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1 Modèle de Rayleigh de vibration d’une étoile

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Astérosismologie ; Oiseau carillonneur ; Mascaret

Corrigé

1 Modèle de Rayleigh de vibration d’une étoile

1.1 Déterminons les dimension de la constante de gravitation universelleG.

Par définition de l’interaction gravitationnelle #On cite ses sources en donnant le nom de la loi.

F= −Gm1m2

r2G= − F r2 m1m2

Or deux grandeurs comparables ont les mêmes dimensions. Donc #On justifie le passage aux dimen- sions.

dim(G)=dim(F) dim(r)2 dim(m)2 avec

dim(F)=M LT−2 dim(r)=L dim(m)=M d’où

dim(G)=M−1L3T−2

1.2 Lord Rayleigh propose que la fréquence de résonance d’une étoile dépende :

• du rayonRde l’étoile, avec dim(R)=L;

• de la masse volumiqueρde l’étoile, avec dim(ρ)=M L−3;

• de la constanteGde gravitation universelle, avec dim(G)=M1L3T2. Recherchons les réelsa,betctels que #On explique ce qu’on fait

f =kRaρbGc (sans expliciter la constante sans dimensionk).

En passant aux dimensions

) dim(f)=dim(R)adim(ρ)bdim(G)c T1=La×MbL3b×McL3cT2c)

−1 = −2c 0 = a−3b+3c 0 = b−c (î)

a = 0

b = 12 c = 12 On obtient la relation

f =kp

ρG indépendante du rayon de l’étoile

Ce résultat est en accord avec l’article de Rayleigh #On justifie en extrayant les passages du texte.

• "independent of the diameter", iciR0;

• "directly as the square root of the density, icipρ, où la masse volumiqueρ est proportionnelle à la densité.

1.3 En astérosismologie, la mesure de la fréquence permet d’accéder à la densité/la masse volumique de l’étoile.

Il faut cependant connaître la constantek, mesurable sur une étoile connue, le Soleil.

(2)

1.4 Le spectre du Soleil présente un maximum (large) autour de 2 mHz. #On explicite la valeur lue sur le graphique

D’après le résultat précédent

f =kp

ρGk=f

s4πRS3

3MSG =7 # sans unité

#on fera attention au piège, le rayon est donné en kilomètres, à convertir en mètres. On se souviendra du volume d’une boule est V =43πR3.

Le second spectre présente un pic autour de 2, 4 mHz. On en déduit la masse volumique d’alpha du Cen- taure.

f =kp

ρGρ= f2

k2G =2 · 103kg · m−3

# Cette masse volumique 40% plus élevée que celle du Soleil. Normal pour une étoile plus massive (la masse d’une étoile augmente plus vite que son volume).

2 Oiseau carillonneur

#On commence tout exercice de mécanique par définir lesystèmeet leréférentiel, et on fait unschémaexplicitant les coordonnées et les paramètres.

2.1 Système : Oiseau assimilé à un point matérielMde masse m.

Référentiel :Terrestre supposé galiléenRg. 2.1.1 Par définition de la force de rappel élastique

~F= +k(`−`0)

| {z }

−x

~ ux

# un signe + ici, car le ressort se détend dans le sens opposé au vecteur unitaire ~ux. En posant x=`0` l’opposé de l’élongation, on trouve

~F= −kx~ux

2.1.2 Bilan des forces extérieures appliquées à l’oiseau

• Le poidsP~= −mg~uz ;

• La réaction normale−→

RN=RN~uz;

• La force de rappel élastique~F= −kx~ux;

• Les frottements solides et fluides sont négligés.

2.1.3 D’après le principe fondamental de la dynamique

m~a(M)/Rg=P~+→− RN+~F En projetant sur l’axe~ux

md2x d t2 = −kx Sous forme canonique

(E) d2x

d t2+ω20x=0 avec ω0= s

k

m la pulsation propre #On nomme les grandeurs qu’on introduit

(3)

2.1.4 Les solutions de cette équation différentielle homogène d’ordre 2 sont de la forme x(t)=Xmcos(ω0t+ϕ) (Xm,ϕ)∈R2

# je privilégie cette forme compte tenu des questions suivantes.

2.2 Utilisation du graphique.

2.2.1 L’amplitude vaut

Xm=1, 0 · 101m La période vaut

T =3, 1 · 10−1s Par définition de la pulsation

ω0=2π

T0 =20 rad.s−1

2.2.2 Le signal est en avance d’une division par rapport à un cosinus. Une période (2π) recouvre 8 division.

Le signal est en avance de

ϕ= +π 4 Àt=0,

x(0)=Xmcosϕ =7, 1 · 10−2m.s−1 # inférieur à l’élongation et

v(0)= −ω0Xmsin(ϕ)= −2π T0

Xmsin(ϕ) = −1, 4 m.s−1 # classique pour une vitesse,

<0 car l’oiseau se dirige vers lesx<0

t1

T0

T0/8 Xm

2.3 Utilisation de l’énergie.

2.3.1 Par définition de l’énergie potentielle élastique

(4)

Epe(`) = 1

2k(`−`0)2+c st e #On explicite le choix de la constante

= 1

2kx2+ c st e

| {z }

=0 en choisissant

Eep(0)=0

en posant x=`0`

Avec le résultat de la question 2.12.1.4 Epe=1

2k Xm2 cos2(ω0t+ϕ) 2.3.2 Par définition de l’énergie cinétique

Ec = 1 2mv2

= 1 220

| {z }

k

Xm2 sin2(ω0t+ϕ)

= 1

2k Xm2 sin2(ω0t+ϕ) Par définition de l’énergie mécanique

Em = Ec+Epe+Ep p

= 1

2k Xm2 sin2(ω0t+ϕ)+1

2k Xm2 cos2(ω0t+ϕ)+0

= 1 2k Xm2¡

sin20t+ϕ)+cos20t+ϕ)¢

| {z }

=1

Donc l’énergie mécanique se conserve et vaut Em=1

2k Xm2 2.3.3 D’après le résultat ci-dessus

k=2Em

Xm2 =40 N · m1

# valeur typique pour un ressort pas trop raide. #On commente les applications numériques 2.3.4 Par définition de la pulsation propre

ω0= s

k

mm= k ω20

Avecω0=2Tπ0. Donc

m=T02k

4π2 =1, 0 · 10−1kg

# valeur typique pour un jouet.

(5)

2.4 Méthode 1 :par lecture graphique, la courbe passe par 0 après une division, soit t1=T0

8 =3, 9 · 10−2s Méthode 2 :en utilisant le résultat analytique, on cherche

x(t1)=0 ⇔ Xmcos(ω0t1+ϕ)=0

= ω0t1+ϕ≡π 2[π]

= t1π 4ω0

· π ω0

¸

= t1T0

8

·T0

2

¸

En choisissant le premier instant d’annulation t1=T0

8 =3, 9 · 10−2s

# cohérent avec le graphique

2.5 Recherchons la vitesse v1<0 lorsque l’oiseau passe en x=0 pour t =t1. Par conservation de l’énergie mécanique

Em(t1)=1

2k Xm2 ⇔ 1

2mv12=1 2k Xm2

v1= ± s

k mXm

En choisissant la solution négative (l’oiseau se déplace vers la gauche)

v1= − s

k

mXm= −ω0Xm = −2, 0 m.s−1

# une vitesse du même ordre que la condition initiale.

Choc avec la sonnette On se placera àtt1.

2.5 Nouveau bilan des forces extérieures :

• PoidsP~et réaction normale→−

RNinchangés ;

• Forces de rappel élastiques exercées par

- le ressort de droite~Fd= +k(`−`0)~ux= −kx~ux;

- le ressort de gaucheF~g= −k0(`0`00)~ux= −k0x~ux. #Les longueurs des deux ressorts ne sont pas les mêmes, d’où l’utilisation de deux notations`et`0

# les deux ressorts étant tangent l’un à l’autre à vide, l’écart à la position d’équilibre peut s’écrirex=`0−`=

`0`00. #On explicite le lien entre``0,`0`00et x 2.6 D’après le principe fondamental de la dynamique

m~a(M)/Rg =P~+−→

RN+~Fd+~Fg

(6)

en projetant sur l’axe~ux

md2x

d t2 = −kx−k0x⇔(E0) d2x d t200

2x=0 avec ω00= s

k+k0

m la nouvelle pulsation propre 2.7 Par définition de la période propre

T00= 2π w00=2π

r m k+k0 On remarque que

T00= s

k

k+k0T0<T0 La nouvelle période propre estplus courteque la précédente.

2.8 Les solutionsde l’équation différentielle linéaire homogène d’ordre 2 (E’) sont de la forme x(t)=Xm0 cos(ω00t+ψ) (Xm0 ,ψ)∈R2 #Forme plus facile à manipuler ici Première condition initiale :àt=t1

x(t1)=0 ⇔ Xm0 cos(ω00t1+ψ)=0

ω00t1+ψπ

2[π] carXm0 6=0

ψπ

2−ω00t1[π] On choisira arbitrairementψ=π2ω00t1. On obtient alors

x(t)=Xm0 cos(ω00t1+π

2−ω00t1)= −Xm0 sin(ω00(t−t1)) Par définition de la vitesse

v(t)=d x

d t = −ω00Xm0 cos(ω00(t−t1)) Deuxième condition initiale :àt=t1

v(t1)=v1 ⇔ −ω00Xm0 =v1

Xm0 = −v1 ω00

#v1étant négatif, on trouve bien une amplitude positive. Finalement

x(t)= −v1

ω00sin(ω00(t−t1)) avec ω00= s

k+k0 m

#L’argument tt1revient à translater la courbe de−sinjusqu’à t=t1

2.9 Cette expression est valide jusqu’à ce quex(t) s’annule de nouveau, une demi période plus tard, l’oiseau perdant le contact avec le second ressort.

t2=t1+T00 avec T00=2π r m

k+k0

(7)

2.10 Recherchons la vitesse v2>0 lorsque l’oiseau passe en x=0 pour t =t2. Par conservation de l’énergie mécanique

Em(t2)=Em(t1) ⇔ 1

2mv22=1 2k Xm2

v2= ± s

k mXm

En choisissant la solution positive (l’oiseau se déplace vers la droite)

v2= + s

k

mXm= −v1 =2, 0 m.s−1

# résultat qu’on aurait pu retrouver en calculant directementv(t2).

2.11

t1 t2

T0+T00 2

T0/8

T00/2 T0/2 Xm

Xm0

Mouvement complet

2.12 Une fois quexredevient positif, on retrouve le bilan de la question 2.12.1.2. La position de l’oiseau vérifie donc l’équation différentielle linéaire (E)

(E) d2x

d t2+ω20x=0 avec ω0= s

k

m la pulsation propre 2.13 Par conservation de l’énergie, l’énergie mécanique vaut toujours

Em=1

2k Xm2 =1

2(k+k0)Xm0 2 et l’élongation maximal vaut toujours

Xm=10 cm

(8)

et la compression maximal

Xm0 = − s

k k+k0Xm

2.14 Pourt>t2, on retrouve un mouvement sinusoïdal d’amplitudeXm, passant par 0 ent2ett2+T20. 2.15 La période du mouvement est alors de

T=T0+T00 2

2.16 Le signal est certes périodique, mais n’est pas décrit par une unique fonction sinusoïdal. Ce système n’est pas un oscillateur harmonique (bien qu’il le soit par morceau).

3 Propagation d’un mascaret

3.1 L’onde se déplace vers lesx>0 à la céléritéc=20 km.h−1. Elle parcourt 1, 0 km et 3 min.

O

y(x,t=0)y(x,t=3 min)

100 m 1, 1 km x

=⇒

3.2 À l’instantt =0, l’arrière de la vague est enx0=100 m. Sa largeur est del =300. Son front est donc à xF=400 m. Il lui reste doncxSxF=2, 6 km à parcourir pour atteindre le surfeur enxS=3, 0 km. La vague l’atteindra en

tS=xSxF

c =7, 8 min Le surfeur la ressentira pendant

t=l c =54 s 3.3 # on n’oubliera pas d’inverser le motif

O y(xS,t)

7, 8 min t

7, 8 min 8, 0 min

8, 7 min

3.4 Les écritures a.y(x,t)=f(x−c t) (description spatiale) et b.y(x,t)=f³ tx

c

´

(description temporelle) décrivent uneonde progressive se déplaçant vers lesx>0.

Les écriturese.y(x,t)=f(x+c t) (description spatiale) etf.y(x,t)=f³ t+x

c

´

(description temporelle) décrivent une onde progressive se déplaçant vers lesx<0.

(9)

Les écrituresc.y(x,t)=f(t−c x),d.y(x,t)=f µ

xt c

,f.y(x,t)=f³ t+x

c

´etg.y(x,t)=f(t+c x) ne sont pas homogènes.

3.5 Le sommet de la vague, où la hauteur d’eau est plus grande, se déplace plus vite. Lefrontdevient de plus en plusraidejusqu’à ce quela vague déferle.

O y(x,t)

x

=⇒

=⇒

=⇒

=⇒

=⇒

=⇒

déferlement

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