Epreuve seconde durée : 2 h 03/02/2015 Mathématiques
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NOM Prénom
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L’élève portera le plus grand soin à la rédaction de sa copie . Toute trace de recherche même non aboutie sera valorisée .
La calculatrice est autorisée .
Exercice 1 ( 8 points )
On considère une population de 600 personnes à qui on propose un vaccin pour lutter contre une maladie. Un tiers de la population a été vaccinée.
On sait qu’au total, 240 personnes sont malades dans la population, et parmi elles, une personne sur 15 est vaccinée.
1) A partir de l’énoncé, compléter le tableau suivant :
Malades Non malades Total
Vaccinés Non vaccinés Total
2) On considère les événements suivants :
V : « une personne interrogée au hasard dans la population est vaccinée » M : « une personne interrogée au hasard dans la population est malade » Calculer P(V), P(M), 𝑃(𝑉 ∩ 𝑀)
3) a) Si l’on désigne au hasard une personne non vaccinée, quelle est la probabilité, notée p , que cette personne soit malade ?
b) Si l’on désigne au hasard une personne vaccinée, quelle est la probabilité, notée q, que cette personne soit malade ?
c) On appelle « efficacité du vaccin », le quotient p
q . Si ce quotient est supérieur à 1,l e vaccin est déclaré efficace et il l’est d’autant plus que la valeur est éloignée de 1. Ce vaccin peut il être déclaré efficace ?
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2 /4 Exercice 2 ( 10 points )
La courbe (C) indiquée ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction 𝑓 définie sur [ 3 ; 9].
1) Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes.
a) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :
Valeurs de 𝑥 2 4 8 …
Valeurs de 𝑓(𝑥) … … … 3
b) Résoudre l’équation 𝑓(𝑥) = 4 et l’inéquation 𝑓(𝑥) ≤ 2.
c) Tracer le tableau de signes de 𝑓(𝑥).
d) Dresser le tableau de variations de 𝑓 sur l’intervalle [ 3 ; 9].
e) Préciser le maximum et le minimum de 𝑓 sur [ 3 ; 9].
2) On note 𝑔 la fonction définie sur ℝ par : 𝑔(𝑥) = −0,2𝑥 + 5,2.
a) Tracer la représentation graphique de 𝑔 dans le même repère que celle de 𝑓.
b) Résoudre graphiquement l’inéquation 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥).
3) La droite représentée en trait pointillé est la représentation graphique d’une fonction affine ℎ.
Elle passe par les points A et B.
Déterminer par le calcul l’expression donnant ℎ(𝑥) en fonction de 𝑥.
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3 /4 Exercice 3 ( 10 points )
On donne dans un repère orthonormé (O,I,J) les points A(-4 ;0) , B(2 ;3) , C(6 ;-5) 1) Faire ci-dessous une figure que l’on compétera au fur et à mesure
2) Calculer les trois longueurs AB, BC et AC
3) Que peut-on en déduire pour le triangle (ABC) ? le justifier
4) Déterminer par le calcul les coordonnées du point D tel que (ABCD) est un parallélogramme
5) Déterminer , en le justifiant , le centre et le rayon du cercle circonscrit au quadrilatère (ABCD)
6) Déterminer par le calcul ,l’équation de la droite (AB) 7) Construire la droite (∆) d’équation 𝑦 = −1
3𝑥 − 3 8) Le point H(-2007 ;666) est-il sur (∆) ?justifier
9) Déterminer par le calcul , les coordonnées du point L intersection des droites (AB) et (∆)
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4 /4 Exercice 4 ( 12 points )
On considère l’algorithme suivant :
● Choisir un nombre x
● Puis l’élever au carré
● Puis multiplier le résultat obtenu par −4
● Puis soustraire huit fois le nombre du départ
● Puis ajouter 32
● Afficher le résultat obtenu f(x)
1) Donner la formule algébrique de f(x) pour tout nombre réel x et vérifier que f(2)=0.
Soit f la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = −4𝑥2− 8𝑥 + 32
2) Montrer que pour tout réel x, on a : 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 8)(−2𝑥 + 4) 3) Montrer que pour tout réel x, on a : 𝑓(𝑥) = −4(𝑥 + 1)2+ 36
4) En utilisant la forme la plus adaptée de 𝑓(𝑥), répondre aux questions suivantes : a) Calculer l’image de 0.
b) Calculer 𝑓(−1).
c) Déterminer les antécédents de 32 d) Résoudre 𝑓(𝑥) = 0.
e) Résoudre à l’aide d’un tableau de signe l’inéquation 𝑓(𝑥) < 0.
f) Sur quel(s) intervalle(s) la courbe représentative de la fonction 𝑓 se trouve t’elle en dessous de l’axe des abscisses ?
g) Résoudre 𝑓(𝑥) ≥ 32.
