Liban, juin 2003
Un théâtre propose deux types d’abonnements pour une année : un abonnement A donnant droit à six spectacles ou un abonnement B donnant droit à trois spectacles.
On considère un groupe de 2 500 personnes qui s’abonnent tous les ans.nétant un entier naturel, on note : anla probabilité qu’une personne ait choisi un abonnement A l’annéen;
bnla probabilité qu’une personne ait choisi un abonnement B l’annéen; Pnla matrice¡
an bn¢
traduisant l’état probabiliste à l’annéen.
Tous les ans 85% des personnes qui ont choisi l’abonnement A et 55% des personnes qui ont choisi l’abon- nement B conservent ce type d’abonnement l’année suivante. Les autres personnes changent d’abonnement.
1. On suppose que, l’année zéro, 1 500 personnes ont choisi l’abonnement A et 1 000 l’abonnement B.
On a :a0=1 500 2 500= 3
5=0,6 et b0=1−a0=2
5=0,4. L(état initial est P0=¡
0,6 0,4¢ .
2. (a) Voilà un graphe probabiliste traduisant les données de l’énoncé :
A B
0,85
0,15
0,45 0,45
(b) La matrice de transition M de ce graphe est M=
µ0,85 0,15 0,45 0,55
¶ . (c) On aP1=P0M=¡
0,6 0,4¢
µ0,85 0,15 0,45 0,55
¶
= ¡
0,69 0,31¢ .
À l’année un, il y a 2 500∗0,69=1 725 adhérents avec l’abonnent A et donc 775 pour l’abonnement B.
3. SoitP=¡ x y¢
l’état stable, oùxetysont deux nombres réels positifs tels quex+y=1.
SiP =¡ x y¢
est état stable, on aP=P M donc :
½x =0,85x+0,45y, y=0,15x+0,55y .
Ces deux équations étant équivalentes,xetyvérifient bien la relation x=0,85x+0,45y . D’autre part, on ax+y=1.
xetysont donc solutions du système :
½x =0,85x+0,45y x+y=1
Résolvons ce système:
½x =0,85x+0,45y
x+y=1 ⇔
½0,15x =0,45y x+y=1 ⇔
(
x =0,45 0,15y x+y=1 ⇔
½x =3y x+y=1
⇔
½x+3y 4y=1⇔
½ y=0,25 x =3y=0,75 L’état stable estP =¡
0,75 0,25¢
La matrice de transition n’a aucun élément nul.
La limite de l’étatPnest donc l’état stableP=¡
0,75 0,25¢ .
Le nombre d’abonnement de type A tend donc vers 0,75×2500= 1 875.
