Atelier "Identités remarquables" (correction)
Développer, réduire
2 2 2
2 2 2
2 2
( ) 2. .
( ) 2. .
( )( )
a b a a b b
a b a a b b
a b a b a b
+ = + +
− = − +
+ − = −
Exercice 1 : Ecrire la formule qui correspond à l’expression proposée. Reconnaître « a », reconnaître « b », puis développer et réduire.
1°) Dans :
( x + 3)
2Je reconnais la formule (recopier la formule ici):
( a + b )
2avec
a = x , et b = 3
Je développe et je réduis en utilisant la formule:
( )
2( )
22 2
( x + 3) = x + × × + 2 x 3 3 = x + 6 x + 9
2°) Dans :
( x − 8)
2Je reconnais la formule (recopier la formule ici):
( a − b )
2avec
a = x , et b = 8
Je développe et je réduis en utilisant la formule:
( )
2( )
22 2
( x − 8) = x − × × + 2 x 8 8 = x − 16 x + 64
3°) Dans :
( x + 4)( x − 4)
Je reconnais la formule (recopier la formule ici):
( a + b )( a − b )
avec
a = x , et b = 4
Je développe et je réduis en utilisant la formule:
( ) ( )
2( )
2 2( x + 4) x − 4 = x − 4 = x − 16
4°) Dans :
(2 x + 5)
2Je reconnais la formule (recopier la formule ici):
( a + b )
2avec
a = 2 , et b x = 5
Je développe et je réduis en utilisant la formule:
( )
2( )
22 2
(2 x + 5) = 2 x + × 2 2 x × + 5 5 = 4 x + 20 x + 25
5°) Dans :
(5 x − 6)
2Je reconnais la formule (recopier la formule ici):
( a − b )
2avec
a = 5 , et b x = 6
Je développe et je réduis en utilisant la formule:
( )
2( )
22 2
(5 x − 6) = 5 x − × 2 5 x × + 6 6 = 25 x − 60 x + 36
Factoriser.
2 2 2
2 2 2
2 2
2. . ( )
2. . ( )
( )( )
a a b b a b
a a b b a b
a b a b a b
+ + = +
− + = −
− = + −
Exercice 2 : Ecrire la formule qui correspond à l’expression proposée. Reconnaître « a », reconnaître « b », puis factoriser.
1°) Dans :
x
2+ 12 x + 36
Je reconnais la formule (recopier la formule ici):
a
2+ 2 ab + b
2avec
a = x, et b = 6
Je factorise en utilisant la formule:
( )
22
12 36 6
x + x + = x +
2°) Dans :
x
2− 18 x + 81
Je reconnais la formule (recopier la formule ici):
a
2− 2 ab + b
2avec
a = x, et b = 9
Je factorise en utilisant la formule:
( )
22
18 81 9
x − x + = x −
3°) Dans :
x
2− 25
Je reconnais la formule (recopier la formule ici):
a
2− b
2avec
a = x, et b = 5
Je factorise en utilisant la formule:
( )( )
2
25 5 5
x − = x + x −
4°) Dans :
4 x
2+ 20 x + 25
Je reconnais la formule (recopier la formule ici):
a
2+ 2 ab + b
2avec
a = 2x, et b = 5
Je factorise en utilisant la formule:
( )
24 x
2+ 20 x + 25 = 2 x + 5
5°) Dans :
25 x
2− 60 x + 36
Je reconnais la formule (recopier la formule ici):
a
2− 2 ab + b
2avec
a = 5x, et b = 6
Je factorise en utilisant la formule:
( )
225 x
2− 60 x + 36 = 5 x − 6
Révisions sur les identités remarquables : pour les plus rapides
Exercice 3 : Développer les expressions suivantes, en utilisant les formules des « identités remarquables » sur certaines parties du calcul, et en développant « avec des flèches » le reste du calcul.
2
2 2
2
2
2 2
2
(3 6) (3 6)(4 2)
9 36 36 12 6 24 12
21 54 24
(5 4)(6 8) (6 8)
30 40 24 32 36 96 64
66 112 32
x x x
x x x x x
x x
x x x
x x x x x
x x
− + − +
= − + + + − −
= − +
− + + +
= + − − + + +
= + +
Attention!!!! Quand on développe des parenthèses situées après un signe «
−
» , il faut les mettre dans un crochet pour se “protéger”; on enlèvera le crochet à la fin, ainsi on pensera à “changer tous les signes”.2 2
2 2
2 2
2
2
(3 2)(5 7) (5 7)
(3 2)(5 7) [(5 7) ] (j'ai mis des crochets autour de la 2 partie, qui est après un signe " ")
15 21 10 14 25 70 49
15 11 14 25 70 49
10 59 63
(2 8) (2
nde
x x x
x x x
x x x x x
x x x x
x x
x
+ − − −
= + − − − −
= − + − − − +
= − − − + −
= − + −
+ −
[ ]
[ ]
2
2 2
2 2
2
2 2
7)(2 8) (2 8) (2 7)(2 8)
4 32 64 4 16 14 56
4 32 64 4 16 14 56
0 30 120
30 120
(5 1)(4 2) (5 1)(5 1) (5 1)(4 2) (5 1)(5 1)
20 10 4 2 25 5
x x
x x x
x x x x x
x x x x x
x x
x
x x x x
x x x x
x x x x x
− +
= + − − +
= + + − + − −
= + + − − + +
= + +
= +
+ − − + −
= + − − + −
= − + − − − + 5 x
2 2
2
1
20 10 4 2 25 1
5 6 1
x x x x
x x
−
= − + − − +
= − − −
Exercice 4 : Factoriser les expressions suivantes, en utilisant les formules des « identités remarquables » sur certaines parties du calcul, et en soulignant le facteur commun (exercice 4).
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 2
9 36 36 (3 6)(5 1)
3 6 (3 6)(5 1)
3 6 (5 1)
3 6 5 1
3 6 3 6 5 1
3 6 8 5
(2 3)(6 8) 36 96 64
(2 3)(6 8) 6 8
(2 3) 6 8
2
3 6 (3 6)
3 6
(6 8) 6 8
6
3 6 8
2 6
8 3 8 6
x x x x
x x x
x x
x x
x x x
x x
x x x x
x x x
x x
x
x x
x
x x
x x
x x x
− + + − +
= − + − +
= − + +
= − + +
= − − + +
= − −
− + + +
− −
−
+ +
+ +
= − + + +
= − + +
= − + +
= + − + ( )
( )( )
8 8 x 5 6 x 8
+
= + +
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
2
2
2
( 6)(5 7) 25 70 49
( 6)(5 7) 25 70 49
( 6)(5 7) 5 7
( 6) 5 7
6 5 7
6 5 7 5 7
4 13 5 7
4 32 64 (5 7)
(5 7) 5 7
5 7
2 8 (2 8)
(2 8)
2 8 (5 7)(2 8)
2 8 (5 7)
2 8 5
x x
x
x x x x
x x x x
x x x
x x
x x
x x x
x x
x x x x
x x
x x
x
x x
x x
+ − − + −
= + − − − +
= + − − −
= + − −
= + − −
= + − + −
= − + −
+ + − − +
= + − − +
= + −
− −
−
+ − +
= + − ( − ) ( )
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
2 2
2 2
