition du Jury :
Elias Khan
Professeur 1ère classe, IPNO, directeur de PHENIICS Président Jean-Marie de Conto
Professeur des universités, Université Grenoble Alpes (– LPSC) Rapporteur Michael Benedikt
Dr, senior research scientist, CERN Rapporteur
Rodolphe Marchesin
Ingénieur, chef de service ingénierie tubes de puissance, Thales Examinateur Alex Mueller
DRCE2, CNRS Directeur de thèse
NNT : 2017SACLS230
La th`ese n’aurait pu aboutir sans la collaboration et le soutien des per- sonnes suivantes :
— Chez Thales : Karim Haj Khlifa, David Bariou, Yoann Rozier, Jean- Fran¸cois David, Aur´elien Tourel.
— `A l’IPNO : Thibault Hamelin, Antoine Mollard, Jean Lesrel.
— L’´equipe du CLIC au CERN et d’ HEIKA, notamment Igor Syrat- chev, Andrey Baikov, Chiara Marelli, Christopher Lingwood et Igor Guzilov.
— Les rapporteurs : Professeur Jean-Marie De Conto (Universit´e Gre- noble Alpes, LPSC), Dr. habil. Michael Benedikt (CERN)
— Le pr´esident du jury : Professeur Elias Khan (IPNO)
— Les autres membres du jury : Le directeur de th`ese Dr. habil Alex Mueller (IPNO), le responsable industriel Rodolphe Marchesin (TED)
— Le vaillant d´efenseur de la langue fran¸caise : Gatien Bon
— Mes proches, pour leur soutien ; mais aussi pour leur pers´ev´erance `a comprendre l’intitul´e de la th`ese, ce qui me for¸ca `a la r´esumer pendant des ann´ees de plus en plus simplement.
Cette th`ese est d´edi´ee `a Christopher ”Nitromusk” Alexin [1940 - 2014].
Introduction 5
I Principes de fonctionnement 15
1 Klystrons et IOTs . . . 15
1.1 Amplificateurs . . . 15
1.2 Les klystrons . . . 18
1.2.a Principe et origine . . . 18
1.2.b Composants structurels . . . 19
1.2.c Vue d’ensemble et caract´eristiques . . . 20
1.3 Les IOTs . . . 23
2 Canon et Confinement magn´etique . . . 28
2.1 Crit`eres de d´eveloppement d’un canon et d’un focali- sateur . . . 29
2.1.a Caract´eristiques du canon . . . 30
2.1.b Crit`eres li´es au faisceau . . . 33
2.1.c Outils de calcul . . . 35
2.2 Acc´el´eration : Mouvement axial . . . 36
2.3 Rotation du faisceau : mouvement azimutal . . . 36
2.3.a Sym´etrie cylindrique : lien entre Bz et Br . . 36
2.3.b Th´eor`eme de Busch . . . 37
2.4 Effet radial de la charge d’espace . . . 38
2.4.a Champ ´electrique sous l’anode . . . 38
2.4.b Creux de potentiel . . . 39
2.5 Confinement : mouvement radial . . . 40
2.5.a Principe fondamental de la dynamique radial 40 2.5.b Energies potentielles radiales et point d’´´ equilibre 41 2.5.c Flux de Brillouin . . . 42
2.5.d Confinement g´en´eral . . . 43
2.5.e Visualisation avec les potentiels . . . 43
2.5.f Energie cin´´ etique de rotation . . . 46
3 Cavit´es R´esonnantes . . . 47 1
3.1 Point de vue ondulatoire . . . 48
3.1.a Ondes stationnaires . . . 48
3.1.b Cavit´es cylindriques . . . 49
3.2 Point de vue des particules . . . 50
3.2.a Courant induit . . . 50
3.2.b Electrons r´´ efl´echis . . . 54
3.2.c Harmoniques et modes sup´erieurs . . . 55
3.3 Point de vue ´electronique . . . 56
3.3.a Un filtre passe-bande . . . 56
3.3.b Influence des param`etres de la cavit´e . . . 59
3.4 Boˆıte `a outils . . . 62
3.4.a Le diagramme de dispersion de vitesses . . . . 62
3.4.b Cavit´e d´egroupante . . . 67
3.4.c Cavit´e regroupante . . . 72
3.4.d Seconde harmonique . . . 73
3.4.e Augmentation du gain . . . 77
4 Structure d’interaction . . . 77
4.1 Position entre les cavit´e . . . 78
4.1.a Sans effets de charge d’espace . . . 78
4.1.b Le coefficient de couplage avec la cavit´e . . . 82
4.1.c Avec les effets de charge d’espace . . . 85
4.2 Les simulations . . . 88
4.2.a Mod`eles num´eriques . . . 89
4.2.b Les limites de Klys2D . . . 91
5 Le rˆole cl´e de la perv´eance . . . 95
5.1 Bilan du chapitre . . . 95
5.2 Rendement et tubes multi-faisceaux . . . 96
II Particularit´es des MBKs 98 1 Points de fonctionnement . . . 98
1.1 Rendement et perv´eance . . . 99
1.2 M´ethode de d´etermination . . . 101
1.3 Application MBK CLIC . . . 103
1.4 D´etermination des autres param`etres . . . 108
2 Cavit´es Coaxiales . . . 109
2.1 Cavit´e coaxiale simple ferm´ee . . . 112
2.2 Etude 3D . . . 117
2.2.a Accords . . . 118
2.2.b Modes . . . 121
3 Canon et focalisation . . . 125
3.1 Taille des cathodes . . . 125
3.2 Conception 2D du canon . . . 127
3.2.a Simulation ´electrostatique . . . 127
3.2.b Mont´ee de champ magn´etique classique . . . . 129
3.3 Diff´erences entre klystrons et MBKs . . . 132
3.4 Solutions . . . 136
3.5 Champ uniforme . . . 137
3.5.a Description th´eorique . . . 137
3.5.b Simulations . . . 138
3.6 Pi`eces polaires . . . 140
3.7 Paliers magn´etiques . . . 143
3.7.a 1 palier interm´ediaire . . . 143
3.7.b 2 paliers interm´ediaires . . . 145
4 Structure d’interaction . . . 149
4.1 Description d’une structure d’int´eraction traditionnelle 150 4.2 R´esultats . . . 156
4.3 Parcours du bunch . . . 161
4.4 Bilan ´energ´etique . . . 163
5 Conclusion . . . 164
III Interaction faisceau-cavit´e de sortie 166 1 Liens entre rendement et vitesse . . . 166
1.1 R´ef´erentiel barycentrique en relativit´e restreinte . . . . 167
1.2 Rendement ´electrique . . . 169
2 Bunch dans la derni`ere cavit´e du MBK th`ese . . . 173
2.1 Dispersions de vitesse . . . 173
2.2 Bilan ´energ´etique . . . 176
3 Mod`ele th´eorique de l’interaction Faisceau- Cavit´e de sortie . . 178
3.1 Description . . . 178
3.2 Equations . . . 180´
3.2.a Equations balistiques et conditions limites . . 180´
3.2.b Equations ´´ electriques . . . 181
3.3 R´esultats . . . 182
IV Les m´ethodes de haut rendement 188 1 COM et BAC . . . 188
1.1 Les structures non-monotones . . . 189
1.2 Core Oscillation Method . . . 189
1.2.a Evolution du faisceau le long d’un glissement 191 1.2.b Structure de MBK th`ese COM . . . 206
1.3 Bunching Alignment Collecting . . . 209
1.3.a Principe . . . 210
1.3.b Origine de la BAC m´ethode . . . 210
1.3.c Structure MBK th`ese BAC . . . 211
1.4 Bilan . . . 215
1.4.a Comparaison des r´esultats . . . 216
1.4.b Ce qu’il faut retenir . . . 217
2 Autres m´ethodes de haut rendement . . . 220
2.1 Harmoniques sup´erieurs . . . 220
2.2 Kladistron . . . 221
2.3 IOT avec une cavit´e interm´ediaire . . . 223
2.4 Stratification . . . 224
Conclusion 227 A Nouvelles lois rendement - perv´eance 230 1 Nouvelles lois par interpolation sur la ”zone connue” . . . 230
2 Les klystrons `a cavit´es harmoniques . . . 232
B Methode de simulation des cavit´es 234 C Self-influence des faisceaux 239 1 Enonc´e du probl`eme . . . 239
2 Effet magn´etique : attraction . . . 240
3 Effet ´electrique : r´epulsion . . . 241
4 Effet total . . . 242
4.1 Force de Lorentz totale radiale . . . 242
4.2 Evaluation qualitative . . . 242
D Augmentation du rayon de glissement et interceptions 243 1 Pr´esentation du probl`eme . . . 243
2 Observation de l’interception . . . 243
3 Etude de variation du gap . . . 245
La consommation d’´energie est au centre de nos pr´eoccupations. Quelle qu’en soit la raison, ´economique, ´ecologique, ou politique, ce probl`eme est aujourd’hui au cœur de notre soci´et´e.
L’objectif de cette th`ese est de proposer un moyen de r´eduire le coˆut
´
energ´etique de composants sp´ecifiques : les klystrons et les klystrodes, ap- pel´ees aussi IOTs pour Inductive Output Tubes. Ces composants sont des am- plificateurs utilis´es comme source de haute puissance RF (Radio-Fr´equence).
Ces tubes existent sous plusieurs formes mais l’´etat de l’art, en mati`ere de consommation d’´energie, sont les tubes multi-faisceaux. Nous nous fixons donc comme objectif d’am´eliorer ces klystrons et IOTs multi-faisceaux : les MBKs et MBIOTs.
Cette th`ese s’inscrit dans le contexte d’am´elioration des acc´el´erateurs de particules, par le biais d’une meilleure production des ondes radiofr´equence ; plus particuli`erement en am´eliorant le rendement des tubes. Am´eliorer le rendement signifie simplement diminuer l’´ecart entre l’´energie fournie pour g´en´erer les ondes radios et l’´energie effectivement produite et utilis´ee dans les acc´el´erateurs.
Cadre
Cette th`ese est de type CIFRE ”Conventions Industrielles de Formation par la REcherche”, qui repose sur la collaboration entre l’entreprise Thales Electron Devices `a V´elizy et l’Universit´e Paris-Sud `a Orsay, et plus parti- culi`erement l’IPNO (l’Institut de Physique Nucl´eaire d’Orsay).
Le CERN (Conseil Europ´een pour la Recherche Nucl´eaire1) a ´et´e par- tie prenante de cette th`ese, m’offrant l’opportunit´e d’y travailler pendant un an sur le site de Meyrin (Suisse). L’objectif de cette collaboration ´etait
1. Acronyme utilis´e encore aujourd’hui alors que le nom officiel est : Organisation eu- rop´eenne pour la recherche nucl´eaire.
5
d’´echanger avec Igor Syratchev, de pouvoir utiliser le logiciel CST2, ainsi que d’ˆetre inclus dans le groupe de recherche international sur les klystrons haut rendement : ”High Efficiency International Klystron Activity” HEIKA ( cf.[Syratchev, 2016b] p 12.).
Motivation
Nous rappelons d’abord en quoi l’acc´el´eration des particules vers de hautes
´
energies n´ecessitent l’utilisation d’ondes RF, et donc de klystrons et IOTs, et quelles sont leurs applications. Puis, nous explicitons en quoi am´eliorer le ren- dement de ces composants est crucial pour ´economiser la d´epense ´energ´etique sur l’ensemble d’un acc´el´erateur.
Les sources RF et les acc´el´erateurs
Les acc´el´erateurs les plus simples3 acc´el`erent des particules charg´ees dans un potentiel ´electrostatique et peuvent alors atteindre des ´energies de l’ordre de quelques dizaines de MeV. On peut alors comparer la particule `a un skieur en haut d’une piste. La diff´erence d’´energie potentielle gravitation- nelle entre le sommet et la fin de la piste de ski est assimilable au poten- tiel ´electrostatique et est responsable du mouvement du skieur et de son acc´el´eration. Ces acc´el´erateurs sont limit´es par la tension de claquage.
Afin d’atteindre de plus hautes ´energies, on r´ep`ete plusieurs fois ce proc´ed´e, ce qui n´ecessite d’utiliser un potentiel variable. Cette m´ethode a ´et´e sugg´er´ee par Ising en 1924 et r´ealis´ee pour la premi`ere fois par Wideroe en 1928 sous la forme d’un ACc´el´erateur LIN´eaire : un LINAC, dont un sch´ema du fonc- tionnement est pr´esent´e fig. 1.
2. Un logiciel couplant simulations du mouvement des particules avec simulations des ondes ´electromagn´etiques stationnaires dans une cavit´e r´esonnante.
3. Par exemple les acc´el´erateurs Van de Graaff (comme le Tandem `a l’IPNO), Co- ckroft Walton (popularis´e dans les ann´ees 50 notamment par [Herg´e, 1953] ou encore [Jacobs, 1956]).
Figure 1 – Principe de fonctionnement d’un LINAC de Wideroe. fRF et TRF = 1/fRF sont respectivement la fr´equence et la p´eriode du signal RF.
tf2 et tf3 sont respectivement le temps o`u l’ion est `a la sortie du 2`eme puis 3`eme glissement.
Ce type d’acc´el´erateur est compos´e de glissements ou ”drift tubes”. Ce sont des cylindres en cuivre dans lesquels on a fait le vide. Dans les glis- sements, les particules ne ressentent pas de force ´electrique car le poten- tiel ´electrique y est uniforme, mˆeme s’il n’est pas stationnaire ; car dans un m´etal, ici le cuivre, le potentiel est le mˆeme partout. D’o`u le terme glissement puisque les particules volent `a travers ces tubes sans acc´el´erer. En revanche, dans les zones entre les glissements (les gaps), il existe une diff´erence de po- tentiel. Cette tension est p´eriodique, et comme indiqu´e sur le sch´ema 1, est oppos´ee d’un gap `a l’autre.
La longueur de chaque glissement est calcul´ee de telle sorte `a ce que le temps de vol d’une particule le traversant (lui et le gap) soit d’une demi- p´eriode du signal. Ainsi, les particules per¸coivent `a chaque gap la mˆeme tension. Plus les particules traversent de gaps, plus elles gagnent d’´energie, plus leur vitesse augmente, plus les glissements doivent ˆetre longs.
Reprenons l’exemple du skieur. Il suffit d’imaginer qu’en bas d’une piste, le skieur continue sa course, horizontalement, sur un monte-charge plat. Mais pendant qu’il glisse sur le monte-charge, ce dernier s’´el`eve `a la mˆeme hauteur que le sommet de la piste de d´epart. Le skieur, ne se doutant de rien, continue sa course, jusqu’`a arriver `a une autre pente et recommencer le processus. En r´ep´etant n fois la manœuvre, notre skieur atteindra la mˆeme vitesse que s’il
´
etait parti du haut d’une piste n fois plus haute que sa piste initiale. Rem-
placez la neige par l’oc´ean, le palier qui remonte le skieur par une vague, et vous comprenez que le skieur n’est autre qu’un surfeur ridant une d´eferlante, et que les ions dans un LINAC surfent sur le signal ´electrique.
On comprend ainsi en quoi les LINACs permettent d’atteindre de plus hautes ´energies que les acc´el´erateurs ´electrostatiques, en gardant la mˆeme amplitude de tension.
Le potentiel est donc p´eriodique et a typiquement la fr´equence des ondes radios. Ce signal provient d’une source d’onde RF, rˆole tenu par les klystrons.
Depuis le LINAC de Wideroe, les acc´el´erateurs ont pris des formes di- verses r´epondant `a diff´erents besoins, diff´erentes contraintes et surtout dif- f´erentes gammes d’´energie, allant aujourd’hui jusqu’`a quelques TeV. Que ce soient des acc´el´erateurs circulaires –plus compacts relativement `a un LINAC, comme des cyclotrons (Lawrence et Livigstons, 1930), des betatrons (Kerst 1940), des synchrocyclotrons, des synchrotrons etc.. –, d’autres formes de linacs –pour s’affranchir du rayonnement synchrotron4 (acc´el´erateurs d’Al- varez (1947), Radio Frequency Quadrupole etc..)–, ou encore des hybrides –comportant des LINACs et des anneaux de stockage (Large Hadron Colli- der) ou des LINACs utilis´es comme source RF pour alimenter d’autres LI- NACs (Compact Linear Collider)–, tous ces acc´el´erateurs suivent le principe d´ecrit pr´ec´edemment et n´ecessitent des sources RF : des klystrons pour la plupart.
Les tubes ´electriques sont aujourd’hui encore des composants essentiels aux acc´el´erateurs, malgr´e l’effort de recherche en semi-conducteur pour uti- liser des amplificateurs solides (cf. fig I.1).
4. Toute particule acc´el´er´ee perd de l’´energie sous forme de rayonnement, notamment un rayonnement synchrotron dans le cas d’un mouvement circulaire
Applications
L’arbre ci-contre (source : [Rivkin, 2011]) donne un aper¸cu des applica- tions des acc´el´erateurs de particules, et leur place historique.
On retrouve bien entendu les acc´el´e- rateurs dans la recherche fondamen- tale et plus pr´ecis´ement l’´etude de la mati`ere (´etude des noyaux ato- miques pour les plus faibles ´energies, des particules fondamentales pour les plus hautes ´energies : leurs pro- pri´et´es et leur d´ecouverte, etc...), mais aussi dans des applications m´edicales (production de rayons X comme au synchrotron-SOLEIL im- plant´e sur le plateau de Saclay (France), imagerie m´edicale, hadron th´erapie, etc..).
Pour plus de d´etails, le lecteur curieux d’en apprendre davantage sur les acc´el´erateurs et leur rˆole dans notre monde pourra consulter les ouvrages de r´ef´erences suivants : [Schneider, 2003], [Wiedemann, 2003], [Wille, 2001],[Edwards and Syphers, 1993], [Chao and Tigner, 1999], ou en- core [Wilson, 2001].
Ind´ependamment, les klystrons sont aussi des composants essentiels dans de nombreuses applications. On citera par exemple et de mani`ere non ex- haustive :
— en d´efense : utilis´es comme radars, et pour l’inspection des cargos ; mais aussi comme arme pour d´et´eriorer l’´electronique d’avions de chasse.
— en communication : utilis´es comme ´emetteur satellitaire.
— en industrie : pour s´echer la pˆate `a papier par radiation ou pour st´eriliser des produits.
R´eduire la consommation
Dans les acc´el´erateurs de particules, la consommation ´electrique des klys- trons est cons´equente. En effet, plusieurs centaines de klystrons (demandeurs de plusieurs dizaines de m´egawatts chacun) peuvent ˆetre utilis´es pour une
seule machine. On comprend alors la n´ecessit´e d’augmenter le rendement pour diminuer la consommation en ´energie d’installations aussi imposantes.
En effet, si les klystrons utilis´es pour le CLIC5 avaient 10 pts de ren- dement en plus, le rendement de l’installation totale augmenterait de 0.4 pt comme d´ecrit dans la pr´esentation [Jensen, 2014a] ; soit une ´economie de 45MW, ce qui ´equivaut `a environ 10 millions de dollars (8.9 millions d’euros) par an !
Ce d´esir d’´economiser l’´energie des sources RF est particuli`erement d’ac- tualit´e comme en t´emoignent les efforts r´ecents dans ce domaine. Des work- shops, comme l’Enefficient RF sources workshop (2014), ont pr´esent´e notam- ment des amplificateurs solides et des IOTs plus performants, des magn´etrons utilis´es comme amplificateurs ou encore de nouveaux concepts de composants comme le kladistron. Tous ces efforts s’inscrivent dans le cadre du programme europ´een pour la recherche et l’innovation : Horizon 20206.
Plan de la th` ese
Cette th`ese est principalement un travail de synth`ese pouss´e. Elle per- met `a tout lecteur de comprendre les m´ecanismes mis en jeu dans le haut rendement des MBKs et MBIOTs, ainsi que les probl´ematiques li´ees `a la r´ealisation des tubes.
Aussi, cette th`ese est partag´ee entre des rappels de notions de base et d’´etat de l’art n´ecessaires `a tout ing´enieur en d´eveloppement de tubes, mais comporte aussi un travail de recherche th´eorique et de simulations afin de mettre en ´evidence de nouveaux crit`eres pour mieux appr´ehender le haut ren- dement. C’est ainsi que nous identifions les contraintes th´eoriques et techno- logiques limitant le rendement des tubes, en esp´erant apporter les cl´es pour d´epasser ces limites dans le futur.
On rappelle que l’objectif ultime est d’am´eliorer le rendement des klys- trons et IOTs afin de baisser le coˆut ´energ´etique des acc´el´erateurs de parti- cules.
Le premier chapitre d´ecrit le fonctionnement d’un tube : son principe de base et ses composants. Cette ´etape est n´ecessaire pour appr´ehender serei- nement les chapitres suivants.
Le deuxi`eme chapitre se concentre sur les probl´ematiques sp´ecifiques au d´eveloppement et `a la r´ealisation de tubes multi-faisceaux. Elle fournit point
5. le Compact Linear Collider : un des projets d’acc´el´erateur lin´eaire du CERN.
6. http://www.horizon2020.gouv.fr/
par point les ´etapes `a suivre, les probl`emes et leurs solutions, pour construire industriellement les MBKs et MBIOTs.
Le troisi`eme chapitre apporte une ´etude th´eorique bas´ee sur un mod`ele simple, permettant de comprendre plus pr´ecis´ement les m´ecanismes en jeu pour atteindre des rendements ´elev´es. On se focalise dans ce chapitre sur le moment crucial o`u l’´energie apport´ee au tube est convertie en onde RF. On y mettra en exergue les crit`eres et param`etres `a contrˆoler afin d’appr´ehender au mieux cette conversion d’´energie.
Enfin, le dernier chapitre liste de mani`ere exhaustive l’´etat de l’art en mati`ere de tubes haut rendement ; c’est-`a-dire les m´ethodes mises en place dans la structure d’interaction des tubes afin de fa¸conner le faisceau au plus proche des consid´erations explicit´ees dans le chapitre pr´ec´edent. Nous y com- parons ces m´ethodes en donnant leurs avantages et inconv´enients.
Tout au long de la th`ese un tube nous servira de fil rouge. De son d´eveloppement jusqu’`a sa d´eclinaison en utilisant plusieurs m´ethodes (cha- pitre 4), il nous servira d’exemple afin d’ancrer concr`etement les notions abord´ees et de tester les m´ethodes et les crit`eres. Ce tube est imagin´e pour une utilisation sur le CLIC : le Compact LInear Collider. Le CLIC est un des projets de collisionneurs lin´eaires d’´electrons du CERN. Il est `a noter que ce tube s’inspire d’un prototype de tube Thales : le TH1803 dont nous confronterons les r´esultats exp´erimentaux.
Cependant, il est important de rappeler que les r´esultats ´enonc´es dans cette th`ese sont applicables aux MBIOTs et MBKs de mani`ere g´en´erale.
Travail effectu´ e
Pour le lecteur averti, nous r´esumons ici le travail effectu´e tout au long de la th`ese pour aboutir `a ce manuscrit.
L’int´erˆet de la th`ese se divise en trois th´ematiques :
1. Une nouvelle m´ethode d’analyse des donn´ees des simulations : le dia- gramme de dispersion de vitesse.
Ce diagramme est d´esormais utilis´e dans le programme de Thales : Klys2D. Il permet de suivre le comportement du bunch, dans un tube, en mettant en exergue les caract´eristiques li´ees au haut rendement.
Dans le premier chapitre, ce diagramme est d´ecrypt´e, avec une appli- cation directe de son utilisation sur la compr´ehension de l’influence des diff´erents types de cavit´es sur les bunchs. Cette partie fait ´echo au cha-
pitre III o`u est d´ecrit comment reconnaˆıtre un comportement `a haut rendement par simple analyse de ce diagramme. Le travail effectu´e ici est double. D’une part, on a ´elabor´e un mod`ele qui permet de relier les caract´eristiques du bunch `a celles de la derni`ere cavit´e pour obtenir un rendement maximal. La r´esolution de ce mod`ele a n´ecessit´e la pro- grammation d’un script Python, dont nous avons donn´e les r´esultats.
D’autre part, un second code python a ´et´e incorpor´e `a Klys2D afin d’en tirer le diagramme de dispersion de vitesse (en plusieurs points du tube).
On a utilis´e cette m´ethode d’analyse dans le chapitre IV pour com- prendre les diff´erentes structures de l’´etat de l’art en terme de haut rendement, permettant de r´ecup´erer les ´electrons p´eriph´eriques. Con- cr`etement, le travail effectu´e est la d´eclinaison du MBK th`ese (le fil rouge) pour ces diff´erentes structures, en utilisant Klys 2D. La description d´etaill´ee de ces structures n’existe dans aucun ouvrage fran¸cais. Grˆace `a ces explications, nous avons mis en avant l’´el´ement caract´eristique sur lequel repose chaque m´ethode : la charge d’espace du faisceau pour la COM et l’imp´edance des cavit´es pour la BAC.
Cette description a notamment permis de comprendre le rˆole de la cavit´e harmonique. Jusqu’alors, on utilisait ce type de cavit´e dans l’industrie sans connaˆıtre pr´ecis´ement son rˆole, mais simplement en constatant qu’un tube devenait alors plus court, et le rendement plus grand.
2. La conception d’un tube.
Dans cette th`ese, le fil rouge est le MBK th`ese : un prototype de MBK 1GHz, 20 MW pour une application au CLIC. Ce tube a ´et´e con¸cu avec les outils fournis par Thales et fait notamment ´echo au TH1803.
Concr`etement, ce tube a ´et´e con¸cu dans son int´egralit´e en simulant son canon, sa focalisation, sa structure d’interaction et ses cavit´es. La particularit´e de ce tube r´eside dans ses 10 faisceaux (contre 7 pour le TH1802), aucun n’´etant sur l’axe central. Nous expliquons les choix de conception, comme les cavit´es coaxiales, ainsi que le cheminement du raisonnement nous y conduisant (cf. chapitre II). La probl´ematique multi-faisceau est particuli`ere. L’apport, ici, sont les solutions en terme de cavit´es (coaxiales, in´edites pour Thales dans ce cadre), et surtout la focalisation. Le travail effectu´e a ´et´e d’analyser les probl`emes d’une focalisation hors axe, puis d’y apporter plusieurs solutions, par l’´etude de nombreuses simulations.
En outre, au chapitre IV, le MBK th`ese a ´et´e d´eclin´e en utilisant trois m´ethodes diff´erentes. Certes ces d´eclinaisons servent avant tout
`
a illustrer ces m´ethodes. Il n’en demeure pas moins que trois diff´erents MBKs, avec leurs avantages et leurs inconv´enients ont ´et´e con¸cus dans cette th`ese `a plus de 75% de rendement, pour l’application du CLIC.
3. La th´eorie.
Dans le chapitre I, la description de la focalisation est particuli`erement d´etaill´ee. Le recours `a une explication par l’´energie potentielle permet d’expliquer au chapitre II les lentilles magn´etiques utilis´ees dans une m´ethode pour r´esoudre le probl`eme de la focalisation hors-axe.
Ce premier chapitre apporte aussi un d´ebut de r´eponse `a un constat exp´erimental : le lien entre perv´eance et rendement. Concr`etement, c’est l’´etude pouss´ee de toutes les ”´energies” perdues, inversement pro- portionnelles `a la perv´eance, qui nous permet d’expliquer ce ph´enom`ene.
Cette ´etude nous donne une limite fondamentale pour le rendement li´ee `a la perv´eance (cf. II 1.4).
Le chapitre III ´etablit la preuve du th´eor`eme de K¨onig relativiste, indispensable `a la compr´ehension du haut rendement. C’est lui qui lie la dispersion de vitesse des ´electrons au rendement.
Ce travail th´eorique s’est aussi illustr´e par une recherche bibliogra- phique. Cette th`ese ´etudie l’´etat de l’art, en terme de rendement, ce qui est une pr´eoccupation contemporaine s’inscrivant dans un cadre principalement politique, ´ecologique et ´economique. Les structures trait´ees (BAC, COM) ont ´et´e publi´ees tr`es r´ecemment. Cependant les textes traitant de ce type de probl´ematiques sont quant `a eux plus ant´erieurs. `A l’´epoque de ces publications, on s’int´eressait avant tout au gain du klystron (li´e directement `a l’utilit´e mˆeme de cet amplifi- cateur). Aujourd’hui, plusieurs th`eses traitent du rendement des klys- trons, alors qu’une grande partie du travail th´eorique avait ´et´e amorc´ee d`es les ann´ees 60. Ce constat donne une dimension particuli`ere `a la recherche bibliographique effectu´ee. Cette derni`ere s’inscrit dans ”la pens´ee lat´erale des technologies d´esu`etes” (cf. [Makino, 2010], p176) ch`ere `a Gunpei Yokoi, i.e. remettre au goˆut du jour des technolo- gies d´evelopp´ees par le pass´e, mais qui n’avaient pas encore trouv´e leur place commerciale. Nous sommes ici dans ce cas de figure. Le pr´esent travail s’attelle justement `a s´eparer les connaissances pass´ees des v´eritables apports modernes, en appliquant ces textes.
En d’autres termes, cette th`ese d´ecrit la r´ealisation d’un tube multi-
faisceau, l’interaction entre le faisceau et la derni`ere cavit´e, et la r´ecup´eration des ´electrons p´eriph´eriques. Ces trois probl`emes forment la cl´e pour appr´e- hender les klystrons et IOTs multi-faisceaux `a haut rendement.
Principes de fonctionnement
Dans ce chapitre nous pr´esentons en d´etail le fonctionnement de tubes
`
a vides amplificateurs de signal monofr´equence : les klystrons et Inductive Output Tubes (IOTs).
L’objectif de ce chapitre est de pr´esenter les bases n´ecessaires `a la com- pr´ehension du fonctionnement de ces tubes. Ces notions seront n´ecessaires pour appr´ehender correctement les chapitres suivants.
Nous commen¸cons par introduire ce que sont les klystrons et les IOTs par une image g´en´erale. Puis, nous d´ecrivons plus pr´ecis´ement les composants des klystrons : le canon et la focalisation, la structure d’interaction et enfin les cavit´es r´esonnantes.
1 Klystrons et IOTs
Ce paragraphe pr´esente les amplificateurs de puissance ´electrique que sont les klystrons et les IOTs.
1.1 Amplificateurs
Les klystrons et les IOTs sont des amplificateurs de puissance ´electrique.
C’est `a dire qu’une fois aliment´es `a une source d’´energie, ils restituent un signal ´electrique ayant les mˆemes caract´eristiques que le signal fourni en entr´ee mais avec une amplitude plus grande. Un exemple plus commun est celui d’un amplificateur de guitare ´electrique. Ce dernier augmente le signal
´
emis par une corde, et capt´e par un micro, en utilisant l’´energie du secteur via la prise murale et la restituant par les enceintes.
Ces amplificateurs sont des tubes ´electroniques hyperfr´equences `a vide.
15
C’est `a dire que, contrairement `a des amplificateurs `a l’´etat solide1 (Solid- State), un faisceau d’´electrons se propage dans un tube dans lequel le vide a
´
et´e cr´e´e ; et non dans des semi-conducteurs. Ce vide est de l’ordre d’environ 10−7 mbar2, maintenu par des pompes ioniques. Il est n´ecessaire pour que les ´electrons ne r´eagissent pas avec les mol´ecules de l’air et ne d´et´eriorent pas le tube (risque de ionisation, de claquage etc..).
La particularit´e des klystrons et des IOTs r´eside dans leur grande puis- sance de sortie, qui impose une alimentation `a haute tension. Un autre ca- ract´eristique est leur point de fonctionnement `a haute fr´equence (mais faible bande passante3) ; c’est `a dire qu’ils amplifient des micro-ondes. En effet, dans ces conditions extrˆemes, on ne peut pas utiliser d’amplificateurs `a l’´etat solide, cf. fig. I.1. C’est pour cela que l’on a recours `a des tubes ´electroniques comme les klystrons et les IOTs, malgr´e les progr`es grandissants des Solid- State dans ce domaine (cf. [Sharkov, 2014] par exemple).
Figure I.1 – Comparaison simplifi´ee de diff´erents types d’amplificateur par rapport `a leur puissance de sortie et `a leur fr´equence d’utilisation. On repr´esente ici tros types de tubes ´electroniques : les TOPs (Tubes `a Ondes Progressives), les klystrons, et les tubes `a grilles comme en sont les IOTs. Ce graphique peut ˆetre retrouv´e avec plus de pr´ecision p3 de[Sharkov, 2014] ou encore pour une autre comparaison similaire p13 de [Yogi, 2014].
Le principe de ces tubes est de convertir l’´energie cin´etique des ´electrons
1. Comme peuvent l’ˆetre des amplificateurs op´erationnels ou les transistors d’un ampli de guitare.
2. La mani`ere dont on cr´ee le vide ne sera pas d´ecrite ici. Pour plus d’information, cf.[Gilmour, 1986] chap 3.
3. La bande passante est le domaine fr´equentiel de fonctionnement d’un amplifica- teur que nous d´efinirons plus pr´ecis´ement dans un prochain paragraphe. Il existe diverses m´ethodes pour augmenter la bande passante d’un klystron. Nous en ´evoquerons certains dans ce manuscrit
apport´es par l’alimentation, en ´energie ´electromagn´etique, avec un signal impos´e.
Pour cela, ces tubes modulent l’intensit´e du faisceau (la source de haute puissance) par le signal que l’on souhaite amplifier. Le faisceau r´esultant sera donc constitu´e de regroupements d’´electrons, i.e. de densit´es de charge plus importantes, p´eriodiques. Ces regroupements d’´electrons interagissent avec les composants de ces tubes dans le but d’ˆetre compl`etement d´ec´el´er´es en fin de parcours et de c´eder ainsi leur ´energie cin´etique sous la forme du signal
´
electromagn´etique du d´epart mais amplifi´e. En effet, toute charge d´ec´el´er´ee rayonne un onde ´electromagn´etique.
La diff´erence entre un klystron et un IOT r´eside dans la mani`ere de pro- duire cette modulation d’intensit´e. Dans le cas du klystron, elle est cr´e´ee en modulant la vitesse4 des ´electrons par le biais d’une cavit´e r´esonnante excit´ee par le signal `a amplifier. Dans le cas de l’IOT, la modulation d’inten- sit´e est pilot´ee directement par une grille, connect´ee au signal `a amplifier, `a l’´emission du faisceau. Les paragraphes suivants expliquent plus en d´etail ces principes de fonctionnement.
Malgr´e les diff´erentes m´ethodes utilis´ees afin d’obtenir la modulation d’in- tensit´e ; la mani`ere de convertir l’´energie cin´etique en onde RF est commune aux deux types de tubes. Par cons´equent, toutes les informations apport´ees sur cette conversion seront applicables `a tous les tubes `a modulation d’in- tensit´e. Par la suite, il nous arrivera de nous focaliser sur la probl´ematique des klystrons pour plus de simplicit´e, mais les r´esultats seront transposables aux IOTs.
4. Pour une description d´etaill´ee des tubes `a modulation de vitesse : [Warnecke and Gu´enard, 1951]
1.2 Les klystrons
1.2.a Principe et origine
En 1939 les fr`eres Varians publient dans [Varian and Varian, 1939] le fonc- tionnement d’un tube `a vide amplificateur `a modulation de vitesse.
De mani`ere simple et po´etique, ils comparent leur invention aux mouvements marins. Dans cette description la mer d’´electrons est fa¸conn´ee au large par le vent
´
electromagn´etique. Les vagues qui en r´esultent avancent vers la cˆote.
Leur vitesse varie au gr´e de la profondeur de l’oc´ean, rendant les vagues de plus en plus grandes tel un v´eritable tsunami. T´em´eraires, elles foncent sur le r´ecif et se brisent bru- talement contre les rochers en un fra-
cas assourdissant. Amoindries, elles finissent leur vie en s’´echouant avec ago- nie sur la plage.
Cette analogie donna son nom au tube : klystron. En grec : κλυσ [klyz]
pour ”the breaking of waves on a seashore” : les vagues s’´echouant sur la plage . . .
Moins po´etiquement, le fonctionnement global d’un klystron suit le rai- sonnement minimaliste suivant. Un faisceau ´electrique continu d’´electrons interagit avec le signal que l’on souhaite amplifier. La vitesse des ´electrons est alors modul´ee. En effet, le signal est constitu´e d’un champ ´electrique os- cillant `a une fr´equence f0 et est dirig´e selon l’axe de parcours des ´electrons.
Lorsqu’il est n´egatif il acc´el`ere les ´electrons, et les d´ec´el`ere lorsqu’il est positif, et recommence toutes les p´eriodes. Les ´electrons acc´el´er´es vont ensuite rat- traper les ´electrons pr´ec´edemment d´ec´el´er´es : un regroupement d’´electrons se forme, on parle de bunching, la vague est cr´e´ee. Le courant est donc indirecte- ment modul´e ainsi. Ces bunchs d’´electrons convertissent ensuite leur ´energie cin´etique en ´energie ´electromagn´etique, le signal obtenu est alors identique au signal de d´epart mais amplifi´e.
Cette ”vague” est visible figure II.32 : une coupe longitudinale de la si- mulation d’un klystron et sera d´ecrite au chapitre suivant.
1.2.b Composants structurels
Concr`etement un klystron est constitu´e (cf .fig I.2) :
— d’un canon `a ´electrons qui g´en`ere un faisceau d’´electrons. Il est la source de puissance qu’on apporte au signal que l’on veut amplifier.
Il est aliment´e par un modulateur.
— d’un focalisateur : un syst`eme de bobines ou d’aimants permanents permettant de confiner magn´etiquement le faisceau ´electrique.
— d’une structure d’interaction. C’est l`a que la modulation a lieu, l`a o`u le faisceau interagit avec des cavit´es r´esonantes. Elle est amorc´ee dans la premi`ere cavit´e, aussi appel´ee cavit´e input ou d’entr´ee, coupl´ee au signal `a amplifier. La modulation est ensuite modifi´ee et amplifi´ee par les cavit´es interm´ediaires. Enfin, c’est dans la derni`ere cavit´e, dite aussi de sortie ou d’output, que s’effectue la conversion de l’´energie cin´etique en ´energie ´electromagn´etique, par le ralentissement de l’en- semble des ´electrons. Les cavit´es sont reli´ees entre elles par de simples tubes : les glissements ou drifts.
— d’une entr´ee et sortie RF (fenˆetre et guide d’onde) qui respectivement, am`enent le signal `a amplifier, et d´elivrent le signal final.
— d’un collecteur charg´e quant `a lui de freiner les ´electrons `a la fin de leur course, et donc de dissiper l’´energie cin´etique qui n’a pas ´et´e convertie en onde ´electromagn´etique.
— de syst`emes de refroidissement (afin notamment d’´eviter le plus pos- sible les dilations caus´ees par la lib´eration de chaleur par Effet Joule) et de maintien du vide.
Figure I.2 – Coupe lat´erale d’un klystron : sch´ema structurel
Dans la suite de ce chapitre, on d´ecrira en particulier : le canon `a ´electrons et la focalisation appropri´ee `a appliquer (sans rentrer dans le d´etail du design des bobines) ; et ce que sont les cavit´es r´esonnantes, leurs rˆoles, et comment fonctionne une structure d’interaction. Pour plus de d´etails sur les autres syst`emes composant un klystron le lecteur pourra se r´ef´erer `a des ouvrages comme : [Gilmour, 1986], [Pozar, 1998], [Benford, 1992], [Warnecke and Gu´enard, 1951] ou encore [Smith and Phillips, 1994]. Si on s’int´eresse `a ces syst`emes c’est parce qu’ils joueront un rˆole crucial dans la probl´ematique multi-faisceau et le haut rendement comme nous le verrons dans les chapitres suivants.
1.2.c Vue d’ensemble et caract´eristiques
En r´esum´e, un klystron peut se repr´esenter par le bilan ´energ´etique sim- plifi´e du sch´ema I.3 ; o`u l’on voit la puissance fournie au canon et transport´ee par le faisceau sous forme d’´energie cin´etique. Le faisceau est modul´e par le signal d’entr´ee et porte son information. Puis, le faisceau se modifie dans la structure d’interaction afin d’avoir la forme ad´equate pour la derni`ere cavit´e.
L’´energie cin´etique arrivant dans cette cavit´e est globalement la mˆeme que celle d´elivr´ee au canon. L’´energie cin´etique des ´electrons y est convertie en onde ´electromagn´etique : le signal est amplifi´e. L’´energie restante qui n’a pas pu ˆetre convertie est dissip´ee dans le collecteur.
Figure I.3 – Sch´ema fonctionnel d’un klystron.
Le rapport entre la puissance du signal amplifi´e (aussi appel´ee puissance de sortie) Ps et la puissance du canon (aussi appel´ee puissance du faisceau
”beam” ou encore la puissance d’alimentation) Pb est appel´e le rendement η et s’exprime en pourcentage.
η[%] = Ps Pb
Le rendement quantifie donc la qualit´e de la conversion dans la cavit´e de sortie. Plus le rendement est faible, plus il y aura d’´energie dissip´ee dans le collecteur, et donc gaspill´ee. Plus pr´ecis´ement, cette d´efinition du rendement correspond `a celle du rendement ´electrique. Le rendement global d’un tube prend en compte la puissance fournie au focalisateur, l’´energie qu’on peut r´ecup´erer du collecteur en le d´eprimant etc.. On ne s’int´eressera pas `a ce rendement puisqu’il d´epend de facteurs ext´erieurs au klystron `a proprement parler, pour ne s’int´eresser qu’au rendement ´electrique plus fondamental.
Le rendement n’est pas `a confondre avec legain G qui, lui, est le rapport entre la puissance de sortie et la puissance du signal `a amplifier (aussi appel´e puissance d’entr´ee) Pe. Il est exprim´e en dB :
G[dB] = 10×log10(Ps
Pe)
Le gain rend compte de l’efficacit´e avec laquelle l’amplificateur augmente la puissance d’entr´ee. Plus le gain est faible, plus le signal d’entr´ee est le
mˆeme que celui de sortie, et donc moins l’amplificateur est utile.
Le gain nous permet de d´ecrire une autre caract´eristique des amplifica- teurs : labande passante ∆f[Hz]. Comme on l’a d´ej`a pr´ecis´e, chaque klystron n’est utilisable que pour amplifier un signal `a une fr´equence d´etermin´ee. Pour cette fr´equence le gain est maximal. Pour une fr´equence autour de cette va- leur le gain diminuera. La largeur de l’intervalle en fr´equence pour laquelle le gain ne descend pas en dessous de 1dB du gain maximal est la bande passante. Une faible bande passante signifie donc que le klystron est quasi- monofr´equence, alors que pour une bande passante plus ´elev´ee le klystron est utilisable pour d’autres signaux qui ne sont pas strictement `a la fr´equence d’utilisation.
La figure I.4 pr´esente la photo du TH1803 : un klystron `a 10 faisceaux d’´electrons. C’est ce MBK qui servira de r´ef´erence exp´erimentale tout au long de cet expos´e. Elle d´ecrit aussi ce qu’on trouverait en ouvrant un MBK.
Figure I.4 – `A gauche, coupe longitudinale sch´ematique d’un MBK. Entre les cavit´es, chaque faisceau est entour´e par un glissement qui n’est pas repr´esent´e sur ce sch´ema. `A droite, photo d’un klystron multi-faisceau : le TH1803, hors de son focalisateur. Les glissements individuels de chaque fais- ceau ne sont pas apparents. La largeur des klystrons est inversement pro- portionnelle `a leur fr´equence d’utilisation (comme on le verra plus tard du fait notamment des cavit´es) et `a leur perv´eance (que l’on d´efinira plus tard, cf. ´equation I.54). Ce MBK fonctionne pour 1GHz. De tels MBKs mesurent environ 2 m`etres et p`esent jusqu’`a 2 tonnes avec leur focalisateur.
1.3 Les IOTs
Les IOTs sont invent´es en 1938 par Andrew V.Haeff comme source pour les radars. `A l’occasion de l’exposition universelle de 1939 `a New York, des IOTs seront d´ej`a utilis´es sur l’Empire State Building comme transmetteur pour la t´el´evision.
Comme les klystrons, les IOTs sont des tubes hyperfr´equences amplifica- teurs d’onde ´electromagn´etiques dont le principe repose sur la modulation de
courant d’un faisceau d’´electrons. Contrairement aux klystrons, les IOTs ne modulent pas la vitesse des ´electrons mais directement la densit´e du courant (cf. sch´ema I.5). Cependant, la mani`ere de convertir l’´energie cin´etique des groupes d’´electrons en onde ´electromagn´etique par le biais d’une cavit´e de sortie est identique `a celle d’un klystron.
Figure I.5 – Sch´ema fonctionnel d’un IOT.
C’est directement en contrˆolant l’´emission du faisceau par le biais d’une grille reli´ee au signal `a amplifier que le bunching des ´electrons se forme (cf.
sch´ema I.6).
En effet, on appelle les IOTs des klystrodes ou triodes du fait de leurs points communs avec les klystrons et de l’existence de trois ´electrodes : une cathode, une anode et une ´electrode de blocage ou de d´eblocage. La cathode est l’´electrode (chauff´ee par un filament) d’o`u partent les ´electrons, et l’anode celle dont la diff´erence de potentiel avec la cathode permet d’acc´el´erer les
´
electrons. La troisi`eme ´electrode dans le cas de l’IOT est la grille reli´ee au signal `a amplifier. L’intensit´e ´emise par la cathode d´epend de la tension appliqu´ee `a l’anode et `a la grille, ainsi que de la g´eom´etrie du canon. Par exemple pour un IOT de classe B, le design du canon est tel que la cathode n’´emet pas de faisceau en l’absence d’un signal RF dans la grille, elle est alors bloqu´ee. Au contraire, en pr´esence d’un signal RF la cathode ´emet un faisceau dont l’intensit´e est modul´ee par le signal de la grille.
Figure I.6 – Sch´ema explicatif du fonctionnement d’un IOT. source : [Jensen, 2014b]
Les IOTs n’ont donc pas besoin de cavit´es interm´ediaires ni mˆeme de glis- sement (cf. I.7). Cependant, le reste est commun avec un klystron. Rappelons que le but de cette th`ese est d’am´eliorer la conversion de l’´energie du faisceau dans la derni`ere cavit´e en signal RF, et donc de comprendre les m´ecanismes en jeu dans cette derni`ere. Ainsi, que l’on consid`ere un klystron ou un IOT, la physique est la mˆeme. Il en va de mˆeme pour ce qui est de la probl´ematique multi-faisceau. C’est pour cela que dans la suite de ce manuscrit on ne parlera plus que de klystron ; mais tous les r´esultats seront applicables aux IOTs.
FigureI.7 – Sch´ema structurel du fonctionnement d’un IOT, coupe lat´erale.
Source : [Carter, 2010]
Dans un klystron, le bunch est cr´e´e dans les glissements par la modu- lation de vitesse des ´electrons. Nous verrons dans la suite de ce chapitre, qu’il faut une certaine longueur de glissement pour que le bunch se forme (cf. paragraphe 4.1.c). Or dans un IOT, le bunch est form´e par la modula- tion d’intensit´e d`es la sortie du canon. Par cons´equent, l’IOT pr´esente deux avantages compar´e au klystron :
— son haut rendement quelque soit la tension d’acc´el´eration appliqu´ee
— sa faible taille (cf. photo I.8) et donc son faible coˆut.
Les d´esavantages sont un gain plus faible (puisqu’il n’y a pas de cavit´es r´esonnantes interm´ediaires), et une dur´ee de vie plus courte (du fait de la d´et´erioration de la grille par le faisceau d’´electrons).
Figure I.8 – Exemple d’un IOT Thales (793) qui ´equipe le Synchrotron Alba en Espagne
Comme les klystrons, les IOTs sont des composants pour les acc´el´erateurs de particules mais ´etaient aussi utilis´es comme transmetteurs pour la t´el´evi- sion (cf. le cours de [Heppinstall and Clayworth, 1997]).
La question de leur rendement est donc d’actualit´e comme le montre l’ef- fort commun de Thales et CPI pour r´ealiser un MBIOT `a plus de 65% de ren- dement (cf. [Yates et al., 2016]), ou encore la pr´esentation de [Jensen, 2014b]
et [Yogi, 2014] lors de l’Enefficient RF sources workshop 2014 pr´esentant les source de puissance `a IOTs pour la section ”highβ” de l’European Spallation Source (ESS).
Comme le fonctionnement de l’IOT ne sera pas plus d´etaill´e dans cette th`ese, nous invitons le lecteur `a se r´ef´erer aux ouvrages de r´ef´erences cit´es pr´ec´edemment pour plus de d´etail ; ainsi qu’`a [Preist and Shrader, 1982], [Bohlen et al., 2004], [Gewartowski and Watson, 1965] et [Carter, 2010].
2 Canon et Confinement magn´ etique
Maintenant que l’on a introduit ce qu’´etaient les klystrons nous allons d´ecrire ses composants ; en commen¸cant par le canon `a ´electrons et la foca- lisation du faisceau.
Du fait des effets de charge d’espace, i.e. les r´epulsions ´electrostatiques dues `a la densit´e de charges, le faisceau a tendance naturellement `a diverger.
Le focalisateur entourant un tube a pour but de confiner magn´etiquement le faisceau.
Pour les klystrons et IOT le focalisateur consiste g´en´eralement en un sol´eno¨ıde. On peut aussi utiliser des aimants permanents, on parle alors de focalisation PPM5, mais ce type de focalisation, bien que moins cher, n’en- gendre pas un faisceau parfaitement stable, ce qui est crucial pour les klys- trons6.
Quant au canon `a proprement parler des klystrons, il est constitu´e d’une cathode (une cathode par faisceau dans le cas des MBKs cf la photo I.9), chauff´ee par un filament. La cathode chauff´ee ´emet des ´electrons qui sont acc´el´er´es par la tension entre la cathode et l’anode (en soi tout le reste du klystron est au mˆeme potentiel que l’anode). Sans excitation RF, un klystron se comporte donc comme une diode ; i.e. un tube `a vide o`u les ´electrons vont voyager de la cathode au collecteur.
5. Periodic Permanent Magnet
6. On retrouvera de la PPM plutˆot pour de plus petits tubes comme des TOP (tube
`
a onde progressive) par exemple, du fait notamment de leur faible champ magn´etique compar´e `a celui requis dans un klystron.
Figure I.9 – Photo d’un canon du MBK TH1803 `a 10 faisceaux donc 10 cathodes o`u ces derni`eres sont chauff´ees `a une centaine de watts au total pour permettre l’´emission ´electronique
Tout d’abord nous d´ecrivons bri`evement les crit`eres qui permettent de d´evelopper un canon et un focalisateur. Puis, dans la suite de cette sec- tion nous nous attarderons sur l’interaction d’un faisceau avec le champ magn´etique dans un cadre non relativiste ; ce qui nous permettra d’aborder dans le chapitre suivant les sp´ecificit´es dues `a la technologie multi-faisceau.
Cette description du mouvement des ´electrons est d´ecoup´ee en trois parties suivant les mouvements : axiaux, radiaux et enfin azimutaux.
2.1 Crit` eres de d´ eveloppement d’un canon et d’un fo- calisateur
Le d´eveloppement du focalisateur et du canon suit une m´ethode connue et
´
eprouv´ee adoptant les th´eories d’optique de Pierce d´etaill´ees dans [Pierce, 1954].
Ces proc´ed´es et r`egles de d´eveloppement sont d´ecrits avec pr´ecision dans [Blondel, 2012] et aux chapitres 6 et 7 de [Gilmour, 1986]. Dans ce paragraphe nous d´ecrivons bri`evement ces r`egles et les crit`eres associ´es. Ces informations sont pr´esent´ees de mani`ere plus d´etaill´ee, ainsi que les ´equations utilis´ees dans le reste du paragraphe, dans les ouvrages cit´es, et le lecteur est invit´e `a les consulter pour plus de d´etails. En outre, le tableau I.10 r´esume l’influence des caract´eristiques g´eom´etriques du canon sur l’ensemble des crit`eres list´es ci-dessous.
Figure I.10 – Influences de la g´eom´etrie du canon sur les caract´eristiques du faisceau. b/a est le taux de remplissage, et Emax le champ ´electrique maximal dans le canon. KA est la distance de la cathode au nez de l’anode (cf. figI.11). La hauteur du nez de l’anode correspond donc au rayon du glissement. Source : [Blondel, 2012] tableau II.3.2
2.1.a Caract´eristiques du canon
La focalisation ´electrostatique permet de mettre en forme le champ ´electri- que pour faire converger le faisceau. Une partie importante de cette focali- sation est l’´electrode de focalisation de la cathode appel´ee wehnelt. L’angle de Pierce est l’ angle th´eorique d’inclinaison entre le wehnelt, et l’axe du faisceau et est de θp = 67.5°, cf. figI.11. Cet angle permet d’obtenir des plans ´equipotentiels de tension orthogonaux `a la trajectoire des ´electrons en prenant en compte la charge d’espace7.
7. Cet angle est intuitivement de 90°lorsqu’on ne prend pas en compte la charge d’es- pace, et en consid´erant les cathode et anode planes.
Figure I.11 – Coupe semi-longitudinale de la simulation 2D d’un canon
`
a ´electron (sans champ magn´etique). Le champ ´electrique y est repr´esent´e.
θp est l’angle entre le wehnelt et la trajectoire du faisceau, rg le rayon du glissement, et Rk le rayon de disque de la cathode.
Soit I l’intensit´e du faisceau, et Vk la tension `a la cathode ; alors d’apr`es la loi de Child-Langmuir, la grandeur
P =I/Vk1.5 (I.1)
ne d´epend que de la g´eom´etrie du canon. On appelle cette grandeur : la perv´eance. Elle permet de quantifier les charges d’espace car elle est reli´ee
`
a la densit´e de charge. Plus la perv´eance est forte, plus les ´electrons auront tendance `a s’´eloigner les uns des autres et plus il sera difficile de cr´eer un groupe d’´electrons. Au contraire, plus la perv´eance sera faible, et plus les
´
electrons auront tendance `a ”s’ignorer” entre eux. La loi de Child-Langmuir n’est ´etablie que pour deux ´electrodes planes, mais est g´en´eralisable, cf.
[Humphries, 1990] : One-dimensional Child Law for Nonrelativistic Particles p197-204.
Dans la r´ealit´e, la tension au niveau de la cathode est n´egative et la tension au niveau de l’anode est nulle. De mˆeme, l’intensit´e est n´egative puisqu’op- pos´ee au d´eplacement des ´electrons. Dans la suite, nous consid´ererons ces valeurs comme positives, sauf cas explicites.
La densit´e de courant `a la surface de la cathode influence la dur´ee de vie du tube. En effet, plus cette densit´e est ´elev´ee, plus la cathode va s’´epuiser rapidement. Prenons l’exemple d’une cathode en forme de calotte sph´erique de rayon de courbureRc. On d´etermine cette forme afin de r´epartir le courant de telle sorte `a ce que la densit´e moyenne de charges du faisceau `a la surface de la cathode soit compatible avec la dur´ee de vie pr´evue par les besoins du tube. Pour des tubes appliqu´es `a de grands acc´el´erateurs on se limitera `a quelques A/cm2 pour plusieurs dizaines de milliers d’heure d’utilisation, cf.
la relation empirique fig :I.12.
Figure I.12 – Dur´ee de vie des cathodes (type M, i.e. une cathode en tungst`ene recouvert d’un alliage de platine) en fonction de la densit´e de charge `a leur surface. Source : [Marchesin, 2011] p13
Enfin, lors de la conception du canon, il est important de minimiser tout risque de claquage ´electrique dans celui-ci. Comme nous le d´ecrirons dans le chapitre II paragraphe 3.2, ces risques peuvent ˆetre quantifi´es `a l’aide du champ ´electrique maximal d´evelopp´e sur les ´electrodes du canon, de sa tension et de son temps d’application (impulsions `a Haute Tension HT).
2.1.b Crit`eres li´es au faisceau
La position axiale o`u la charge d’espace reprend le dessus sur la focalisa- tion ´electrostatique sans confinement magn´etique, et o`u le faisceau passe par un rayon minimum s’appelle le cross-over, cf. fig I.13.
Figure I.13 – Coupe semi-longitudinale de la simulation 2D d’un canon
`
a ´electrons, sans champ magn´etique. On ne simule ici que l’´electrostatique.
On repr´esente ici les trajectoires des ´electrons. Ce sch´ema est volontaire- ment ´ecras´e sur la longueur pour mettre en exergue la forme du faisceau.
Le cross-over est la position pour laquelle la vitesse radiale des ´electrons is- sus de l’extr´emit´e de la cathode est nulle. Le faisceau ici est laminaire : les trajectoires des ´electrons ne se croisent pas.
Soit rb le rayon du faisceau et rg le rayon du glissement, le coefficient de remplissage rb/rg est le rapport des deux. Le coefficient de remplissage est choisi afin d’optimiser l’interaction tout en minimisant les risques d’intercep- tion. Le rayon du faisceau au cross-over pour un confinement ”classique” (cf.
paragraphes suivant), doit ˆetre ´egal au rayon du faisceau souhait´e dans le reste du tube.
On appelle rigidit´e du faisceau sa capacit´e `a rester stable apr`es une per- turbation, notamment lorsque sa densit´e augmente par exemple. On peut quantifier cette caract´eristique par le ripple qui est le rapport entre la va-
riation maximale8 du rayon du faisceau sur son rayon moyen. Cette rigidit´e augmente avec le champ magn´etique utilis´e pour le confinement du fais- ceau, mais atteint rapidement sa limite maximale. Cependant, un champ magn´etique plus important implique des coˆuts plus importants, c’est pour ces raisons que le champ magn´etique est entre 2 et 3 fois le champ de Brillouin.
Le champ de Brillouin est une grandeur d´ependante du rayon souhait´e, de la tension et de la perv´eance du faisceau et est d´efinie plus loin `a l’´equation I.26.
Le facteurm d´esigne le rapport entre le champ magn´etique dans la structure d’interaction et le champ de Brillouin. Dans la pratique un bon compromis a
´
et´e ´etabli pour une valeurm≈2.3. Pour plus de d´etails on pourra se reporter p177, fig 7.20 dans [Gilmour, 1986].
Un faisceau doit aussi ˆetrelaminaire, i.e. faire en sorte que les trajectoires des ´electrons ne pr´esentent pas d’intersection.
Enfin le faisceau doit resterstable avec les variations de tension pr´esentes dans les r´egimes transitoires d’application et d’arrˆet de la HT.
2.1.c Outils de calcul
Thales a d´evelopp´e en interne ses propres codes de calcul.
L’´etude 2D de l’optique des canons `a sym´etrie de r´evolution se fait au moyen du logiciel Elf2D, interface graphique rassemblant plusieurs codes de calculs utilis´es pour ´etudier divers aspects du fonctionnement d’un tube
´
electronique. Le programme Optique r´esout de fa¸con it´erative, en s’appuyant sur un maillage discret g´en´er´e par un mailleur int´egr´e `a l’interface Elf2D, l’´equation de Poisson9 ∆V = −ρe/0, en prenant en compte les conditions aux limites sp´ecifi´ees par l’utilisateur et le champ magn´etique. Ce dernier peut-ˆetre simul´e en maillant le focalisateur, ou impos´e.
Dans le cas de canon multi-faisceau une ´etude en 3D est requise. Le mailleur utilis´e est alors le logiciel libre GMSH.
Enfin, le champ magn´etique issu des bobines du focalisateur est quant `a lui simul´e par un autre programme, lui aussi propre `a Thales.
8. i.e. la diff´erence entre le rayon maximal et le minimal : ripple = rmaxr−rmin
moy =
2rrmax−rmin
max+rmin
9. V est le potentiel ´electrique,ρela densit´e de charge, ∆ =∇ ·∇~ l’op´erateur Laplacien et 0 la permittivit´e di´electrique.
2.2 Acc´ el´ eration : Mouvement axial
La puissance d´elivr´ee au canon sous forme de tension entre la cathode et l’anode permet d’extraire les ´electrons et de les acc´el´erer. L’´energie po- tentielle ´electrostatique axiale ´echang´ee par unit´e de masse est alors ηeVk, avec ηe = e/me = 1.76 1011C/kg le rapport de la charge de l’´electron e sur sa masse me. En consid´erant que cette ´energie est enti`erement convertie en
´
energie cin´etique axiale et que l’´energie des ´electrons extraits de la cathode est n´egligeable, on trouve la vitesse v0 des ´electrons en sortie du canon :
v0 =p
2ηeVk (I.2)
On n´eglige ici deux effets qui diminuent la vitesse axiale des ´electrons.
D’une part l’effet du creux de potentiel cr´ee par le faisceau lui mˆeme, d’autre part l’effet du champ magn´etique.
En effet, le principe du confinement magn´etique, comme il sera d´ecrit dans les paragraphes suivants, est de faire tourner le faisceau `a l’aide d’un champ magn´etique radial (r´esultant d’une mont´ee du champ magn´etique axial) ; les ´electrons en rotation seront alors soumis `a une force centrip`ete par le champ magn´etique axial et seront alors confin´es. Une partie de l’´energie cin´etique axiale est alors convertie en ´energie azimutale pendant cette mont´ee de champ. Pour s’en convaincre, on peut remarquer que la force axiale due au champ magn´etique s’exprime comme :
Fm,z =ηevθBr (I.3)
Ces deux effets sont discut´es ci-apr`es, respectivement aux paragraphes 2.4.b et 2.5.f.
2.3 Rotation du faisceau : mouvement azimutal
Comme ´evoqu´e pr´ec´edemment, le confinement magn´etique n´ecessite la rotation du faisceau. C’est ce qu’on ´etudie dans ce paragraphe.
2.3.a Sym´etrie cylindrique : lien entre Bz et Br
Les bobines du focalisateur, i.e. la source du champ magn´etique, ont une sym´etrie cylindrique. r est la distance `a l’axe de sym´etrie, θ l’azimut, z la position axiale. Le champ magn´etique est alors invariant selon θ et sa com- posante azimutale est nulle10 :B~(r, z) = (Br,0, Bz).
10. On ne prend pas en compte le champ induit par le faisceau, seulement le champ du focalisateur qui est alors stationnaire.
La divergence du champ magn´etique ´etant nulle on a :
∂(rBr)
∂r =−r∂Bz
∂z (I.4)
Cette ´equation I.4 met en ´evidence que toute variation axiale du champ magn´etique cr´ee une composante radiale. Cette divergence nulle permet de d´efinir un potentiel vecteur A, tel que~ −→
∇ ∧A~ =B. On a ainsi :~ Br = −∂Aθ
∂z (I.5)
Bz = ∂(rAθ)
r∂r (I.6)
2.3.b Th´eor`eme de Busch
L’´equation azimutale du mouvement pour un ´electron est alors :
2 ˙rθ˙+rθ¨ = −ηe(vzBr−vrBz) (I.7) 1
r d
dt(r2θ) =˙ ηevrBz −ηevzBr d
dt(r2θ) =˙ ηevr∂(rAθ)
∂r +ηevz∂(rAθ)
∂z d
dt(r2ω) = ηed(rAθ)
dt (I.8)
en utilisant d(rAdtθ) = ∂(rAθ)∂r vr+∂(rAθ)∂z vz et la d´efinition de la vitesse angu- laire de l’´electron ˙θ=ω.
Le flux du champ magn´etique Ψ `a travers un disque concentrique `a l’axe du faisceau et de rayon r est, d’apr`es le th´eor`eme de Stokes :
Ψ =
"
B~ ·−→ dS
=
˛
A~·dl~
= 2πrAθ (I.9)
On peut donc r´e´ecrire l’´equation I.8 en fonction du flux magn´etique `a travers un disque de mˆeme rayon que celui qui positionne l’´electron consid´er´e.
L’´equation obtenue s’appelle le th´eor`eme de Busch et est donc valable pour tout syst`eme o`u le champ magn´etique est `a sym´etrie cylindrique :
∆ r2ω
=ηe∆Ψ
2π (I.10)
Au niveau de la cathode, on consid`ere que la vitesse angulaire des ´electrons est nulle :ωk = 0 ; avec Ψk le flux magn´etique au niveau de la cathode on a :
ω = ηe 2π
Ψ−Ψk r2
Au niveau de la cathode et du cross-over on impose Br Bz, tel que le profil du champ magn´etique axial selon z forme deux paliers. Le champ magn´etique `a ses paliers se comporte alors comme un sol´eno¨ıde infini (i.e.
un sol´eno¨ıde dont on a n´eglig´e les effets de bords) et est uniforme ; ainsi Ψ = πr2B, d’o`u :
ω=ωL
1− Ψk Ψ
=ωL
1−CBk B
(I.11) avec la pulsation de Larmor ωL =ηeB/2, ωL,k =ηeBk/2 ; C(r) = Rrk2
, en r = rb : C = C = R2k/rb2 est appel´ee la convergence, o`u rb est le rayon du faisceau souhait´e au cross-over.
2.4 Effet radial de la charge d’espace
Nous avons ´evoqu´e pr´ec´edemment que la n´ecessit´e d’utiliser une foca- lisation magn´etique provient de la r´epulsion coulombienne radiale dans le faisceau. On quantifie ici les effets radiaux de cette charge d’espace.
Le lecteur pourra se reporter p. 78 du cours de A.J Durand [Durand, 2011]
pour plus de d´etails.
2.4.a Champ ´electrique sous l’anode
Le faisceau d’´electron a une sym´etrie cylindrique, il est donc ind´ependant de θ.
Sous l’anode (i.e. au niveau du cross-over), avant la premi`ere cavit´e on mod´elise le faisceau comme un cylindre infini `a sym´etrie axial. La densit´e de charge ρe ne d´epend que de la distance `a l’axe du faisceau r.
On a alors :E~ =E(r)e~r.
En utilisant le th´eor`eme de Gauss on trouve alors : E(r) =
´r 0 ρerdr
r0 , r < rb E(r) =
´rb
0 ρerdr
r0 , r≥rb
Comme nous nous pla¸cons `a la sortie du canon, on suppose que tous les
´
electrons ont la mˆeme vitesse axiale identique : v0 = √
2ηeVk comme ´etabli qu paragraphe pr´ec´edent.
