Théorie descriptive des ensembles DM2 M2 Logique
DM2 - à rendre le 3 mars
Exercice 1. Exemples d’ensembles analytiques.
Montrer que les ensembles suivants sont analytiques (on rappellera le borélien standard dont ce sont des sous-ensembles).
— L’ensemble des suites de réels qui admettent une sous-suite convergente.
— L’ensemble des compacts de[0,1] qui contiennent un irrationnel.
— L’ensemble des fonctions continues sur[0,1]dérivables quelque part, c’est-à-dire des fonc- tions f telles qu’il existex0∈]0,1[avec f dérivable en x0.
Exercice 2. Ensemble des bons ordres sur N.
On rappelle qu’un ordre surNest bon si tout sous-ensemble non vide deNadmet un minimum.
Cela revient à dire qu’on a un ordre total bien fondé.
1. Montrer que l’ensemble des ordres sur N est un fermé du compact métrisable2N×N. 2. Montrer que l’ensemble W O (well-order) des bons ordres sur Nest coanalytique.
3. Étant donné un arbre T sur N, on définit l’ordre de Kleene-Brouwer sur l’arbre T par : pour s, t∈ T, on pose s <KB t si s est un descendant de t (ce que l’on a noté s) t ou s≺tdans le cours) ou sisi< ti où iest le premier entier tel quesi 6=ti.
On a donc essentiellement l’ordre lexicographique avec par exemple 000<KB 01, sauf que 01 est plus petit que0.
Montrer que T est bien fondé si et seulement si (T, <KB)est bien ordonnée.
4. En déduire que l’ensemble W O est Π11-complet.
Exercice 3. Théorème de Kunen-Martin.
Étant donnée une relation bien fondée≺sur un ensemble non vide X, on définit un rang surX par induction : si x∈X, son rang est
ρ≺(x) = sup
y≺x(ρ≺(y) + 1).
Le rang de ≺ est alors défini par ρ(≺) := supx∈X(ρ≺(x) + 1). On se propose de montrer le théorème de Kunen-Martin : si X est un borélien standard, toute relation bien fondée≺qui est analytique (comme sous-ensemble de X×X) vérifie ρ(≺)< ω1.
1. On a vu en cours que siS etT sont des arbres surN, alorsρ(S)6ρ(T)si et seulement s’il existe une fonction f :S → T strictement croissante. Généraliser ce résultat à des arbres sur un ensemble quelconque. Quelle forme d’axiome du choix avez-vous utilisée ?
2. Soit≺une relation bien fondée sur un ensembleX. On définit un arbreT≺surX dont les sommets sont les(x0, ..., xn)avecxi+1≺xipouri= 0, ..., n−1. Montrer queρ(≺) =ρ(T≺).
3. Montrer le théorème de Kunen-Martin.
Paris 7 1 M2 Logique
