Les vecteurs Episode 1 ´
T. Rey
reymarlioz.free.fr
6 d´ ecembre 2018
T. Rey (reymarlioz.free.fr) Les vecteurs ´Episode 1 6 d´ecembre 2018 1 / 19
Translation
D´ efinition
Soit A et B deux points du plan. La translation qui transforme A et B correspond au glissement selon :
la direction de la droite (AB) ; le sens de A vers B ;
d’une longueur AB.
B
Translation
D´ efinition
Soit A et B deux points du plan. La translation qui transforme A et B correspond au glissement selon :
la direction de la droite (AB) ; le sens de A vers B ;
d’une longueur AB.
A
B
T. Rey (reymarlioz.free.fr) Les vecteurs ´Episode 1 6 d´ecembre 2018 2 / 19
Translation
D´ efinition
Soit A et B deux points du plan. La translation qui transforme A et B correspond au glissement selon :
la direction de la droite (AB) ; le sens de A vers B ;
d’une longueur AB.
B
Translation
D´ efinition
Soit A et B deux points du plan. La translation qui transforme A et B correspond au glissement selon :
la direction de la droite (AB) ; le sens de A vers B ;
d’une longueur AB.
A
B
T. Rey (reymarlioz.free.fr) Les vecteurs ´Episode 1 6 d´ecembre 2018 2 / 19
D´ efinition
D´ efinition
Un vecteur ~ u est un objet math´ ematique caract´ eris´ e par
1
une direction ;
2
un sens
3
une longueur ou norme.
On repr´ esente graphiquement un vecteur sous la forme d’une fl` eche
~ u − → v
D´ efinition
D´ efinition
Un vecteur ~ u est un objet math´ ematique caract´ eris´ e par
1
une direction ;
2
un sens
3
une longueur ou norme.
On repr´ esente graphiquement un vecteur sous la forme d’une fl` eche
~ u − → v
T. Rey (reymarlioz.free.fr) Les vecteurs ´Episode 1 6 d´ecembre 2018 3 / 19
D´ efinition
D´ efinition
Un vecteur ~ u est un objet math´ ematique caract´ eris´ e par
1
une direction ;
2
un sens
3
une longueur ou norme.
On repr´ esente graphiquement un vecteur sous la forme d’une fl` eche
~ u − → v
D´ efinition
D´ efinition
Un vecteur ~ u est un objet math´ ematique caract´ eris´ e par
1
une direction ;
2
un sens
3
une longueur ou norme.
On repr´ esente graphiquement un vecteur sous la forme d’une fl` eche
~ u − → v
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Repr´ esentants d’un vecteur
Un vecteur ~ u peut ˆ etre repr´ esent´ e par un couple ordonn´ e de points A et B
~ u = −→
AB
A est alors l’origine du vecteur ~ u et B son extr´ emit´ e.
Un vecteur poss` ede une infinit´ e de repr´ esentants !
~ u A
B
~ u C
D
Repr´ esentants d’un vecteur
Un vecteur ~ u peut ˆ etre repr´ esent´ e par un couple ordonn´ e de points A et B
~ u = −→
AB
A est alors l’origine du vecteur ~ u et B son extr´ emit´ e.
Un vecteur poss` ede une infinit´ e de repr´ esentants !
~ u A
B
~ u C
D
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Repr´ esentants d’un vecteur
Un vecteur ~ u peut ˆ etre repr´ esent´ e par un couple ordonn´ e de points A et B
~ u = −→
AB
A est alors l’origine du vecteur ~ u et B son extr´ emit´ e.
Un vecteur poss` ede une infinit´ e de repr´ esentants !
~ u A
B
~ u C
D
Si −→
AB est un repr´ esentant de ~ u, c’est ` a dire si ~ u = −→
AB
1
la direction de ~ u est la droite (AB ) ;
2
le sens est : de A vers B ;
3
la norme de ~ u est ´ egale ` a la longueur AB du segment [AB ] : k~ u k = AB
T. Rey (reymarlioz.free.fr) Les vecteurs ´Episode 1 6 d´ecembre 2018 5 / 19
Si −→
AB est un repr´ esentant de ~ u, c’est ` a dire si ~ u = −→
AB
1
la direction de ~ u est la droite (AB ) ;
2
le sens est : de A vers B ;
3
la norme de ~ u est ´ egale ` a la longueur AB du segment [AB ] :
k~ u k = AB
Si −→
AB est un repr´ esentant de ~ u, c’est ` a dire si ~ u = −→
AB
1
la direction de ~ u est la droite (AB ) ;
2
le sens est : de A vers B ;
3
la norme de ~ u est ´ egale ` a la longueur AB du segment [AB ] : k~ u k = AB
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Lien Translation – Vecteur
Une translation et un vecteur ont les trois mˆ emes caract´ eristiques (direction, sens, longueur). Ainsi, une translation sera d´ esormais caract´ eris´ ee par un vecteur.
On ne parlera plus de translation qui transforme A en B mais de translation de vecteur −→
AB.
Lien Translation – Vecteur
Une translation et un vecteur ont les trois mˆ emes caract´ eristiques (direction, sens, longueur). Ainsi, une translation sera d´ esormais caract´ eris´ ee par un vecteur.
On ne parlera plus de translation qui transforme A en B mais de translation de vecteur −→
AB.
T. Rey (reymarlioz.free.fr) Les vecteurs ´Episode 1 6 d´ecembre 2018 6 / 19
Remarque : distinction entre la direction et le sens
Deux droites parall` eles ont la mˆ eme direction.
Exemple.
On parle de direction verticale, direction horizontale sur une feuille de papier.
Sur une droite, on a deux sens oppos´ es Exemple.
Sur une droite verticale les deux sens sont : vers le bas, vers le haut. Sur
une droite horizontale...vers la gauche, et vers la droite.
Remarque : distinction entre la direction et le sens
Deux droites parall` eles ont la mˆ eme direction.
Exemple.
On parle de direction verticale, direction horizontale sur une feuille de papier.
Sur une droite, on a deux sens oppos´ es Exemple.
Sur une droite verticale les deux sens sont : vers le bas, vers le haut. Sur une droite horizontale...vers la gauche, et vers la droite.
T. Rey (reymarlioz.free.fr) Les vecteurs ´Episode 1 6 d´ecembre 2018 7 / 19
Remarque : distinction entre la direction et le sens
Deux droites parall` eles ont la mˆ eme direction.
Exemple.
On parle de direction verticale, direction horizontale sur une feuille de papier.
Sur une droite, on a deux sens oppos´ es Exemple.
Sur une droite verticale les deux sens sont : vers le bas, vers le haut. Sur
une droite horizontale...vers la gauche, et vers la droite.
Remarque : distinction entre la direction et le sens
Deux droites parall` eles ont la mˆ eme direction.
Exemple.
On parle de direction verticale, direction horizontale sur une feuille de papier.
Sur une droite, on a deux sens oppos´ es Exemple.
Sur une droite verticale les deux sens sont : vers le bas, vers le haut. Sur une droite horizontale...vers la gauche, et vers la droite.
T. Rey (reymarlioz.free.fr) Les vecteurs ´Episode 1 6 d´ecembre 2018 7 / 19
Vecteur nul
Le vecteur nul not´ e − →
0 est repr´ esent´ e par −→
AA pour tout point A Il est de norme nulle, n’a pas de direction ni de sens
k − → 0 k = 0 C’est le seul vecteur de norme nulle Si k~ uk = 0 alors ~ u = − →
0
Oppos´ e d’un vecteur
Le vecteur −→
BA est appel´ e l’oppos´ e de −→
AB.
−→ AB −→
BA A
B
On ´ ecrit : −→
BA = − −→
AB.
T. Rey (reymarlioz.free.fr) Les vecteurs ´Episode 1 6 d´ecembre 2018 9 / 19
Oppos´ e d’un vecteur
Le vecteur −→
BA est appel´ e l’oppos´ e de −→
AB.
−→ AB −→
BA A
B
On ´ ecrit : −→
BA = − −→
AB.
Propri´ et´ es
On se donne un point A du plan. Pour tout vecteur ~ u, il existe un unique point M tel que −−→
AM = ~ u.
~ u
A
~ u M
Autrement dit : pour une origine A fix´ ee, un vecteur ~ u poss` ede un unique repr´ esentant −−→
AM d’origine A.
T. Rey (reymarlioz.free.fr) Les vecteurs ´Episode 1 6 d´ecembre 2018 10 / 19
Propri´ et´ es
On se donne un point A du plan. Pour tout vecteur ~ u, il existe un unique point M tel que −−→
AM = ~ u.
~ u
A
~ u M
Autrement dit : pour une origine A fix´ ee, un vecteur ~ u poss` ede un unique
−−→
Propri´ et´ es
On se donne un point A du plan. Pour tout vecteur ~ u, il existe un unique point M tel que −−→
AM = ~ u.
~ u
A
~ u M
Autrement dit : pour une origine A fix´ ee, un vecteur ~ u poss` ede un unique repr´ esentant −−→
AM d’origine A.
T. Rey (reymarlioz.free.fr) Les vecteurs ´Episode 1 6 d´ecembre 2018 10 / 19
Propri´ et´ es
On se donne un point A du plan. Pour tout vecteur ~ u, il existe un unique point M tel que −−→
AM = ~ u.
~ u
A
~ u M
Autrement dit : pour une origine A fix´ ee, un vecteur ~ u poss` ede un unique
−−→
Propri´ et´ es
Si −→
AB = −→
CD, alors ABDC est un parall` elogramme (´ eventuellement aplati)
A C
D B
A C
D B
T. Rey (reymarlioz.free.fr) Les vecteurs ´Episode 1 6 d´ecembre 2018 11 / 19
Propri´ et´ es
Si −→
AB = −→
CD, alors ABDC est un parall` elogramme (´ eventuellement aplati)
A C
D B
A C
D
B
Propri´ et´ es
Si −→
AB = −→
CD, alors ABDC est un parall` elogramme (´ eventuellement aplati)
A C
D B
A C
D B
T. Rey (reymarlioz.free.fr) Les vecteurs ´Episode 1 6 d´ecembre 2018 11 / 19
Si ABDC est un parall` elogramme (´ eventuellement aplati) alors −→
AB = −→
CD et −→
AC = −→
BD
A C
D B
A C
D
B
Si ABDC est un parall` elogramme (´ eventuellement aplati) alors −→
AB = −→
CD et −→
AC = −→
BD
A C
D B
A C
D B
T. Rey (reymarlioz.free.fr) Les vecteurs ´Episode 1 6 d´ecembre 2018 12 / 19
Si ABDC est un parall` elogramme (´ eventuellement aplati) alors −→
AB = −→
CD et −→
AC = −→
BD
A C
D B
A C
D
B
On retient :
Th` eor` eme (Bilan)
Les trois propositions suivantes sont ´ equivalentes :
−→ AB = −→
CD ;
ABDC est un parall´ elogramme ;
D est l’image de C par la translation de vecteur −→
AB.
A
C
D B
Cela signifie que si une de ces propositions est vraie alors les deux autres
aussi et si l’une est fausse les deux autres aussi.
T. Rey (reymarlioz.free.fr) Les vecteurs ´Episode 1 6 d´ecembre 2018 13 / 19On retient :
Th` eor` eme (Bilan)
Les trois propositions suivantes sont ´ equivalentes :
−→ AB = −→
CD ;
ABDC est un parall´ elogramme ;
D est l’image de C par la translation de vecteur −→
AB.
A
C
D
B
On retient :
Th` eor` eme (Bilan)
Les trois propositions suivantes sont ´ equivalentes :
−→ AB = −→
CD ;
ABDC est un parall´ elogramme ;
D est l’image de C par la translation de vecteur −→
AB.
A
C
D B
Cela signifie que si une de ces propositions est vraie alors les deux autres
aussi et si l’une est fausse les deux autres aussi.
T. Rey (reymarlioz.free.fr) Les vecteurs ´Episode 1 6 d´ecembre 2018 13 / 19On retient :
Th` eor` eme (Bilan)
Les trois propositions suivantes sont ´ equivalentes :
−→ AB = −→
CD ;
ABDC est un parall´ elogramme ;
D est l’image de C par la translation de vecteur −→
AB.
A
C
D
B
Coordonn´ ees d’un vecteur
D´ efinition
Soit A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points dans un rep` ere du plan. Les coordonn´ ees du vecteur −→
AB sont (x B − x A ; y B − y A ). On note :
−→ AB(x B − x A ; y B − y A ) ou −→
AB
x B − x A
y B − y A
T. Rey (reymarlioz.free.fr) Les vecteurs ´Episode 1 6 d´ecembre 2018 14 / 19
Interpr´ etation graphique
~ u
O I
J x
~u= x
B− x
Ay
~u= y
B− y
AA
B
Exemple
A(3; −2) et B(−1; 2).
−→ AB
x B − x A y B − y A
donne
−→ AB
(−1) − 3
2 − (−2)
donc −→
AB
−4
4
T. Rey (reymarlioz.free.fr) Les vecteurs ´Episode 1 6 d´ecembre 2018 16 / 19
Exercice
Dans un rep` ere du plan on donne A(−3; 2), B (5; 5), C (7; −3) et D(−1; −6). D´ eterminer les coordonn´ ees du point P intersection de [AC ] et [BD].
Une figure nous laisse penser que ABCD est un parall´ elogramme ; montrons-le :
On a −→
AB
5 − (−3)
5 − 2
donc −→
AB
8
3
et de mˆ eme −→
DC
8
3
Donc −→
AB = −→
DC et donc ABCD est bien un parall´ elogramme.
Donc l’intersection de ses diagonales est le milieu de chacune d’elles (par exemple de [AC ]) et donc :
x P = x
A+x 2
C= −3+7 2 = 2 et y P = y
A+y 2
C= 2−3 2 = −0,5.
Exercice
Dans un rep` ere du plan on donne A(−3; 2), B (5; 5), C (7; −3) et D(−1; −6). D´ eterminer les coordonn´ ees du point P intersection de [AC ] et [BD].
Une figure nous laisse penser que ABCD est un parall´ elogramme ; montrons-le :
On a −→
AB
5 − (−3)
5 − 2
donc −→
AB
8
3
et de mˆ eme −→
DC
8
3
Donc −→
AB = −→
DC et donc ABCD est bien un parall´ elogramme.
Donc l’intersection de ses diagonales est le milieu de chacune d’elles (par exemple de [AC ]) et donc :
x P = x
A+x 2
C= −3+7 2 = 2 et y P = y
A+y 2
C= 2−3 2 = −0,5.
Donc P(2; −0,5).
T. Rey (reymarlioz.free.fr) Les vecteurs ´Episode 1 6 d´ecembre 2018 17 / 19
Exercice
Dans un rep` ere du plan on donne A(−3; 2), B (5; 5), C (7; −3) et D(−1; −6). D´ eterminer les coordonn´ ees du point P intersection de [AC ] et [BD].
Une figure nous laisse penser que ABCD est un parall´ elogramme ; montrons-le :
On a −→
AB
5 − (−3)
5 − 2
donc −→
AB
8
3
et de mˆ eme −→
DC
8
3
Donc −→
AB = −→
DC et donc ABCD est bien un parall´ elogramme.
Donc l’intersection de ses diagonales est le milieu de chacune d’elles (par exemple de [AC ]) et donc :
x P = x
A+x 2
C= −3+7 2 = 2 et y P = y
A+y 2
C= 2−3 2 = −0,5.
Exercice
Dans un rep` ere du plan on donne A(−3; 2), B (5; 5), C (7; −3) et D(−1; −6). D´ eterminer les coordonn´ ees du point P intersection de [AC ] et [BD].
Une figure nous laisse penser que ABCD est un parall´ elogramme ; montrons-le :
On a −→
AB
5 − (−3)
5 − 2
donc −→
AB
8
3
et de mˆ eme −→
DC
8
3
Donc −→
AB = −→
DC et donc ABCD est bien un parall´ elogramme.
Donc l’intersection de ses diagonales est le milieu de chacune d’elles (par exemple de [AC ]) et donc :
x P = x
A+x 2
C= −3+7 2 = 2 et y P = y
A+y 2
C= 2−3 2 = −0,5.
Donc P(2; −0,5).
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Exercice
Dans un rep` ere du plan on donne A(−3; 2), B (5; 5), C (7; −3) et D(−1; −6). D´ eterminer les coordonn´ ees du point P intersection de [AC ] et [BD].
Une figure nous laisse penser que ABCD est un parall´ elogramme ; montrons-le :
On a −→
AB
5 − (−3)
5 − 2
donc −→
AB
8
3
et de mˆ eme −→
DC
8
3
Donc −→
AB = −→
DC et donc ABCD est bien un parall´ elogramme.
Donc l’intersection de ses diagonales est le milieu de chacune d’elles (par exemple de [AC ]) et donc :
x P = x
A+x 2
C= −3+7 2 = 2 et y P = y
A+y 2
C= 2−3 2 = −0,5.
Exercice
Dans un rep` ere du plan on donne A(−3; 2), B (5; 5), C (7; −3) et D(−1; −6). D´ eterminer les coordonn´ ees du point P intersection de [AC ] et [BD].
Une figure nous laisse penser que ABCD est un parall´ elogramme ; montrons-le :
On a −→
AB
5 − (−3)
5 − 2
donc −→
AB
8
3
et de mˆ eme −→
DC
8
3
Donc −→
AB = −→
DC et donc ABCD est bien un parall´ elogramme.
Donc l’intersection de ses diagonales est le milieu de chacune d’elles (par exemple de [AC ]) et donc :
x P = x
A+x 2
C= −3+7 2 = 2 et y P = y
A+y 2
C= 2−3 2 = −0,5.
Donc P(2; −0,5).
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Exercice
Soit A(2; −1), B(−1; −3) et D(4; 1) trois points dans un rep` ere.
D´ eterminer les coordonn´ ees de C pour que ABCD soit un parall´ elogramme.
ABCD parall´ elogramme donc −→
AB = −→
DC et donc ils ont les mˆ emes coordonn´ ees.
Or −→
AB
−3
−2
donc :
x c − x D = −3 y C − y D = −2
Et donc en rempla¸ cant les coordonn´ ees de D on obtient : x c = −3 + 4
y C = −2 + 1 donc C (1; −1).
Exercice
Soit A(2; −1), B(−1; −3) et D(4; 1) trois points dans un rep` ere.
D´ eterminer les coordonn´ ees de C pour que ABCD soit un parall´ elogramme.
ABCD parall´ elogramme donc −→
AB = −→
DC et donc ils ont les mˆ emes coordonn´ ees.
Or −→
AB
−3
−2
donc :
x c − x D = −3 y C − y D = −2
Et donc en rempla¸ cant les coordonn´ ees de D on obtient : x c = −3 + 4
y C = −2 + 1 donc C (1; −1).
T. Rey (reymarlioz.free.fr) Les vecteurs ´Episode 1 6 d´ecembre 2018 18 / 19
Exercice
Soit A(2; −1), B(−1; −3) et D(4; 1) trois points dans un rep` ere.
D´ eterminer les coordonn´ ees de C pour que ABCD soit un parall´ elogramme.
ABCD parall´ elogramme donc −→
AB = −→
DC et donc ils ont les mˆ emes coordonn´ ees.
Or −→
AB
−3
−2
donc :
x c − x D = −3 y C − y D = −2
Et donc en rempla¸ cant les coordonn´ ees de D on obtient : x c = −3 + 4
y C = −2 + 1 donc C (1; −1).
Exercice
Soit A(2; −1), B(−1; −3) et D(4; 1) trois points dans un rep` ere.
D´ eterminer les coordonn´ ees de C pour que ABCD soit un parall´ elogramme.
ABCD parall´ elogramme donc −→
AB = −→
DC et donc ils ont les mˆ emes coordonn´ ees.
Or −→
AB
−3
−2
donc :
x c − x D = −3 y C − y D = −2
Et donc en rempla¸cant les coordonn´ ees de D on obtient : x c = −3 + 4
y C = −2 + 1 donc C (1; −1).
T. Rey (reymarlioz.free.fr) Les vecteurs ´Episode 1 6 d´ecembre 2018 18 / 19
Exercice
Soit A(2; −1), B(−1; −3) et D(4; 1) trois points dans un rep` ere.
D´ eterminer les coordonn´ ees de C pour que ABCD soit un parall´ elogramme.
ABCD parall´ elogramme donc −→
AB = −→
DC et donc ils ont les mˆ emes coordonn´ ees.
Or −→
AB
−3
−2
donc :
x c − x D = −3 y C − y D = −2
Et donc en rempla¸cant les coordonn´ ees de D on obtient : x c = −3 + 4
y C = −2 + 1 donc C (1; −1).
La suite dans l’´ episode 2. . . (bientˆ ot)
T. Rey (reymarlioz.free.fr) Les vecteurs ´Episode 1 6 d´ecembre 2018 19 / 19
