Simulation numérique 3D de la convection naturelle dans une cavité inclinée différentiellement chauffée par la méthode spectral « projection-diffusion »

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Simulation numérique 3D de la convection naturelle dans une cavité inclinée différentiellement chauffée par

la méthode spectral « projection-diffusion »

M.BOUKRAA

^a

, M.BETROUNI

^b

,A.MATAOUI

^b

aWelding and NDT Research Center (CSC), BP 64 CHERAGA – ALGERIA

bLaboratoire de mécanique des fluides théoriques et appliquée.

Faculté de physique, USTHB, Bab Ezouar, Alger

Résumé

L’objectif de ce travail est de faire une étude numérique tridimensionnelle des écoulements de convection naturelle dans une cavité d’air inclinée différentiellement chauffée. Pour cela, un code de calcul 3D a été utilisé pour résoudre les équations de Navier-Stokes tridimensionnelles pour des fluides incompressibles. Ce code est basé sur la méthode spectrale de « projection- diffusion » en collocation Chebyshev qui fait partie des méthodes dites de précision infinie. La mise sous forme adimensionnelle des équations gouvernantes fait apparaître des paramètres de contrôle, à savoir : le nombre de Rayleigh Ra varie de 10³ à 10⁷, le nombre de Prandtl Pr=0.71, le rapport de forme AZ et enfin l’angle d’inclinaison de la cavité varie de 0° à 60°, dont nous avons examiné leurs influences sur la structure dynamique et thermique de l’écoulement, ainsi que sur le transfert de chaleur. Les résultats obtenus montrent qu’il existe une composante de vitesse non nulle suivant la troisième direction, sa distribution est notable près des parois terminales adiabatiques particulièrement aux coins de la cavité, sa valeur croit lorsque le nombre de Rayleigh augmente et diminue avec l’augmentation de l’angle d’inclinaison. Le nombre de Nusselt global, calculé près de la paroi froide et chaude, montre que l’échange thermique est très important lorsque la valeur de l’angle d’inclinaison est nulle.

Motsclés: Convection naturelle, Milieu confiné, Gradient de température, Méthode spectral.

Nomenclature

Nu nombre de Nusselt.

Nu3D nombre de Nusselt global.

Pr nombre de Prandtl.

Ra nombre de Rayleigh.

V vecteur de vitesse dimensionnel H hauteur de la cavité (m)

p' pression dimensionnelle. (N.m^-2)

u' composante dimensionnelle horizontale du vecteur vitesse. (m/s) v' composante dimensionnelle longitudinale du vecteur vitesse.(m/s) w' composante dimensionnelle verticale du vecteur vitesse.(m/s) X cordonnée horizontale dimensionnelle.(m)

Y cordonnée longitudinale dimensionnelle.(m) Z cordonnée verticale dimensionnelle.(m) t' temps dimensionnel.(s)

p pression adimensionnelle.

u composante adimensionnelle horizontale du vecteur vitesse.

v composante adimensionnelle longitudinale du vecteur vitesse.

w composante adimensionnelle verticale du vecteur vitesse.

x cordonnée horizontale adimensionnelle.

y cordonnée longitudinale adimensionnelle.

(2)

z cordonnée verticale adimensionnelle.

t temps adimensionnel.

Xi,Yj,Zk les coordonnées de la grille.

v

vecteur de vitesse adimensionnel (m/s)

g

vectrices accélérations da la pesanteur.(m. s^-2)

n

vecteur normal aux frontières du domaine.

symboles grecs

φ angle d’inclinaison de la cavité.

β coefficient de dilatation thermique.(K^-1) ρ masse volumique. (kg m^-3)

ρ0 masse volumique à la température de référence.(kg m-³) κ coefficient de diffusion thermique.

ν viscosité cinématique.(kg s^-1) ΔT différence de température. (k) θ température adimensionnelle.

1. Introduction

Le phénomène de transfert de chaleur et de masse par la convection naturelle, dans des espaces confinés et semi-confinés, est généralement dû à la présence des gradients de température et de concentration provoquant une distribution non uniforme de la densité du fluide, ce qui produit un mouvement convectif sous l’effet de la gravité. L’étude de la convection naturelle et des caractéristiques des écoulements, engendrés par la poussée d’Archimède dans des cavités, est un problème dont l’intérêt est important tant sur le plan fondamental qu’au niveau des applications pratiques. Parmi ces applications, nous pouvons citer : le stockage des fluides, l’écoulement d’air dans les pièces d’habitation et dans les capteurs solaires, le refroidissement des circuits électroniques et des réacteurs nucléaires. En plus, elle est constitué un problème test pour de nombreuses techniques numériques telles que les différences finies, volumes finis, éléments finis et autres méthodes spectrales. De nombreux travaux concernent l’étude des phénomènes thermiques dans les cavités d’air fermées ; le but ultime étant de pouvoir maîtriser les transferts de chaleur. En effet, pour plusieurs applications, on cherche à améliorer les transferts thermiques dans ces cavités d’air alors que pour d’autres, on cherche à augmenter le degré d’isolation. Le problème de la convection naturelle dans des cavités bidimensionnelles a été étudié par plusieurs auteurs De Vahl Davis et al [1], [3], Markatos et al [4] ont adopté la méthode des volumes finis pour aboutir à des équations discrétisées, et résolues par l’algorithme SIMPLE. Récemment, en 2006, Viviane et al [16] ont traité le même problème par l’algorithme SIMPLE. D. R.

Chenoweth et S. Paolucci [6] ont analysé l’influence du rapport de forme. R. A .Kuyper et C.J. Hoogendoorn [11] ont étudié l’effet de l’angle d’inclinaison de la cavité. Les résultats obtenus sous diverses conditions paramétriques ont permis d’obtenir un nombre important de corrélations permettant ainsi, d’évaluer les taux de transfert de chaleur. En 1991. P. Le. Quéré [8] ont proposé des solutions numériques précises, obtenues avec un algorithme de Tchebyshev pseudo-spectral, pour des grandes valeurs du nombre de Rayleigh allant jusqu’à 10⁸. Grâce aux nouvelles technologies informatiques le problème tridimensionnel est devenu de plus en plus accessible numériquement. En effet, c’est en 1977 que la première étude numérique traitant les écoulements naturels tridimensionnels a été entreprise par G. D .Mallinson et al [2] Ils ont caractérisé un écoulement tridimensionnel pour des valeurs du nombre de Rayleigh limitées entre 10⁴ et 10⁶ avec un maillage grossier (15*15 * 15). La simulation numérique est basée sur la méthode des différences finies pour résoudre les équations tridimensionnelles instationnaires. Les résultats obtenus montrent que, lorsque le nombre de Rayleigh augmente l’écoulement devient confiné près des parois adiabatiques latérales. Dans un autre travail, les caractéristiques du champ de vitesse et du taux de transfert thermique pour des écoulements stationnaires dans une configuration tridimensionnelle ont

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été étudiées par Fusegi et al [9], [10],[12]. Ils ont analysé les structures d’écoulement obtenues pour une large gamme du nombre de Rayleigh [10³, 10¹⁰]. D’autre part ils ont présenté une étude numérique basée sur la méthode des volumes finis pour résoudre les équations de Navier-Stokes. Une étude détaillée sur les structures thermiques et dynamiques a été fait pour Ra=10⁴ et 10⁶.Les résultats trouvés montrent que, lorsque le nombre de Rayleigh augmente l’écoulement devient confine près des parois adiabatiques, aussi un accord raisonnable avec les mesures expérimentales. P. Hadenwaang [5] est le premier à avoir atteint des valeurs du nombre de Rayleigh élevées (jusqu’à 10⁷, juste avant la transition à l’instationnarité), il a étudié numériquement l’écoulement de convection naturelle à l’aide des méthodes spectrales, ce travail a permis d’évaluer le taux de transfert de chaleur et de donner des valeurs caractéristiques des composantes de la vitesse pour 10³≤ Ra ≤10⁶. G. Labrosse et al [13]. [14] ont déterminé numériquement pour la première fois, la valeur critique du nombre de Rayleigh à partir de laquelle l’écoulement dans une cavité cubique différentiellement chauffée, devient instationnaire. Ils ont observé que cette transition est caractérisée par une brisure de symétrie et qu’un comportement d’hystérésis apparait pour une valeur de Rayleigh appartenant à Ra [3.2, 3.5] ×10⁷. Un autre Benchmark numérique (BMS) pour un problème de convection naturelle dans une cavité différentiellement chauffée où le nombre de Prandtl égal à 0.71 a été proposé par Shinichiro Wakashima et al [15]. L’inclinaison a un effet très important sur la structure des écoulements des fluides et du taux de transfert de chaleur.

Parmi les auteurs qui ont traité cette configuration, on peut citer les travaux de H. Q .Yang et al [7] ont utilisé la méthode des différences finies pour déterminer la transition de l’écoulement laminaire et les caractéristiques de transfert thermique dans des enceintes rectangulaires tridimensionnelles inclinées. Des simulations ont été faites pour déterminer l'effet des parois latérales ; ils ont trouvé que la proximité immédiate des parois restreint le développement de l'écoulement dans cette direction, réduisant ainsi le transfert thermique global à travers l'enceinte. Récemment D.C. Lo, D.L. Young, et al [17] ont utilisé un nouvel algorithme basé sur la méthode différentielle de quadrature (DQ) proposée par Bellman. Ce schéma a été utilisé pour déterminer la vitesse relative des tourbillons (w =∇ × u) et les variations de température d’un écoulement de convection naturelle de l’air confiné dans une cavité cubique inclinée et différentiellement chauffée. Ils ont examiné l’effet de l’inclinaison sur le taux de transfert thermique caractérisé par le nombre de Nusselt pour les valeurs du nombre de Rayleigh 10³≤ Ra ≤10⁶. L’angle d’inclinaison varie entre 0°et 60° avec un pas régulier de 15°. Ils ont montré que l’inclinaison a un effet significatif sur la structure thermique et dynamique de l’écoulement et le taux de transfert de chaleur. Le rapport de forme de la cavité à un effet significatif sur Le phénomène de la convection naturelle dans une cavité différentiellement chauffée et inclinée a été étudié par J. Ravink et al [20], ont utilisé un algorithme basé sur la méthode des éléments finis pour un problème tridimensionnel. Ces auteurs ont présenté leurs résultats pour deux rapports de forme ZA=1 et 2, les valeurs du nombre de Rayleigh 10³≤ Ra ≤ 10⁵ et pour les valeurs de l’angle d’inclinaison 0°,15°,30°, 45°

et 60°. Les résultats obtenus sont comparables aux résultats de Tric et Al [14] et Lo et al [19]

qui ont utilisé la méthode pseudo-spectrale Tchebychev. A. Bairi et al [18] ont étudié numériquement et expérimentalement la convection naturelle dans une cavité inclinée pour deux rapports de forme A=0.75 et 1.5. Ils ont proposé une corrélation qui présente une déviation maximale de plus ou moins 6 % entre les résultats expérimentaux et numériques.

Généralement, la plupart des études concernant les écoulements de convection naturelle ont porté sur des modélisations bidimensionnelles, et la bidimensionnalité de l’écoulement est souvent admise à priori comme hypothèse simplificatrice. Pourtant, l’expérience a montré que la solution en modèle bidimensionnel n’est pas vraiment représentative de la réalité physique.

D’un autre côté, la majorité des auteurs qui ont traité le phénomène de la convection naturelle dans des cavités inclinées et différentiellement chauffée par voie numérique sont basé sur des méthodes couramment utilisée telle que, les éléments finies, volume finis et la différence finie. A cause de ça nous avons adapté un code de calcul tridimensionnel basé sur la méthode spectrale de « projection- diffusion » en collocation Chebyshev qui est rarement utilisé dans la littérature.

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2. Modèle mathématique et méthode numérique

Le problème consiste à étudier l’écoulement de l’air confiné dans une cavité, différentiellement chauffée et inclinée d’un angle φ par rapport à l’horizontale. Les équations du système sont à résoudre avec les conditions suivantes :

 Les parois inclinées par rapport à l’horizontale, suivant la direction X, sont maintenues isothermes (à des températures différentes afin d’assurer un gradient de température).

La paroi de droite est à une température chaude Tc et celle de gauche à une température froide Tf , avec Tc > Tf.

 Les autres parois sont adiabatiques.

 Les conditions d’adhérence à toutes parois du domaine sont imposées au champ de vitesse V. La géométrie du domaine est présentée sur la figure (1).

Fig.1 : Configuration géométrique

2.1. Hypothèses simplificatrices

Le traitement du problème physique envisagé nécessite l’utilisation des équations de mouvement déduites des principes fondamentaux de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie. Pour cela un certain nombre d’hypothèses simplificatrices seront utiles dans la modélisation mathématique de notre problème :

 Le fluide est newtonien et incompressible. Les sources de chaleur internes et la dissipation visqueuse sont négligées.

 L’écoulement de l’air au sein de la cavité est laminaire, stationnaire et tridimensionnel.

 Les variations de la masse volumique sont négligeables sauf dans le terme de poussée d’Archimède, elles sont dues aux variations de température (approximation de Boussinesq.

2.2. Equations de conservation

 Equation de masse

u v w 0

x y z

  

  

  

(1)

(5)

 Equation de la quantité du mouvement

2 2 2

Pr( ) Pr sin

u u u u p u u u

u v w Ra

t x y z x x y z 

       

        

       

(2)

2 2 2

Pr( )

v v v v p v v v

u v w

t x y z y x y z

             

       

(3)

(4)

 Equation de l’énergie

2 2 2

( )

u v w

t x y z x y z

       

          

       (5)

Avec: ( , , )

( , , ) X Y Z x y z

 w , .( , , )

( , , ) w u v w u v w



  

 , ^f

c f

T T T T

  ^

 ,

2 2 0

p w p

  ^

 ,t t ₂

w

 

 ,

2.3. Conditions aux limites

Pour compléter la modélisation de la convection naturelle, le système précédent nécessite l’imposition de conditions aux limites du domaine de résolution.

 L’adhérence aux parois (u  v w 0)

 Les parois adiabatiques

0 (x,y= 1, ) 2 z y



  

 , 1

0 (x,y, ) z 2 z



   



 Les parois isothermes

1

(x= , , ) 0 2 y z

   , 1

(x=+ , , ) 1 2 y z

 

 On définit le nombre de Nusselt vertical moyen, en y donné, par

0.5

( ) 1 ( , )

Nu y Nu y z dz

H _





(6)

 Pour la paroi x=+0.5, le nombre de Nusselt global est donné par :

0.5 3

0.5

1 ( )

Nu D Nu y dy

H _





(7)

2 2 2

Pr( ) Pr cos

w w w w p w w w

u v w Ra

t x y z z x y z 

             

       

(6)

2.4. Procédure numérique

La méthode numérique retenue pour la résolution du système d’équations (1, …,7), gouvernant la convection naturelle de l’air dans une cavité différentiellement chauffée et inclinée avec les conditions aux limites écrites précédemment est celle de la méthode spectrale où l’inconnue est approchée par des séries de Fourier tronquées ou par des séries de polynômes Tchebychev. Par rapport aux méthodes des différences finies et des éléments finis, l’approximation n’est pas locale mais elle est valide sur tout le domaine de calcul. On utilise également le concept du résidu pondéré comme dans la méthode des éléments finis où l’on impose que l’approximation doive correspondre à la solution exacte aux nœuds du maillage.

3. Résultats et discussions 3.1. Validation et comparaison

La comparaison présentée dans le tableau (1), montre une très bonne concordance avec ceux trouvés par D.C. Lo, D.L. Young [19], L'erreur relative commise sur les valeurs de la composante horizontale u est inférieure à 1.6 %, pour la composante longitudinale v l'erreur commise est inférieure à 1.7%, et pour la composante verticale w l'erreur commise est inférieure à 0.8%.

Ra=10⁶ Présent travail D.L.Young et al [19]

Angle d’inclinaison 15° 30° 45° 60° 15° 30° 45° 60°

umax 57.73 50.96 36.80 21.70 57.894 50.126 35.958 21.40

vmax 16.82 10.84 5.145 2.796 15.961 10.533 4.956 2.751

wmax 189.4 132.0 71.38 38.13 189.533 131.42 71.099 37.819 55.16 49.10 35.68 21.24 55.403 48.635 35.127 20.76 179.2 127.4 68.79 36.93 179.076 126.38 68.742 36.739 Tableau (1) : comparaison avec les résultats de D.L. Young et al [19], pour Ra=10⁶

3.2. Champ dynamique

Dans le plan (x, z) , pour y=0.48, y=0.38 et y=0, la figure (2) montre que pour les trois valeurs d’angle d’inclinaison 0° , 15° et 30°, l’écoulement est multicellulaire, deux cellules secondaires apparaissant près des parois actives, et une cellule principale occupe la totalité de la cavité et évolue dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. Nous remarquons qu’avec l’augmentation de l’angle d’inclinaison, les cellules existant près des parois froide et chaude grandissent de manière graduelle. Dans les premiers cas (φ=15° et 30°), on note une modification sensible de la structure d’écoulement (illustrée par l’inclinaison des lignes de courant au cœur de la cavité). Nous observons également que les projections des lignes de courant sur le plan médian (x, z) ne sont pas fermées, mais ont une forme en spirale. Ce développement des lignes de courants en spirales implique que le gradient de la composante de vitesse (∂v/∂y) est différent de zéro ce qui est une caractéristique d’un écoulement tridimensionnel.

(7)

0°

15°

30°

45°

60°

y=0.48 y=0. 38 y= 0

Fig.2 : trajectoire d’une particule fluide dans les différents plans x-z et différents valeurs de l’angle d’inclinaison

(8)

-0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 -140

-70 0 70 140

u(0,0,z)

z











A partir de la figure(3), nous observons que la valeur maximale de la vitesse verticale (w) diminue lorsque l’angle d’inclinaison varie de 0° à 60°. D’autre part, nous constatons un inversement de l’écoulement près des parois isothermes (x=-0.5 et x=0.5). Cet inversement est due à la présence d’une zone de recirculation qui prend un espace plus grand au fur et à mesure que l’angle d’inclinaison augmente. D’autre part, Nous remarquons que la vitesse horizontale (u) atteint une valeur maximale près des parois latérales adiabatiques (z=-0.5 et z=0.5) pour toutes les valeurs de l’angle d’inclinaison, où le fluide change de direction puis décroit jusqu’aux valeurs négatives à cause de la zone de recirculation.

a) Vitesse horizontale b) Vitesse verticale

Fig.3 : évolution des profils de vitesses horizontale et verticale pour différentes angle d’inclinaison et Ra=10⁷

3.3. Champ thermique

Sur les figures (4) nous avons présenté l’évolution des isothermes dans les plans médians (x- z), (y-z) et (x-y) pour différentes valeurs de l’angle d’inclinaison φ. Le nombre de Rayleigh est fixé à Ra=10⁶.

Pour le plan (x, z), lorsque l’angle d’inclinaison augmente, la distorsion des isothermes diminue. Nous remarquons que les isothermes sont parallèles à la diagonale de la cavité pour φ= 45°. La couche limite thermique diminue jusqu’à la disparition totale à φ= 60°.

Pour le plan (y, z), nous remarquons que, les isothermes sont des droites presque horizontales parallèles aux parois horizontales traduisant, un régime convectif très faible, pour toutes les valeurs de l’angle d’inclinaison.

Pour le plan (x, y), lorsque l’angle d’inclinaison prend la valeur de 15°, nous remarquons que les isothermes changent de forme suivant x, et qu’un régime de transfert convectif caractérisé par la distorsion des isothermes est observé à cet endroit. Au fur et à mesure que l’angle d’inclinaison augmente, les isothermes sont presque parallèles aux parois verticales ; le transfert de chaleur par convection devient moins important dans ce plan pour toutes les autres valeurs d’angle d’inclinaison de la cavité

-0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4

-660 -330 0 330 660

w(x,0,0)

x











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3.4. Transfert de chaleur

L’influence de l’angle d’inclinaison sur le transfert de chaleur pour différents nombres de Rayleigh est également étudiée. Elle est illustrée sur la figure (5).

Nous constatons que le nombre de Nusselt, qui est insensible à l’inclinaison pour des nombres de Rayleigh faibles ; il devient fortement affecté par la variation de l’angle d’inclinaison, dès que le nombre de Rayleigh est supérieur à 10⁴. Cette influence est d’autant plus sensible que le nombre de Rayleigh augmente. Ceci s’explique parfaitement par le fait qu’avec des nombres de Rayleigh faibles c’est une stratification conductive qui régit le transfert et donc les effets de la géométrie ou de l’angle d’inclinaison est insignifiante. Ce qui n’est nullement le cas lorsqu’il y a un mouvement convectif avec des accélérations et déccélération qui peuvent dépendre fortement de l’orientation de la cavité par rapport au

15°

30°

45°

60°

plans (y,z) plans (x,y) plans (x,z)

Fig. 4 : isothermes dans les différents plans et différentes valeurs de l’angle d’inclinaison

x

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vecteur d’accélération de la pesanteur. L’analyse de la figure (5), montre une diminution du nombre de Nusselt global (Nu3D) avec l’augmentation de la valeur de l’angle d’inclinaison.

Cette diminution est due à la déccélération de l’écoulement près des parois actives.

Fig.5 : variation du nombre de Nusselt global en fonction de l’angle d’inclinaison

4. Conclusion

Dans le cadre de notre travail, nous avons réalisé une simulation numérique tridimensionnelle des écoulements de convection naturelle dans une cavité d’air inclinée différentiellement chauffée. Pour cela un code de calcul 3D instationnaire a été utilisé pour résoudre les équations de Navier-stokes tridimensionnelles pour des fluides incompressibles. Nous avons étudié en première lieu l’effet de l’angle de l’inclinaison sur le champ dynamique, on a montré que :

Il existe une composante de vitesse non nulle suivant la troisième direction, sa distribution est appréciable près des parois latérales adiabatiques, particulièrement aux coins de la cavité.

Cette composante tridimensionnelle n’excède pas 13% de l’écoulement qui est constitué principalement par les champs de vitesse horizontale et verticale.

D’autre part on obtient deux effets de la convection naturelle superposés : Un effet déstabilisateur de la convection naturelle pour le cas où la gravité et le gradient de température sont perpendiculaires, cela revient au cas de la cavité non inclinée où l’on remplace la gravité g par g.cos φ. Un effet stabilisateur pour le cas où la gravité et le gradient de température sont opposés où l’on remplace la gravité g par g.sinφ, cela caractérise la convection de Rayleigh-Bénard inversée.

Ensuite nous avons examiné l’effet de l’angle de l’inclinaison sur le champ thermique et le transfert de chaleur , cette l’analyse nous a permis de faire les observation suivantes :

Le transfert de chaleur augmente avec le nombre de Rayleigh, et cet accroissement est plus important lorsque l’angle d’inclinaison est nul, et l’augmentation de l’angle d’inclinaison jusqu'à 60° se traduit par une réduction du transfert de chaleur. Cette diminution est due à la déccélération de l’écoulement près des parois actives.

0 10 20 30 40 50 60

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Nu3D



Ra=10³ Ra=10⁴ Ra=10⁵ Ra=10⁶ Ra=10⁷

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Références

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