Cogénération par centrale à vapeur ; entretien d’un chauffe-eau ; découverte de Proxima Centauri b
Durée : 3h Samedi 29 mai
Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être uneerreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Néanmoins, le candidat prendra soin de tourner 7 fois son stylo dans sa bouche et de vérifier que l’erreur ne vient pas de lui.
Les CALCULATRICES sont autorisées
Le sujet comporte trois exercices indépendants.
1 Cogénération par centrale à vapeur
Le principe de la cogénération au gaz naturel est de produire à la fois de l’électricité et de l’eau chaude. On utilise pour cela une centrale à vapeur et on récupère de l’énergie mécanique dans sa turbine et de l’énergie thermique au niveau du condenseur. On s’intéresse dans un premier temps au fonctionnement général d’une telle centrale sans prendre en compte la valorisation de l’énergie dissipée dans le condenseur. Puis le 1.3 étudie la récupération d’énergie thermique.
Le cycle de base d’une centrale à vapeur parcouru par de l’eau est schématisé figure 9. Il consiste essentiellement en une chaudière où le combustible est brûlé générant ainsi de la vapeur d’eau surchauffée (2→3) qui est ensuite détendue dans une turbine à vapeur dont l’arbre fournit le travail moteur (3→4). La vapeur d’eau sortant de la turbine est totalement liquéfiée dans un condenseur (4→1) avant qu’une pompe ne lui redonne la pression de chaudière (1→2). Le refroidissement du condenseur est assuré par une source froide externe.
On supposera les transformations subies par le système dans la turbine et dans la pompe comme étant adiaba- tique et réversible. On négligera le travail de la pompe devant le travail de la turbine :|Wp| ¿ |Wt|.
Le fluide est en écoulement stationnaire avec un débit massiqueDm1=1, 0 kg · s−1. On négligera les variations de vitesse et d’altitude du fluide.
On donne l’expression de l’entropieSen J · K−1d’une masse donnée d’eau liquide à la températureT, S(T)=S(T0)+Ceauln
µT T0
¶
avecCeaula capacité thermique de l’eau en J · K−1. On donne la capacité thermique massique de l’eau liquide ceau=4, 18 J · K−1· kg−1.
1.1 Description du cycle thermodynamique
On considère que le fluide circulant au cours d’un cycle reçoit les transferts thermiquesQc etQf respectivement des sources chaude de températureTcet froide de températureTf ainsi que le travail mécanique de la turbineWt.
1.1 Préciser, en justifiant, les signes deQc,Qf etWt.
1.2 Pourquoi ce cycle est qualifié de cycle à combustion externe ? Quel avantage présente-t-il ? Donner un exemple de cycle à combustion interne.
1.3 Exprimer le rendementrde la machine en fonctionQcetWt.
1.4 En déduire l’expression du rendementr en fonction deTf ,Tc,QcetScl’entropie créée au cours d’un cycle.
1.5 En déduire l’expression du rendement de Carnotrc. Effectuer l’application numérique avecTf =300 K et Tc=603 K.
1.2 Diagramme des frigoristes
• Au point 1 en sortie de condenseur, l’eau est à l’état liquide saturant, sous une faible pression à la tempéra- tureTf .
• La pompe (1→2) comprime l’eau à environ 128 bar. La températureT reste sensiblement constante pen- dant cette compression. Le point 2 se situe à l’intersection de l’isothermeT =300 K (environ 30◦C) et de l’isobareP=128 bar.
• Dans la chaudière (2→3), l’eau sous pression est portée à haute température, l’échauffement comportant les deux étapes
- chauffage du liquide à pression constante ;
- évaporation de l’eau jusqu’à la dernière goutte de liquide.
• L’évolution dans la turbine (3→4) est modélisée par une détente adiabatique réversible.
1.6 Compléter le diagramme log(P)= f(h) (en annexe), en représentant le cycle parcouru par le fluide et en indiquant les étapes 1, 2, 3 et 4.
1.7 Calculer le transfert thermique massiqueqcreçu par le fluide dans la chaudière.
1.8 Calculer le travail massiquewt reçu de la part de la turbine. En déduire le rendementr0 de la machine.
Commenter.
1.9 Justifier la légitimité de l’hypothèse|wp| ¿ |wt|.
1.10 Préciser la nature de la transformation 4→1. Quel est l’intérêt de cette étape ?
1.11 Établir l’expression de la fraction massique de vapeurxv4au point 4 en fonction deh1,h4et∆hv(Tf), en- thalpie massique de vaporisation à la températureTf . Faire l’application numérique.
1.12 Exprimer les variations d’entropie au cours de chaque transformation du système∆S1→2,∆S2→3,∆S3→4et
∆S4→1en fonction de la masse du systèmem, la capacité thermique massique de l’eauceau,Tf,Tc,∆hv(Tf),
∆hv(Tc) etxv4.
1.13 En déduire l’expression dexv4en fonction de∆hv(Tf),∆hv(Tc),ceau,Tf etTc.
1.14 Quelle puissance mécaniquePtreçoit la turbine ? Faire l’application numérique. Commenter le résultat.
1.3 Récupération de l’énergie thermique
On s’intéresse ici à l’énergie thermique que l’on peut récupérer au niveau du condenseur afin de produire de l’eau chaude pour alimenter une installation de chauffage domestique (figure 10).
Le condenseur est un échangeur thermique que l’on suppose parfaitement calorifugé, schématisé figure 11.
On suppose les fluides en écoulement stationnaire. On puise l’eau de chauffage domestique à la température Td(x=0)=5, 0◦C, avec un débitDd. Elle ressort de l’échangeur à la températureTd(x=L)=60◦C.
1.15 Calculer la puissance thermique reçue par l’eau de chauffage domestiquePd.
1.16 Calculer le débit massiqueDdque doit posséder l’eau de chauffage domestique.
1.17 Exprimer puis calculerecogen, l’efficacité de la machine utilisant le principe de cogénération. Commenter.
2 Entretien d’un chauffe-eau
Un chauffe-eau est composé d’une cuve cylindrique fermée généralement en acier émaillé, dans laquelle se trouve un dispositif de chauffage piloté par un thermostat (figure 1). La cuve est en permanence remplie d’eau. En effet, lorsqu’on puise de l’eau chaude, de l’eau froide remplace au fur et à mesure la quantité d’eau chaude utilisée. Le dispositif de chauffage réchauffe l’eau jusqu’à une température de consigne préalablement définie, puis s’arrête.
Si de l’eau est puisée, il se remet en fonctionnement.
On se propose d’étudier les procédés pour entretenir un chauffe-eau. Suivant la composition de l’eau du robinet, du calcaire se dépose sur la cuve et sur le dispositif de chauffage, pouvant conduire à la détérioration de ce der- nier. De plus, pour protéger la cuve de la corrosion, un chauffe-eau est muni d’un système de protection appelé électrode sacrificielle.
2.1 Dépôt de calcaire sur la résistance chauffante Données :
Numéros atomiques :Z(H)=1,Z(C)=6,Z(O)=8.
Produit de solubilité du carbonate de calcium CaCO3(s)à 298 K :Ks=10−8,4.
L’eau contient de nombreux ions dissous parmi lesquels figurent les ions calcium en partie responsables de la formation de tartre. Lorsque l’eau est calcaire, le contact direct de la résistance chauffante avec l’eau favorise la formation de tartre qui se dépose sur la résistance et altère sa performance.
2.1 Donner les configurations électroniques des atomes d’hydrogène H, de carbone C et d’oxygène O dans leur état fondamental et préciser le nombre d’électrons de valence de chaque atome.
2.2 L’ion hydrogénocarbonate a pour formule chimique HCO−3. Établir la représentation de Lewis de l’ion hy- drogénocarbonate.
L’ion hydrogénocarbonate appartient aux couples acido-basiques suivants :
• H2CO3(aq)/HCO−3(aq) auquel on associe la constante d’aciditéKA1 à 298 K (H2CO3(aq), appelé acide carbo- nique, représente le mélange CO2, H2O) ;
• HCO−3(aq)/CO23(aq)− auquel on associe la constante d’aciditéKA2à 298 K.
2.3 Donner l’expression de la constante d’aciditéKAassociée à un couple acido-basique AH(aq)/A−(aq). En dé- duire le lien entrepKA= −log(KA) et lep H.
On fournit le diagramme de distribution de l’acide carbonique sur la figure 5.
2.4 En expliquant votre démarche, attribuer chaque courbe de distribution ((a), (b) et (c)) à une espèce chimique (H2CO3, HCO−3 ou CO23−).
2.5 À l’aide du diagramme de distribution de la figure 5, déterminer les valeurs depKA1 etpKA2 en justifiant votre réponse.
2.6 Quelle est l’espèce majoritaire pour 7, 4<p H<9, 3 ?
On s’intéresse à la solubilitésdu carbonate de calcium (composé majoritaire du calcaire) dans l’eau.
2.7 Écrire l’équation de dissolution du carbonate de calcium dans l’eau.
2.8 Donner l’expression du produit de solubilitéKs du carbonate de calcium en assimilant les activités chi- miques des constituants en solution à leurs concentrations.
2.9 Justifier que, pour 7, 4<p H <9, 3, la solubilitésdu carbonate de calcium est telle ques=[Ca2+]eqets≈ [HCO−3]eq.
En déduire l’expression deps=f(p H) pour 7, 4<p H<9, 3.
On fournit les graphes suivants :
• le graphe du cologarithme décimal de la solubilitéps= −log(s) du carbonate de calcium CaCO3(s)en fonc- tion du pH à 298 K (figure 6) ;
• le graphe du cologarithme décimal de la solubilitépsdu carbonate de calcium CaCO3(s)en fonction du pH pour différentes températures (figure 7) ;
2.10 Vérifier la cohérence du résultat précédent avec le graphe fourni sur la figure 6.
2.11 Dans la cuve d’un chauffe-eau, comment évolue le dépôt de calcaire lorsque le pH augmente ? Justifier.
2.12 Pour nettoyer le dépôt de calcaire sur la résistance électrique chauffante d’un chauffe-eau, faut-il utiliser une solution acide ou basique ? Justifier.
2.13 Dans la cuve d’un chauffe-eau, comment évolue le dépôt de calcaire lorsque la température augmente ? Justifier.
2.2 Électrode sacrificielle de magnésium Données :
Potentiels standard à 298 K à pH = 0 : Fe2+/Fe(s):E1◦= −0, 44 V ;
Mg2+/Mg(s):E2◦= −2, 37 V.
Équations de frontière des couples de l’eau à 298 K pour lesquelles les conventions sont telles que la pression partielle des espèces gazeuses est égale à 1 bar :
H2O(l)/H2(g):E3= −0, 06p H(en V) ; O2(g)/H2O(l):E4=1, 23−0, 06p H(en V).
La cuve d’un chauffe-eau est en acier, qui est un alliage essentiellement constitué de fer. Au contact de l’eau, la cuve peut subir un phénomène de corrosion. Pour 7<p H <9, le fer solide Fe(s)réagit avec l’eau et conduit à la formation d’ions fer(II) Fe2(aq)+ , qui à leur tour, réagissent avec le dioxygène O2(g)pour former de la rouille Fe2O3(s).
2.14 Établir l’équation de la réaction menant des ions fer(II) Fe2+(aq)à la formation de rouille Fe2O3(s).
La première protection de la cuve contre la rouille est son émaillage, mais l’émail possède naturellement des micro-porosités où la corrosion peut s’amorcer. C’est pourquoi on trouve dans tout chauffe-eau un système de protection supplémentaire contre la corrosion. Une possibilité réside en la présence d’une électrode de magné- sium dite "sacrificielle".
On s’intéresse à la stabilité du magnésium solide Mg(s)dans l’eau et dans le dioxygène. On considère les espèces Mg(s), Mg2(aq)+ et Mg(OH)2(s)dans le diagramme E-pH du magnésium de la figure 10 à la concentration de tracé de Ct=10−6mol.L−1298 K.
2.15 Justifier la position relative de chacune des espèces sur le diagramme E-pH de la figure 10.
2.16 Déterminer, par le calcul, l’équation de la frontière séparant Mg2(aq)+ et Mg(s). Est-ce en accord avec le dia- gramme ?
2.17 Déterminer, par le calcul, la pente de la frontière séparant Mg(OH)2(s)et Mg(s).
2.18 On suppose qu’une variation de température modifie peu les frontières. Conclure sur la stabilité du magné- sium dans l’eau et dans le dioxygène.
La cuve d’un chauffe-eau en acier est ainsi reliée à une électrode sacrificielle de magnésium qui plonge dans l’eau de la cuve. Le métal le plus réducteur sert alors d’anode et le moins réducteur de cathode. La surface de la cathode se charge en électrons. À l’interface cathode/eau, le dioxygène dissous dans l’eau de la cuve O2(aq)se réduit mais le métal reste intact.
L’équation de la réaction totale qui se produit au sein de la cuve, écrite en milieu basique, est : O2(aq)+2 Mg(s)+2 H2O(l)=2 Mg2+(aq)
Ce phénomène est analogue à une pile en court-circuit, dont un schéma est fourni sur la figure 11.
2.19 Rappeler la définition d’une anode.
2.20 Quel rôle joue l’électrode de magnésium (anode ou cathode) ? Justifier.
2.21 En déduire la demi-équation d’oxydo-réduction qui se déroule au niveau de l’anode et celle qui se déroule au niveau de la cathode.
2.22 Associer, à chaque numéro de 1 à 7 de la figure 11, le terme manquant sur les lignes en pointillés, en choisis- sant parmi les termes suivants :anode, cathode, sens des électrons, sens du courant électrique, Mg2+, O2(aq)et HO−.
2.23 Justifier le nom d’électrode sacrificielle donné à l’électrode de magnésium.
2.24 La consommation de l’électrode sacrificielle favorise-t-elle la formation de calcaire ? Justifier. On se repor- tera à la figure 6. On négligera la formation du précipité Mg(OH)2(s)qui, pour une faible concentration d’ions Mg2+(aq), se forme à un pH trop élevé.
Au bout d’un certain temps l’électrode a totalement disparu et le chauffe-eau ne dispose plus de système de pro- tection : la corrosion peut survenir. Elle doit donc être changée régulièrement. La fréquence de remplacement varie selon le type d’eau et peut varier de quelques mois à plusieurs années. Il est donc difficile de connaître pré- cisément le besoin de remplacement mais il est cependant possible de l’estimer.
2.25 Au contact du magnésium, la cuve est parcourue par une densité de courant de l’ordre deje=50 mA · m−2. Estimer la durée de vie en jours de l’électrode de magnésium.
Données relatives à la question 2.25
Surface intérieure de la cuve du chauffe-eau :Sc=3, 0 m2; Électrode de magnésium : volumeV =2, 0 · 10−4m3; Masse molaire du magnésium :M(Mg)=24, 3 g.mol−1; Masse volumique du magnésium :ρ(Mg)=1, 74 g · cm−3; 1 Faraday :F=96500 C · mol−1; 1 jour = 86 400 s.
3 Une exoplanète : Proxima Centauri b
Le 24 août 2016, l’observatoire européen austral annonce en conférence de presse la découverte deProxima Cen- tauri b, une planète « super Terre » rocheuse de masseMP d’environ 1,3 masse terrestre, en orbite à une distance
de 7 millions de kilomètres deProxima Centauri(soit dans la zone habitable). Cette exoplanète a été détectée, de manière indirecte, par la méthode des vitesses radiales.
3.1 Étude du mouvement du système {étoile + planète}
La détection de la planète repose sur le fait que le centre de masseG du système {étoile + planète} n’est pas confondu avec le centre de l’étoile. L’étoileEet la planètePtournent toutes les deux autour du centre de masseG du système complet (figure 7).
Le centre de masseGest défini par l’une des deux relations
(ME+MP)−→
AG=ME−→
AE+MP−→
AP pour tout pointA ME−→
GE+MP−→
GP=~0
Toutes les forces autres que la force d’interaction gravitationnelle entre la planète et l’étoile sont négligées. On suppose que le référentiel d’étude, de centreGdont les 3 axes pointent vers trois étoiles lointaines est galiléen.
3.1 Établir la relation−→
GP=MEM+EMP−→
E P. Contrôler la pertinence de cette expression en étudiant des cas limites.
On note pour la suite~r=ˆ−→
E Pet||~r||=ˆr.
3.2 En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la planèteP dans le référentiel d’étude, établir l’équation différentielle vérifiée par~r.
On considère le point F défini par−→
GF=ˆ~r. Ce point est en mouvement circulaire, de périodeT, autour deG.
3.3 Établir la relation
r3
T2 =G(ME+MP) 4π2 Quel nom porte cette loi ?
3.4 Justifier queEa un mouvement circulaire uniforme autour deGet établir l’expression de sa vitesse de révo- lution en fonction deMP,ME,retT.
3.2 Résultats ayant conduit à la découverte de la planèteProxima Centauri b
Dans le cas le plus favorable à l’observation, la Terre est dans le plan des trajectoires deEetP(figure 7), l’étoileE possède alors un mouvement apparent oscillant et la mesure de sa composanteV de vitesse selon l’axe de visée depuis la Terre est possible par effet Doppler-Fizeau, qui entraine un décalage des raies spectrales de l’étoile par rapport à leur position mesurée sur Terre, selon la relation
fobs−fem fem =V
c
oùfemetfobsreprésentent respectivement la fréquence à l’émission et la fréquence observée sur Terre.
Le professeur Bouchy de l’observatoire astronomique de Provence propose, en 2005, dans son intervention sur les exoplanètes la formule suivante pour le décalage Doppler lors de la détection indirecte d’exoplanètes par la méthode des vitesses radiales
fobs−fem
fem = − µ2πG
T
¶1/3 MPsini (MP+ME)2/3
1 cp
1−e2
oùMPetMEsont respectivement les masses de la planète et de l’étoile,T la période de la planète,el’excentricité de l’orbite etil’angle entre la ligne de visée et la perpendiculaire au plan orbital du système. L’excentricitéevérifie 0≤e<1, avece=0 pour une orbite circulaire.
3.5 En utilisant les résultats de la sous-partie précédente (3.1), établir une formule analogue à la formule pro- posée par le professeur Bouchy. Commenter les différences.
3.6 Connaissant la masse deProxima centauri,ME=2, 44 · 1029kg déterminée grâce à l’analyse de son rayonne- ment, exploiter les données expérimentales de la figure 8 pour déterminer la masse de la planèteProxima Centauri b.
Données :
Vitesse de la lumière dans le vide c=3, 00 · 108m · m−1
Constante universelle de la gravitation G=6, 674 · 10−11m3· kg−1· s−2 Rayon moyen de la Terre RT =6, 38 · 106m
Distance Terre-Soleil DT S=1, 50 · 108km Masse de la Terre MT=5, 97 · 1024kg
Rayon du Soleil RS=6, 96 · 108m
Masse du Soleil MS=1, 99 · 1030kg
