Ch4 :Transmissions numériques en bande de base

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G.Stevens | Lycée Dorian 1

Ch4 :Transmissions numériques en bande de base

1. Introduction

1. Principe de la transmission numérique

Pour transmettre un signal numérique (composé de 0 et de 1), il est nécessaire de matérialiser les niveaux logiques par des motifs. Le signal u(t) obtenu correspondra à une succession de ces motifs.

exemple de codage binaire : le codage NRZ

Le signal s(t) s'écrit alors :

𝑠 𝑡 = ^+∞_𝑘=0𝑎_𝑘 ℎ 𝑡 − 𝑘𝑇_𝑠 avec a_k = +1 ou 0 (dans le cas binaire)

h(t) représente la fonction associée au motif ak est la valeur prise par le bit n°k

codage binaire : un seul bit est transmis à la fois.

Ce type de codage nécessite donc 2 symboles (un pour a_k=0 et un pour a_k=1)

codage M-aire : il s’agit d’une généralisation du codage binaire pour transmettre n bits à la fois Il nécessite donc M=2ⁿ symboles.

ex pour M=4 00 → ak = -3 01→ ak = -1 10 → a_k = 1 11 → ak = 3

Remarque : sauf information spécifique sur le signal transmis, la suite des motifs est considérée comme aléatoire.

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2. débit d’une transmission

On distingue le débit binaire (nombre de bits par seconde, noté D) et le débit de symboles (nombre de symboles par secondes, noté R)

débit binaire : il se calcule à partir de la durée Tb d'un bit 𝑫 =_𝑻^𝟏

𝒃 s'exprime en bits par seconde (bit.s^-1) débit de symboles :

soit TS la durée d'un motif

nombre de symboles par seconde 𝑹 =_𝑻^𝟏

𝒔 s'exprime en symboles /seconde ou bauds

Remarque : on a toujours D ≥ R. Dans le cas d'un codage M-aire à n bits, D = nR

Ex 10-11 p 71-72

3. densité spectrale de puissance (DSP)

La densité spectrale de puissance d'un signal s(t) représente la puissance du signal en fonction de la fréquence. On la note

γ

_s(f). Elle s'exprime en V².Hz^-1

La puissance du signal contenue dans la bande de fréquence ∆f =[f1;f2] se calcul par 𝑃_∆𝑓 = 𝛾_𝑓^𝑓² 𝑠 𝑓 𝑑𝑓

1

densité spectrale d'énergie :

soit h(t) la fonction associée au motif : h(t) ↔ H(f) (transformée de Fourier) l'énergie du motif vaut 𝐸 = ℎ²𝑇_𝑠 = _−∞^+∞|𝐻 𝑓 |²𝑑𝑓 avec H(f) : spectre¹ de s(t)

|H(f)|² correspond à la densité spectrale d'énergie du motif h(t)

4. calcul de la DSP (Hors Programme: voir Annexe)

2. exemple de codages

1. signal NRZ

bit 1 ↔ s(t) = h(t)= +V 0 ↔ s(t) = -h(t)= -V

Γ_a(k)= 0(symboles indépendants) m_a = E[a_k] = 1*0.5 - 1*0.5 = 0

²a = E[ak²] - ma² = 1²*0.5+(-1)²*0.5 - 0 = 1

|H(f)| = V Ts sinc(πfTs) (TF d'une fonction porte de largeur Ts)

 𝛾 𝑓 = 𝑉²𝑇_𝑠 𝑠𝑖𝑛𝑐²(𝜋𝑓𝑇_𝑠)

1 𝐻 𝑓 = _−∞^+∞ℎ(𝑡)𝑒^{−𝑗2𝜋𝑓𝑡}𝑑𝑡

h(t)

DSP γ(f)

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avantages : simplicité - faible encombrement spectral inconvénients : difficulté de retrouver l'horloge exemples d'application : liaison série (RS232)

2. signal RZ 50%

bit 1 ↔ s(t) = h(t) : 0 ↔ s(t) = 0

Γa(k) = 0 (symboles indépendants) m_a = E[a_k] = 1*0.5 +0* 0.5 = 0.5

²_a = E[a_k²] - m_a² = 1²*0.5+0²*0.5 - 0.5² = 1/4

|H(f)| =A^𝑇^𝑠

2 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝜋𝑓^𝑇₂^𝑠)

 𝛾 𝑓 = 𝑠𝑖𝑛𝑐² 𝜋𝑓^𝑇₂^𝑠 (^𝐴₁₆²^𝑇^𝑠+ ^𝐴₁₆²𝛿 𝑓 −_𝑇^𝑘

𝑠

+∞𝑘=0 )

remarque: le motif n'étant pas à moyenne nulle, on observe un spectre de raie

avantages : présence d'une raie à la fréquence d'horloge

inconvénients : encombrement spectral 2 fois plus grand (∆f = _𝑇²

𝑠) exemples d'application : communication infra-rouge (IrDA)

3. codage Manchester bit 1 ↔ s(t) = h(t) :

0 ↔ s(t) = - h(t)

𝛾 𝑓 = 𝐴²𝑇_𝑠sin⁴(𝜋𝑓^𝑇₂^𝑠) 𝜋𝑓^𝑇₂^𝑠 ²

avantages : pas de puissance transmise à fréquence nulle, ce qui permet une isolation galvanique entre les systèmes de transmission - possibilité de récupérer l'horloge sur les fronts du signal.

inconvénients : encombrement spectral 2 fois plus grand (∆f = _𝑇²

𝑠) exemples d'application : communication éthernet

h(t)

γ(f)

DSP γ(f)

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3. Réception du signal

1. Chaine de réception

Lors de la transmission, le signal s(t) est modifié de deux façons : - il est bruité (bruit blanc)

- il est déformé : ses fronts perdent en netteté.

Ces défauts sont en parti compensés par un filtre de réception, puis un comparateur de seuil transforme à nouveau le signal reçu en signal logique (0 et 1).

2. Taux d'erreur binaire (TEB)

Le bruit dû au canal de transmission interfère avec le signal utile et peut provoquer des erreurs de décision au niveau du comparateur de seuil. Certains bits peuvent donc être erronés lors de la réception.

On définit le taux d'erreur par bit par : 𝑇𝐸𝐵 = 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟 𝑒 𝑑𝑒 𝑏𝑖𝑡𝑠 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑛 é𝑠 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑏𝑖𝑡𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠

Le TEB maximal acceptable pour un réseau est aux alentours de 10^-6

exercice : si on veut transmettre un fichier de 30Mo, combien de bits (en moyenne) risquent d'être erronés ?

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3. Interférence entre symboles (IES) - diagramme de l'œil

La ligne de transmission provoque une déformation des symboles, qui risque d'affecter le niveau de décision.

Pour vérifier la qualité de la transmission, on peut réaliser un diagramme de l'œil. Il consiste à afficher la séquence des motifs à l'oscilloscope avec un affichage persistant :

• l'ouverture horizontale définit le temps pendant lequel le signal reçu peut être échantillonné sans erreur due à l'IES

• l'ouverture verticale indique la tolérance au bruit

• la pente donne la sensibilité aux erreurs de synchronisation

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Annexe : calcul de la DSP

 1ère approximation :

On considère une séquence aléatoire de k motifs : pour des signaux symétriques (dont les motifs 1 et 0 sont les mêmes, mais inversés), chaque motif apporte une contribution énergétique dE = |S(f)|²df pour la bande spectrale df. Pour les k motifs : dE = k|S(f)|²df

la puissance dP associée sera donc dP =^dE_Δt = ^k|S(f)|²_kT

s df

la densité spectrale de puissance de u(t) est donc 𝛾𝑢(𝑓) = ^|S(f)|²_𝑇

𝑠

(voir formule de Bennett dans le cas général)

 A l'aide de l'autocorrélation Γ_s() = E[s(t)s*(t-)]

E : espérance mathématique

• 𝐸 𝑠 = 𝑠∞ 𝑖𝑝𝑖

1 (somme des valeurs prises par s affectées de leurs probabilités respectives)

• 𝐸 𝑠 = _−∞^+∞𝑠 𝑓 𝑠 𝑑𝑠 (si s variable continue qui admet une densité de probabilité f)

 γ_S(f) est la TF de Γs() u(t) = as (t) ( convolution avec a 𝑡 = +∞ 𝑎𝑘 𝛿 𝑡 − 𝑘𝑇𝑠

𝑘=0 )



𝛾𝑢 𝑓 = 𝛾_𝑎 𝑓 |𝑆 𝑓 |² γa : DSP des symboles ak

Notes complémentaires:

(Formule de Bennett  démo ici)

(si les symboles sont indépendants, Γa(k) = 0)

pour plus d’info, voir Précis d'électronique 2ème année (Azan) p250 ou Introduction aux Communications Numériques (Joindot/Glavieux)(Annexe A)