Modeles dilues en physique statistique : Dynamiques hors d'equilibre et algorithmes d'optimisation

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hors d’equilibre et algorithmes d’optimisation

Guilhem Semerjian

To cite this version:

Guilhem Semerjian. Modeles dilues en physique statistique : Dynamiques hors d’equilibre et

algo-rithmes d’optimisation. Analyse de données, Statistiques et Probabilités [physics.data-an]. Université

Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2004. Français. �tel-00006329�

LABORATOIRE DE PHYSIQUE TH 

EORIQUE

DE L' 

ECOLE NORMALESUP 

ERIEURE

TH 

ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSIT  E PARIS 6 Spe ialite: PHYSIQUE TH  EORIQUE presentee par Guilhem Semerjian

pour obtenirle grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSIT 

E PARIS 6

Modeles dilues en physique statistique :

Dynamiques hors d'equilibre et algorithmes d'optimisation

Soutenue le18juin 2004 devantle jury omposede :

M. TonCOOLEN (Rapporteur)

Mlle Leti ia CUGLIANDOLO (Dire tri e)

M. Bernard DERRIDA

M. Satya MAJUMDAR

M. Mar M 

Cettetheses'estderouleedeseptembre2000ajuin2004aulaboratoiredephysiqueth eo-riquedel'E oleNormaleSuperieure.Jeremer iesesdire teurssu essifsJeanIliopouloset Eugene Cremmer d'avoir bien voulu m'y a ueillir, ainsi que les se retaires Mi helle Le-liepvre,Mar elleMartinetNi oleRibet,dontlagentillesse,la ompeten eetledevouement sontpourbeau oup danslaqualitedevieaulaboratoire.

Jenesauraistropinsisteri isurlagratitudequej'eprouveenversmadire tri edethese, Leti iaCugliandolo.Ses ompeten ess ientiquesetletempsqu'ellea onsa ream'enfaire bene ierm'onteteextr^emementprotables.La onan eetlesoutienqu'ellem'aprodigues m'ontaussiparti ulierementaidetoutaulongde es quatreannees.

J'ai eu aussile plaisir de ollaborer dire tement ave Simona Co o, Remi Monasson, Andrea Montanari et Martin Weigt. De tous j'ai beau oup appris et je les remer ie tres haleureusementdem'avoirfaitpartagerleurexperien e.

Mon initiation a la physique statistique des systemes desordonnes a eu lieu au ours d'un stage a l'universite d'Oxford, je suis tres re onnaissanta David Sherrington d'avoir a ompagne espremierspas.

Je tiensaussi aexprimermagratitude al'egard deBernard Derrida,SatyaMajumdar et Cris Moore pouravoira eptede parti iper aujury de ette these, ainsi quemes plus vifs remer iements a Ton Coolen et Mar Mezard pour avoir assure l'exigeante t^a he de rapporteur.

Parmiles her heursave qui j'ai eula han ede dis uter,je tiensaremer ieren par-ti ulierAlainBarrat,Mi helBauer,GiulioBiroli,Jean-PhilippeBou haud,WernerKrauth et JorgeKur han.

J'aiassureau oursdesdeuxdernieresanneesdestravauxdirigesauseindumagisterede l'E oleNormale.Mestressin eresremer iementsvontasesresponsablesJean-Mar Berroir et Christophe Duprazdem'avoira ueilliau seinde leurequipe,ainsi qu'auxenseignants et hargesdeTD ave quij'ai travaille: HenkHilhorst,JeanIliopoulos,Chi-TuongPham, Ni olas Regnault, Vin entRivasseauetJeanZinn-Justin.

Ungrandmer iaussiauxthesardsave quila ohabitationdanslem^emebureaufutun plaisir,asavoirChristopheDeroulers,SergeFlorens,SteenMetzger,SebastienRay,ettout parti ulierementGregoryS hehr.

1 Introdu tion 5

1.1 Lesverresdespin. . . 5

1.2 Modeles ompletement onne tes . . . 7

1.3 Analogiesave desproblemesd'optimisation. . . 8

1.4 Modelesdilues . . . 9

1.5 Aspe tsdynamiques . . . 11

1.5.1 Dynamiquesphysiques . . . 11

1.5.2 Algorithmesd'optimisation . . . 13

1.6 Resumedutravaildethese . . . 13

2 Proprietes geometriquesdes modelesdilues 15 2.1 Legraphealeatoired'ErdosetRenyi . . . 15

2.1.1 Denition d'ungraphe . . . 15

2.1.2 Graphealeatoire . . . 17

2.1.3 Sesproprietes. . . 17

2.2 Hypergraphes . . . 20

2.3 Autrestypesd'ensemble . . . 21

2.4 Developpementsen lusterspourlesgraphespoissonniens . . . 23

2.4.1 Formulationgenerale. . . 23

2.4.2 L'energielibredumodele deViana-Brayafaible onne tivite . . . 25

2.4.3 Domainedevaliditedelamethode . . . 26

3 Dynamiquesde spins ontinus 29 3.1 Generalitessurlemodelespherique. . . 29

3.1.1 Statique . . . 29

3.1.2 Dynamique . . . 30

3.2 Un problemedematri esaleatoires . . . 33

3.2.1 Introdu tion . . . 33

3.2.2 Matri esdiluees . . . 34

3.2.3 Methodedesrepliques . . . 35

3.2.4 Perspe tives. . . 41

3.3 Consequen essurlemodelespherique . . . 43

3.3.1 Rappelssurle as ompletement onne te . . . 43

3.3.2 Le asdilue . . . 45

3.3.3 Perspe tives. . . 48

3.4 Versunemethodegeneralepourlesmodeles despins ontinusdilues . . . 50

3.4.1 Formalismefon tionnel . . . 50

3.4.3 Le as ompletement onne te . . . 55

3.4.4 Le asdilue . . . 56

3.4.5 Perspe tives. . . 57

4 Dynamiquesde spinsdis rets 59 4.1 Generalites . . . 59

4.1.1 Operateursdeproje tion . . . 59

4.1.2 Pro essus®markovienslo aux¯ . . . 61

4.2 LemodeledeCurie-Weiss . . . 65

4.3 Leferromagnetiquea onne tivitexe . . . 69

4.3.1 Denition dumodele,proprietesthermodynamiques . . . 69

4.3.2 Lesdes riptionsappro heesdeladynamique . . . 71

4.3.3 Resultats . . . 75

4.3.4 Correlationsadeuxtemps . . . 76

4.3.5 Perspe tives. . . 79

4.4 Un algorithmedere her helo ale. . . 81

4.4.1 Denitions . . . 81

4.4.2 L'ensembledesformulesaleatoires . . . 83

4.4.3 Developpementsen lustersdanslaphaselineaire . . . 86

4.4.4 Une ara terisationappro heedu omportementtypique. . . 89

4.4.5 Cal ulappro hedesgrandesdeviations . . . 91

4.4.6 XORSAT . . . 93

4.4.7 Limite degrandK . . . 94

4.4.8 Perspe tives. . . 94

4.5 Appendi e:Unedynamique algorithmiqueexa tementsoluble . . . 97

4.6 Appendi e:Unedeuxiemevariante . . . 99

4.7 Appendi e:Deuxheuristiquesplusperformantes . . . 101

5 Autour d'un theoreme de u tuation 105 5.1 Proprietesd'equilibredesfon tionsadeuxtemps . . . 105

5.1.1 Enon es . . . 105

5.1.2 Unepreuve . . . 107

5.2 Generalisationspourdesfon tionsantemps . . . 111

5.3 Un theoremede u tuation . . . 114

5.4 Generalisationshorsd'equilibre . . . 116

5.4.1 Les enariohorsd'equilibreaunee hellede orrelation . . . 116

5.4.2 Consequen essurlesfon tionsatroistemps. . . 118

5.4.3 Generalisationdutheoremede u tuation . . . 120

5.4.4 Perspe tives. . . 121

6 Con lusion 123

Bibliographie 125

Introdu tion

1.1 Les verres de spin

Ledomainedelaphysiquedanslequel ettetheseprendpla eestnedel'eorttheorique fournipourexpliquerlesresultatsd'experien essurlesverresdespin, omposesproduitsen laboratoirea partirdes annees 70 [1℄. Experimentalement,un verre de spin est unalliage entreunelementnoble,nonmagnetique,etunefaiblefra tiond'atomesdotesdeproprietes magnetiques.Cemelangeestee tueahautetemperature,lesdeuxespe esformantalorsune phaseliquide.Lorsquel'alliageest refroidi,le omposesesolidie;lemetalnoble ristallise dansunreseauregulier,tandisqueleselementsmagnetiques,largementminoritaires,jouent ler^oled'impuretespla esaleatoirementauseindureseauregulier.

Dansune tellesituation,lesintera tionsentremomentsmagnetiques desimpuretesd e-pend de la distan e les separant d'une maniere tres parti uliere

1

. Comme on peut s'y attendre, l'intensite de l'intera tion de ro^t pour des atomes de plus en plus eloignes.Ce qui est notable, 'est quelesigne de l'intera tion estune fon tionos illantede ladistan e les separant. Autrement dit, ertaines des intera tions entre moments magnetiques sont ferromagnetiques,tendantalesaligner danslem^emesens,alors qued'autressont antifer-romagnetiquesetfavorisentdon les ongurationsantiparalleles.

La presen e simultanee de es deux types d'intera tion va provoquerune dependan e originale des proprietes dusystemepar rapport a latemperature

2

. Rappelonsen eet la situationdansle asoutouteslesintera tionssontferromagnetiques.Lesproprietesd' equi-libred'untelsystemeresultentd'une ompetitionentreuneetenergetique,lesintera tions tendanta alignertousles spinsdans lam^eme dire tion,et uneet entropique,l'agitation thermique favorisantplut^ot unetatdesordonne.A hautetemperature 'estla ontribution entropiqueal'energielibrequiestdominante,onadon unetatparamagnetiquedanslequel lesspins u tuentautourd'unevaleurmoyennenulle.Quandonabaisselatemperatureon assiste aune transition de phase : en dessousd'une temperature ritique, les eets  ener-getiques l'emportent, etlesystemea quiertuneaimantationma ros opique,touslesspins 

etant alignes dans une dire tion ommune. L'aimantation ma ros opique est i i un para-metred'ordre, qui ro^t ontinumentde zeroquand ondiminue latemperatureendessous desa valeur ritique.

1

Ce phenomene, dit intera tion RKKYd'apresles noms deRuderman,Kittel, Kasuya et Yosida,est expliquedanslaplupartdeslivresdephysiquedusolide,parexemple[2℄.

2

Onrestetoujoursendessousdelatemperaturedefusionduverredespin,lespositionsdesimpuretes magnetiques, et don la valeur des intera tions entre elles, restent gelees a partir de la preparation de l'e hantillon.

Quedevient etteimagedansle adred'unverredespin?Ahautetemperaturelaphase paramagnetique n'est pas modiee, mais la phase de basse temperatureest dierente. Le systeme her hetoujoursasebloquerautourd'une ongurationdesspinsquiminimiseson 

energie,mais ette ongurationnepeutpas^etre elleave touslesspinsalignes,puisqu'une partie des intera tions sont antiferromagnetiques. On a don une transition de phase ou ertains degres de liberte se gent ( e qui se traduit par une singularite sur la haleur spe iquedel'e hantillon),maissansapparitiond'uneaimantationma ros opique(nim^eme d'au un ordremagnetiqueregulier).

UnepremieremodelisationdesverresdespinaeteproposeeparEdwardsetAndersonen 1975[3℄.Elle onsisteapla erN spinsd'Isingsurlessommetsd'unreseauendimensionnie d, ave des ouplagesentre pro hesvoisins designe quel onque. L'hamiltoniendu modele est don : H = X hi;ji J ij  i  j ;  i =1: (1.1)

Lesindi esidesignentlessitesdureseau,etlasommeporteuniquementsurles ouplesde sites voisins. Insistons sur le ara tere dierent des variables 

i et J

ij

. Ces dernieres sont supposees xees,ou gelees(quen hed)de lam^emefa on quelesimpuretesmagnetiques ne sedepla entpasdans une hantillon deverrede spintantqu'on nelefait pasfondre. Les variables

i

sontpar ontresoumisesades u tuationsthermiques,selonlaloideprobabilite de Gibbs-Boltzmann. Le parametred'ordre qui de rit la transition vers laphase de basse temperatureest deniapartirdesmagnetisationslo alesm

i =h

i

i(les ro hetsdesignent lamoyenneave lepoidsdeGibbs-Boltzmann) omme

q EA = 1 N X i m 2 i : (1.2)

A ause du signe u tuant des intera tions, l'aimantation totale P

i m

i

reste nulle dans laphasedebassetemperature.Leparametred'Edwards-Andersonquel'onvientdedenir serapar ontrepositif, haquespina quierantunemagnetisationnonnulle,dontladire tion u tued'unsite al'autre.

S'iletait ne essaire de onna^tre les positions et les ouplagesentre impuretes magn e-tiquespourpredirele omportementd'une hantillonma ros opiquedeverredespin,tout travail de modelisation serait vouea l'e he ,tout omme si l'ondevait onna^tre les posi-tions de toutes les mole ules d'un gaz pouretablir son equation d'etat. Heureusement e n'est pas le as : deux e hantillons de verres de spins prepares selon le m^eme proto ole experimental seront ertes tres dierentsau niveau mi ros opique, maisl'on s'attend a e queleursproprietesma ros opiques( haleurspe ique,temperaturedetransition,...)soient identiques.D'unpointdevuetheorique, elasuggerededenirdesensemblesd'e hantillons mi ros opiquesqui orrespondentaum^emepro edeexperimentaldefabri ation.Auseinde et ensemblelesvariablesgelees mi ros opiquesvarientd'une hantillonal'autre,maisles observablesma ros opiques sont toutes quasiment identiques. On peut don identier les valeursmoyennesde esobservablesave lesvaleurstypiquementobserveespourun e han-tillon donne.Dansle adredumodele d'Edwards-Andersonparexemple,lesJ

ij

serontdes variables aleatoires independantes. Leur loi de probabilite autorise des ouplages positifs et negatifs demanierea reproduire lafrustrationpresente dansles verres despin. Ilreste ensuitea al ulerlavaleurmoyennedel'energielibreparrapporta ettedistributionpour

1.2 Modeles ompletement onne tes

Laresolutionexa tedumodeled'Edwards-Andersonatroisdimensionssembleunet^a he impossible:pourle aspurementferromagnetique le al ul delafon tiondepartition n'a 

eteee tue qu'adeux dimensions,et lapresen e dedesordredans lesintera tions rend le problemeen ore plusdiÆ ile. Une simpli ation du modele, de type hampmoyen, aete introduiteparSherringtonetKirkpatri k(SK) [4, 5℄.Leurmodeleestunanaloguede elui de Curie-Weissduferromagnetisme: ha undes N spinsd'Isingdu modele interagit ave tous lesautres, d'ou lenom de ® ompletement onne te¯ quel'on attribue a e type de modele.L'hamiltonien onsideres'e ritalors

H = X i<j J ij  i  j ; (1.3)

la sommeportantsur touteslespairesde spins.Les ouplagesgelesJ ij

sontdes variables aleatoirespositivesounegatives,leur varian eetant d'ordreN

1=2

pourquel'hamiltonien soit extensif

3

. Alorsque laresolution dumodele ferromagnetique ompletement onne te est triviale ( f.lase tion4.2), elle dumodele deSherrington-Kirkpatri ks'est averee tres subtile eta onduital'introdu tionde on eptsnouveauxen physiquestatistique.L'etude desmodelesdesordonnesde hampmoyenreposesouventsurlamethodedesrepliques.Cette methoden'estpas,danssaformulationoriginelle, ompletementrigoureused'unpointdevue mathematique:unefon tion al uleepourunnombrenderepliquesdoit^etreprolongeedans lalimiten!0.Commenestapriorientier, e prolongementn'estpasuniqueetne essite l'intodu tion d'hypotheses supplementaires. La plus naturelle, utilisee par Sherrington et Kirpatri k, est dite ®symetrique dans les repliques¯ (RS). Cet ansatz n'est pas orre t 

a basse temperature ar il predit une entropie de temperature nulle negative, e qui est impossiblepour un modele dont lesdegresde libertesont dis rets. Un al ul de stabilite ee tuepardeAlmeidaetThouless[6℄amontreque 'etaitl'hypotheseRSquietaitfautive: elleentra^naitl'apparitiondedire tionsde u tuationsinstablesdansuneintegrale al ulee parlamethodedu ol.

On doit aParisi[7, 8, 9℄ laformulation de l'ansatz orre tpour le modele SK. Celui- i brise la symetrie entre les repliques (RSB), dans un s hema iteratif : les n repliques sontdivisesengroupesdem repliques, eux-m^emessous-divises,et ainsidesuite.Pourune reprodu tion des arti les importants de ette epoque ainsi que pour une dis ussion de la signi ation duphenomenedeRSB, onpourrasereportera[10℄.Mentionnonssimplement que ette brisuredesymetrieest relieealanatureparti ulieredelaphasedebassetemp e-rature desverresdespin. Unsystemed'Isingferromagnetiquepossededeux ®etatspurs¯ en dessousde latemperature ritique, orrespondantaux deux signespossiblesde la ma-gnetisation:touslesmomentsmagnetiquess'alignentdansunedire tiondonneedefa ona minimiser l'energiedusysteme.Dans un verre de spinstelque lemodele SK, lasituation est beau oupplus ompliquee :lafrustrationinduiteparlessignesaleatoiresdes ouplages entra^neunedegeneres en edes ongurationsdebasseenergie.Onadon ungrandnombre d'etatspurs,l'ansatzdeParisitraduisantleurorganisationdansl'espa edes ongurations dusysteme.

Une preuve rigoureuse de l'exa titude de l'energie libre predite par l'ansatz de Parisi pourlemodele SKestapparuetresre emment.Cettepreuve,naliseeparTalagrand[11℄, s'appuie surunemethoded'interpolationdueaGuerra[12℄.

Onpeutreformulerleproblemedesverresdespind'unemaniere legerementdierente. Atresbassetemperature,le omportementd'unsystemephysiqueest,demanieregenerale,

determineparses ongurationsdeplusbasseenergie.Pourunmodeleave Nspinsd'Ising, il ya2

N

ongurations~, ha uneave uneenergieE ~ 

.Cesenergiessont,dansunmodele desordonne,desvariables aleatoires:ellesdependent eneetdes intera tionsgelees J

ij .Il onviendraitdon ,pour omprendrelesystemeabassetemperature,d'etudierlesproprietes statistiques du minimum de es 2

N

variables aleatoires, ou plus generalement des k plus petites. Ilest assez fa ilede determiner lesproprietesdesextremesde variablesaleatoires independantes.LadiÆ ultedansunverredespinestquelesenergiesdes ongurationssont desvariablesaleatoires orrelees:ellesdependenttoutesd'unnombrebeau ouppluspetitde variablesindependantes,lesN

2

ouplagesJ ij

.Derrida[13℄aintroduitlemodele aenergies aleatoires(REM) ommeunesimpli ationd'unproblemedeverresdespin,danslequelles 

energies des2 N

ongurationssontindependantes. Cemodele presente unetransition vers une phase de basse temperature dans laquelle le systeme se gele sur un petit nombre de ongurationsdebasseenergie.Dans em^emearti leil estaussimontrequeleREMpeut s'obtenirapartirdelageneralisationsuivantedumodele SK.Dans edernier,lesvariables 

i

interagissentparpaires.Danslesmodelesdits®p-spin¯,lesvariablesinteragissentppar p.L'hamiltoniende hampmoyen orrespondantest don :

H = X i1<


<ip J i 1 :::i p  i 1 ::: i p : (1.4)

Lasommeportesurtouslesp-upletsdevariablespossibles,etlesintensitesdesintera tions J

i1:::ip

sontdes variables aleatoires independantes. Dans la limite p ! 1 (en ree hellant judi ieusementl'intensitedes ouplages),lesenergiesde deux ongurationsperdenttoute orrelation,et onretrouvedon ladenitionduREM.Cettelimite aaussieteetudiee par Gross et Mezard [14℄, quionttrouveque laphasedebasse temperatureetaitalors de rite par une versionsimpliee de l'ansatzde Parisi: unseulpas dansle s hemaiteratifde rit plushautestne essaire,onparlealorsde1RSB

4

,alorsquedanslemodeleSKilfautfaire unnombreinnidepasdebrisuredessous-groupesderepliques.

Uneinterpretationdelabrisureaunpasdelasymetriedesrepliquesentermesde pro-prietesextremalesdevariablesaleatoires orreleesaetedonneparBou haudetMezard[16℄.

1.3 Analogies ave des problemes d'optimisation

Ilexisteune analogie,dontl'exploitations'estavereetresfru tueuse,entrelessystemes physiquesdutypeverresdespinetlesproblemesd'optimisationetudiesenmathematiques et eninformatique.

Undesplus elebresexemplesdeproblemed'optimisationests^urement eluiduvoyageur de ommer e:etantdonneeslespositionsdeN villes,onvoudrait onna^trele heminferme qui passeuneetuneseulefoispartouteslesvilles,etquiminimiselekilometragepar ouru parlerepresentant.Autrementdit,onveutminimiserunefon tionde o^ut(ladistan etotale 

apar ourir)parrapporta ertainsdegresdeliberte(l'ordredanslequelonvisitelesvilles), en maintenant ertainsparametres(la position desvilles)xes.Sil'on rempla e®fon tion de o^ut¯parenergie,®positiondesvilles¯parintera tionsgelees,et®trajetduvoyageur¯ par onguration des variables thermiques, on a traduit le probleme d'optimisation en la re her hedufondamentald'unsystemedephysiquestatistique, 'est-a-direenl'etudedeses proprietesdebassetemperature.

Unproblemed'optimisationestdenipar ertainesregles(i i, her herle heminde lon-gueurminimale)etpardesdonneesqui ara terisentuneinstan eparti uliereduprobleme

4

(la positionspe iquede ha une desvilles). ®Instan e¯ est don la tradu tiond' e han-tillon dans e nouveau langage. De plus, il est souvent interessantde denir unensemble d'instan esmunid'uneloideprobabilite(parexempleenrepartissantuniformementNvilles dans un arrede ^oteL),et des'interesserauxproprietesstatistiquesduprobleme d'opti-misation orrespondant(notammentladistributiondeslongueursoptimalesdestourneesdu voyageurde ommer e). Ce i orrespond auxdistributions du desordre geleutilisees dans lesmodelisationsdesverresdespin.

Cetteanalogieaeteexploiteedeslesannees80dansdeux dire tions omplementaires: les methodes analytiques developpees pour l'etude des verres despin ontete reemployees dans e ontexte,voirparexemple [17℄pourune etude duproblemeduvoyageurde om-mer e.Ilad'autrepartetesuggered'utiliserlespro eduresnumeriquesdutypeMonteCarlo pourtrouverdessolutionsauxproblemesd'optimisation, unedemar heintitulee® simula-tedannealing¯[18℄.L'idee onsisteaintroduireunetemperature tiveetae hantillonner l'ensembledes ongurationsave lepoids deBoltzmann orrespondant.Lalimite de tem-peraturenullede ete hantillonnagedoit onduireaufondamental dusysteme, 'est-a-dire 

alasolutionduproblemed'optimisation.Enfaitl'espa edes ongurationsdesproblemes d'optimisation est souvent tresirregulier,et ette pro edurepeut resterbloquee dans des 

etatsmetastables d'energiepluseleveeque elledela ongurationoptimale.

1.4 Modeles dilues

Dans le modele SK, haque degre de liberte  i

interagit ave tous les autres. Cette onne tiviteinnieesttreseloigneede elled'unsystemereel,oud'unmodelesurunreseau geometrique de dimension d, haque variable n'ayant alors qu'un nombre ni de voisins (2d pourunreseauhyper ubique).VianaetBray[19℄ ontintroduit unmodele danslequel la onne tivitedesvariables restenie danslalimite thermodynamique.L'hamiltonien est toujoursdelaforme(1.3),maislaloidedistribution des ouplagesestmaintenant

Prob(J ij )=  1 N  Æ(J ij )+ N (J ij ); (1.5)

ou Æ est la distribution de Dira et  une distribution de probabilite reguliere. Pour un site i donne,il yaenmoyenne intera tions J

ij

nonnulles,autrementdit lesite interagit ave voisins. Bien que la onne tivite soit nie, e modele est de type hamp moyen : les voisins sont hoisis aleatoirement parmi les N sites du systeme, il n'y a don pas de notiondedistan eeu lidienneentresites.L'essentieldutravaildethesepresentei i on erne de tels ®modeles dilues¯ ayant une onne tivite lo ale nie sans pour autant respe ter une geometrie eu lidienne.On ren ontrerad'autresexemplesde esmodelesdans lasuite. L'inter^et portea esproblemespeut^etremotiveparquelquesremarques:

{ Une question ouverte on erne la pertinen e en dimension nie de l'image obtenue pourlesmodeles ompletement onne tesparlamethodedesrepliques

5

.Lesmodeles diluessont ertestoujoursdetype hampmoyen,mais orrigentlapeuvraisemblable onne tiviteinnie deleursprede esseurs.Onpeutdon espererqueleursproprietes serontpluspro hesde ellesdessystemesdedimensionnie.

{ Ils omportentenparti ulierdenouveauxingredientsphysiquesparrapportaux mo-deles ompletement onne tes.Eneet,danslemodeledeViana-Brayla onne tivite

5

Uneappro heassezradi alementdierentedesverresdespinendimensionnieestdonneparl'image desgouttelettes[20,21℄,danslaquellelaphasedebassetemperaturene omportequ'unnombrenid'etats

lo ale d'un site est une variable u tuante.Ce i va entra^nerl'apparition de ph eno-menesdetypephasede GriÆths[22, 23℄,a aused'evenementsrares on ernantdes zonesdusystemequiinteragissentplusfortementquelamoyenne.En onsequen e,la relaxationversl'equilibre dansune tellephaseestanormalementlente,a aused'une distributionlargedestempsd'equilibrationdessous-systemes[24,25℄.

{ Unedernieremotivationresidedans l'analogiedejaevoqueeave lesproblemes d'op-timisation.Ilsetrouvequelesproblemes entraux entheoriede l'optimisation om-binatoire onduisent,unefoistraduitsentermesphysiques,adesmodelesdespinqui ontune onne tivitenie. L'exemple leplusfrappantest eluidela®satisabilite¯, auquelontrouveraunetresbonneintrodu tiondans[26℄.Uneinstan ede eprobleme, appelee formule, est denie parun jeu de ontraintes logiques, dites lauses, sur des variablesbooleenes.Leprobleme onsisteadeterminerl'existen eoupasd'une on-guration des variables satisfaisanttoutes les ontraintes, autrement dit une solution de la formule. La satisabilite joue un r^ole entral dans latheorie de la omplexite omputationnelle, 'est en eet le premier probleme dont la NP- ompletude ait ete demontree [27℄. Par ailleursunensemble aleatoirede formulesauxproprietes remar-quables a ete de ouvert [28℄. Celui- i est deni par deux parametres, le nombre de variablesN etunratiode ontraintes parvariables.Quandest trespetitles for-mulessontpeu ontraintes et possedentbeau oup desolutions.Si au ontraire est tresgranddes ontradi tionslogiquesapparaissentetlesformulesnepeuventplus^etre satisfaites.Lepointremarquableestquedansla®limitethermodynamique¯N !1, lepassaged'unregime al'autresefaitdemaniere abrupte:ilexiste unevaleurseuil 

separantlesformulespresquetoujours 6

satisablesde ellespresquetoujours in-satisables. En termes physiquesil existe une transition de phase pour ette valeur duparametrede ontr^ole.On trouveradesdenitions pre isesduproblemedela sa-tisabiliteet del'ensemblealeatoiredeformulesdanslapartie 4.4,a ompagneesde referen esplus ompletes.

La ontrepartie de ette ri hesse physique des modeles dilues est une plus grande dif- ultete hnique parrapport auxmodeles ompletement onne tes

7

. Comparons en eet grossierementlemodele deSherrington-Kirpatri ka eluideViana-Bray.Dans lepremier, haquespin subit une faible in uen e de la partd'un grandnombre de voisins, alors que dans ledeuxiemeil aunnombrenidevoisinsave quiil interagitfortement.Lapremiere situationesttypiquedutheoreme entrallimitesurlessommesdevariablesaleatoires,l'® in- uen e¯(pluspre isementle hampmagnetiqueee tif)ressentieparunspinestdon une variable aleatoiregaussienne.Dans le asdumodele deViana-Bray, ommedans eluides autres modelesdilues, ette simpli ation dispara^t.Ce i expliquequela miseaupointde l'ansatz brisantlasymetriedesrepliquesaetebien plustardif quepourle modele SK.En eet, m^emedansl'approximationdesymetriedesrepliques,leparametred'ordre,qui etait unsimplenombreq

EA

pourlemodeleSK,devientune fon tiondanslesmodelesdilues.Ce parametre d'ordreRS, solutiond'uneequation fon tionnelle,aete d'abord al ulepourle modeledeViana-Brayauvoisinagedelalignedetransition[19℄etatemperaturenulle[29℄. Leproblemedelasatisabilitealeatoireevoqu e i-dessusaeteintroduitdansla ommu-nautede physiquestatistiqueparMonassonet Ze hina[30℄. Suivantl'analogiehabituelle, lesvariablesbooleennessontrepresenteespardesspinsd'Isingetl'onintroduitunefon tion 

energiequi omptelenombrede ontraintesnonsatisfaites.Uneformuleestdon satisable (possededessolutions)silefondamentalauneenergienulle,etlephenomenedeseuila

se traduitparunetransitiondephaseversunregimeoul'energiedufondamentalestnon-nulle.

6

C'estadireave uneprobabilitetendantversundanslalimitethermodynamique. 7

Le modeledespinainsiobtenuaune onne tivitenie, al'instarde eluideViana-Bray. Letraitementde eproblemedansle adredel'ansatzsymetriquedesrepliquesreproduit l'existen ed'unetransitiondesatisabilite,maislavaleurduseuilpreditn'estpasena ord ave les simulations numeriques. Il faut don briser la symetrie des repliques, une t^a he parti ulierementdiÆ ile pour es systemesdilues. Le parametred'ordre, qui est deja une fon tion au niveau RS, devient une fon tionnelleau niveau du premier pas de brisure de la symetrie des repliques [31, 32℄. Une resolution appro hee de es equations 1RSB aete obtenueparBiroli,MonassonetWeigt[33℄al'aided'uneappro hevariationnelle.Celle- ia notamment onduitauneimageplusraÆneedesproprietesdesformulesaleatoires.Eneet, enplusdelatransitiondesatisabilitea

,unedeuxiemevaleurduparametresepareun regimesatisableoulessolutionsdelaformulesontrepartiesuniformementdansl'espa edes ongurationsd'un autreouellesseregroupentengroupesdesolutionsnettementsepares lesuns desautres.

Un nouveau ap dans la omprehensiondes systemes desordonnes dilues aete fran hi par Mezard et Parisi [34℄. Ces auteurs ont re onsidere le probleme des verres de spin a onne tivitenieparlamethodedela avite,unemethodeequivalentea elledesrepliques mais qui, dans le as des systemes dilues, onduit a des equations ayant une forme plus fa ile a traiter. Enparti ulier, elles obtenues au niveau du premier pasde RSB peuvent ^

etreresoluesnumeriquementparunemethodededynamiquedepopulations.Cetteappro he a ensuiteete utilisee dans le as de la satisabilite par Mezard et Ze hina [35℄, qui ont al ule le seuil 

et mis a prot l'image de l'espa e des ongurations suggere par les al uls1RSBpourproposerunnouvelalgorithmederesolutiondesformules,intitule®survey propagation¯.Plusre emmentdes al ulsdestabilitedelasolution1RSBparMontanariet Ri i-Tersenghi[36,37℄ ontmontreque lasolution1RSB n'etaitpasstable pourtoutesles valeursde,etquedans ertainesregionsunebrisure ompletedelasymetriedesrepliques 

etaitne essaire.

Cettemethodedela aviteaetetresfe onde,ungrandnombredemodelesonteteetudies le long de es lignes. Je iterai notammentle probleme du oloriagede graphes [38℄ et le problemedelaXORSAT[39℄. Ce dernierest une variante duproblemedelasatisabilite, qui aeteindependammentintroduitenphysiqueeteninformatique.Dansle ontextedela physique,il orrespondalaversiondilueedumodelep-spin.Unresultattresinteressantest lapreuvedel'exa titudedus hema1RSBpour emodeleatemperaturenulle [40,41℄.

1.5 Aspe ts dynamiques

1.5.1 Dynamiques physiques

Tournons-nousmaintenantverslesproprietesdynamiquesdesverresdespinetdeleurs modelisations de hamp moyen, qui seront l'objet prin ipal de e manus rit. Rappelons d'aborddeuxproprietesauxquellesons'attendpourunsysteme®normal¯:

{ Lorsqu'on le met en onta t ave un thermostat, le systeme se met rapidement a l'equilibreave lebainthermiqueexterieur.Ilperdalorslamemoiredesoninstantde preparationet sadynamiquedevientstationnaire:lesresultatsd'uneexperien esont independantsdel'instantauquelonl'ee tue.

{ Lesfon tionsd'auto- orrelationetdereponseauneperturbationexterieuresontreliees parletheoremede u tuation-dissipation(FDT).Cetheoreme,dontunedesversions lesplus elebres estlarelationdeStokes-Einsteinentre oeÆ ientsdediusionet de tra^need'uneparti ulebrownienne,esttresgeneral.Ilnefaitpasintervenirlesdetails

Onditqu'unedynamiqueest®d'equilibre¯quandelleverie esdeuxproprietes.Pour unsysteme®normal¯ eregime dynamiqueestatteintrapidement,surl'e helledestemps experimentaux,apressamiseen onta tave unthermostat.

Une etude de ladynamique du modele SK etait presente dans l'arti le originel [5℄, et fut ompletee par Sompolinsky et Zippelius [42℄. Cependant es appro hes n'etaient pas oherentes dans la phase de basse temperature pour la raison suivante : les modeles de verresdespinnesontpas®normaux¯,ils restenthorsd'equilibrependantdestemps tres longs

8

.Ilfaut don abandonnerl'hypothesede stationnaritedusystemeetletheoremede u tuation-dissipation.

Lapremiereetudedeladynamique debasse temperaturedesmodelesdeverresdespin en hampmoyenquitienne omptede ettesituationestdueaCugliandoloetKur han[43℄. ElleportaitsurladynamiquedeLangevindumodelep-spinspherique

9

,etmettaitenlumiere lesmodi ationssuivantesdesproprietesd'equilibre:

{ e modele n'est pas stationnaire a basse temperature, on dit qu'il vieillit [44℄ : sa dynamique depend toujours de son ®^age¯, 'est-a-dire du temps e oule depuis sa miseen onta tave lethermostatexterieur.Entermespluste hniques,lesfon tions de orrelationetdereponseadeuxtempsdependentreellementdesdeuxtemps,etnon passeulementdeladieren eentrelesdeux ommedansunedynamiquestationnaire. Deplus,ladependan ede ladynamique vis-a-visde l'^agedusystemen'estpas om-pletement arbitraire: lesystemereste ertes horsd'equilibre a tousles temps, mais sonevolutionestde plusenpluslente.Cetteparti ularitepermet dessimpli ations dansletraitementanalytiquede etypedesysteme.

{ letheoremede u tuation-dissipationn'estpasrespe teparlesfon tionsde orrelation etdereponseadeuxtemps.Cependant, esdernieressontrelieesparunemodi ation relativementsimpleduFDT,le ara terehorsd'equilibresetraduisantparl'apparition d'unetemperatureee tive dierente de elleduthermostatexterieur.

Lesmodelesdeverresdespinde hampmoyen onstituentdon une lasseparti uliere desystemeshorsd'equilibre,pourlesquelslaviolationdesproprietesd'equilibreobeitaun s enarioassezpre is[45,46℄.J'endonneraiplusdedetailsdanslapartie5.4.

Les phenomenesde vieillissement et de violationdu FDT ne sont pasdes artefa ts de lamodelisationtheorique :ilsonteteau ontraireobservesdansungrandnombred'exp e-rien es. Celles- i sont notamment onduites sur des verresde spin [47℄, pour lesquels une mesure dire tedelaviolation dutheoremede u tuation-dissipationaeteobtenue r e em-ment par Herisson et O io [48℄. Les verres stru turaux presententaussi un omportement similaire [49℄, ave une phasevitreuse vieillissante abasse temperature.Signalons dans e dernier as que la theorie de ouplage de modes [50℄ utilisee pour la des ription des li-quides surfondus au dessus de latemperature de transition vitreuse est intimement reliee auxmodelesp-spinintroduits i-dessus.CelienaetedevoileparKirkpatri k,Thirumalaiet Wolynes[51,52,53℄et approfondidans[54℄.

Les travaux sur la dynamique des modeles dilues sont relativement rares ompares a euxsurlesmodeles ompletement onne tes.Onpeut iterenparti ulierlesinvestigations numeriquesdeBarratetZe hina[55℄,etdeMontanarietRi i-Tersenghi[56,57℄.Cesetudes ontmiseneviden e lari hessedu omportementdynamiquede es modeles,notammenta ausedes u tuations lo alesde onne tivitequilesrendenttresheterogenes.

8

Plus pre isement, letemps d'equilibration du systeme diverge ave la tailledu systeme.Si lalimite thermodynamiqueestpriseavantlalimitedestempslongs,onrestetoujourshorsd'equilibre.

9

Dansun modelespherique lesvariablesd'Ising i

re-1.5.2 Algorithmes d'optimisation

Lase tionpre edenteetaitintitulee®dynamiquesphysiques¯ arelles on ernaientdes modelisations enseesrepresenterl'in uen ed'unbainthermiqueexterieurausystemequilui imposesatemperature.L'evolutiondesdegresdelibertedusystemeverientalors ertaines regles ®physiques¯ ( ondition de balan e detaillee pour des spins dis rets, equations de Langevin pour des variables ontinues) telles que l'equilibre de Gibbs-Boltzmann est un pointxedel'evolution.

Au oursde ettethesejemesuisinteresseaussiauneautrefamillededynamiques,reliee auxproblemesd'optimisation.Dans e ontexte,iln'yaau uneraisonapriorid'imposerles m^emesreglesauxloismi ros opiquesd'evolution:lebutestderepondreleplusrapidement possibleaunequestion,parexemplel'existen ed'unesolutionaunproblemedesatisabilite, et nond'e hantillonnerl'espa edes ongurationsave lepoidsdeGibbs. Deplus, ertains typesd'algorithmen'ontrienavoirave lesdynamiquessto hastiqueslo alesdansl'espa e des ongurations qui sont habituellement utilisees en physique. Les mouvements d'une ongurational'autrepeuvent^etrearbitrairementgrands,oubiens'ee tuerdansunespa e peunatureldupointdevuephysique.Certainsalgorithmesderesolutiondelasatisabilite pro edentpar onstru tiond'unarbre dere her he,danslequel haquenudest asso iea unensemblede ongurationsdesvariablesbooleennes.

Onpourraitalors sedemanderquelleest lapertinen edes outilsdelaphysique statis-tique pour etudier de tels problemes. Les travauxinitiespar Co o et Monasson[58℄ ont ependantmontrequ'unetelle appro heetaitpossibleet fru tueuse, ompletantlesetudes rigoureuses desmathemati iens et des informati iens. Ontrouvera dansla publi ation C2 une revue destravauxdela ommunautedephysiquestatistiquesur esproblemes d'algo-rithmesd'optimisation.

1.6 Resume du travail de these

Onvapresenterdanslasuitedumanus ritlesresultatsdetravauxplusoumoins dire te-mentreliesaum^emeobje tif:unemeilleure omprehensionanalytiquedesdynamiqueshors d'equilibredanslesmodelesdilues.Audeladudete hniqueque etobje tifrepresente,il seraitappre iablede apturerparuneappro heanalytique ertainsdestraitsnouveauxde esmodelesquietaientabsentsdansle as ompletement onne te.Unedeuxiemedire tion de travaila onsisteaappliquerdesmethodesdephysiquestatistiquepourde rirele om-portementd'unalgorithmedere her helo aledesolutionsduproblemedelasatisabilite. Le manus rit est organisedela maniere suivante.Un premier hapitrepre iseles d e-nitions et lesproprietesgeometriques des modeles dilues.A ette o asionon de rira une methodegeneralededeveloppementafaible onne tivite,quiafaitl'objetdelapubli ation P1et quiaetemiseaprotdansd'autrespartiesdelathese.

Lesdeux hapitressuivantsontetedivisesselonlanature( ontinueoudis rete)des va-riablesdesmodeles.Cettedivisionestunpeuarbitraire,mais orrespondadesformalismes et desmethodes d'approximationdierents. Le hapitre3exposelesresultatsdes publi a-tionsP2,P3etunepartiedelapubli ationP5.Cesdierentesetudessontrelieesainsi:un desmodeledilueslesplussimplesquel'onpeutimaginer orrespondalaversionspherique dumodeledeViana-Bray.Onmontred'abordque eproblemeseramenealadetermination duspe tred'un ertaintypedematri esaleatoires.Onadaptealorslamethode d'approxi-mation ®aun seuldefaut¯ de Biroliet Monasson [59℄ al'ensemble de matri es qui nous interessei i(publi ationP2).Ontireensuiteles onsequen esdesproprietesde esmatri es

ter ladynamique detouslesmodelesde hampmoyen( ompletement onne tesoudilues) pourdesvariables ontinuesest developpe,ens'appuyantsuruneanalogieave leprobleme de matri esaleatoires.Dans le asdilueleresultatobtenuest tropformelpourpouvoiren tirerdire tementdespredi tionsphysiques,depossiblesapproximationssontsuggerees.Une dieren eappara^t entre modeles ompletement onne teset modeles dilues: es derniers nesontpas ara terisesuniquementparleursfon tionsde orrelationetdereponseadeux temps.

Le hapitre4regroupedeuxtravauxdenaturesaprioridierentes:lepremier (publi a-tionP6) on erneladynamiqued'unmodeleferromagnetiquedilue,ledeuxieme(P4etC1) traite d'un algorithmede resolution de formules de satisabilite.Une appro he ommune est d'abordpresentee en termes generiques, avant d'^etre appliquee a es deux problemes. Onferanotammentlelienave lamethodedynamiquedesrepliquesdeCoolenet Sherring-ton[60,61℄.Troisappendi esa e hapitreexposentdesresultatsnumeriquesetanalytiques non publiessurdesvariantesduproblemed'optimisation.

Le hapitre5verra lare on iliationdesvariables ontinues et dis retes: lesproprietes d'equilibredesfon tionsde orrelationave unnombrequel onquedetempsyseront explo-rees.Lapubli ationP5traitaitle as ontinu,onferadanslemanus ritlesdemonstrations dansle asdis retpourinsistersurlageneralitede esresultats.Onpresenteegalementune versiondu theoreme de u tuationqui resume es proprietes. Finalement des onje tures sur leurs generalisations dans les situations hors d'equilibre du type verres de spindilues sontavan ees.

J'aiessaye,dansla mesuredu possible,de fairede e manus ritunensemble oherent en ne presentantpas lespubli ations dans unordre hronologique.L'organisationretenue permettra, je l'espere, d'insister sur les liens entre es dierents travaux. Je me suis don eor edepresenterlesmethodesdansune ertainegeneraliteavantdelesappliqueraux as parti uliers.Pour etteraisonjemesuispermisde hanger ertainesnotationsparrapporta ellesutiliseesdanslesarti les,etdepresenterdans ertainespartieslesdemonstrationsave peut-^etretropdedetails.L'utilisationdesm^emeslettrespourdesquantitesdierentesd'un hapitresurl'autre n'apu^etre ompletementevitee, j'esperequelalisibilitedumanus rit n'en serapastropae tee.

Proprietes geometriques des

modeles dilues

Laplupartdesetudespresenteesdans emanus ritpartagentunestru turesous-ja ente ommune,quiporteenphysiquelenomgeneriquedemodeledilue.Ce hapitreest onsa re 

a quelquesproprietes®geometriques¯ de es systemes,etudiesen mathematiques sousle nom degrapheset d'hypergraphesaleatoires.L'adje tifgeometriquen'estpasaprendreau sens stri ti i.Eneet es stru turesnesontpasdeniesapartird'unespa eeu lidien de dimensionnie, et parnombredeleurs ara teristiquesellesappartiennentalafamilledes problemesde hampmoyen.

Dans les premieres parties de e hapitre on trouvera une introdu tion sommaire a quelques modeles de graphes et d'hypergraphesaleatoires. Suit la presentation d'une m e-thode systematique de developpement dans un regime de faible on entration, qui a fait l'objet de la publi ation P1 et que l'on retrouveraa plusieurs reprises dans lasuite de la these.

2.1 Le graphe aleatoire d'Erd 

os et Renyi

Cemodele,introduit enmathematiquesdanslesannees60[62℄,est l'ar hetypedes sys-temes dilues. Il a ete tres largement etudie par les mathemati iens, un grand nombre de ses proprietes sont onnues rigoureusementet ave une tres grande nesse (on pourra se reporterparexemplea[63, 64, 65, 66℄). Onse ontente i id'uneappro he nonrigoureuse et dequelquesresultatsutilespourlasuite.

2.1.1 Denition d'un graphe

Dupointdevuemathematique,ungraphedetailleN est onstituede:

{ unensembleV desommets(verti es),de ardinalite(nombred'elementsdel'ensemble) jVj=N.Onpeutdon prendreV =f1;:::;Ngsansperdreengeneralite.

{ unensembleEdeliens(edges), 'est-a-diredepairesnonorienteesdesommets,fi;jg2 V

2 .

Selonles asonpeutautoriserounonlesliensfi;igd'unsommetalui-m^eme,ainsique lesrepetitionsdum^emeliendansl'ensembleE.Cettedistin tionentre®graphessimples¯ et ®multi-graphes¯ ne sera pas utilisee dans la suite, pas plus que la notion de graphe oriente,pourlequellesliensportentunedire tion.

1 2 3 4 4 1 1 3 12 4 t : n : V t :

Fig.2.1 {Lesdierentstypesd'arbresansommets,pourn entre 1et 4.V t

estlenombre d'etiquetagesdistin ts.

Ilest lairqu'unerepresentationnaturelled'ungrapheainsideni onsisteadessinerles sommets omme despointsd'unplan, et lesliens ommedes ourbesreliant essommets. Engeneralonestobligedefairese roiser ertainsliens,sil'onpeutdessinerlegraphesans qu'au un liennese roiseilest ditplanaire.

Denissonsquelquesnotionsgeneralessurlesgraphes,avantdeparlerd'ensemblesal ea-toires. La plupart de es denitions sont intuitives, mais il sera utile pour la suite de les formaliserunpeu.

{ Deuxsommetsxety sontditsadja entsdansungraphesilelienfx;ygappartienta l'ensembleE.

{ Deux sommets sont dits onne tes s'il existe une suite de sommets su essivement adja ents(i.e.un hemin)quilesrelient.Ungraphe estdit onnexesitoutepairede sessommetsest onne tee. Une omposante onnexed'ungraphe estunsous-graphe maximal(ausensdel'in lusion) onnexe.Ilseraloisibledanslasuitede onsidererun sommetisole ommeune omposante onnexedugraphe.

{ Une bou le est un hemin fermede sites adja ents. Un arbre est ungraphe onnexe sansbou les.Onpeutendonnerune ara terisationplussimple:siungraphe onnexe ansommetsetmliens, 'estunarbrepourm=n 1.

{ LetheoremedeCayleyaÆrmequ'ilyan n 2

arbresdistin tsave nsommets.® Dis-tin ts¯ est aprendre i iausensdesgraphesetiquetes, 'estadireque ha undesn sommetsporteunindi e de [1;:::;n℄,et deux etiquetagessontdierents siet seule-mentsil'ensembledesliens orrespondantsestdierent.Parexemplepourunarbrea troissommets,lestroisetiquetagesdistin tssont1 2 3,1 3 2et2 1 3. { Deux graphes etiquetes G =(V;E) et G

0 = (V

0 ;E

0

) sont isomorphess'il existe une bije tion  entre V et V

0

telle que fx;yg2 E si et seulementsi f(x);(y)g 2 E 0

. Cettedenition orrespondalanotionintuitivede formed'un graphe.Par exemple, lestrois arbresatrois sommets itespre edemment sontisomorphes.Pourn=4on apar ontredeuxtypesdierentsd'arbresnonisomorphes.Lagure2.1.1illustre es denitionsave lesdierentstypesd'arbrespournentre1et4.OnanoteV

t

lenombre d'etiquetagesdistin tspour ha undestypes.Pourn=4,l'arbreave unsite entral et trois voisins a quatreetiquetagesdistin ts, selonle hoix du site entral.L'arbre lineairealuidouzeetiquetagesdistin ts,etdon onformementautheoremedeCayley onabien16arbresetiquetesaquatresommets.

{ Une lique a nsommets est ungraphe ompletement onne te, 'est-a-dire dont les n

2

deux sommetsde lam^eme ouleur.Le nombre de lique d'un grapheest la taille de laplusgrande lique ontenue ommesous-graphe. Ces deuxexemplesde proprietes ne serontpasutilisees dansla suite,mais illustrentle typede questions d'inter^et en mathematiques.

2.1.2 Graphe aleatoire

Muni de esdenitions formelles,on onstatequelenombrede graphesdetailleN est ni(ilvaut2

N(N 1)=2

),onpeutdon denirsansdiÆ ulteuneloideprobabiliteProb(G) sur l'ensemble des graphes G de taille N, et se poser des questions probabilistes sur et ensemble. Si on aune propriete qu'on peut denir pourtout graphe G, par exemple®G ontientune lique de inq sommets¯, on peut sedemanderquelle est laprobabiliteque ette proprietesoitverieequandontire auhasardungrapheselonlaloiProb(G).

Laloide probabilitelaplusetudiee, qu'on nommegraphe aleatoire deErdoset Renyi, onsiste a onsiderer independamment les

N 2

liens possibles parmi les N sommets, et a prendre ha unde eslienspresent(resp.absent)ave probabilite

N (resp.1 N ). Autre-mentdit, sil'onnoteM(G)=jE(G)jlenombredeliensdansungraphedonneG,onpeut 

e rirelaloideprobabilitedesgraphes omme

Prob(G)=  N  M(G)  1 N  N(N 1) 2 M(G) : (2.1) Commeil ya N(N 1) 2 M(G)

graphesave M(G)liens, ette loiestbiennormalisee.

Le hoixd'uneprobabilitedepresen edelienquidependdelatailledusysteme omme 1=N n'est evidemment pas le fruit du hasard. Comme on va le voir, e regime permet d'obtenirune limitethermodynamique(N !1)interessante.

Danslasuitedu hapitreonnoteralesmoyennessurlesensemblesdegraphe omme

[℄= X

G

Prob(G): (2.2)

Toutes leslimiteset lesequivalentssonta omprendredans lesensdelalimite thermody-namique N!1sauf mentionexpli ite du ontraire.

2.1.3 Ses proprietes

Onvaetudieri iquelquesproprietessimplesdugraphealeatoiredeniparlaloi(2.1). { Considerons tout d'abord M(G), lenombre de liens presentsdans ungraphe. C'est

i i une variable aleatoire binomiale, dont on al ule aisement la moyenne et l'e art quadratiquemoyen, [M℄= (N 1) 2 N 2 ; (2.3) p [M 2 ℄ [M℄ 2 = r (N 1) 2  1 N  N 1=2 r 2 : (2.4)

M(G)=N se on entre don dans la limite thermodynamique autour de sa valeur moyenne =2, a des u tuations d'ordre N

1=2

pres. On reviendra sur e point au ours de ladis ussion desautres modeles degraphes aleatoires. Notons quele hoix deladependan e en1=N delaprobabilitedepresen ed'un lienpermetd'obtenirun

9 > > > > > > = > > > > > > ; k

Fig.2.2{Dansle al uldelaprobabilite onditionnelle(2.6),onsupposelapresen ed'un lien, entiretsi i,etl'on her helaprobabilited'avoirkvoisinssupplementaires.

{ Onpeutaussis'interesserauxproprieteslo alesd'ungraphealeatoire.Cher honspar exemplelaprobabilitep

k

(parrapportaladistribution(2.1))qu'unsommetdonneait exa tementkvoisins.Onparlede onne tivite(oudedegre)dusommetegalak.On a p k =  N 1 k   N  k  1 N  N 1 k ! e k k! ; (2.5)

lalimitethermodynamiqueetantpriseave kxe.Eneet,onest librede hoisirles ksites voisinsparmilesN 1autressites, ha unde eskliensdoit^etrepresent,et lesite entral ne doitpas^etrereliea d'autressites.On onstate quela onne tivite d'unsitedevientuneloidePoissonave parametre danslalimitethermodynamique. Onappellesouventlegraphealeatoired'Erdos-Renyiungraphepoissoniena ausede ette propriete.Laloide Poisson esttypique d'unnombre d'evenementsserealisant ave une probabiliteindividuelle faible (O(1=N) i i), mais sur un grand nombre de tentatives(O(N)).

{ Onpeut aussi al uler laprobabilitep~ k

d'observerunsite ave k+1voisins, ondi-tionnee a e qu'ilen ait aumoins un, eque l'onpeutserepresenterplusfa ilement ave lagure2.2. ~ p k =  N 2 k   N  k  1 N  N 2 k ! e k k! : (2.6)

Dans lalimite thermodynamique p~ k

est aussi une loi poissonnienne de parametre . Un petit argument permet de pressentira partir de e resultat que la valeur =1 va^etreparti uliere. Supposons eneetque l'on hoisissedansle graphealeatoireun site ra ineauhasard,et quel'onexplore legrapheen suivant lesliens(oubran hes) qui enemergent.Si l'onappellegenerationlenombrede pasquel'onafaitau ours de l'exploration depuis la ra ine, on a k des endants de premiere generation ave probabilite p

k

. Cha un de es des endants va avoir l des endants, qui seront don de deuxiemegeneration,ave probabilitep~

l

, ar les sites depremiere generation ont 

ete, pardenition, atteintsparun lien presententre euxet la ra ine.En ontinuant l'exploration on onstruit ainsi un arbre ou le nombre de des endantsest a haque generationdetermineeparlaloi onditionnellep.~ Si <1, epro essusdebran hement meurt rapidement, alors que pour > 1 il ontinue eternellement. On va voir plus bas que ette dieren e de omportement s'interprete i i omme une transition de per olation.

{ Enelargissantle hampdesquestionsposees,onpeutmaintenantsedemanderquelle va^etrelaprobabilitequela omposante onnexed'unsitedonnesoitun ertaintype degraphet,ave n sites etm liens. Unpeudedenombrement onduita

P t =  N 1 n t 1  V t  N  mt  1 N  nt(N nt)+ n t (n t 1) 2 mt (2.7)  1 N m t n t +1 m t e n t V t (n t 1)! : (2.8)

Expliquons es dierentsfa teurs. On doitd'abord hoisirles n t

1 autressites de la omposante onnexe, parmi lesN 1 sites dugraphe, puisune des V

t

dierentes fa onsd'etiqueterla omposante onnexe.Lesm

t

liensdoivent^etrepresents,ave don laprobabilite ( =N)

m t

. Ilfaut nalementex lure les autres liens pouvantreliantles n

t

sommetsentre eux, ainsique euxrelieraientles n t

sommetsau restedu graphe. Notons que l'equivalenta ete pris en supposant que n

t et m

t

restaientnis dans la limitethermodynamique, etteexpressionn'estdon valablequepourdes omposantes onnexesdetaillenie.

On onstatequesim t

>n t

1, etteexpressiontendvers0danslalimite thermodyna-mique.Orpourungraphe onnexe,mn 1,ave egalitesietseulementsilegraphe estunarbre.Pluspre isement,laprobabilitequ'unsiteappartienneaune omposante onnexedetaille nieet qui ontientdesbou les estd'ordreN

l

, ou l estlenombre debou lesindependantes.Onpeutdelam^emefa onmontrerquelaprobabilitequ'un siteappartienneaunebou ledetaillenie(sansimposerquesa omposante onnexe soit de taille nie) est d'ordre N

1

. Remarquonsque elane signie pas qu'iln'y a au une bou le de taille nie dans la limite thermodynamique : la probabilite etant d'ordre1=N,maislenombredesitesetantN,ilyenaenmoyenneunnombreni. { Dansle asparti ulier ou l'on her helaprobabilited'appartenan eaunarbre

quel- onque a n sommets, onpeut simplier la formule (2.8) enutilisant le theoreme de Cayley X tjnt=n V t =n n 2 ; (2.9) pourobtenir P n = e n ( n) n 1 n! : (2.10)

Commeon avu queles seules omposantes onnexes detaille nie qui ontune pro-babilite (par site) nie dans la limite thermodynamique sont des arbres, la somme P

1 n=0

P n

omptelafra tiondesitesquisontdansdes omposantesdetaille nie.On peutmontrerque ette somme onvergevers1pour 1, dans e aspresquetous lessitessontdansdes omposantes detaillenie. Par ontre,quand >1,lasomme vaut 1 P

1

( ), ou P 1

( ) est la solution non nulle de l'equation 1 P 1

= e P1

, representee sur lagure 2.3. P

1

est don la fra tion des sites qui ne sont pas dans des omposantesde taille nie, autrementdit 'est lafra tion desites dans l'®amas inni¯ de per olation qui envahitunnombreextensif desites apartir de =1.On peuten faitjustier l'equation surP

1

de lamaniere suivante : un site appartienta l'amasinni des qu'unde sesvoisinsy appartient. Re iproquement, pour qu'unsite n'yappartiennepas,ilfautqu'au un desesvoisinsn'y appartienne:

1 P 1 = 1 X k =0 p k (1 P 1 ) k = 1 X k =0 e k k! (1 P 1 ) k =e P 1 : (2.11)

d'apparte- P 1 ( ) 5 4 3 2 1 0 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

Fig. 2.3 { La fra tion de sites dans l'amas geanten fon tion de la onne tivite moyenne pourlegraphed'Erdos-Renyi,solutiondel'equation(2.11).

orre ti igr^a eau ara tere hampmoyendumodele,quinereposepassurunreseau geometriqueregulier.

Pourresumer etteetudesommaire,onavuquela onne tivited'unsiteest uneloide Poisson ave parametre ,quesi on regardeungraphe aleatoire sur unee helle nie dans lalimitethermodynamiqueonvoittoujoursunestru tureenarbreave grandeprobabilite, et qu'ily aune transitionde per olationa =1. Pourdes onne tivitesplus faibles, une fra tion dessites qui tendvers1dans lalimite thermodynamique sont ontenuesdansdes omposantes onnexesde taille nie, par ontrequand >1 une omposante onnexe de taille extensiveappara^t.

Lesetudesmathematiques de e problemeont onduit ade nombreuxautres resultats trespre is.Citonsparexemplequ'alatransition( =1),latailledelaplusgrande ompo-sante onnexe diverge dansla limite thermodynamique ommeN

2=3

et que pour <1la plusgrande omposanteestdetailleO(lnN).Depluslesgraphesaleatoiresnesontenarbre quesur dese hellesnies, ontrouveenfaitungrandnombredebou lesdelongueurlnN. Cette taille peut se omprendre apartirde l'argumentsur la des endan e d'un pro essus de bran hementpoissonien exposepre edemment.Pour >1lenombredesitesalagen e-ration g ro^ttypiquement omme

g

.Quandg est d'ordrelnN enombredesites devient d'ordreN,onestdon obligealorsderetrouverdessitesdejapresentsdanslepro essusde bran hement, equiimpliquelapresen edebou les.

Ona onsiderei iseulementlesproprietestypiquesdes graphesaleatoires. Re emment des methodes de physique statistiqueontete utilisees [67, 68℄ pouretudierdes proprietes atypiques, dansunregimedegrandedeviation,de esobjets.

2.2 Hypergraphes

Unegeneralisationnaturelledupointdevuedelaphysique onsistearempla erlesliens par des ®hyperliens¯ qui joignent un nombre K 2 arbitraire de sommets, les graphes habituels orrespondants aK =2. Un hypergraphe est alors la donnee d'un ensemble de sommetsetd'unensembled'hyperliens.C'est etypedegeneralisationqui onduitdumodele de Sherrington-Kirkpatri kaux modeles dits p-spin. Pour une valeurde K donnee, il y a

N K

K- N

K 1

, absent ave probabilite1 N

K 1

.Notant toujoursG unhypergraphe,et M(G) le nombred'hyperlienspresents,laloideprobabiliteest

Prob(G)=  N K 1  M(G)  1 N K 1  ( N K ) M(G) : (2.12)

A nouveauladependan e enN aete hoisiede maniereaavoirunnombremoyendeliens presentsquisoitextensif,[M℄( =K!)N danslalimitethermodynamique.Onnoteradans lasuitede eparagraphe= =K!poursimplier ertainese ritures.Danslem^emebuton omettraleprexe®hyper¯quandiln'y apasde onfusionpossible.

Desraisonnements ombinatoiressimilairesa euxpresentesdansle asdugrapheal ea-toire onduisenta:

{ Laprobabilited'avoirkliens autour d'unsite donneest, danslalimite thermodyna-mique,uneloidePoissondeparametreK.Onappelleraaussi etensemble® hyper-graphepoissonien¯.

{ Laprobabilited'avoirk+1liens autourd'un site atteintpar unhyperliendejapr e-sentestaussiuneloidePoissondeparametreK.Generalisantl'argumentqualitatif presente pour K = 2, on ren ontre K(K 1) sites a haque nouvelle generation exploree, on peut don penser que le seuil de la transition de per olation sera i i 

p

=1=(K(K 1)).

{ Eneet, pour qu'un site n'appartienne pasal'amas inni il faut qu'au un dessites voisinsn'yappartienne.Unsitededegrekayantk(K 1)voisins,onobtientennotant P

1

laprobabilited'appartenan eal'amasinni:

1 P 1 = 1 X k =0 e K (K) k k! (1 P 1 ) k (K 1) = exp  K+K(1 P 1 ) K 1  ; (2.13) 

equationquiaunesolutionnontrivialepour> p

=1=(K(K 1)).

{ On generalise sans diÆ ultes la notion de omposante onnexe et de bou le a un hypergraphe.Ungraphe onnexeave n

t

sommetset m t

liensestenarbresim t

(K 1)=n

t

1.Ontrouve ommepourK=2queles omposantes onnexesnies ave des bou les ont une probabilite negligeable dans la limite thermodynamique. On a alorslageneralisationde(2.8)pourlaprobabilitequ'unsitedonneeappartienneaune omposante onnexeenarbret,

P t =(K!) mt e ntK V t (n t 1)! : (2.14) V t

est a nouveau le nombre d'etiquetage distin ts de l'arbre t. On en donnera des exemplesdanslapartie2.4.

2.3 Autres types d'ensemble

L'ensembledesgraphes(resp.hypergraphes)peut^etremunid'unestru tureprobabiliste ave desloidierentesde(2.1)(resp.(2.12)).Onmentionnei iquelquespossibilites.

{ Une variante relativementinoensive onsiste axer lenombre M de liens presents danslesysteme,aunevaleurnoteetraditionnellementN.Lesgraphesaleatoiressont alorsgeneresen hoisissantM foisunK-upletde sommetsdemaniere independante

typiques de etensemblealeatoiresoientlesm^emesque ellesde ritesdans lapartie 2.2, du moment que  et sont tels que le nombre moyen de liens dans le premier ensemblesoitegala elui(xestri tement)dansledeuxieme.C'est unevariationdu typeensemble anonique vsmi ro anoniqueenme aniquestatistique.Ilfauttout de m^emegarderal'espritque ertainesproprietesnevontpas^etreequivalentesdansles deuxensembles,les u tuationsetles orre tionsdetaillenienotamment.L'exemple trivialdunombredeliens,stri tementxedansun as,ave des u tuationsrelatives d'ordreN

1=2

dansl'autre,suÆtaillustrerleprobleme.Certains al ulsousimulations numeriquespouvants'avererplussimpledansunensemblequedansl'autre,onpourra ^

etreameneautiliserlesdeux.

{ Comme onl'a vu, la onne tivite lo aledes graphes denis i-dessus ont deslois de probabilite de Poisson,qui de roissent don vite pour les grandes onne tivites.Un ertainnombred'etudesexperimentalesdansdes domainesaussidiversquela stru -turede la toile Internet, les ollaborationss ientiques ou d'a teurs de inema,j'en passe et des meilleures,etablissentdes reseaux, ou graphes, a partirde es donnees (voir[69,70℄pourdesrevues).Lessommets orrespondentparexempleauxdierents a teurs,unlien entredeux a teursetantpresents'ilsontparti ipeauntournageen ommun.Ilsetrouvequedansungrandnombrede essituations,laloideprobabilite des onne tivites dessommetsest treseloigned'unepoisonnienne. Enparti ulier,le omportement pour lestresgrandes onne tivitesest du type loide puissan e, d'ou lenomde®s ale-free¯asso iea esreseaux.Alasuitede esetudesstatistiques,un ertainnombredemodeles onteteintroduitsqui permettaientdereproduire etype de omportement. D'une part, ertains modeles sont dits dynamiques, les sommets sontintroduitsunparunave desloisd'atta hementpreferentiela ertainssites,qui privilegientlessitesayantdejaunegrande onne tivite.Ontrouveraune onstru tion rigoureused'untelmodele dans[71℄.D'autrepart,desmodelesstatiques onsistenta onsidererl'ensembledesgraphespresentantunedistribution de onne tivitedonnee ommeequiprobables[72℄.On peutalorsparexempleetudierla transitionde per o-lationde esgraphes.Signalonsaussiquelemodeled'Isingferromagnetiquedenisur esgraphesave desdistributionsde onne tivitearbitraireaeteetudiedans[73,74℄. { Comme astresparti ulierdegraphesdontonxeladistributionempiriquede onne -tivites,onvaren ontrerdanslasuitelesmodelesdiluesa onne tivitexe.C'estdon unensemble aleatoireoul'on gardelesgraphes (resp.hypergraphes)tels que haque sommet appartienta unnombre xe de liens (resp.hyperliens).Lo alement, 'est a diresurunee hellepetitedevantlnN, esgraphessontdesarbresreguliers,maissur dese hellesplusgrandesons'aper oitqu'ils ontiennentdesbou les,quitraduisentle ara tere aleatoire deleur denition. On peutseposerla questiondel'inter^et d'une telle onstru tion, alors qu'il semblerait plus simplede onsiderer des arbres parfai-tement reguliers, sans bou le. Le probleme de e deuxieme point de vue est que le nombredesitesala®surfa e¯ d'unarbreregulier estdum^emeordrequelevolume interieurdans lalimite thermodynamique, e qui onduit a des eets de bords tres importants. Si l'on peut traiter es eets de bords de maniere relativement simple pourunmodele ferromagnetique (en n'etudiantque lamagnetisationdusite entral par exemple), la situation est assez inextri able pour un modele de verre de spin : la frustrationsur un arbre ne peutvenir que des onditionsaux bords a lasurfa e, qu'ilfaut don traiterave beau oup desoin. Ladenition dugraphea onne tivite xepermet des'aran hirde e probleme,legraphen'aplusdesurfa epuisquetous lessitessontstatistiquementequivalents.Lafrustrationvientdans e asdesbou les aleatoires.Ontrouveraunedis ussionplusdetailleede esujetdans[34℄.

)+2F( ! )+F 2 9 3 1 7 8 6 4 10 1 C C C C C C A =2F( F 0 B B B B B B 

Fig.2.4{Unexempledede ompositionpourune fon tionadditive.

2.4 Developpements en lusters pour les graphes p

ois-sonniens

Unemethodetreselementaire, quiafaitl'objetdelapubli ation P1,s'estrevelee utile pourl'etudededierentsproblemespresentesdans ettethese.Onval'exposeri isousune formegenerique.Signalonsquel'ideede ettemethodeestpresente,bienquepeuexpli itee, dansuntravailanterieurdeHartmannetWeigtsurlevertex over[75℄.Dansuneperspe tive plus largeonpourraitlaratta herauxdeveloppementsdebasse densitedans lessystemes departi ules, la onne tiviterempla anti iladensite.

2.4.1 Formulation generale

NotonsGunelementdel'ensemblealeatoired'hypergraphes,munidelaloideprobabilite (2.12). Chaque hypergraphe G peut se de omposer omme l'union disjointe de ses r(G)

omposantes onnexes (appeles i i ® lusters¯), G = S

r(G) i=1

G i

. Considerons une fon tion F(G) quiaungrapheasso ieunnombrereel,ave lesproprietessuivantes:

{ additivitevis-a-visdelade omposition en lusters, F(G)= P r(G) i=1 F(G i ).

{ independan eparrapportal'etiquetagedugraphe,autrementdit F renvoielam^eme valeurpourdeuxgraphesisomorphes.

L'exemplepresentesurlagure2.4(pourK=2)devrait larier esdenitions. Cesdeuxproprietespermettentd'e rire

F(G)= X t N t (G)F t ; (2.15)

ou lasommeporte surlesdierentstypest de omposantes onnexes,F t

estlavaleurque prend lafon tionsurungrapheisomorpheat,etN

t

(G)estlenombrede lustersdetypet danslegrapheG.

Ons'interessealavaleurmoyenned'unetellefon tionsurl'ensemblealeatoire.Ondenit don ladensiteasso ieef :

f()= 1 N [F(G)℄= X t N t N F t ; (2.16) ave N t =[N t

(G)℄lenombremoyende lustersdetypet.Onpeutfa ilementse onvain re que N t =N =P t =n t , ou n t

est lenombredesommetsd'un lusterde typet,et P t

la proba-bilitequ'unsitedonnesoitdansun lusterdetypet.Le al ulexa tde ette sommeesta prioriimpossiblepourune fon tionF ompliquee.Onpeut ependantsesimplier onsid

e-a

b d e

Fig.2.5{Les lustersenarbreayantentre0et3hyperliensutilisesdansl'equation(2.18). Leshyperlienssonti irepresentespourK=3ave desetoilesenpointille.

,autourde=0.Eneet,dansunvoisinagede=0,lasomme(2.16)estdomineedans la limite thermodynamique parles ontributions des arbresde taille nie : on avu qu'en dessousduseuildeper olationlafra tiondessitesdansdetels lusterstendaitvers1dans lalimitethermodynamique.Onpeutalorsutiliser(2.14)poure rire

^ f()= X t  mt e ntK V 0 t F t ; V 0 t = (K!) mt V t n t ! ; (2.17)

et lasommeestpriseseulementsurlesarbres 1

.Rappelonsquem t

estlenombrede lauses dansle lusterdetypet,ave m

t

(K 1)=n t

1 art estunarbre.Lefa teurdesymetrie V

0 t

s'avereplusutilequelenombred'etiquetagesV t

dontilde oule.

Ons'aper oitnalementqueles lusters omportantunnombremdeliensne ontribuent qu'aux ordres superieurs ou egaux a m dans le developpement en puissan es de . Pour developper a un ordre donne en  il suÆt don de al uler les fa teurs de symetries V

0 t pourles premiersarbres, e qui est unsimple exer i e d'enumeration, et lesvaleursde F t orrespondantes. Selon la fon tion etudiee ette deuxieme t^a he peut se reveler plus ou moins fastidieuse, omme onle verra dans lapartie 4.4 ou l'on appliquera ette methode au al ul du temps mis par unalgorithmede re her he lo ale pour resoudre unprobleme d'optimisation ombinatoire.

Donnonsledeveloppemental'ordre 3

pourunefon tionF quel onque:

f()=F a + (F b KF a )+  2 2 K 2 (F 2F b +F a ) (2.18) +  3 6 K 3 (F e +3(K 1)F d 3(2K 1)F +3KF b F a )+O( 4 ):

Les lusterst=a;b; ;d;esontrepresentessurlagure2.5,etontrouveradanslatable2.1 lesfa teursdesymetriequi onteteutilisespourobtenir(2.18).

1

Type m t n t V 0 t a 0 1 1 b 1 K 1 2 2K 1 K 2 2 d 3 3K 2 K 3 (K 1) 2 e 3 3K 2 K 3 6

Tab. 2.1{ Fa teurs de symetrie dudeveloppementen lusters, se reportera lagure 2.5 pourlanomen laturedestypes.

2.4.2 L'energielibredu modelede Viana-Brayafaible onne tivite

Cettemethodeaeteappliqueedanslapubli ationP1au al uldel'entropiedu fondamen-tald'unproblemedesatisabilite,eta eluidel'energielibredumodeledeViana-Bray[19℄ danslaphasedebasse onne tivite.Revenonsi isurladeuxiemede esappli ations.

On onsidere don ungraphe aleatoired'Erdos et Renyide onne tivitemoyenne ,et pour ha undeslienspresentsentrelessites iet jontirealeatoirementuneintera tionJ

ij ave lam^eme loideprobabilite. Onnotera lesmoyennessurla loi. Onpla e surles sommetsdugraphedesspinsd'Ising

i etondenit l'hamiltonien H = X i<j J ij  i  j ; (2.19) ave J ij

= 0si lelien entre lessommets i et j est absent. Vianaet Bray ont introduit e modele an d'expliquer les proprietes du ompose Eu

x Sr

1 x

S qui, selon la on entration x, peutpresenter dierents typesde transition. La onne tivite dans ette modelisation permetdereproduire ephenomenededilution.Latemperaturedetransitionvanotamment dependrede .Dansl'arti leoriginel[19℄,leproblemeetaittraiteauniveausymetriquedes repliques, presdelalignedetransition.Kanteret Sompolinsky[29℄ontetudielalimite de temperaturenulle,toujoursave l'hypotheseRS.

On peut appliquer la methode presentee dans ette partie au al ul de l'energie libre pour de petites on entrations. Eneet, la fon tion departition dusysteme peut s'e rire omme unproduit defon tionsdepartition pour ha unedes omposantesdugraphe. De plus, sil'on faitlamoyennesurles intensitesdesintera tionspourungraphedonne,on obtientuneenergielibre quiverielesproprietessuÆsantes pouretablir ledeveloppement en lusters.Onaunesimpli ationsupplementairei i:ilestfa iledemontrerparre urren e quelafon tiondepartitiond'unsystemed'Isingsurunarbresefa torise ommeunproduit determes delienset determesdesites.Unefoisquelamoyennesurlaloi estprise,tous lesarbresdem^emetaille ontribuentdelam^emefa on,quelquesoitleurforme.Ce ipermet deresommerledeveloppementen lustersdanstoutelaphasenonper olante <1,

f()=ln2+ 2 ln osh(J); (2.20) ouf =  lnZ 

=(N)estladensited'energielibremoyenneesurladistributiondesgraphes et surl'intensitedes ouplages.Ceresultat estbien s^urtrivialpourune phaseparamagn

e-dansdes omposantes onnexesdetaillenie.Cependantlamethodepourraits^urement^etre rendue rigoureuseet fournirdesbornes de on entrationsur l'energie libre dans e as-la. Eneetlamethodeditedudeuxiememomentenmathematiquespermetdemontrerquele nombre de lusters d'un type donne devient trespiqueautour de sa valeurmoyenne dans la limite thermodynamique. Ilfaut pour ela al uler l'e artquadratique moyen de N

t et montrerqu'ilest negligeabledevantsavaleurmoyenne.Uneautreappro hebienplusgen e-rale etpuissantereposesurl'ideedel'interpolationdeGuerra[12℄,appliqueeaumodele de Viana-BrayparGuerraetToninelli[76℄.

Onpeutfa ilementetendreledeveloppementen lusterspour al ulerles orre tionsde taille nie aune grandeur extensive, toujoursdans la limite de faible onne tivite.Il faut pour ela onsidererd'unepartles orre tionsd'ordre1=N alaprobabilited'apparitiond'un luster enarbre,etd'autreparttenir ompte aussides ontributionsdes lusters ontenant des bou les. Ce al uletaitpresentedansla publi ationP1pourl'energielibre dumodele deViana-Bray,malheureusementleresultatetaitenta hed'uneerreur[77℄,j'endonnedon i iune versionmoinsfausse:

f()=ln2+ 2 ln osh(J) (2.21) + 1 N  2 ln oshJ + 3 6 ln(1+tanhJ 1 tanhJ 2 tanhJ 3 )+O( 4 )  +O  1 N 2 

2.4.3 Domaine de validite de la methode

Je voudraisrevenir maintenantsur le probleme de lavalidite de ette methode de d e-veloppementen lusters. Monpointdevuesurlaquestionasensiblementevoluedepuisla reda tion delapubli ationP1danslaquelle onargumentaitenfaveurd'unesingularitede es developpements au seuil 

p

de per olation du graphe. Il onvient d'^etre un peu plus pre isdans ettedis ussion.

Considerons d'abord l'expression (2.16) qui denit la fon tion f(). Cette serie doit prendre en ompte toutes les omposantes onnexes, il faudrait don la al ulerpour une tailleNnie,puisprendrelalimitethermodynamiqueapresquelasommesurles lustersait 

eteee tuee.Lafon tion ^

f()del'equation(2.17)estau ontraireobtenueenintervertissant es deuxoperations: onasimpliel'expressiondelaprobabilited'un lusterdetaillenie danslalimitethermodynamiqueavant defairelasommesurlesdierentstypesd'arbre.On doitdon avoirf()=

^

f()pour< p

puisquedans eregimepresquetouslessitessont dans des omposantes detaille nie; par ontre es deux fon tionsserontdierentespour des onne tivitesplusgrandes,

^

f negligeantla ontributiondel'amasinni. On peut donner un exemple tres elementaire de ette distin tion : pour F

t = n

t , la fon tionF ompte lenombretotalde sitesdansungraphe,qui est biens^urN.Onadon f =1 quelquesoit lavaleurde, alorsque

^

f ne ompte quelafra tion de sitesdans des omposantesdetaillenie.Cettedernierefon tionestdon egalea1endessousduseuilde per olation et vaut1 P 1 () audelade  p , P 1

() designantlafra tion de sitesdans le luster inni.

Revenons maintenant au as d'une fon tion F generique. Si l'on savait al uler ^ f en sommant la serie (2.17), ette fon tion aurait une singularite a 

p

et sa valeur ne nous saurait d'au une utilite pour predire la valeur de f() dans le regime de per olation de l'amas inni. Laplupart dutemps (sauf dansdes as simples omme lemodele de Viana-Braydanslaphasedebasse onne tivite) etteresommationestimpossible.Onse ontente don de ouperlaserieapresquelquestermes etdedevelopperlesexponentiellesdepour reordonner le developpement en puissan es de . C'est ette operation qui a onduit au