Chapitre 6 : Système Vis-Ecrou

A.U. : 2014-2015 -43- Avec : vx= f (x)

Chapitre 6 : Système Vis-Ecrou

1. Introduction :

La vis de transmission est un élément de machine utilisée pour transformer un mouvement de rotation en un mouvement de translation et, en général, pour transmettre de la puissance.

En langage mécanique, on parle de liaison hélicoïdale ou système vis-écrou.

Le principe de fonctionnement d’une vis de transmission est que lorsqu’on applique un couple sur la vis (manuel ou mécanique) ce couple doit vaincre le frottement entre la vis et l ‘écrou et à déplacer la charge. C’est pour cette raison que les filets sont générés suivant une ligne hélicoïdale.

Les filets ont, en général, les formes triangulaires, trapézoïdales, carrées ou rondes.

2. Modélisation :

2.1- Torseur cinématique :

On a

Rm

tg Pas . . 2

 













 x

pas





2 alors 

 . 2

x Pas ^Dérivation 

 ^

 2.

x Pas avec

D’où v^{x Pas}^x

 .

 2

  







 0

1 0

/ 2

x

V O



 

O

pas x





 0

0 2 /  

2.2- Torseur statique :

 

o o

N M L Z

Y X















2 / 1

2 / 1

2 / 1

2 / 1

2 / 1

2 / 1

1 /



L’hypothèse de la liaison parfaite traduise que la puissance interne Pi dissipée dans la liaison est nulle. D’où : Pi = 0 Watt.

α Pas

Périmètre =2.π.Rm

α

Rmoy

α : Angle d’inclinaison de l’hélice.

Rm : Rayon moyen de la vis.

wx

^ vx

x

2 /

L

2 /

X

Avec : = f ( )

A.U. : 2014-2015 -44- Pi =

  ^v

^.   ^

^

w

2 /

L

w

.

2 ^.

X

D’ou _{12 12} .

2 X

L Pas





 

o Pas

o

N M

X

Z Y X

 



 



 

 







2 / 1

2 / 1

2 / 1

2 / 1

2 / 1

2 / 1

1 / 2

. 2



3. Analyse des efforts :

3.1- Frottements entre vis et écrou négligés :

Cas où la vis est chargée par un couple d’entrée Cm et tournant à une vitesse angulaire m

et supporte à sa sortie une charge axiale A, la vis se déplace en translation suivant son axe principal Ox à une vitsse V l’écrou étant fixe sur le bâti.

3.2- Frottements entre vis et écrou non négligés : (cas réel) Deux cas sont à envisager :

- Cas 1 : la vis progresse contre la charge axiale : A et V de sens contraires. On peut assimiler ce cas à la montée d’une charge.

- Cas 2 : la vis progresse dans le sens de la charge axiale : A et V de même sens ; cas de descente d’une charge.

On peut modéliser ces deux cas par les figures ci-dessous : y

Cm z

x V

_m A

Modèle :

A l’équilibre : Les puissances sont égales : Pm = Pr

 Cmm = A.V Si m =  t et V = x/ t

où x = nPas/ 2π  Cm = A. nPas/2π et n étant le nombre de filets par pas

A.U. : 2014-2015 -45- Ces figures donnent le diagramme d’équilibre des forces sur une développante d’un tour de la vis au niveau du cercle de diamètre moyen. La charge axiale A est la résultante de toutes les forces axiales que l’on veut transmettre ou déplacer. La force P est due au couple Cm appliqué sur la vis tel que (Cm = P dm/2) selon que le déplacement axial de la vis dans le sens opposé que la charge (montée) ou dans le même sens que celui-ci (descente). La composante N est la normale de l’effort de contact entre la vis et l’écrou par contre fN est la composante de frottement de cet effort de contact ; cette dernière change de sens selon le cas : montée ou descente.

A l’équilibre on peut écrire les systèmes d’équations, dans les deux Cas -Montée et - Descente :

Cas : Montée :

Projection sur l’axe horizontal :

P – f N Cos  - N Sin  = 0 Projection sur l’axe vertical :

- A - f N Sin + N Cos  = 0

Cas : Descente :

Projection sur l’axe horizontal :

- P + f N Cos  - N Sin  = 0 Projection sur l’axe vertical :

- A + f N Sin  + N Cos  = 0

Si on élimine N dans ces équations, on obtient :

Sin f Cos -

Cos f A Sin

P  





 

Or

πad β tg

m

 donc

πad f 1

) d f πa ( A P

m m



 

β Sin β f

Cos

Sin β β- Cos A f

P 

Or

πda β tg

m

 donc

m m

πad f 1

d ) πa - f ( A

P 

P est la force qu’une manivelle ou un moteur doit générer pour actionner la vis. D’où le couple qu’on doit appliquer sur la vis pour faire déplacer la charge axiale : Cm = P dm/2

a- Filet à profil carré : d : diamètre nominal

dm : diamètre moyen p : pas de la vis

 : angle d’hélice des filets

A : charge axiale appliquée sur la vis P : action du couple Cm appliqué sur la vis : Cm = P dm/2

N et fN : composantes de l‘effort de contact entre les filets

a : avance par tour de la vis : a = n p

a A

f N P

Cas 2 : la vis progresse dans le sens de la charge A

Descente

π dm

N

 a

A

N P

f N

Cas 1 : la vis progresse contre la charge A

Montée

π dm

A.U. : 2014-2015 -46-

- Dans le cas de la montée :

a) f - πdπfd (a

2 A d 2 Pd C

m m m

m

m  

- Dans le cas de la descente :

a) f ππdf d -a 2 (

A d 2 Pd C

m m m

m

m   

En introduisant tg  = a/πdm, et f = tg  on écrit :

Montée :

) ( 2 tg Ad Cm

tg ) tg - 1

tg (tg

2 A d 2 Pd C

m

m m m

















 



(I)

Descente:

) ( 2 tg Ad Cm

tg ) tg 1

tg ( tg

2 A d 2 Pd C

m

m m m



















 



(II)

b- Autres profils :

Les équations (I) et (II) obtenues précédemment tiennent compte uniquement du frottement dans les filets et pour un filetage carré. Pour ce qui est des autres filets, la composante normale N sur le filet n’est pas parallèle à l’axe de la vis, mais elle dépend de l’angle du filet

 (plan radial de la vis) et de l’angle de l’hélice. On néglige généralement cette dernière dépendance pour la simple raison que les angles d’hélice sont petits.

Le couple nécessaire pour la transmission devient :

- Montée : où αest ledemiangledu filet

α Cos α 1 Sec avec α ) Sec a f -

πdf πd Secα (a

2 A d C

m m m

m  

- Descente : )

α Sec a f

πfdπd Secα-a 2 (

A d C

m m m

m 

- L’angle de l’hélice  est constant au diamètre moyen.

Remarques :

- Si ’  Cm reste positif

- Si ’   Cm devient négatif, donc le couple devient récepteur et s’écrit Cr. La charge A est motrice puisqu’elle est de même sens le déplacement (c à d A et V de même sens)

Utilisation pratique de l’expression du couple Cm :

Il est possible de déterminer ’, avec une bonne approximation, car pour les valeurs courantes de l’angle de l’hélice  (faible en général).

L’expression de tg’ peut s’écrire sous la forme :

écrou l' et vis la de filets les entre frottement de

t coefficien f

où tg 2 2 Cos tg 1 tg '

tg      

Comme  est petit donc Cos²  1 et on aura



 



 Cos

tg tg 1 tg

'  ² 

tg

A.U. : 2014-2015 -47- Appliquée sur les filetages usuels, on peut utiliser les relations suivantes :

- Pour un profil carré :  = 0°  tg’ = tg = f

- Pour un profil triangulaire ISO :  = 30°  tg’ ≈ 1,15 tg = 1,15 f - Pour un profil trapézoïdal :  = 15°  tg’ ≈ 1,03 tg = 103

4. Réversibilité :

Le couple nécessaire pour actionner la vis dans le sens de la force axiale (montée) sert à vaincre les forces de frottement.

Dans certains cas, lorsque le coefficient de frottement (f = tg ) est suffisamment petit et que l’angle d’hélice  est suffisamment grand, il peut arriver que la vis se déroule d’elle-même par l’action de la force axiale seulement. Ceci se produira lorsque:

tg(’ - )  0  ’   : dans ce cas, Cm  0 donc récepteur et A motrice, on dira que la vis n’est pas autobloquante et le système vis-écrou est réversible.

Donc, pour que la vis soit autobloquante ; système irréversible; il faut que tg(’ - )  0 

’  

5. Rendement su système vis-écrou :

Le rendement est défini par la relation :

) ' tg(

tg Cm

2 A a m Cm

V A motrice

Puissance

réceptrice Puissance







 

 

 





Le rendement  doit être toujours  1, ce cas ne peut exister que dans le cas de montée où tg (’ + )  tg 

Le rendement sera égal à 100% si le frottement f = tg = 0 Etude du rendement maximum :

Il revient à étudier l’expression du rendement maxi : dβ 0 dη

- Cas 1 ( montée) : 0

φ') β ( tg

φ') β ( Cos

β - tg

β Cos

φ') β tg(

β d

η d

2 2

2   





Une seule solution, soit :

2) φ' 4 (π tg

2) φ' 4- (π η tg maximum rendement

un donne qui 2 φ' 4- β π







A.U. : 2014-2015 -48- - Cas 2 ( Descente) : Il est à noter que, dans ce cas, le rendement ne peut être calculé que pour les valeurs de ’  ( la charge A est motrice et le couple est récepteur) qui donne :

tgβ φ') β- ( ηtg

Pour avoir le rendement maximum, in suffit de dériver l’expression du rendement par rapport à l’angle de l’hélice. Seules les valeurs de ’   /2 donnent un rendement  0

Comme précédemment, on obtient pour la seule solution :

1 2) φ' 4 (π tg

2) φ' 4 - (π η tg

2 φ' 4

β π ^Max 

 







Remarques :

En pratique, il préférable de choisir  pour un système irréversible car ’  ( cas de Cm

moteur).

Toute la difficulté réside en la connaissance du coefficient de frottement entre les filets qui varie en fonction des conditions de contact et de la lubrification.

Pour un système réversible, il est conseillé de prendre  donnant un rendement maxi (utilisation des vis à plusieurs filets).

Le rendement peut être amélioré en choisissant les matériaux de contact (à titre d’exemple, vis en acier traité et écrou en bronze) et en soignant leurs états de surface ou en utilisant un système vis-écrou à billes ou à rouleaux donnant un rendement plus efficace de l’ordre de 90 à 95 %

6. Analyse des contraintes :

Les forces agissant sur la vis de transmission engendrent des contraintes de traction (ou compression), de torsion et de flexion dans le corps de la vis. Pour calculer ces contraintes, on assimile la vis à une barre cylindrique de diamètre égal à la racine (le noyau) de la vis de diamètre dn = d3 (normes NF-E).

6.1- Contrainte de traction (ou compression) :

Sous l’effet de la charge axiale A, des contraintes normales sont induites 2 n

c π4dA

S σ A

Remarque : si la barre est soumise à la compression, il faut la vérifier au flambage.

6.2- Contrainte de torsion:

Le couple total de torsion C est la somme du couple qui actionne la vis CVE et celui collier et palier Ccol. La contrainte de torsion est calculée par l’équation suivante : ³

G n t

πdC r 16 I τ M 

A.U. : 2014-2015 -49- Remarque : le couple n’est par le même sur toute la longueur de la vis, le diagramme du moment de torsion permet de définir la zone où ce couple est maxi.

6.3- Contrainte de flexion:

Si la charge est excentrique de distance e au centre G de la section, elle produira de la flexion dans la vis :

La contrainte de flexion est donnée par l’expression : 3 GZ n

F GZ

F

F y 32πdA e

I y M I

σ M  

6.4- Contrainte idéale:

Il est donc nécessaire de déterminer la contrainte de comparaison ou idéale pour calculer le diamètre dn de la vis.

Les critères de cisaillement maxi, de Tresca ou de Von Mises peuvent être utilisés.

Pour plus de sécurité, il est recommandé de prendre des coefficients de concentration de contraintes K^ et K^ tels que :

Kt = 2 pour un filetage triangulaire ISO ; Kt = 3 pour un filetage trapézoïdal ISO tKt = 2 pour tous les profils.

7. Phénomène de flambage :

Si la charge en compression est très grande, il y aura flambage de la vis, il s’agit donc de déterminer quelle la charge critique au delà de laquelle cette instabilité mécanique se produira.

Un des facteurs importants relatifs à cette analyse est le rapport d’élancement L/dn où : - L = longueur de la vis entre les paliers

- dn = diamètre du noyau de la vis

Lorsque L/dn  6 il ne se produira pas de flambage.

Si L/dn 6 on doit vérifier le flambage (deux cas possibles) :

- Premier cas :

S k I où σ

π E 0,5 k

L

n Gy e

2 

 et I étant le moment quadratique de la section de la vis à la racine

La charge critique Acr est donnée par la formule de Johnson :

 





k L E 0,251 π 4 - σ σ 1 S

A ²

2 e e

n cr

A.U. : 2014-2015 -50- - Second cas :

e 2

σ π E 0,5 k

L La charge critique Acr est donnée par la formule d’Euler :

2 2

n cr

(L/k) π E 0,25 S

A 

Dans tous les cas, il suffit de vérifier que A  Ac

8. Longueur de l’écrou :

Les filets de la vis et de l’écrou sont sollicités au cisaillement et la surface de contact entre filets est sollicitée au matage. On est appelé à déterminer les conditions de non cisaillement des filets de la vis et ceux de l’écrou puis la condition de non matage des filets en prise :

8.1- Condition de résistance des filets de la vis au cisaillement :

Considérons z filet de la vis en prise soumis à l’effort axiale maximale A

adm Max s Vi c

SVis

z

A 

   _{avec : SVis c} l’aire de la section d’un filet de la vis cisaillé telle que

SVis c =  dc t où t est la largeur du cylindre sur le diamètre de la vis subissant le cisaillement



adm Max Vis c EV

adm Max Vis

c d

P P A

z L écrou l' de longueur la

or d

A







 t t

z  

8.2- Condition de résistance des filets de l’écrou au cisaillement :

Considérons z filet de l’écrou en prise soumis à l’effort axiale maximale A

adm Max Ecrou c

Ecrou

S z

A 

   _{avec : SEcrou c} l’aire de la section d’un filet de l’écrou cisaillé telle que

SEcrou c =  dc t où t est la largeur du cylindre sur le diamètre de l’écrou subissant le cisaillement



adm Max Ecrou c EE

adm Max Ecrous

c d

P P A

z L écrou l' de longueur la

or d

A







 t t

z  

8.3- Condition de résistance au matage :

Considérons z filet de l’écrou en prise soumis à l’effort axiale maximale A

adm Max Matée

S z

A P

P  _{avec SMatée} l’aire de la section d’un filet soumise au matage telle que

A.U. : 2014-2015 -51- SEcrou c =

4 ) d - (D

2

 2 où D et d sont les diamètres de la surface de contact Vis Ecrou d’un file



adm Max 2 EM 2

adm Max 2

2 (D -d )P

P A P 4

z L écrou l' de longueur la

or P

) d - D (

4A



 ^{ }

z 

Finalement la longueur de l’écrou est : L = Sup [LEV , LEE , LEM]

9. Procédures de calculs d’un système vis écrou :