TP17

TP 17 : Lois de probabilités

Simulationloi disrètes

Laommandegrandqu'ilfaut entendreommeg-rand,generaterandomness,quigénèredesnombresaléa-

toiresdemeilleuremanière,etsurtoutaveplusd'optionsquesonanaloguerand.

Loi de Bernoulli

Pour simuler une expériene de Bernoulli qui renvoie 1 ave une probabilité

p ∈ ]0; 1[

variable

p

X=(rand()<p)

Loi uniformesur

[[1; n]]

Si

n

X=oor(n*rand())+1

Y=grand(m, n,"uin",min,max)

X ontientunnombreentierauhasardentre 1et

n

m × n

suivant

U ([[min; max]])

Loi binomiale

X=sum(rand(1,n)<p)

Y=grand(m,n, "bin",N, p)

Xompte lenombredesuèsobtenuslorsdenrépétitionsd'uneépreuvedeBernoullideparamètrep.

Yest unematrie

m × n

B(N, p)

Loi géométrique

whilerand()>=p

X=X+1

end;

Y=grand(m, n,"geom",p)

X ompte le nombredetiragesnéessaires suivantune loi deBernoulli deparamètre

p

premiersuès.

Yest unematrie

m × n

Loi de Poisson

Y =grand(m, n,"poi",mu)

Yest unematrie

m × n

Exerie 1 :

1. Créeunsriptsimulantuneréalisationd'unev.a.

X

U ([[1; 10]])

2. Créeunsriptdonnantunmatriedontlesoeientssontunesimulationde100réalisationsd'une

v.a.

X

U ([[1; 10]])

3. Compléterlessriptspréédentspourqu'enutilisantlaloidesgrandsnombres,onalulenumérique-

mentunevaleurapprohéede

E(X)

Loi desgrandsnombres:

Soit

X

(X n ) ^{n∈N ⋆}

X

X

Alors, presquesûrement

n→+∞ lim

X 1 + X 2 + ... + X n

n = E ( X ) .

(Lamoyenneempiriqueestunestimateuronvergent de l'espérane.)

4. Mêmequestionavedesv.a.

X

(a)

B(0.1)

(b)

B(10, 0.3)

()

G(0.3)

Exerie 2 :

1. Exéuterleprogrammesuivantqui simuleuneloideBinomiale:

u=grand(1000,1000,'bin',50,0.06);

histplot(20,u);

2. Exéuterleprogrammesuivantqui simuleuneloidePoisson :

u=grand(1000,1000,'poi',3);

histplot(20,u);

3. Conlure.