Astérosismologie ; Oiseau carillonneur ; Mascaret
Corrigé
1 Modèle de Rayleigh de vibration d’une étoile
1.1 Déterminons les dimension de la constante de gravitation universelleG.
Par définition de l’interaction gravitationnelle #On cite ses sources en donnant le nom de la loi.
F= −Gm1m2
r2 ⇔G= − F r2 m1m2
Or deux grandeurs comparables ont les mêmes dimensions. Donc #On justifie le passage aux dimen- sions.
dim(G)=dim(F) dim(r)2 dim(m)2 avec
dim(F)=M LT−2 dim(r)=L dim(m)=M d’où
dim(G)=M−1L3T−2
1.2 Lord Rayleigh propose que la fréquence de résonance d’une étoile dépende :
• du rayonRde l’étoile, avec dim(R)=L;
• de la masse volumiqueρde l’étoile, avec dim(ρ)=M L−3;
• de la constanteGde gravitation universelle, avec dim(G)=M−1L3T−2. Recherchons les réelsa,betctels que #On explique ce qu’on fait
f =kRaρbGc (sans expliciter la constante sans dimensionk).
En passant aux dimensions
(î) dim(f)=dim(R)adim(ρ)bdim(G)c ⇔ T−1=La×MbL−3b×M−cL3cT−2c (î) ⇔
−1 = −2c 0 = a−3b+3c 0 = b−c (î) ⇔
a = 0
b = 12 c = 12 On obtient la relation
f =kp
ρG indépendante du rayon de l’étoile
Ce résultat est en accord avec l’article de Rayleigh #On justifie en extrayant les passages du texte.
• "independent of the diameter", iciR0;
• "directly as the square root of the density, icipρ, où la masse volumiqueρ est proportionnelle à la densité.
1.3 En astérosismologie, la mesure de la fréquence permet d’accéder à la densité/la masse volumique de l’étoile.
Il faut cependant connaître la constantek, mesurable sur une étoile connue, le Soleil.
1.4 Le spectre du Soleil présente un maximum (large) autour de 2 mHz. #On explicite la valeur lue sur le graphique
D’après le résultat précédent
f =kp
ρG⇔ k=f
s4πRS3
3MSG =7 # sans unité
#on fera attention au piège, le rayon est donné en kilomètres, à convertir en mètres. On se souviendra du volume d’une boule est V =43πR3.
Le second spectre présente un pic autour de 2, 4 mHz. On en déduit la masse volumique d’alpha du Cen- taure.
f =kp
ρG⇔ ρ= f2
k2G =2 · 103kg · m−3
# Cette masse volumique 40% plus élevée que celle du Soleil. Normal pour une étoile plus massive (la masse d’une étoile augmente plus vite que son volume).
2 Oiseau carillonneur
#On commence tout exercice de mécanique par définir lesystèmeet leréférentiel, et on fait unschémaexplicitant les coordonnées et les paramètres.
2.1 Système : Oiseau assimilé à un point matérielMde masse m.
Référentiel :Terrestre supposé galiléenRg. 2.1.1 Par définition de la force de rappel élastique
~F= +k(`−`0)
| {z }
−x
~ ux
# un signe + ici, car le ressort se détend dans le sens opposé au vecteur unitaire ~ux. En posant x=`0−` l’opposé de l’élongation, on trouve
~F= −kx~ux
2.1.2 Bilan des forces extérieures appliquées à l’oiseau
• Le poidsP~= −mg~uz ;
• La réaction normale−→
RN=RN~uz;
• La force de rappel élastique~F= −kx~ux;
• Les frottements solides et fluides sont négligés.
2.1.3 D’après le principe fondamental de la dynamique
m~a(M)/Rg=P~+→− RN+~F En projetant sur l’axe~ux
md2x d t2 = −kx Sous forme canonique
(E) d2x
d t2+ω20x=0 avec ω0= s
k
m la pulsation propre #On nomme les grandeurs qu’on introduit
2.1.4 Les solutions de cette équation différentielle homogène d’ordre 2 sont de la forme x(t)=Xmcos(ω0t+ϕ) (Xm,ϕ)∈R2
# je privilégie cette forme compte tenu des questions suivantes.
2.2 Utilisation du graphique.
2.2.1 L’amplitude vaut
Xm=1, 0 · 10−1m La période vaut
T =3, 1 · 10−1s Par définition de la pulsation
ω0=2π
T0 =20 rad.s−1
2.2.2 Le signal est en avance d’une division par rapport à un cosinus. Une période (2π) recouvre 8 division.
Le signal est en avance de
ϕ= +π 4 Àt=0,
x(0)=Xmcosϕ =7, 1 · 10−2m.s−1 # inférieur à l’élongation et
v(0)= −ω0Xmsin(ϕ)= −2π T0
Xmsin(ϕ) = −1, 4 m.s−1 # classique pour une vitesse,
<0 car l’oiseau se dirige vers lesx<0
t1
T0
T0/8 Xm
2.3 Utilisation de l’énergie.
2.3.1 Par définition de l’énergie potentielle élastique
Epe(`) = 1
2k(`−`0)2+c st e #On explicite le choix de la constante
= 1
2kx2+ c st e
| {z }
=0 en choisissant
Eep(0)=0
en posant x=`0−`
Avec le résultat de la question 2.12.1.4 Epe=1
2k Xm2 cos2(ω0t+ϕ) 2.3.2 Par définition de l’énergie cinétique
Ec = 1 2mv2
= 1 2mω20
| {z }
k
Xm2 sin2(ω0t+ϕ)
= 1
2k Xm2 sin2(ω0t+ϕ) Par définition de l’énergie mécanique
Em = Ec+Epe+Ep p
= 1
2k Xm2 sin2(ω0t+ϕ)+1
2k Xm2 cos2(ω0t+ϕ)+0
= 1 2k Xm2¡
sin2(ω0t+ϕ)+cos2(ω0t+ϕ)¢
| {z }
=1
Donc l’énergie mécanique se conserve et vaut Em=1
2k Xm2 2.3.3 D’après le résultat ci-dessus
k=2Em
Xm2 =40 N · m−1
# valeur typique pour un ressort pas trop raide. #On commente les applications numériques 2.3.4 Par définition de la pulsation propre
ω0= s
k
m⇔m= k ω20
Avecω0=2Tπ0. Donc
m=T02k
4π2 =1, 0 · 10−1kg
# valeur typique pour un jouet.
2.4 Méthode 1 :par lecture graphique, la courbe passe par 0 après une division, soit t1=T0
8 =3, 9 · 10−2s Méthode 2 :en utilisant le résultat analytique, on cherche
x(t1)=0 ⇔ Xmcos(ω0t1+ϕ)=0
= ω0t1+ϕ≡π 2[π]
= t1≡ π 4ω0
· π ω0
¸
= t1≡T0
8
·T0
2
¸
En choisissant le premier instant d’annulation t1=T0
8 =3, 9 · 10−2s
# cohérent avec le graphique
2.5 Recherchons la vitesse v1<0 lorsque l’oiseau passe en x=0 pour t =t1. Par conservation de l’énergie mécanique
Em(t1)=1
2k Xm2 ⇔ 1
2mv12=1 2k Xm2
⇔ v1= ± s
k mXm
En choisissant la solution négative (l’oiseau se déplace vers la gauche)
v1= − s
k
mXm= −ω0Xm = −2, 0 m.s−1
# une vitesse du même ordre que la condition initiale.
Choc avec la sonnette On se placera àt≥t1.
2.5 Nouveau bilan des forces extérieures :
• PoidsP~et réaction normale→−
RNinchangés ;
• Forces de rappel élastiques exercées par
- le ressort de droite~Fd= +k(`−`0)~ux= −kx~ux;
- le ressort de gaucheF~g= −k0(`0−`00)~ux= −k0x~ux. #Les longueurs des deux ressorts ne sont pas les mêmes, d’où l’utilisation de deux notations`et`0
# les deux ressorts étant tangent l’un à l’autre à vide, l’écart à la position d’équilibre peut s’écrirex=`0−`=
`0−`00. #On explicite le lien entre`−`0,`0−`00et x 2.6 D’après le principe fondamental de la dynamique
m~a(M)/Rg =P~+−→
RN+~Fd+~Fg
en projetant sur l’axe~ux
md2x
d t2 = −kx−k0x⇔(E0) d2x d t2 +ω00
2x=0 avec ω00= s
k+k0
m la nouvelle pulsation propre 2.7 Par définition de la période propre
T00= 2π w00=2π
r m k+k0 On remarque que
T00= s
k
k+k0T0<T0 La nouvelle période propre estplus courteque la précédente.
2.8 Les solutionsde l’équation différentielle linéaire homogène d’ordre 2 (E’) sont de la forme x(t)=Xm0 cos(ω00t+ψ) (Xm0 ,ψ)∈R2 #Forme plus facile à manipuler ici Première condition initiale :àt=t1
x(t1)=0 ⇔ Xm0 cos(ω00t1+ψ)=0
⇔ ω00t1+ψ≡π
2[π] carXm0 6=0
⇔ ψ≡π
2−ω00t1[π] On choisira arbitrairementψ=π2−ω00t1. On obtient alors
x(t)=Xm0 cos(ω00t1+π
2−ω00t1)= −Xm0 sin(ω00(t−t1)) Par définition de la vitesse
v(t)=d x
d t = −ω00Xm0 cos(ω00(t−t1)) Deuxième condition initiale :àt=t1
v(t1)=v1 ⇔ −ω00Xm0 =v1
⇔ Xm0 = −v1 ω00
#v1étant négatif, on trouve bien une amplitude positive. Finalement
x(t)= −v1
ω00sin(ω00(t−t1)) avec ω00= s
k+k0 m
#L’argument t−t1revient à translater la courbe de−sinjusqu’à t=t1
2.9 Cette expression est valide jusqu’à ce quex(t) s’annule de nouveau, une demi période plus tard, l’oiseau perdant le contact avec le second ressort.
t2=t1+T00 avec T00=2π r m
k+k0
2.10 Recherchons la vitesse v2>0 lorsque l’oiseau passe en x=0 pour t =t2. Par conservation de l’énergie mécanique
Em(t2)=Em(t1) ⇔ 1
2mv22=1 2k Xm2
⇔ v2= ± s
k mXm
En choisissant la solution positive (l’oiseau se déplace vers la droite)
v2= + s
k
mXm= −v1 =2, 0 m.s−1
# résultat qu’on aurait pu retrouver en calculant directementv(t2).
2.11
t1 t2
T0+T00 2
T0/8
T00/2 T0/2 Xm
−Xm0
Mouvement complet
2.12 Une fois quexredevient positif, on retrouve le bilan de la question 2.12.1.2. La position de l’oiseau vérifie donc l’équation différentielle linéaire (E)
(E) d2x
d t2+ω20x=0 avec ω0= s
k
m la pulsation propre 2.13 Par conservation de l’énergie, l’énergie mécanique vaut toujours
Em=1
2k Xm2 =1
2(k+k0)Xm0 2 et l’élongation maximal vaut toujours
Xm=10 cm
et la compression maximal
−Xm0 = − s
k k+k0Xm
2.14 Pourt>t2, on retrouve un mouvement sinusoïdal d’amplitudeXm, passant par 0 ent2ett2+T20. 2.15 La période du mouvement est alors de
T=T0+T00 2
2.16 Le signal est certes périodique, mais n’est pas décrit par une unique fonction sinusoïdal. Ce système n’est pas un oscillateur harmonique (bien qu’il le soit par morceau).
3 Propagation d’un mascaret
3.1 L’onde se déplace vers lesx>0 à la céléritéc=20 km.h−1. Elle parcourt 1, 0 km et 3 min.
O
y(x,t=0)y(x,t=3 min)
100 m 1, 1 km x
=⇒
3.2 À l’instantt =0, l’arrière de la vague est enx0=100 m. Sa largeur est del =300. Son front est donc à xF=400 m. Il lui reste doncxS−xF=2, 6 km à parcourir pour atteindre le surfeur enxS=3, 0 km. La vague l’atteindra en
tS=xS−xF
c =7, 8 min Le surfeur la ressentira pendant
∆t=l c =54 s 3.3 # on n’oubliera pas d’inverser le motif
O y(xS,t)
7, 8 min t
7, 8 min 8, 0 min
8, 7 min
3.4 Les écritures a.y(x,t)=f(x−c t) (description spatiale) et b.y(x,t)=f³ t−x
c
´
(description temporelle) décrivent uneonde progressive se déplaçant vers lesx>0.
Les écriturese.y(x,t)=f(x+c t) (description spatiale) etf.y(x,t)=f³ t+x
c
´
(description temporelle) décrivent une onde progressive se déplaçant vers lesx<0.
Les écrituresc.y(x,t)=f(t−c x),d.y(x,t)=f µ
x−t c
¶
,f.y(x,t)=f³ t+x
c
´etg.y(x,t)=f(t+c x) ne sont pas homogènes.
3.5 Le sommet de la vague, où la hauteur d’eau est plus grande, se déplace plus vite. Lefrontdevient de plus en plusraidejusqu’à ce quela vague déferle.
O y(x,t)
x
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
déferlement